https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas ja Thu, 03 Sep 2026 06:27:09 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3244 不定方程式 x^4+20015*y^4=z^4+20015*w^4 の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか計算した。8513710387513^4+20015*209949857134^4=8527633537859^4+20015*122012568856^49892332126346429069688889044164658960191848102869506039998033551555613270738667910553646254942303626304035^4+20015*282375846852921480964433503904805379625885825616798886856138678934021519680884390219919579234359698449992^4=992503281281946639458688901551006080535684422036765332769376184904408017462134173588440199251520142755426... Thu, 03 Sep 2026 06:27:09 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3235 探索時間は、1秒ぐらいです。たまたま「先頭の方」にあって、かつ小さい5個の素数が32ビット以内だったため運よく見つかっただけです。「先頭の方」になければ延々と見つからなかったと思います。現に、条件を絞って「6素因数の2個目」を探していますが、終わりが見えません。探索方法は、「小さい順に決めていく」方法です。a＜b＜c＜d＜e＜fとして、まずaは2,3,5,…ですがたまたまa=2の解がありました。bは単純に考えると3,5,7,11,13,…ですが、(2a-1)(2b-1)(2c-1)(2d-1)(2e-1)(2f-1)+1 が abcdef で割り切れなければならないためb=3は不適です。（2a-1=3なので分子は3で割り切れず、分母に3があってはならないためです））よってbは5から開始することになります。この処理は他の変数を決めるときにも行います。例えばb=7のとき2b-1=13なのでcやdを13にすることはできません。あと、いくつかの変数を決めた段階でそのときの(Σgcd+1)/Nの最小値・最大値が決まりますが、その範囲に整数が存在しないことが多々あります。（例えば最小値26.2、最... Mon, 31 Aug 2026 12:22:19 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3242 富田誠二氏の計算数論サイト(Computational Number Theory)の記事　　http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph121e.htmlによると、Elkiesが2017年7月30日に、　　x^4+16329*y^4=z^4+16329*w^4の自明でない整数解　　(x, y, z, w)=(346429732854975524407446847, 54141872796715970999006713, 606051030994671192182211305, 33186693159559232548599185)を見つけている。今回、Elkiesの解とは別の自明でない整数解をいくつか見つけた(これらはElkiesの解よりも大きい)。3336967878912435316510997681334353582488640115322603572239556909865501786578321553935838297676341362485201^4+16329*9333121014477408096994568565068324289... Mon, 31 Aug 2026 11:50:44 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3239 その後、小さい整数解を３個見つけた。これらが、おそらく最小解である。11633^4+20043*2391^4=28453^4+20043*973^412578^4+20043*1809^4=17032^4+20043*1669^434141^4+20043*1208^4=34403^4+20043*396^4 Mon, 31 Aug 2026 06:49:06 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3235 らすかるさん凄い！A018804に是非登録してください。もし存在するならどういう条件かを確定させて探られていることに感心します。たとえ相異なる素数の積という条件でも6個の素数の組合せなんてとんでもない数になると思うし、果たしてどこまでの素数を使用するかによってその数は全く異なってきます。結果を見る限り、素数の大きさが12桁まで広がっているので、この素数になるまで gp > primepi(929765438293)%417 = 35062717755(個)の素数がありますからgp > binomial(35062717755,6)%418 = 2580720418848458496825306224464616005861484887789012966085250(通り)なる天文学的組合せになります。こんな可能性から、例のN = 2*13*151*34649*64783*929765438293を探し出すなんて麦わらの山から一本の黄金の針を探し出す行為に例えられます。どれほどの探索時間を要したのですか？なおメモに# 8193613126657808805087106で検索す... Mon, 31 Aug 2026 05:21:16 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3239 x^4+20043*y^4=z^4+20043*w^4の自明でない整数解(0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。2621169957906627569727127344868295239429912946603356183^4+20043*159962114751783403385627527338735104967235051928081009^4=2786943516161909375025791202752159312644982054868946349^4+20043*5811443503498401913036330545128968247834056337509157^4254207793009846632239996028865752867336363539414255359087172425866553353662309520900171867339119924940632194105685900123157965254475420766103765572719351614082411259782072168... Sun, 30 Aug 2026 22:47:15 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3224 異なる方法で、x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない(前回よりも小さい)整数解を求めた。6024952034408244154677^4+20018*327901407351075242811^4=6272822028564689110027^4+20018*80031413194630287461^410715394633278845240166368299565623244683015152919602007935845671946915231352945064632481^4+20018*1221663305617509907342313057092900917274609429661104216378283154779464720512768231800319^4=13033368220045982546914929580674735403270983881336482128830631976385072961835340081450719^4+20018*10963102811496273994062482240162112413133592987... Sun, 30 Aug 2026 20:56:43 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3235 相異なる素数の積しかない、とわかったところでもう少しプログラムを改良して変数値範囲も広げ、6素数の積について探してみたら、一つ見つかりました。N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 = 8193613126657808805087106のときa(N) = (2*2-1)(2*13-1)(2*151-1)(2*34649-1)(2*64783-1)(2*929765438293-1)= 376906203826259205034006875でa(N)+1 = 376906203826259205034006876 = 46*8193613126657808805087106なのでa(N)+1≡0 (mod N) かつ Nが合成数となります。# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。 Sun, 30 Aug 2026 16:23:58 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3235 「5個の相異なる素数の積」という条件で検索すると提示されたNはあっという間に見つかるのですが、この条件では他にはなさそうでした。（この条件を満たすものは他にあっても有限個だと思います）「4個」以下ではおそらく存在せず、「6個」「7個」をしばらく検索してみたのですが、見つかりませんでした。（7個以上は「すべて検索」は時間的に無理）p^3×q^2×r×s×tなど、指数が2以上のものも含めれば見つかるのかも知れませんが、組合せが多すぎるのとそれぞれの計算式を作るのも大変そうなので、諦めます。(追記)p^2で割り切れるとき、gcdの合計がpで割り切れるようなので条件は満たさないですね。よって「相異なる素数の積」の素数の個数を多くして探すしかない、ということになると思います。 Sat, 29 Aug 2026 11:29:59 +0900 http://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/3235 a(n)=∑[k=1,n]gcd(k,n)とするとき{a(n)}:1,3,5,8,9,15,･･･a(n)+1≡0 (mod n) <==> nは素数であるを予想するものを知りました。確かにn=2～1000までの様子を見てみるとgp > a(n)=sum(k=1,n,gcd(k,n))gp > for(n=2,1000,if(Mod(a(n)+1,n)==0,print1(n","))) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 26... Fri, 28 Aug 2026 08:22:03 +0900