MENU
158,963

スレッドNo.10

証明に挑戦しませんか?

私の備忘録の「内接円と傍接円」で、次の問題が保留中です。

 BC=a、CA=b、AB=c の△ABCにおいて、外心をO、∠Aに対する傍接円の中
心をJとおく。また、∠Cの2等分線と辺ABの交点をE、∠Bの2等分線と辺CAの交
点をF とおく。

 このとき、 OJ⊥EF が成り立つ。

 どなたか証明に挑戦しませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

記事にある書きかけの証明で、
AE = (bc/(a+b))AB
となっていますが、これは
AE = (b/(a+b))AB
が正しいのではないでしょうか。
AF も同様。
その上で、
OA・AB = (1/2)BA・AB = (-1/2)c^2
等を使っていけばなんとかなりませんかね?

「元の三角形の内心と外心が、傍心を結んでできる三角形の垂心と九点円中心になる」ことを活かして純粋に初等幾何学の知識で証明できたら美しいでしょうが、EF をうまく扱う方法がないとちょっと難しいかなあ。

引用して返信編集・削除(未編集)

AE,AFは私の勘違いでした。OA・AB = (1/2)BA・AB とのことですが、これは如何?

引用して返信編集・削除(未編集)

O は外心なので、OA を AB に平行な成分と垂直な成分に分けてあげることで、
OA・AB = ((1/2)BA+AB に垂直な成分)・AB = (1/2)BA・AB
となります。
高校物理でよくやる変形ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

なるほど!合点がいきました。DD++さん、ありがとうございます。

引用して返信編集・削除(未編集)

このスレッドに返信

このスレッドへの返信は締め切られています。

ロケットBBS

Page Top