😊出会いの泉😊

先頭の整数解を使って、別の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)を計算した。

12243588775413302136143663^4+20012*3626402239183894949300168^4=15864613605662345293067729^4+20012*3615647421314191364547964^4

590675390502251355795512857691549386957051290449999878191116083081672010693508058942855648325632132813725034978688180423563127582694294483685336153513554023467921246989041629427703358568512021^4+20012*274512210720138248686643649551329803112526987358475963001967693827327150477407421984230441233264330577031739808853410023562787543077748980326473005118105022178628858960376856177030074793198676^4=1393015869286377590684655070825892225435043431485326044548909414015945273605423206655930063697884373279268784337155514194651726881989644226346831275781704561233667859886578049570079182896942827^4+20012*272284767402269969651347345708966960586045947806152608377674342130551567497790810786026547431426615292829871484618069327805009761632668582641695282243420382400714927350836866845105109811828792^4

1244808367341544652373051426385381317109609503439542933737423150696957011940631373290876358208180497476477359259742461605348012732464294260725555650843394499490691183804247383005489674974602562372938470658130054538621513778434367374885438205825912676213017925094941579698159413226014169450508852968948008682127650088614417485417610507504818230905662541576686310199099094516697790021070840176959452399210708373915331218960170074339846303039655396639898937497583959714830888257415421718803371838765621418290046948390076846467827^4+20012*1567318752447419334586728462166918827872305439527784610328199801292774962659913403666255726768487017878990967317157087297382162001223749935626358130170563505155883000678263086099013639273242698954320079429880981283437994204322241732633052387994344788623548579429407954660615958039382213465964648889601944919135234618311751511099976856394480090029656948716270062489130638085197692896482078263794905605451336958811969138525571239531512363045012550321998429608509469604839594508988236013018139961772160286159207390710219316708152^4=8535366880310349068894978660314167073887609093787681845151362247597436818215209882527987865182536698650633515198159638113409745627658968172428272107100302981400592444147543570845316621586311797554897302964217161905532515077909596267182684757120904980137892002339438010369699166736408885900319685631648547977510900488977650046795324553586552736452809158317932042953203074315711436755487566889468870726008619265365844160668439878291021493796499918611212987359605267276576327404446346797783654850924252700808977868534387123189261^4+20012*1549814156097782822994001286895385454807553685706112612191228380535184851001384088511175044299114244210131799137730830864788137285087304275942791935899651215993885232807489538246782777444183312158745236920820966347144056556174283084888765732591704062587176748876526442035369813794852953142686845435183657970763547991278831678773408667163905322015546662713848458940346906895164898039922246075818088866057411545831526310020159044647255763154286765432009078794962069422544530212436476860358492999117412840564360364506533289587636^4

....

別の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)を見つけた。

12500880837778884299589949163792404496371516637882603386004347336281712374339034884912211000147661834302597^4+20012*487854734138522160071750026658311210657147536040815446826837670749195480077592510554286467832363554740087^4=12643457285015438473115551426882778716871548424746350951586160658435920604645277942468917658673005089732779^4+20012*60125392428859639494943237387188549157052175449572750081397704286570789158863337884166492256333788449541^4

57843915553479790876759465758364940203933579304195649599711898559307598824059276033286594017754259845316475568435195467788289145175137882153422620393494241322464071110158021438717754739311012157121038079129051675415127796181063642889803968804896785526909318990173445411493945369900000295953794889946482268390232138532480545025365630824754999373505292706716441656640051696864030646420019789217926686979286252180419985183510875417^4+20012*3543603413501596289684109922415015905040358165557054977846249960068224587585784758239628028995313364524686678132447378875003229790695399019535244931044149224201350109087924663158489321442437308319892403403910971338438923707589887229137599725705726053326766252579671841130572333992641017502069302613945545958290407377213127358230314631399221913504326570785063761910535118060466239613320412055584437053578026619623248393061500761^4=59989151877009492324976368185950684528612783162525606965994435161184338247334979724937180392423591827651203312674229810043183819932156413792759100185332939247825827944762898698177069558899887379221064431446932908284923272247219640790638485706580503987664711338410376379210118360950231220638001559122834332181411590413554662203735479308711615825936293273058701488624861158961525344898146310591305848047868061810367124801023736711^4+20012*2892105557087508054966597360342217068997253409432817121001359845561993682241326316712131095012682582479496554584655647889680794480360195898474194444471944551883920394726707115219455137324188357980186653549732727270947504490878106473365950979345429328939410792131121062017946639158051756550550704915110645415247948266009224176879230820470627443788675128241715734043893268232017855821059152064553046152167402270218170459477083121^4

19205561033395013328382119957835414688291086473178118673199545626759349111720934410023972973013934355970488850186970067107845507691484707394034467434657640045557931443748847216668351437182425529376996377523331881306391640361416383525295126597505269216669126728273644199424401207253056858679524449896736561947482271355202097250101483948114987970196949428092731348925222260267729947022330430943142724505842175211237855247367298873078572744298092378418066179584676684227338820288009277875132486278004856178857667010199611804584197973114105656998364586192541290954718914500118052784574796586543942152912147365142111420991606195572187511767389299108740481527185034621842533164301607243894970475518829952533173491946716369260910574433257699840312705608541142221320829042157491141129309644755761165923482752131522497927146086293446072784159998222066050056620390156212271766496510498194284958124134690929407421203599413323352036660989128694179536287641299080331266363^4+20012*1091044112715155458467120958370904222426712140769159511203657636634319450355769985354897002451522519985775174537804779614555194309321010408127821617642530776988412520411873843674368706138385236189089055455219266767370741048791154667876584982904393810486234938550562904134003507290489357939011601602422974832552042298352510426904249786802266142926717054218563537359659357827482082551644016624954817863228918179731044544207541350714372505101999350774044872967018203428980737950196807215247395868345967498353142546942434914613198765942259628942867892747586401070017974787365289754973570018167094297218782141600927165967706887810347911386076452591223993009195817937069141718836988380513087592616987694095822133656702795809285188167644750047026247914212345415505751296632681394561734105610213604172959564933160275296760242885833909165768247074339310772035618566817377657409235522207496390656959056742759210820704601773611127068853759118568511652597370447429624221^4=19844637109111177396572291265600602184014886445912236522906280729478074796288723279904729675202667465893197424536879502084693051210323446978831642039553951326628647958525118837078493332884736909697292136381075847356045986707753751084870692336617225764297915589536272198615846875295785350535416045499455391974136798229607193550059661007237098254410297119689376270209488357903178695572481724416558949200643414271305794360598280619745986504249683097458286522771426194355522030081141891075326629305517527767262422444108498897267760304777108919175895614565107505182359280131729679980678454518767928345866425717731233635803209358707355719126095224124184013365571419309183591450407961548200701505533608353277770688621592708533418621804026674970997208397359752421787216413669542948766236990300513453877341021876234699788484360753337698828302566577997146028084844115851504444997289554058373718485957553825022839148625924202887995918391470726398607935735482902748164149^4+20012*826184114433336746103392964924658264744687777433194037916547671521857603347596624287373104114676809782350548511923525315987436247195208346263702197046403066223737023916941017556056980968548904771798221118012631381592297990220948010850112234431475832400131645237321093440333496837696117628663185205733515247411538324862778472970281390564064709713326020571371226493138935078864163098809863795293856221174799000472772795485403889287868774752772806346616156593230326955568891429201032385335033214192047266861123754784226363437488229046750157589725192370112241612903122107469591833337403778504864281644052916166439478467102601595156710690041322455106602505963336124954033139482074532404105497427347508137969456367926222008238953944662175345027260452243485185893410817903474028349047931024043259688615244300976330287254580493840968966659457993453977142357743312100320378093101645384769890428509531944087043014374930864996750703353266978088703291685181019821069137^4

....

別の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)を見つけた。

152053114400806952980634017499157^4+20012*24088266530928067263883599110186^4=274633752551904503164766120639739^4+20012*16771946186104449464160435270008^4

4579483401427148467409550832047213988982244260560519712455239421415457720572983794332844547500306834146368361258989148247095076141^4+20012*332435987245830833194119287934905531732190307101207025073324255158071563349889157928946898911279358160520753844958488942028801419^4=5087866355387362389414310039484038438933791580762928528837193439719409107748365224260740203019241588731695562506587362865455042339^4+20012*162975002592426192525866218789297381748341200367070752946006249056754434291428681286315013738301106632078353429092417402575479353^4

63703839420477947109849597932472852478907073281232713063763756992624983991854414042207979643862623555195475160723720365309809749772368635196027272552381671301664537222337263513002779230097170073031136273729433605428022423170175652235853181824837951089108592001962042639011579625083170433563^4+20012*7370432584739346308387673095736605181643760346156810156281642728550140113977075962654151473004947112517375104278835277572572406144437962176513137144746372030997178471749515950563778367973836894266334336538115930992601102841095210768710302173840391235549219498198041172654754899131972277978^4=93017013336755816226329886986426294386323018247024111403556349905875879017645689621493425523208842655177881552850775475065337822882128086383661840221159702626235874772940416837909383235477404588016160168311265988151305949945543641925095424530653012454504548823486145629599732278954010185429^4+20012*2400625387353276730439089922247875454161554642440322623649221575866824894620015897107663820110459254143427026430183092345936951558815188219365052078179638410526600711784868491071756300486241277395340294989161529915160072750694119127703778728097962552916099442309993157541295985491640972644^4

....

力ずくで見つけた最小解
685243^4 + 20012 * 110194^4 = 765627^4 + 20012 * 109026^4

全部-2!

13桁の全域検索は工夫してもなかなか難しいと思いますが、
max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000で見つかりました。
134542^4+20015*6671^4 = 137662^4+20015*4495^4
というわけで、8527633537859は最小解ではないですね。
プログラムにバグがなければ、上記のmax{|x|,|y|,|z|,|w|}=137662が最小（非自明）解になります。
他に、以下の式も見つかっています。
74257^4+20015*20319^4 = 174332^4+20015*18834^4
274633^4+20015*18215^4 = 297796^4+20015*6082^4

らすかるさん

max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000の範囲なら、プログラムも作成も含めて１時間程度で調査可能とは、驚きました。
効率化のために、20015=5*4003で、素因数4003は3(mod 4)である、つまり、-1はmod 4003で非平方剰余であることを利用しているのでしょうか？

いいえ、利用していません。
せっかくプログラムを作ったので、他の数の式も探してみました。
20018の最小解は（プログラムにバグがなければ）
133577^4+20018*11323^4 = 152033^4+20018*8671^4
他に
129271^4+20018*16993^4 = 198353^4+20018*11893^4

16329の方は、max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦500000の範囲に解はないようでした。

らすかるさんが発見したn=20015のときの3個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。

274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

471758617428595540183682732692^4+20015*33182522896603830112768752986^4=521203098982384930174044459691^4+20015*3082513578621978511673974235^4

2199272109945132967972909023668^4+20015*109548338612842553693160745006^4=2220191273261141016985252983839^4+20015*99726299306351580407551940495^4

718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4

278549539658427682321244650577537246177792978297114687237757158092^4+20015*16270563247776413311098351615671169461312062323926289153888919114^4=291501330513495627855817332066512623013352024087931567328536168141^4+20015*10028888060190831787837430117596182398452837771072914010451483875^4

23944497258055168906961645361781089759110176351368515607238038965249^4+20015*1657524976897418745718003299720624586587297113445894012164914585745^4=26316054299516218429719084886604065410348366555854552236844740964588^4+20015*311882778374863013968781043903803645198834156352163573657530231854^4

11226548377970413612500519995949116633701930425007048073115589409227121984880731009688505118142089719637^4+20015*675811405125919905302364027449764948460078509098278082840233198718505430719945036966803399830103429925^4=11841011597470942314446697064279610277280650201227616765564904040970998156842498404558665424966876353444^4+20015*376274088860053485284474603392669868916313499895518443671782485386072508752165400429416657904368051898^4

220691579014143434870860902987823131213434317436079148830095556032333333996300054482011362013540998140004^4+20015*14020312409902709813353163276367829056767211452673040276584243552922638099347359445572976136007636224182^4=236267409981538966178380432038203365904443363683624960027612953968957460140057080695215322556446354851517^4+20015*6190566552175095066466503558660081317826048344771244522901592823380671657047231910047203860560197429005^4

4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4

...


74257^4+20015*20319^4=174332^4+20015*18834^4

19655572359060351077593^4+20015*4079877272410703532009^4=33069708345313027901668^4+20015*3872005446360268636194^4
54749572634601332711939827883^4+20015*22251538392300879935341812699^4=198369397650205811786399796908^4+20015*20252636445662343677908713894^4

92350921449882593361472831526901086188^4+20015*28213087019802844224348462736519556514^4=245523037020157522484975674222137479287^4+20015*25981239077479481120210209812108928359^4

2238651227846415103114758229111969950046265200252^4+20015*1080328614816281732194024756479248043893335924134^4=9716224811343949739735328935003237860780880319173^4+20015*978869361488537922120605282356441084286828987499^4

720495255487133241692624386147010178903076029345105411019595931578132^4+20015*161980410950708467286282696104289836252281791509361581068647483250114^4=1340138448690895535989308953747360684143583624760362054424475956248743^4+20015*152490863685518823439602295474288698009075998718778065341093657328489^4

1069513273984141839995839010597639207916186205114270055112699835475479867573750067^4+20015*180265471548940127880547723898825110990484672757903801394476463273234589353603869^4=1349865065297277460880456301170251643534422104711394368331328168291715433886015092^4+20015*175813578807881602515994408693009771118768545298679469849551483388975339879144374^4

6684689781028901608736255576669176077363335240965445937255550512700912139845245181018809029387^4+20015*5355306156912991275607045975686593845525345880842793405387026423629282694218422459751288977349^4=48813990810182834790572342875066939414742123568150096229385788775440876368277041931469655829012^4+20015*4818173727833952735534899287538252135884381744534615959137423933051350602388512525922097484774^4

...


274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4

4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4

...

らすかるさんが発見したn=20018のときの2個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。


129271^4+20018*16993^4=198353^4+20018*11893^4

3945822257173661521287463881015941^4+20018*1371688971357445874707494319939057^4=16248945516451885959717618836052163^4+20018*514103868444835962913491612208093^4

332445795971231006616412889705987203305308268591672815069192432931402210536446726936308437^4+20018*6123932587512844327082360406845207982153933961123604241839483053236415085498072260471915237^4=72719249007600485117487408839541485538860409659611643297602566850005331042294288846840883741^4+20018*1755814119357340772174336509395323175167403908892716598442986579137033671338519847668341113^4

4549843963195303335734880288374590697820480654685362673684507763909976419408643068494498700489969291638331036323666549642203632803141978787958689426860669730383929810425576884807^4+20018*1506737865623043706822575226614041509939553725140853999391071205201422132531250696629586873765535468974916132597944559294246549350813586270470752108033661028537984936305793462637^4=17844317615941737604856541602460161312266563977153561216827410015829618178900872049233009899368532345124389955510921872875488589558881449708411960517263680764234398292067746779151^4+20018*576538494365339648734454839725793401227674863159404271454504997631584839332915234027177445920123319357780030515792998234874119067411663486954513538049310571915799031592595320537^4

...


133577^4+20018*11323^4=152033^4+20018*8671^4

934945174325070597605177886702911^4+20018*98410553546482920979970509403053^4=1259130138764499271410386237373991^4+20018*50295992219705241028571999694089^4

206151792569683936775023065646470197^4+20018*23417526206340820333508086725722563^4=295634697660889225698452060600807837^4+20018*9834150822116281507630970232030751^4

85682396628860657130160550211739545528029249527^4+20018*6524033985749496793204434180526027990707656537^4=90299624071640500681441761444694894122331799567^4+20018*5864251825226738213733507345186822067034945149^4

18405707671794765723170561358027854654135730984163^4+20018*2395340595648443979586315541305662059092276777781^4=29640589127079872802657815697987308125205418439547^4+20018*554771646912921247537875130698213662726902513753^4

11140366911857942673272914476009189361853985981723101629810283222283408529108871434538434579^4+20018*1041988185614519557962796863250090393345109221831844758308991487271426097440326176213232357^4=13659788431090345348533675612916202680868298573989060989847000597969029808954015405113038251^4+20018*676181755164883178105970910260538942190776756781948365260422917572087393690858720658421641^4

...

n=20015のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか見つけた。

274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

718044947021967^4+20015*78261955103425^4=966404558198196^4+20015*51831174560314^4

53661297554440034490629^4+20015*7022617914569341986469^4=77837095906925935346147^4+20015*5640895508161367985469^4

2210771248165316517968534^4+20015*195629937543592760401730^4=2697589233093260339346431^4+20015*59369959323425431748597^4

173917385923125737962928516666^4+20015*35814033446160642194813342014^4=306149164462246564543519051037^4+20015*33450231502902647918829318847^4

91382926075908996323182819344504781500148^4+20015*7357516714221248317705929420074550580766^4=106446142832758148128897281307415487718627^4+20015*532739682223545485287360179545343152723^4

17753945561219653689207463767557480607662401^4+20015*4662439650793608865270507348205451147560224^4=35197163477699600280915544448702850037351507^4+20015*4474484019743506016100392056204028077515022^4

1556008196965207586428676000978744879378280264516162018434031^4+20015*143814030993870640647637362932622228603941448564095465059940^4=1941151978777845425306692581312758189183341735126991047314429^4+20015*57927949955606322574180845813765695579662178898719740544078^4

15512357344047023896703334483513248076982958910662081087341373793^4+20015*818116268760682998608831084923363576267057496064876760836680021^4=15914319697211505818964159026785008257549993974546495425389356626^4+20015*607564559960240086948399181304822529303372462601612107573450918^4

66270773149048535278511546179645938528960772452801967922633145713^4+20015*137708851975275665439309993350015337753733136269396401647573023103^4=590947660037820310945951009677922521978125572594700550736048730612^4+20015*137121898299795264672205916101462872624400806662074284588025616606^4

172415563676386539187729581259703243156638114834882362026609286634139^4+20015*66317828523206603772691753588054939412205928585163578845076582549958^4=423003221219539406466320386867639681495943848365848314258201345018073^4+20015*64942373047016326706570096968483194956001836597723348514328781365436^4

4342963477992932294709394389285273737998536750769028695082359781924207826081^4+20015*2921784842453041692935152404110589419397042777756472777451352860320376339477^4=15444016987694819121640679826068912049737130960976361154148921671264993414042^4+20015*2893052710247946644981235205633221124846982760923558510631131938858130397074^4

....

n=20017のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。

3637^4+20017*1816^4=5801^4+20017*1814^4
32309^4+20017*8542^4=74936^4+20017*7853^4
91513^4+20017*7128^4=104994^4+20017*1943^4
103183^4+20017*10778^4=139726^4+20017*3277^4
216656^4+20017*17701^4=254057^4+20017*3316^4
1562768^4+20017*116227^4=1758431^4+20017*40972^4
2864003^4+20017*188372^4=3080401^4+20017*105142^4
8388161^4+20017*588152^4=9226258^4+20017*265807^4
30357046^4+20017*7041445^4=65115497^4+20017*6327190^4
17148713^4+20017*10556960^4=71304412^4+20017*10272155^4
124853168^4+20017*13438337^4=172456087^4+20017*4870478^4
147020254^4+20017*66784973^4=487826083^4+20017*64294192^4
360358287^4+20017*44469931^4=542459219^4+20017*25568889^4
2118911843^4+20017*365377794^4=3844445016^4+20017*298288811^4
1523150894^4+20017*467885365^4=3879057083^4+20017*438232400^4
21137288458^4+20017*2496093879^4=30980857596^4+20017*1289894251^4
30557963017^4+20017*4093262125^4=48240118469^4+20017*2707566895^4
22875596706^4+20017*7065463577^4=58461461293^4+20017*6621407418^4
191419398574^4+20017*26983872857^4=310959893596^4+20017*18993240613^4
512491372228^4+20017*51966890613^4=680508836739^4+20017*12655211122^4
692223093563^4+20017*59039670932^4=829210563442^4+20017*6352182517^4
389733088947^4+20017*144476162816^4=1122867656788^4+20017*137498670969^4
186047890318^4+20017*601574336281^4=2931012458903^4+20017*597295028804^4
4450824219446^4+20017*572700961741^4=6866414139644^4+20017*356372084489^4
5998244316418^4+20017*1125085002113^4=11400022845877^4+20017*952522124602^4
8006765037289^4+20017*913438252925^4=11484658080277^4+20017*424212917455^4
5515287108897^4+20017*3722025132569^4=13816797078337^4+20017*3713391862521^4
70569138183451^4+20017*4309047380777^4=74140968885553^4+20017*2935266341507^4
46389158041111^4+20017*9749635239626^4=93992782700104^4+20017*8559451167679^4
119581338384779^4+20017*8401475792533^4=131626235383901^4+20017*3768823100563^4
100511314151594^4+20017*11146959360239^4=141577380765868^4+20017*4647681645251^4
288829447409319^4+20017*319284786985292^4=1367942781030568^4+20017*317935300876203^4
9740707268999991^4+20017*763554202555972^4=11207008775466554^4+20017*199592084684217^4
12023315194098268^4+20017*789021661381319^4=12922084037404147^4+20017*443341337032904^4
9052909306520992^4+20017*1075503879393275^4=13318031876670706^4+20017*564927878356615^4
13895150317459039^4+20017*1193144923301144^4=16703328350919358^4+20017*113076448893329^4
42990650636306049^4+20017*2440998742043308^4=44242257463978523^4+20017*1959611500630818^4
15154970423607767^4+20017*17115351170038040^4=73653362887504531^4+20017*17041700103466690^4
59334769713809237^4+20017*7274214563653477^4=88968639136846493^4+20017*4123427522130083^4
61006168510017488^4+20017*7806379262049187^4=93813364934041874^4+20017*4811773208729423^4
58586368586982769^4+20017*21156682134088092^4=165847324844579352^4+20017*20097531811141363^4
255722718301670356^4+20017*18883775578064525^4=286916611484262769^4+20017*6886124353990520^4
377626885587411164^4+20017*43368720013104247^4=543944856058284593^4+20017*20599730168000918^4
480529756091075983^4+20017*51670535292993083^4=663315730485604579^4+20017*18631762551056377^4
500686737710607711^4+20017*59552244161492266^4=737105816299553054^4+20017*31378170680409789^4
535718858694743886^4+20017*102016874160138313^4=1026779050402110557^4+20017*86852430342695022^4
997660018797526219^4+20017*98547130507630946^4=1302275855442196198^4+20017*18612806663395969^4
2965014447017081569^4+20017*1466419586286592436^4=4656316113563339128^4+20017*1464861398552030909^4
5495724100123505431^4+20017*2643859951260414778^4=8245817891851908107^4+20017*2641348507191667352^4
7501875753924731264^4+20017*1071667944079634231^4=12276944044864824826^4+20017*764896783205017139^4
2163069960287039282^4+20017*2079231340604235397^4=12873096656581118891^4+20017*2040009696431949068^4
7145954553808430071^4+20017*1880700069724007524^4=16528144458192456008^4+20017*1727834508885233221^4
7704523695773439782^4+20017*5406285342982123325^4=20373349878458457907^4+20017*5392896800953221940^4
18099743091339893897^4+20017*1541696825351174242^4=21666909937214184686^4+20017*169709576937985477^4
23363551210682361459^4+20017*2290801313078742662^4=30352179937798323658^4+20017*397132812735088953^4
11443829820914847991^4+20017*4159750786971219530^4=32537967757552981384^4+20017*3953379188658831775^4
29984422454143577776^4+20017*2849352432568250885^4=38191838445664086643^4+20017*307346025708867910^4
27199065853569230666^4+20017*4356045294534276115^4=47393188806236735663^4+20017*3410925071876302730^4
95434070073640033776^4+20017*9713727345953240587^4=127037571147738371069^4+20017*2441465374853812218^4
90042223471883435824^4+20017*10283320570333383819^4=129241603578967688061^4+20017*4793364086237482426^4
62588455936779230657^4+20017*44517450858669227469^4=168609351629376198069^4+20017*44404782820621322041^4
145991230816802248111^4+20017*16142374187951283578^4=205239730449509233582^4+20017*6645510286166787757^4
543576881996522824147^4+20017*28104321539872725041^4=546236088174412750201^4+20017*27081549932991984251^4
381061959055259833627^4+20017*56773633484992437830^4=638235980235371736364^4+20017*42139451584281370915^4
366157140009949456543^4+20017*75936217713375219302^4=736291032646405890964^4+20017*66422971762184947783^4
795636337084980900359^4+20017*73222502632541924152^4=993981921333305394158^4+20017*3064260539890573463^4
1562761598739949122527^4+20017*173490464696474368798^4=2202712205192501167346^4+20017*72644383939122571517^4
2531177714589537726716^4+20017*242401255521172785827^4=3239570143991538308773^4+20017*30057371171904361118^4
4165638685548406282304^4+20017*371693934523718375781^4=5112503548828797992361^4+20017*7515140954336948836^4
399489521002720695913^4+20017*1405656921567958964920^4=7667800948949912164916^4+20017*1389847473796345446235^4
4076322836672730518563^4+20017*841932741023330234134^4=8177937217633058955404^4+20017*735611251653719164651^4
4129531111742275206141^4+20017*841891900712346861470^4=8223786505325558203912^4+20017*732821712204300445365^4
8219682045278248726764^4+20017*676591402619230959359^4=9673257427668171648907^4+20017*117523947853875989304^4
5839859112785336813194^4+20017*1327972994120196567797^4=12382118760927093564601^4+20017*1188280716703556028898^4
12779552262462692337052^4+20017*1131944672673127262797^4=15620421888887795176619^4+20017*39302508663472324502^4
4775411232941558961082^4+20017*2243565725655099797129^4=16232815745577486816871^4+20017*2163128317666410916636^4
5018925053056779734119^4+20017*3383753688128995792484^4=22396115311156229518216^4+20017*3299781026524638739861^4
21333372045122847778783^4+20017*2891737712899115126663^4=33904410993887346312751^4+20017*1943277267394922771017^4
66837410429877190119586^4+20017*15745304479584793781673^4=144675482851485399311613^4+20017*14192415682572209753722^4
141165124336137671164583^4+20017*8705982355237842892825^4=148755595550346877100417^4+20017*5786570349772763686735^4
122082381965579069251296^4+20017*11613184929703041624031^4=155598372163174592090219^4+20017*1277580530910621006324^4
94360574665094392184752^4+20017*15146023141019821627827^4=164619884435323893053778^4+20017*11876788309068447937183^4
54349196428043639410447^4+20017*69127452942808482019794^4=304265927338630937628387^4+20017*68801440813604816841296^4
28350015358572403049677^4+20017*74062336924513417179116^4=411148312532390035670008^4+20017*73167777373108749213319^4
21139352917405670843983^4+20017*110582256795941964035335^4=551638414585142657370719^4+20017*109716884551192008354935^4
554476236848743678298279^4+20017*63525926667064057785271^4=797469247788146475585311^4+20017*29932923694244710402049^4
573775389283303410579338^4+20017*80743547052354954677477^4=931198036790624150489449^4+20017*56726701988922252980258^4
941680452986813954642939^4+20017*105095984693001950349426^4=1331851939257863461471926^4+20017*44969971565094013815569^4
845156286330182284249227^4+20017*126163661901945194086379^4=1417056830828189518161331^4+20017*93798085981903742033661^4
1565778478881541932629977^4+20017*211037300986197828861081^4=2480463381945354587969841^4+20017*140764584807576269346559^4
2637082473950954133792781^4+20017*195087396787102730916636^4=2960908108720218930551007^4+20017*70539075722000886009626^4
2443828355442931078040896^4+20017*301966500287287363486883^4=3681581196790797107936293^4+20017*174092284846507263395962^4
5776628847372163121451317^4+20017*293689727032990076898939^4=5781873720546957658804659^4+20017*291672468119607562532269^4
8962380099608185436754964^4+20017*969549900810604775428349^4=12420839119244190346778683^4+20017*360626645203243266888466^4
13740094657822508841649537^4+20017*763449744192002808547262^4=14058750359958263616237139^4+20017*640889858755174049090492^4
7989055638299695279048321^4+20017*2054384182808241303706160^4=18220246497954544637628172^4+20017*1880689224751316141901475^4
14448774080476506885527569^4+20017*2185004089326448665891094^4=24398650151883690769592168^4+20017*1641871322753237443364521^4
22291920028214730504587516^4+20017*2136985868718093010750627^4=28548844973664885110263679^4+20017*269523725685812606817128^4
12780362660771753062445642^4+20017*8514715145308246972263737^4=31445953459791956910526711^4+20017*8495406439523949171187168^4
21420981053880849487100581^4+20017*3220360488908120608348733^4=36055609688228423944958197^4+20017*2408342831994792644673427^4
....

A=arctan(√3/a)
B=arctan(√3/b)
と置くと
A+B=π/6
よって
tan(A+B)=tan(π/6)から

(tan(A)+tan(B))/(1-tan(A)*tan(B))=1/√3

(√3/a+√3/b)/(1-3/(a*b))=1/√3
3*(1/a+1/b)=1-3/(a*b)
3/(a*b)+3*(1/a+1/b)=1
3+3*(a+b)=a*b
12=(a-3)*(b-3)
0<a<bより
a-3＝1, 2, 3
b-3=12, 6, 4
これより求める(a,b)は
(a,b)=(4,15),(5,9),(6,7)
の3組

「5個の相異なる素数の積」という条件で検索すると
提示されたNはあっという間に見つかるのですが、
この条件では他にはなさそうでした。
（この条件を満たすものは他にあっても有限個だと思います）
「4個」以下ではおそらく存在せず、「6個」「7個」を
しばらく検索してみたのですが、見つかりませんでした。
（7個以上は「すべて検索」は時間的に無理）
p^3×q^2×r×s×tなど、指数が2以上のものも含めれば
見つかるのかも知れませんが、
組合せが多すぎるのとそれぞれの計算式を作るのも
大変そうなので、諦めます。

(追記)
p^2で割り切れるとき、gcdの合計がpで割り切れるようなので
条件は満たさないですね。
よって「相異なる素数の積」の素数の個数を多くして探すしかない、ということになると思います。

相異なる素数の積しかない、とわかったところで
もう少しプログラムを改良して変数値範囲も広げ、
6素数の積について探してみたら、一つ見つかりました。
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 = 8193613126657808805087106
のとき
a(N) = (2*2-1)(2*13-1)(2*151-1)(2*34649-1)(2*64783-1)(2*929765438293-1)
= 376906203826259205034006875
で
a(N)+1 = 376906203826259205034006876 = 46*8193613126657808805087106
なので
a(N)+1≡0 (mod N) かつ Nが合成数
となります。

# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。

らすかるさん凄い！
A018804に是非登録してください。

もし存在するならどういう条件かを確定させて探られていることに感心します。
たとえ相異なる素数の積という条件でも6個の素数の組合せなんてとんでもない数に
なると思うし、果たしてどこまでの素数を使用するかによってその数は全く異なって
きます。
結果を見る限り、素数の大きさが12桁まで広がっているので、この素数になるまで
gp > primepi(929765438293)
%417 = 35062717755(個)の素数がありますから
gp > binomial(35062717755,6)
%418 = 2580720418848458496825306224464616005861484887789012966085250(通り)
なる天文学的組合せになります。
こんな可能性から、例の
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293
を探し出すなんて麦わらの山から一本の黄金の針を探し出す行為に例えられます。
どれほどの探索時間を要したのですか？

なおメモに
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。
がありましたが私もいろいろこの数字で検索かけましたが、全く関係しないものしか現れなくて
これを拾い出すのはどんな手法なのかが知りたいです。
例のAIに尋ねても分かりませんでした。

探索時間は、1秒ぐらいです。
たまたま「先頭の方」にあって、かつ小さい5個の素数が
32ビット以内だったため運よく見つかっただけです。
「先頭の方」になければ延々と見つからなかったと思います。
現に、条件を絞って「6素因数の2個目」を探していますが、終わりが見えません。
探索方法は、「小さい順に決めていく」方法です。
a＜b＜c＜d＜e＜fとして、まずaは2,3,5,…ですがたまたまa=2の解がありました。
bは単純に考えると3,5,7,11,13,…ですが、
(2a-1)(2b-1)(2c-1)(2d-1)(2e-1)(2f-1)+1 が abcdef で割り切れなければならないため
b=3は不適です。（2a-1=3なので分子は3で割り切れず、分母に3があってはならないためです））
よってbは5から開始することになります。
この処理は他の変数を決めるときにも行います。例えばb=7のとき2b-1=13なのでcやdを
13にすることはできません。
あと、いくつかの変数を決めた段階でそのときの(Σgcd+1)/Nの最小値・最大値が決まりますが、
その範囲に整数が存在しないことが多々あります。（例えば最小値26.2、最大値26.9など）
そのときに探索をやめて変数の値を次の値にすると、かなり速くなります。
そして未定の変数が残り二つになったとき（つまりa,b,c,dを決めたとき）に
残りの二つは (Ae+B)(Af+B)=kC という方程式を立て、kを(Σgcd+1)/Nの最小値～最大値の
範囲、eをd＜e＜(√(kC)-B)/Aの範囲で変化させてfが素数になるものを探しています。

8193613126657808805087106 については、こちらの環境でググると
↓このサイトが見つかります。
math.stackexchange.com/questions/5074339/pillais-sum-of-gcd-arithmetical-function-and-primality
こちらでは1年前に同じ値が発見されていますので、私がA018804に登録するのはちょっと…

その後、小さい整数解を３個見つけた。これらが、おそらく最小解である。

11633^4+20043*2391^4=28453^4+20043*973^4

12578^4+20043*1809^4=17032^4+20043*1669^4

34141^4+20043*1208^4=34403^4+20043*396^4

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない整数解を求める方法については、以下のURLにまとめているので、もし興味があれば、参考にしてください。

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de50-20018.html
[2026.08.21]A^4+20018*B^4=C^4+20018*D^4の整点

Nakaoさんは以前から途轍もない大きな数を相手にいろいろ計算をされている様子ですが、
私は日頃数の世界から見ればほんの一部、海で言えば海岸に打ち寄せる浅瀬の水に対する
物だけを相手に遊んでいる程度です。
ですからこんな想像を超えてくる数字をみると恐怖さえ感じる感覚なのです。
ですからこれらが正しいのやら、どうなのかの余裕は全く湧いてこないのです。

所でこの頃想像を超える数の話でゲーベル数列というものをたまたま知ることになったのですが
a(0)=a(1)=1;
a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
の漸化式で{a(n)}を作り出していくのですが
1,1,2,3,5,10,28,154,3520,1551880,･･･････(A003504参照)
と定義式がnで割るようにはなっているのですが、それにも拘わらずこの様に整数が並んでいきます。
この先どうなるかと言えばたとえ計算機を使ったとしても、急激に数が巨大化していき、ものの15番目ぐらいでは
恐ろしく大きな値がしかしちゃんと整数できまってきます。
ついどこまでも巨大になっていくが整数であろうと勝手に想像してしまいます。
しかし現実a(43)までは整数だが、a(44)ではＮ/43 (Nは何と178485291570桁のある整数)
つまり分母に43が残る有理数となるという。
もちろんこれを具体的に計算の王様コンピュータで見ることは私たちには出来ないと思われます。
面に見えぬ大きさの数まで視野がとれれば、
日常では考えられぬ思わぬ出来事が起こってもおかしくない世界観起こるのでしょうが・・・
ところでいつも大きな数を相手にされているNakaoさんにぜひこのa(43)までは整数でa(44)は有理数にしかならないよ！
ということをPARIコード(楕円曲線の技を使いこなしてあるので多分熟知と思い)で作って貰えませんか？

> a(0)=a(1)=1;
> a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
この式だとa(3)=1/3*(1+1+4)=2になってしまいます。
（計算が合わないのでA003504を見たのですが）A003504では
a(n+1)=1/n*sum(k=0,n,a(k)^2) なので、a(n)=にするなら
a(n)=1/(n-1)*sum(k=0,n-1,a(k)^2) ですね。

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の整数解が、本当に正しいのか、あるいは、間違っているのかは、Pari/GPやGoogle AIモードを使えば、一瞬で分かるはずだ。
あえて、間違った数式をここに投稿する意味は無いだろう。

異なる方法で、x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない(前回よりも小さい)整数解を求めた。

6024952034408244154677^4+20018*327901407351075242811^4=6272822028564689110027^4+20018*80031413194630287461^4

10715394633278845240166368299565623244683015152919602007935845671946915231352945064632481^4+20018*1221663305617509907342313057092900917274609429661104216378283154779464720512768231800319^4=13033368220045982546914929580674735403270983881336482128830631976385072961835340081450719^4+20018*1096310281149627399406248224016211241313359298755775904516503149658693009969626785017919^4

10105261490479126602185601826179263253592237573573096758520683843784768255097945985429679200055679560867795210829208505117160374975688954975195215770744844532831070658076832076933547577464757971147^4+20018*752292917296716478558237276241338986336740738222910458649406524355247625213321491339587360666114354800397210248924778567176914074385826394678689818580932296840911051910463055852624518882749992421^4=11281036167985289372629809177393625710003414925192367504282644050644655973177662958724292304671469783810739309099616027092215213533801010019784411766322192902572242473309529351629313524222050830197^4+20018*423481760209446291885970074973023470074436613396360287112553682504640092866395481955025743949675868142546888021482743407877924483726228649910506176996416072900260763322234218843141427874542866629^4

36225977896786674500224548953130803378443628128489179105782154257291013748255098808802092707461760498969272970244723305181452335621749545861737278686423690290975810044386629727739973233572594130925226743317876675997665018517257875867707969386697255575260581757115745235997380331391893054946518270343097445110662605469581755289135136185966308930970879^4+20018*2485381893564519406940192354167000776954451552957534150343717899617963488390447695531677302807162966772279327884554675151796386238509235422930110633104468086411720647206698265719347158982889387969629860830749237162996626875060552298920871483008328968892727045960922930746470580534502906082222264037269002752716992970117914445725652792684232217859521^4=39646520897906515152364590674369165531504629330168116233864512156808345437663338398649585024927668569774671600477671583901929498824810933781780577738887830186694020634892386699957223446216949852421085655566104653575857042654157252353884692017805062741080301558918398683134808292233337701231425841336543221601098661385356873813492785216603709040286721^4+20018*935161107555321245199849367071361376106549648721402977738639999899368201017791894315815014658745104033119302348393603568680776964552152497113188419359671809306489943299058706497903053661466333526229051417478740415195397261838824187255851148099478196926992755841730516390957380306941740202685306956176773737719062945657204078631996237953167891456321^4
....

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。

f(213)を214で割った余りがわかればよい
→f(212)を213*214で割った余りがわかればよい
→f(211)を212*213*214で割った余りがわかればよい
→・・・
ということですので、例えば

gobel_kl(k,l,N)=
{
x=l;
for(n=1,N-1,
x=x%(N!/(n-1)!);
x=x*(n+x^(k-1))/(n+1);
);
return(x);
}
for(i=3,300,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))

のようにするとf(214)が非整数であることがわかりますね。

# 理由がよくわからないのですが、非整数が出てくると
# 次のx=x%(N!/(n-1)!)でエラーになりますので、
# 最初の非整数まで表示してエラー終了します。
# （非整数が出現したら終了というロジックを省略できて便利ではあります）

このプログラムでどこで有理数となる場所が判明できるのですね。
そこでこのプログラムを使って
A288641に並んでいる整数を算出していたら
forprime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))で
･･･････････････
193 132351082600315838701
197 3340985130460343217
199 841924060846945
211 11068272793562666699
*** at top-level: ...rime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))
*** ^-----------------
*** in function gobel_kl: x=l;for(n=1,N-1,x=x%(N!/(n-1)!);x=x*(n+x^(k-1)
*** ^---------------------------
*** _%_: impossible inverse in Fl_inv: Mod(0, 107).
の返しが起こりA288641でのn=5での値251にひっからないのです。
n＝2~20まではn=5以外ではちゃんと正解の値を与えてくれます。

この部分の謎は何なのでしょうか？

原因の予想はつきますが、対策はどうすればよいかわかりません。
n=5のとき最初に非整数になるのが214であり、214が素数でないから
という理由だと思いますが、非整数になってしまうとmod演算が
できなくなって今の方式では不都合です。
n=2～20はn=5を除きすべてたまたま素数項で非整数になりますが、
少し先を計算するとn=22のときも素数でない94で非整数になってしまい
179が得られません。
非整数を5乗とか22乗とかするとあっという間に分子分母が
巨大になってしまうのでうまくないですね。
さて、どうしましょう？

(追記)
上のプログラムで求まる43, 89, 97, 214, 19,・・・という数列はA108394ですね。

これを使うとてっきりA288641も見つかると思ってやっていました。