😊出会いの泉😊

同じ不定方程式 x^4+y^4+z^4=4418*w^4 の別の自然数解も見つけました。

839990066^4+10754417721^4+25232397949^4=4418*3120163151^4
139725878854678372058371^4+665867942359528116571674^4+1271597488901889913049231^4=4418*158828760986524532820581^4
152225944905867415902156376625783^4+270819182019128571674398824263238^4+876128187714445505030017880090917^4=4418*107732306964835629315765660587467^4
27976976606216771059969867199249783114828840295678863020736113224455472178^4+66935168501509522550508168943393326707191758808523265480393414548117535867^4+112243133090369611154103870833729902480342772885524997500179682338364779503^4=4418*14195620786961928858799910212095048686523439299180433325439012228248461297^4
9451233251494891395594729120327332438777390080635592116901480829211499184868111795647690643^4+16256316640632516748539518110555177665986374835874970545218326698723516928876809336940343918^4+53204232132725472171175713731932661107108471546847593400545707395100057547319048301800992247^4=4418*6541676750724214902274348291755731900597459532178521212691899738140121428088891896741144753^4

...

「1連続」は除外します。
(1)
2833は素数なので1以外の奇数の約数は2833のみ
2833÷2833=1, 中心が1で2833項となる連続整数列は-1415～1417
-1415～1415は相殺されて1416～1417
∴1416+1417=2833

(2)
2834=2×13×109なので1以外の奇数の約数は13,109,1417
2834÷13=218, 中心が218で13項となる連続整数列は212～224
∴212+213+214+…+224=2834
2834÷109=26, 中心が26で109項となる連続整数列は-28～80
-28～28は相殺されて29～80
∴29+30+31+…+80=2834
2834÷1417=2, 中心が2で1417項となる連続整数列は-706～710
-706～706は相殺されて707～710
∴707+708+709+710=2834

(3)
2835=3^4×5×7なので1以外の奇数の約数は
3,5,7,9,15,21,27,35,45,63,81,105,135,189,315,405,567,945,2835
2835÷3=945, 945-(3-1)/2～945+(3-1)/2 → 944～946
2835÷5=567, 567-(5-1)/2～567+(5-1)/2 → 565～569
2835÷7=405, 405-(7-1)/2～405+(7-1)/2 → 402～408
2835÷9=315, 315-(9-1)/2～315+(9-1)/2 → 311～319
2835÷15=189, 189-(15-1)/2～189+(15-1)/2 → 182～196
2835÷21=135, 135-(21-1)/2～135+(21-1)/2 → 125～145
2835÷27=105, 105-(27-1)/2～105+(27-1)/2 → 92～118
2835÷35=81, 81-(35-1)/2～81+(35-1)/2 → 64～98
2835÷45=63, 63-(45-1)/2～63+(45-1)/2 → 41～85
2835÷63=45, 45-(63-1)/2～45+(63-1)/2 → 14～76
2835÷81=35, 35-(81-1)/2～35+(81-1)/2 → -5～75 → 6～75
2835÷105=27, 27-(105-1)/2～27+(105-1)/2 → -25～79 → 26～79
2835÷135=21, 21-(135-1)/2～21+(135-1)/2 → -46～88 → 47～88
2835÷189=15, 15-(189-1)/2～15+(189-1)/2 → -79～109 → 80～109
2835÷315=9, 9-(315-1)/2～9+(315-1)/2 → -148～166 → 149～166
2835÷405=7, 7-(405-1)/2～7+(405-1)/2 → -195～209 → 196～209
2835÷567=5, 5-(567-1)/2～5+(567-1)/2 → -278～288 → 279～288
2835÷945=3, 3-(945-1)/2～3+(945-1)/2 → -469～475 → 470～475
2835÷2835=1, 1-(2835-1)/2～1+(2835-1)/2 → -1416～1418 → 1417～1418
∴
944+945+946
=565+566+567+…+569
=402+403+404+…+408
=311+312+313+…+319
=182+183+184+…+196
=125+126+127+…+145
=92+93+94+…+118
=64+65+66+…+98
=41+42+43+…+85
=14+15+16+…+76
=6+7+8+…+75
=26+27+28+…+79
=47+48+49+…+88
=80+81+82+…+109
=149+150+151+…+166
=196+197+198+…+209
=279+280+281+…+288
=470+471+472+…+475
=1417+1418
=2835

「どのようなもの」とは、例を書けば良いのでしょうか。もしそうなら例えば
n=6: (1,6)(2,5)(3,4)
n=12: (1,2,11,12)(3,4,9,10)(5,6,7,8)
n=18: (1,2,3,16,17,18)(4,5,6,13,14,15)(7,8,9,10,11,12)
n=24: (1,2,3,4,21,22,23,24)(5,6,7,8,17,18,19,20)(9,10,11,12,13,14,15,16)
・・・
n=6m:
(1,2,…,m-1,m,5m+1,5m+2,…,6m)
(m+1,m+2,…,2m-1,2m,4m+1,4m+2,…,5m)
(2m+1,2m+2,…,3m-1,3m,3m+1,3m+2,…,4m)

(追記)
n=6m+0,2,3,5のそれぞれの場合についての分け方の一般形の例が作れましたのでまとめます。
n=6m+0の場合(m≧1): それぞれの合計は m(6m+1)
(1～m, 5m+1～6m) と (m+1～2m, 4m+1～5m) と (2m+1～4m)
n=6m+2の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+1)
(1～m,4m+1～4m+2,5m+3～6m+1) と (m+1～2m+1,4m+3～5m+2) と (2m+2～4m,6m+2)
n=6m+3の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+2)
(1～m+1, 2m+1, 5m+4～6m+3) と (m+2～2m, 4m+3～5m+3) と (2m+2～4m+2)
n=6m+5の場合(m≧0): それぞれの合計は (m+1)(6m+5)
(1～m,5m+5～6m+5) と (m+1～2m+1,4m+4～5m+4) と (2m+2～4m+3)
※mに具体値を代入してa～a-1のように終値が始値より1小さくなる場合、その範囲は削除(n=5,8,9の場合に発生)
※n=6m+1,4の場合は総計が3の倍数ではないので3分割できません。

一般の等差数列、項数＝ｎ、初項＝a、公差=d　置くとき
a,a+d,…、a+(n-1)d　折り返して、和を取ると全て等しくなるので、
項数が６の倍数であれば、３分割して、和を等しくすることが可能です。
（n,a,d）=(6k,a,ｄ)

１，２，３，４，５は、分割して和を等しくすることが可能ですが、
a倍して、a,２a，３a，４a，５a も可能です。(5,a,a)

分割可能であれば、公差a の等差数列、初項a　を自由に作ることが可能。

１，２，３，４，５，６，７，８，９　の場合
｛９，１，５｝、｛８，３，４｝、｛７，２，６｝と
｛１，２，３，９｝、｛７，８｝、｛４，５，６｝複数解もあることが分かりました。

6m+5 5,11,17,23,…
6m+3 9,15,21,27,…
6m+2 8,14,20,26,…
については、5,9,8は、分割可能なので、残り6の倍数を足した数については、6の倍数が、3つの組に等分割可能なので、振り分けて、全体が、分割可能になります。

6m,6m+2,6m+3,6m+5
のとき、3分割可能でしたが、
3k-1,3ｋとまとめることができます。但しｋは、2以上

一般ｋ分割の場合
n=2k-１または、2kのとき、ｋ分割可能
但し、３分割のときは、6ｍ、6ｍ－１以外もありますので、全てではない。

経路中で2頂点を通るものは6通り
ちょうど1頂点を通るものは6×(10C5-2)=1500通り
頂点を通らないものは6×(15C5-3-2×(10C5-2))=15000通り
よって全部で16506通り

n種類の性質のうちの、ちょうどk種類の性質のみを保有する
オブジェクトの数を e_k とします。
また、n種類の性質のうちの、特定のk種類の性質を保有する
(このk種類以外の性質を保有していてもよい)オブジェクトの数を
n_kとし、すべての k-部分集合(これらの部分集合は全部でcomb(n,k)個ある)
に対してn_kを足し合わせたものを N_k とします。
このとき、等式
N_k = Σ[j=k～∞]comb(j,k)*(e_j) --- (★)
が成立しています。
E(x)=Σ[k≧0](e_k)*x^k，
N(x)=Σ[k≧0](N_k)*x^k
とします。そうすると、
N(x)
=Σ[k≧0](N_k)*x^k
=Σ[k≧0](Σ[j≧k]comb(j,k)*e_j)*x^k
=Σ[j≧0](e_j)Σ[k≧0]comb(j,k)*x^k
=Σ[j≧0](e_j)*(1+x)^j
=E(1+x)
となります。
よって、E(x)=N(x-1).　
このことからe_kは次のように計算できます。
e_k
=[x^k]E(x)
=[x^k]N(x-1)
=[x^k]Σ[j≧0](N_j)*(x-1)^j
=[x^k]Σ[j≧0](N_j)*Σ[r≧0](comb(j,r)*(x^r)*(-1)^(j-r))
=Σ[j≧0](N_j)*(comb(j,k)*(-1)^(j-k))
=Σ[j≧k](N_j)*(comb(j,k)*(-1)^(j-k))
=N_k-comb(k+1,k)*N_(k+1)+comb(k+2,k)*N_(k+2)- … +(-1)^(n-k)*comb(n,k)*N_n
となります。

等式(★)の厳密な証明が、下記ファイルにあります。
https://www2.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf
(ファイルの116ページ 4.2 A generatingfunctionological view of the sieve method)

また次の本にも、E(x)=N(x-1)であることの証明があります。
「 Combinatorial Enumeration 」(Dover)
Ian P.Goulden, David M.Jackson 著
46ページおよび47ページ．　(Chap.2 2.2.28.および 2.2.29)　
以下からダウンロードが可能です。
https://vdoc.pub/documents/combinatorial-enumeration-4vpn3s5kq2c0

なるほど、形式的冪級数って手がありましたか。
ありがとうございます。

読解力のない私には
後者「正七角形と引かれた全対角線の状態においての三角形」
の意味が理解できません。
前者「正七角形の7つの頂点と中に発生する交点から3点を選んで作られる三角形」
との違いを教えて下さい。
（前者のみに含まれるもの、あるいは後者のみに含まれるものの例をお願いします。）

私も日本語の使い方に不安を抱える技量不足の力しかありませんが
後者の意味は
「正七角形と引かれた全対角線の状態」
においては対角線によって中に35個の交点が発生し、中心部では
小さい正七角形が作られている図形が現れてきます。
従って考えれる三角形は今の状態において図の中に発見できるものに
限っての三角形をカウントすることになります。
ですから中心部の小さい正七角形の交点の7つから3つを選んで出来る
三角形は対象外にする。
つまり
前者は出来た交点を元に作られる三角形の総数
後者は出来た図形に含まれる三角形の形状の総数
のニュアンスです。

それならば、とりあえず元の問題文が
「正七角形の頂点と対角線の交点で作られる三角形について」
のように「点で作られる」三角形と言っていますので、
元の問題の解釈は前者ですね。
# 対象が「点」のみのため「辺」や「対角線」は関係ない、つまり
# 辺や対角線がなく42個の点が散らばっている状態から
# （一直線上にない）3点を選んで結び、
# 三角形を描くということになると思います。
もし後者の解釈ならば「点」に言及する必要がありませんので
「正七角形の辺と対角線で作られる三角形」
と表現されると思います。

後者の場合、考え違いがなければ
3点が正七角形の頂点 → 7C3個
2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個
計175個
となる気がします。

> 2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個

この計算式だけで処理可能な理由を解説して下さい。
できたら前者の場合の計算方法も教えて下さい。

2点が正七角形の頂点で残り1点が対角線の交点、かつその対角線が
最初の2点から出ている線ならば、それら2本の対角線の反対側は
正七角形の頂点なわけで、そうするとこれら4つの頂点と対角線の
交点から4つの三角形が構成されることがわかります。
この対応には重複はありませんので、7C4×4で計算されることになります。

前者の計算は
対角線の交点が2頂点を通る直線上にある場合も含めると、
全部で7C2×35個
このうち対角線の交点が2頂点を通る直線上にあるものは
交点1つにつき2回数えられているので、
1頂点が対角線の交点であるものは 7C2×35-35×2=665個
すべて正七角形の頂点であるものは7C3=35個なので、
求める個数は665+35=700個

√3はb/aと(3a+b)/(a+b)の間にあると思います。
より一般に
√nはb/aと(na+b)/(a+b)の間にあると思います。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。

よって、次のようにいろいろ作れそうですね。

√3 は b/a と 3(2a+b)/(3a+2b) の間にある。
√3 は b/a と (9a+5b)/(5a+3b) の間にある。
√3 は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。

連分数展開と関係しているのかもしれませんね

p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
(n*p*a+q*b)/(q*a+p*b)
の分数がどの様な形を成すのかを調べて行くと
（但しn=3として調査したもの)

[p,q]=[2,3]=>(6*a+3*b)/(3*a+2*b)

[3,4]=>(9*a+4*b)/(4*a+3*b)
[3,5]=>(9*a+5*b)/(5*a+3*b)

[4,5]
[4,6]

[5,6]
[5,7]
[5,8]

[6,7]
[6,8]
[6,9]
[6,10]

[7,8]
･･････


の様に各pに対して分数を構成可能なqの最大値を追っていくと
3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,･････
この数列がちょうどA022838;Beatty sequence for　sqrt(3)
に対応する数列と繋がっていました。
sqrt(3)繋がりでちょっと面白く感じました。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。


証明を書いておきましょう。
簡単なので。


Y
= (√n - b/a) * (√n - (npa+qb)/(qa+pb))
= (√n - b/a) * (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - b/a) * (√n - q/p)
= (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - q/p) * (√n - b/a)^2
とおく。
ここで、
pa/(qa+pb) > 0,
√n - q/p > 0,
(√n - b/a)^2 > 0
なので、
Y < 0
となり、
「√n > b/a かつ √n < (npa+qb)/(qa+pb)」
あるいは
「√n < b/a かつ √n > (npa+qb)/(qa+pb)」
のいずれかが成り立ち、
√n が b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にあることがわかる。

b/aと(2a+b)/(a+b)に間に√２があり、
(2a+b)/(a+b)に近いことを、踏まえて、これを繰り返して
a=b=1で、具体的に、分数の近似を計算しました。
1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70.239/169,577/408
1393/985, 3363/2378, 8119/5741, 19601/13860
47321/33461=１.４１４２１３５６２…

b/aと(ma+b)/(a+b)に間に√mがあり、
(ma+b)/(a+b)が極限値をαをもつならば、これを繰り返して
x(n)=b(n)/a(n)→α と置くと、
x(n+1)=(m+x(n))/(1+x(n)) から
α＝（ｍ＋α）/(1＋α）
α^2=m となりα＝√ｍを得る。

3乗根の場合は、どうなりますか？
例えば、２の３乗根

2^(1/3)は b/a と (2a^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間にあります。
n^(1/3)は b/a と (na^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間です。

似たような式ですが、
（2a^2+a*b）/(a^2+b^2)も、２の三乗根に収束すると思いますが、
効率的でなくて、直ぐに、オーバーフローします。
素数のウィルソンの公式みたいに、効率的でないこともありますね。

効率がよいとは言えない、ごく一般的な解き方ですが
h(x)=f(x)-g(x)=(x+2)(x^2-21x+105)=x^3-19x^2+63x+210
とおくとh(x)=0の解はx=-2,(21±√21)/2≒(21±4.6)/2={8.2,12.8}
また
i(n)=Σ[x=1～n]h(x)=(n(n+1)/2)^2-19n(n+1)(2n+1)/6+63n(n+1)/2+210n
=(3n^3-70n^2+267n+2860)n/12
よって囲まれた内部の格子点の数は
Σ[x=-1～12](|h(x)|-1)
=Σ[x=-1～8](h(x)-1)+Σ[x=9～12](-h(x)-1)
=(h(-1)-1)+(h(0)-1)+Σ[x=1～8](h(x)-1)+Σ[x=1～12](-h(x)-1)-Σ[x=1～8](-h(x)-1)
=(-1-19-63+210-1)+(210-1)+Σ[x=1～8](2h(x))-Σ[x=1～12](h(x)+1)
=126+209+2Σ[x=1～8]h(x)-Σ[x=1～12]h(x)-12
=323+2Σ[x=1～8]h(x)-Σ[x=1～12]h(x)
=323+2i(8)-i(12)
=323+16(1536-4480+2136+2860)/12-(5184-10080+3204+2860)
=323+4(2052)/3-(1168)
=323+2736-1168
=1891