😊出会いの泉😊

読解力のない私には
後者「正七角形と引かれた全対角線の状態においての三角形」
の意味が理解できません。
前者「正七角形の7つの頂点と中に発生する交点から3点を選んで作られる三角形」
との違いを教えて下さい。
（前者のみに含まれるもの、あるいは後者のみに含まれるものの例をお願いします。）

√3はb/aと(3a+b)/(a+b)の間にあると思います。
より一般に
√nはb/aと(na+b)/(a+b)の間にあると思います。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。

よって、次のようにいろいろ作れそうですね。

√3 は b/a と 3(2a+b)/(3a+2b) の間にある。
√3 は b/a と (9a+5b)/(5a+3b) の間にある。
√3 は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。

連分数展開と関係しているのかもしれませんね

p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
(n*p*a+q*b)/(q*a+p*b)
の分数がどの様な形を成すのかを調べて行くと
（但しn=3として調査したもの)

[p,q]=[2,3]=>(6*a+3*b)/(3*a+2*b)

[3,4]=>(9*a+4*b)/(4*a+3*b)
[3,5]=>(9*a+5*b)/(5*a+3*b)

[4,5]
[4,6]

[5,6]
[5,7]
[5,8]

[6,7]
[6,8]
[6,9]
[6,10]

[7,8]
･･････


の様に各pに対して分数を構成可能なqの最大値を追っていくと
3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,･････
この数列がちょうどA022838;Beatty sequence for　sqrt(3)
に対応する数列と繋がっていました。
sqrt(3)繋がりでちょっと面白く感じました。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。


証明を書いておきましょう。
簡単なので。


Y
= (√n - b/a) * (√n - (npa+qb)/(qa+pb))
= (√n - b/a) * (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - b/a) * (√n - q/p)
= (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - q/p) * (√n - b/a)^2
とおく。
ここで、
pa/(qa+pb) > 0,
√n - q/p > 0,
(√n - b/a)^2 > 0
なので、
Y < 0
となり、
「√n > b/a かつ √n < (npa+qb)/(qa+pb)」
あるいは
「√n < b/a かつ √n > (npa+qb)/(qa+pb)」
のいずれかが成り立ち、
√n が b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にあることがわかる。

b/aと(2a+b)/(a+b)に間に√２があり、
(2a+b)/(a+b)に近いことを、踏まえて、これを繰り返して
a=b=1で、具体的に、分数の近似を計算しました。
1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70.239/169,577/408
1393/985, 3363/2378, 8119/5741, 19601/13860
47321/33461=１.４１４２１３５６２…

b/aと(ma+b)/(a+b)に間に√mがあり、
(ma+b)/(a+b)が極限値をαをもつならば、これを繰り返して
x(n)=b(n)/a(n)→α と置くと、
x(n+1)=(m+x(n))/(1+x(n)) から
α＝（ｍ＋α）/(1＋α）
α^2=m となりα＝√ｍを得る。

3乗根の場合は、どうなりますか？
例えば、２の３乗根

2^(1/3)は b/a と (2a^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間にあります。
n^(1/3)は b/a と (na^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間です。

似たような式ですが、
（2a^2+a*b）/(a^2+b^2)も、２の三乗根に収束すると思いますが、
効率的でなくて、直ぐに、オーバーフローします。
素数のウィルソンの公式みたいに、効率的でないこともありますね。

効率がよいとは言えない、ごく一般的な解き方ですが
h(x)=f(x)-g(x)=(x+2)(x^2-21x+105)=x^3-19x^2+63x+210
とおくとh(x)=0の解はx=-2,(21±√21)/2≒(21±4.6)/2={8.2,12.8}
また
i(n)=Σ[x=1～n]h(x)=(n(n+1)/2)^2-19n(n+1)(2n+1)/6+63n(n+1)/2+210n
=(3n^3-70n^2+267n+2860)n/12
よって囲まれた内部の格子点の数は
Σ[x=-1～12](|h(x)|-1)
=Σ[x=-1～8](h(x)-1)+Σ[x=9～12](-h(x)-1)
=(h(-1)-1)+(h(0)-1)+Σ[x=1～8](h(x)-1)+Σ[x=1～12](-h(x)-1)-Σ[x=1～8](-h(x)-1)
=(-1-19-63+210-1)+(210-1)+Σ[x=1～8](2h(x))-Σ[x=1～12](h(x)+1)
=126+209+2Σ[x=1～8]h(x)-Σ[x=1～12]h(x)-12
=323+2Σ[x=1～8]h(x)-Σ[x=1～12]h(x)
=323+2i(8)-i(12)
=323+16(1536-4480+2136+2860)/12-(5184-10080+3204+2860)
=323+4(2052)/3-(1168)
=323+2736-1168
=1891

普通の解き方ですが

(1) x+y+z+xyz=xy+yz+zx+25
整理して (x-1)(y-1)(z-1)=24
∴(x,y,z)=(2,2,25),(2,3,13),(2,4,9),(2,5,7),(3,3,7),(3,4,5)

(2) x+y+z+xy+yz+zx=xyz+7
x≧4とすると
x+y+z+xy+yz+zx≦z+z+z+yz+yz+yz
=3z+3yz＜yz+3yz=4yz≦xyz＜xyz+7
となり式が成り立たないのでx≦3
x=1のとき
1+y+z+y+yz+z=yz+7
y+z=3
∴y=1,z=2なので(x,y,z)=(1,1,2)
x=2のとき
2+y+z+2y+yz+2z=2yz+7
(y-3)(z-3)=4
∴(y,z)=(4,7),(5,5)なので(x,y,z)=(2,4,7),(2,5,5)
x=3のとき
3+y+z+3y+yz+3z=3yz+7
(y-2)(z-2)=2
∴(y,z)=(3,4)なので(x,y,z)=(3,3,4)
従って答えは
(x,y,z)=(1,1,2),(2,4,7),(2,5,5),(3,3,4)

(3) xy+yz+zx+xyz=x+y+z+77
x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)+xyz=77
xyz≦77
∴x≦4
x=1のとき
y+yz+z+yz=1+y+z+77
yz=39
∴(y,z)=(1,39),(3,13)なので(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13)
x=2のとき
2y+yz+2z+2yz=2+y+z+77
(3y+1)(3z+1)=238=2×7×17
∴(y,z)=(2,11)なので(x,y,z)=(2,2,11)
x=3のとき
3y+yz+3z+3yz=3+y+z+77
(2y+1)(2z+1)=81
∴(y,z)=(4,4)なので(x,y,z)=(3,4,4)
x=4のとき
4y+yz+4z+4yz=4+y+z+77
5yz+3y+3z=81
25yz+15y+15z=405
(5y+3)(5z+3)=414
4≦y≦zから(左辺)≧23^2=529なので解なし
従って答えは
(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13),(2,2,11),(3,4,4)

鮮やかな解答ありがとうございました。

> (1) x+y+z+xyz=xy+yz+zx+25
> 整理して (x-1)(y-1)(z-1)=24

解と係数と何か結びつけられないものか？
とあれこれ思案して30分ほどしてやっとこの式に辿り着けました。

> (2) x+y+z+xy+yz+zx=xyz+7
> x≧4とすると
> x+y+z+xy+yz+zx≦z+z+z+yz+yz+yz
> =3z+3yz＜yz+3yz=4yz≦xyz＜xyz+7
> となり式が成り立たないのでx≦3

このxの評価をこの様に鮮やかに思いつけるのが私には驚きです。

> (3) xy+yz+zx+xyz=x+y+z+77
> x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)+xyz=77
> xyz≦77
> ∴x≦4

これもxの評価の仕方が目から鱗です。

なおこれらに使っている定数25,7,77
はx≦y≦z≦100
の範囲でプログラム的に全解を調査した後
出題として解が多様に散らばるものを選んで設定しておりました。

自分だけで回答する手段とこうして他人の方法を比較することで
如何に改善の余地を秘めているのかを痛切に感じられてとても参考になります。

あまり意味のない式ですが、例えば
X(X-79)+1601
はX=0～79の80個で素数になります。

(追記)
一次式であれば、いくらでも長い連続があることは証明されています。
（ただし、具体値は最長で27連続ぐらいまでしか見つかっていません。）

ありがとうございます。
らすかるさんの式は、４０横へ平行移動して得ることができました。
元の式は、連続でなくても、他の数でも、素数になりますね。
やはり、特別感が、あります。
二次の項の係数を変えて、AX^2＋BX＋C　の形では
何か新しい結果、ないでしょうか？

小さい数については探索してみましたが、
40個も連続するものは他に見つかりませんでした。
他で見つかった最大は2x^2+29の29連続(x=0～28)です。

邪道ですが次の様な二次式では途中マイナスの符号は取るが、値としては素数を
堅持するものも何とか認めてやると連続45とか43とかはいるようです。

gp > f1(x)=36*x^2-810*x+2753
gp > for(x=0,45,print(x";"f1(x)" ; "isprime(f1(x))))
0;2753 ; 1
1;1979 ; 1
2;1277 ; 1
3;647 ; 1
4;89 ; 1
5;-397 ; 0　(マイナスを除くと素数となる)
6;-811 ; 0
7;-1153 ; 0
8;-1423 ; 0
9;-1621 ; 0
10;-1747 ; 0
11;-1801 ; 0
12;-1783 ; 0
13;-1693 ; 0
14;-1531 ; 0
15;-1297 ; 0
16;-991 ; 0
17;-613 ; 0
18;-163 ; 0
19;359 ; 1
20;953 ; 1
21;1619 ; 1
22;2357 ; 1
23;3167 ; 1
24;4049 ; 1
25;5003 ; 1
26;6029 ; 1
27;7127 ; 1
28;8297 ; 1
29;9539 ; 1
30;10853 ; 1
31;12239 ; 1
32;13697 ; 1
33;15227 ; 1
34;16829 ; 1
35;18503 ; 1
36;20249 ; 1
37;22067 ; 1
38;23957 ; 1
39;25919 ; 1
40;27953 ; 1
41;30059 ; 1
42;32237 ; 1
43;34487 ; 1
44;36809 ; 1
45;39203 ; 0

gp > f2(x)=47*x^2-1701*x+10181
gp > for(x=0,45,print(x";"f2(x)" ; "isprime(f2(x))))
0;10181 ; 1
1;8527 ; 1
2;6967 ; 1
3;5501 ; 1
4;4129 ; 1
5;2851 ; 1
6;1667 ; 1
7;577 ; 1
8;-419 ; 0　　(マイナスを除くと素数となる)
9;-1321 ; 0
10;-2129 ; 0
11;-2843 ; 0
12;-3463 ; 0
13;-3989 ; 0
14;-4421 ; 0
15;-4759 ; 0
16;-5003 ; 0
17;-5153 ; 0
18;-5209 ; 0
19;-5171 ; 0
20;-5039 ; 0
21;-4813 ; 0
22;-4493 ; 0
23;-4079 ; 0
24;-3571 ; 0
25;-2969 ; 0
26;-2273 ; 0
27;-1483 ; 0
28;-599 ; 0
29;379 ; 1
30;1451 ; 1
31;2617 ; 1
32;3877 ; 1
33;5231 ; 1
34;6679 ; 1
35;8221 ; 1
36;9857 ; 1
37;11587 ; 1
38;13411 ; 1
39;15329 ; 1
40;17341 ; 1
41;19447 ; 1
42;21647 ; 1
43;23941 ; 0

m+1進数において、位取り記法では、定義によって、0.mmm・・・・＜１　（ただし、位取り記法の各桁の値がmのとき、0.mmm・・・・の次は桁上がりして１であるから）
さて、もし仮に、１と0.mmm・・・・の間に0.mmm・・・pという小数があるとすると、
0.mmm・・・・＜0.mmm・・・p＜１
ところである桁のpはm+1進数なので定義によって0〜mでなければならない。
しかし、0.mmm・・・・はすべての桁がmなので、ある桁のpはm+1でなければならないが、それはｍ＋１進数の定義によって不可能である。
したがって、0.mmm・・・pは存在しない。
また、0.mmm・・・・＜１より、1ー0.mmm・・・・＝β>0
ゆえに、m+1進数において、小数は量子化されている。

何通りでもできますね！
555+555+555+555=2220
222+444+666+888=2220
111+333+777+999=2220

自分の計算機では280になってしまう！
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!/floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))+floor(sqrt(exp(exp(2))))
%193 = 280

（内わけ）
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!
%194 = 720
gp > floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))
%195 = 3
gp > floor(sqrt(exp(exp(2))))
%196 = 40

最後のexp 2についているカッコは[　]です。つまり
floor(sqrt(exp(exp(2)))) = 40
ではなく
floor(sqrt(exp(floor(exp(2))))) = 33
です。

お遊びで2を5個も使ってみました。

gp > round(exp(2+2)/(log(2)-sin(2)-cos(2)))
%253 = 273

a=3m^2+5mn-5n^2
b=4m^2-4mn+6n^2
c=5m^2-5mn-3n^2
d=6m^2-4mn+4n^2
のとき
a^3+b^3+c^3=d^3
という一般式があり（全解は表さないようです）、
(m,n)=(1,0)のとき 3^3+4^3+5^3=6^3
(m,n)=(2,1)のとき 17^3+14^3+7^3=20^3
となります。

左辺を(共通因数を持たない)３個の整数の３乗数の和に拡張すると、3個の整数の３乗和が6^2=216または20^3=8000になるものは、他にもあるので、いくつか挙げます。

-1^3-8^3+9^3=216
3^3+4^3+5^3=216　 (左辺が3個の自然数の３乗和)
-32^3-33^3+41^3=216
97^3+551^3-552^3=216
-121^3-768^3+769^3=216
-127^3-180^3+199^3=216
-179^3-216^3+251^3=216
-381^3-436^3+517^3=216
-479^3-718^3+783^3=216
521^3+1143^3-1178^3=216
-547^3-1685^3+1704^3=216
551^3+3337^3-3342^3=216
565^3+2144^3-2157^3=216
675^3+1244^3-1307^3=216
769^3+4650^3-4657^3=216
-828^3-1585^3+1657^3=216
-865^3-1119^3+1270^3=216
-865^3-1494^3+1585^3=216
-867^3-1597^3+1678^3=216
-900^3-1801^3+1873^3=216
-908^3-5581^3+5589^3=216
-911^3-1321^3+1452^3=216
-1647^3-2257^3+2518^3=216
1773^3+14363^3-14372^3=216
1890^3+3881^3-4025^3=216
2493^3+5410^3-5581^3=216
-2542^3-4091^3+4395^3=216
-2598^3-6299^3+6443^3=216
-2828^3-3297^3+3881^3=216
2983^3+4521^3-4918^3=216
3560^3+7663^3-7911^3=216
3743^3+13105^3-13206^3=216
4490^3+5175^3-6119^3=216
4897^3+23120^3-23193^3=216
-7387^3-31718^3+31851^3=216
-7695^3-11369^3+12440^3=216
8013^3+12115^3-13186^3=216
9027^3+18989^3-19646^3=216
-9577^3-23399^3+23922^3=216
10583^3+15409^3-16920^3=216
-11112^3-18715^3+19939^3=216
12973^3+14712^3-17509^3=216
13159^3+20961^3-22564^3=216
16395^3+77629^3-77872^3=216
19743^3+22825^3-26956^3=216
-19957^3-98742^3+99013^3=216
-21290^3-67243^3+67947^3=216
-23615^3-48241^3+50058^3=216
27739^3+60290^3-62187^3=216
28759^3+32558^3-38775^3=216
30813^3+74864^3-76565^3=216
31254^3+41689^3-46873^3=216
-35148^3-46873^3+52705^3=216
-35792^3-71299^3+74187^3=216
37837^3+86651^3-88992^3=216
-47328^3-49315^3+60907^3=216
-50876^3-78661^3+85197^3=216
-60213^3-74699^3+85958^3=216
-60629^3-78651^3+89186^3=216
-63281^3-92103^3+101144^3=216
-46525^3-106500^3+109381^3=216
-25439^3-109593^3+110048^3=216
-88342^3-134079^3+145807^3=216
43984^3+156887^3-158031^3=216
-45610^3-160665^3+161881^3=216
-80387^3-156790^3+163539^3=216
33311^3+164329^3-164784^3=216
64927^3+166953^3-170164^3=216
-124651^3-171341^3+190992^3=216
-30505^3-195602^3+195849^3=216
103746^3+194717^3-204077^3=216
137139^3+183637^3-206236^3=216
154333^3+190403^3-219522^3=216
-14203^3-224189^3+224208^3=216
39401^3+226999^3-227394^3=216
107715^3+229381^3-237040^3=216
-194643^3-211109^3+256028^3=216
109381^3+250350^3-257125^3=216
-165472^3-385053^3+394981^3=216
-307415^3-358369^3+421860^3=216
286513^3+378462^3-426769^3=216
-42361^3-436412^3+436545^3=216
-226666^3-487617^3+503425^3=216
-185557^3-540680^3+547869^3=216
-272665^3-541488^3+563617^3=216
-190409^3-572562^3+579497^3=216
272585^3+629631^3-646220^3=216
-600723^3-659810^3+795827^3=216
-135599^3-800457^3+801752^3=216
483908^3+769047^3-828239^3=216
-141457^3-850298^3+851601^3=216
128785^3+894480^3-895369^3=216
272029^3+898995^3-907222^3=216
-559773^3-841748^3+917285^3=216
337378^3+916521^3-931513^3=216
451881^3+998815^3-1028740^3=216
-117943^3-1115912^3+1116351^3=216
390785^3+1139719^3-1154832^3=216
737729^3+1073799^3-1179188^3=216
-862040^3-1005091^3+1183083^3=216
-885106^3-993455^3+1187343^3=216
-418889^3-1221487^3+1237692^3=216
-172619^3-1239480^3+1240595^3=216
404505^3+1402159^3-1413292^3=216
-299833^3-1433855^3+1438212^3=216
-1256803^3-1289234^3+1604163^3=216
-906011^3-1615690^3+1705563^3=216
-400093^3-1765446^3+1772269^3=216
700231^3+1745688^3-1782463^3=216
1036131^3+1775710^3-1886275^3=216
-1335296^3-1684797^3+1927685^3=216
-602957^3-1940038^3+1959261^3=216
320402^3+1988827^3-1991595^3=216
584900^3+1998153^3-2014721^3=216
318115^3+2019006^3-2021635^3=216
431687^3+2036865^3-2043308^3=216
474769^3+2037468^3-2046025^3=216
148882^3+2299595^3-2299803^3=216
-1173025^3-2208348^3+2313577^3=216
411594^3+2443061^3-2446949^3=216
-412878^3-2454511^3+2458399^3=216
1615967^3+2203140^3-2461463^3=216
845224^3+2459859^3-2492683^3=216
629830^3+2570381^3-2582925^3=216
1397665^3+2480490^3-2620369^3=216
825727^3+2626700^3-2653623^3=216
860845^3+2704227^3-2732998^3=216
1203628^3+2657723^3-2737587^3=216
1886265^3+2472631^3-2794750^3=216
2185760^3+2462631^3-2938655^3=216
1607829^3+2980211^3-3128684^3=216
867229^3+3774494^3-3789693^3=216
-585531^3-3865570^3+3870043^3=216
-2167259^3-3700512^3+3933347^3=216
-1260036^3-4072541^3+4112357^3=216
-2982769^3-3869471^3+4387746^3=216
-314917^3-4869470^3+4869909^3=216
1884752^3+4847391^3-4940567^3=216
2316655^3+4874588^3-5043111^3=216
-4030381^3-4295307^3+5250160^3=216
1731798^3+5219803^3-5282587^3=216
3170425^3+4886159^3-5295792^3=216
-3190888^3-5062983^3+5454415^3=216
4174756^3+4750085^3-5645565^3=216
3537560^3+5607381^3-6042125^3=216
-3015699^3-6077068^3+6315163^3=216
2887029^3+6275842^3-6473221^3=216
3786437^3+6545923^3-6943584^3=216
1531675^3+7117050^3-7140619^3=216
-471557^3-7454131^3+7454760^3=216
-5666025^3-6701455^3+7845256^3=216
3336672^3+7927939^3-8120251^3=216
-3889854^3-8077309^3+8367469^3=216
4134921^3+8136754^3-8478169^3=216
-1930493^3-8482875^3+8516072^3=216
2635872^3+8571463^3-8653759^3=216
3236089^3+9107663^3-9241860^3=216
-5633415^3-8802097^3+9512404^3=216
816857^3+9744472^3-9746385^3=216
-2400413^3-9928995^3+9975542^3=216
3220960^3+9963329^3-10074297^3=216
3875534^3+10112895^3-10299167^3=216
7041127^3+11266664^3-12117471^3=216
-7389901^3-11887955^3+12772398^3=216
4391454^3+13161305^3-13322297^3=216
-9192061^3-12632370^3+14082013^3=216
-1758245^3-14462547^3+14471204^3=216
3399645^3+15447403^3-15502096^3=216
-9459480^3-14887715^3+16065131^3=216
11003002^3+15120227^3-16855635^3=216
4929693^3+17077931^3-17213768^3=216
11121191^3+15715873^3-17387988^3=216
-10415820^3-17294119^3+18471535^3=216
-11188123^3-17174837^3+18630546^3=216
-3182467^3-18600368^3+18631371^3=216
12008131^3+17300540^3-19046715^3=216
-9243302^3-19545313^3+20211441^3=216
9872400^3+20833979^3-21548147^3=216
2695565^3+21936435^3-21949994^3=216
-9274213^3-23034492^3+23525101^3=216
12033943^3+23260628^3-24288207^3=216
-19466061^3-19877594^3+24787661^3=216
-4828737^3-25320887^3+25379288^3=216
-19194137^3-21965383^3+26045886^3=216
17930006^3+24432085^3-27300885^3=216
2361038^3+29548273^3-29553297^3=216
-9237993^3-29418191^3+29718764^3=216
11071689^3+31018642^3-31481881^3=216
-4817773^3-32272784^3+32308533^3=216
26453277^3+28691708^3-34796309^3=216
-18169249^3-33782648^3+35450793^3=216
21805392^3+32588779^3-35563171^3=216
4375839^3+36555142^3-36576031^3=216
-9072239^3-38275654^3+38444799^3=216
-10612063^3-39019674^3+39279583^3=216
21232607^3+43380049^3-45013326^3=216
-9498547^3-45316421^3+45455100^3=216
-23418939^3-48703237^3+50445142^3=216
32705145^3+45987506^3-50947145^3=216
-19013037^3-50817736^3+51689845^3=216
12514220^3+52686297^3-52920593^3=216
-7019517^3-55070816^3+55108805^3=216
-27790354^3-54289413^3+56615653^3=216
38395530^3+49990775^3-56622119^3=216
6417881^3+57045295^3-57072360^3=216
-39581857^3-49999688^3+57185961^3=216
21050844^3+57608587^3-58530691^3=216
15916325^3+58692579^3-59080172^3=216
23675762^3+58798195^3-60050883^3=216
9250045^3+60325131^3-60397540^3=216
43161071^3+54802201^3-62572416^3=216
44008279^3+55271153^3-63336900^3=216
-32646390^3-62326301^3+65179373^3=216
-18635465^3-65776966^3+66271833^3=216
-39757415^3-61758033^3+66823412^3=216
5176176^3+68958719^3-68968439^3=216
-36398131^3-65925741^3+69434062^3=216
37945783^3+66060476^3-69994863^3=216
-14460744^3-71315905^3+71513545^3=216
-11491084^3-72703857^3+72799417^3=216
51033161^3+70111719^3-78164174^3=216
-26263109^3-79046251^3+80001066^3=216
28454131^3+81570270^3-82708435^3=216
4356761^3+90106663^3-90110058^3=216
56779609^3+82181039^3-90372168^3=216
56000621^3+87576091^3-94626156^3=216
-13979821^3-100491075^3+100581178^3=216
-42625829^3-99416211^3+101962496^3=216
-54384565^3-100519683^3+105568312^3=216
-52095779^3-104697597^3+108831662^3=216
-68506971^3-106646405^3+115341278^3=216
-8505619^3-128220320^3+128232795^3=216
140387049^3+299533223^3-309478790^3=216
139989079^3+304309592^3-313880271^3=216
3073465^3+364099688^3-364099761^3=216
-32118201^3-380839526^3+380915657^3=216
26073361^3+394269879^3-394307884^3=216
62439690^3+417645869^3-418110557^3=216
121955818^3+426540357^3-429838069^3=216
129892934^3+430522725^3-434428517^3=216
-152866494^3-436383085^3+442548445^3=216
27755847^3+448145729^3-448181216^3=216
109692385^3+498497528^3-500261721^3=216
-45469243^3-505832885^3+505955322^3=216
133902324^3+512190901^3-515223469^3=216

7^3+14^3+17^3=8000 (左辺が3個の自然数の３乗和)
33^3+96^3-97^3=8000
-54^3-79^3+87^3=8000
-89^3-487^3+488^3=8000
-109^3-379^3+382^3=8000
118^3+257^3-265^3=8000
-151^3-353^3+362^3=8000
159^3+192^3-223^3=8000
-198^3-565^3+573^3=8000
-322^3-669^3+693^3=8000
381^3+443^3-522^3=8000
-646^3-1081^3+1153^3=8000
696^3+1293^3-1357^3=8000
813^3+1683^3-1744^3=8000
831^3+13830^3-13831^3=8000
1161^3+22839^3-22840^3=8000
-1241^3-25240^3+25241^3=8000
2453^3+15296^3-15317^3=8000
-3623^3-47584^3+47591^3=8000
4133^3+12579^3-12726^3=8000
4793^3+8591^3-9062^3=8000
-5077^3-21611^3+21704^3=8000
5274^3+8993^3-9561^3=8000
7119^3+17073^3-17476^3=8000
7683^3+39429^3-39526^3=8000
10036^3+25397^3-25909^3=8000
10137^3+34886^3-35169^3=8000
-10458^3-39085^3+39333^3=8000
13054^3+25865^3-26929^3=8000
13529^3+21471^3-23130^3=8000
-16567^3-23433^3+25920^3=8000
-17123^3-29524^3+31331^3=8000
-24858^3-30013^3+34869^3=8000
27437^3+27634^3-34693^3=8000
34758^3+90659^3-92331^3=8000
-40189^3-82088^3+85181^3=8000
51087^3+92441^3-97374^3=8000
-53778^3-70531^3+79707^3=8000
56964^3+69243^3-80251^3=8000
12591^3+104409^3-104470^3=8000
-26343^3-106657^3+107190^3=8000
-86325^3-105156^3+121781^3=8000
65061^3+118086^3-124333^3=8000
56455^3+122468^3-126343^3=8000
127731^3+138120^3-167731^3=8000
18072^3+175299^3-175363^3=8000
92441^3+167343^3-176262^3=8000
110225^3+167344^3-181969^3=8000
-140533^3-148842^3+182445^3=8000
83674^3+194153^3-199201^3=8000
93813^3+218658^3-224269^3=8000
161583^3+194969^3-226566^3=8000
-124333^3-225738^3+237669^3=8000
148029^3+227715^3-246904^3=8000
-38599^3-264849^3+265122^3=8000
-203650^3-248943^3+287943^3=8000
134436^3+287661^3-297133^3=8000
-86633^3-298492^3+300905^3=8000
199272^3+285561^3-314809^3=8000
230583^3+305664^3-344311^3=8000
277402^3+316037^3-375421^3=8000
52831^3+379490^3-379831^3=8000
197266^3+436859^3-449875^3=8000
22839^3+457161^3-457180^3=8000
-371273^3-376831^3+471302^3=8000
264890^3+465459^3-492459^3=8000
-382768^3-409857^3+499905^3=8000
25241^3+505220^3-505241^3=8000
-344311^3-456468^3+514167^3=8000
80048^3+544533^3-545109^3=8000
65031^3+546297^3-546604^3=8000
287696^3+549141^3-574293^3=8000
-266674^3-595745^3+613049^3=8000
-525519^3-540754^3+671847^3=8000
-508146^3-588135^3+694271^3=8000
-536538^3-578115^3+703163^3=8000
599402^3+601389^3-756453^3=8000
578458^3+665453^3-787429^3=8000
197721^3+833654^3-837345^3=8000
-451657^3-924799^3+959398^3=8000
208527^3+979697^3-982836^3=8000
330552^3+981075^3-993427^3=8000
549827^3+936436^3-995779^3=8000
-429811^3-971898^3+999147^3=8000
175206^3+1034651^3-1036323^3=8000
829505^3+858687^3-1063812^3=8000
-858824^3-880183^3+1095671^3=8000
78124^3+1114259^3-1114387^3=8000
659886^3+1111989^3-1184605^3=8000
137864^3+1231127^3-1231703^3=8000
-898615^3-1141633^3+1303258^3=8000
1001036^3+1160647^3-1369159^3=8000
1106831^3+1147801^3-1420798^3=8000
-180807^3-1515825^3+1516682^3=8000
-740161^3-1512191^3+1569128^3=8000
1112733^3+1393866^3-1598677^3=8000
-114718^3-1730657^3+1730825^3=8000
743699^3+1852022^3-1891163^3=8000
-1404363^3-1757293^3+2016234^3=8000
-1551081^3-1720663^3+2066592^3=8000
-1281493^3-2032739^3+2190026^3=8000
106881^3+2269703^3-2269782^3=8000
-962049^3-2322888^3+2376641^3=8000
1891472^3+2140445^3-2549597^3=8000
-1901082^3-2375949^3+2727173^3=8000
819908^3+2861009^3-2883281^3=8000
-1705303^3-3088801^3+3253162^3=8000
2380017^3+2869212^3-3335281^3=8000
2517662^3+2870427^3-3408771^3=8000
341741^3+3420051^3-3421188^3=8000
-1782687^3-3578889^3+3720638^3=8000
-434099^3-3936340^3+3938099^3=8000
-2818272^3-3509685^3+4033397^3=8000
2455031^3+4023132^3-4307319^3=8000
3513170^3+4061919^3-4796919^3=8000
-3471945^3-4293304^3+4945929^3=8000
-1942153^3-4878847^3+4979350^3=8000
-1200257^3-5082751^3+5104964^3=8000
-3637819^3-4795589^3+5411012^3=8000
-3126971^3-5236285^3+5584346^3=8000
-4633638^3-4791609^3+5939201^3=8000
639209^3+7256343^3-7257996^3=8000
3402707^3+7000304^3-7258643^3=8000
-789768^3-7386885^3+7389893^3=8000
984006^3+7458993^3-7464697^3=8000
-574414^3-7483239^3+7484367^3=8000
4754328^3+6859047^3-7548775^3=8000
6037175^3+6672258^3-8026383^3=8000
4323152^3+7751973^3-8176485^3=8000
876633^3+8513664^3-8516761^3=8000
-3425887^3-8405296^3+8590879^3=8000
-1336497^3-8893744^3+8903793^3=8000
4337031^3+8614752^3-8966599^3=8000
-1477261^3-9060614^3+9073685^3=8000
5312942^3+8908325^3-9498317^3=8000
4496257^3+10015766^3-10309129^3=8000
-2930851^3-10655332^3+10728739^3=8000
-7683455^3-9848449^3+11210324^3=8000
7526609^3+10104082^3-11339113^3=8000
-2754689^3-11423938^3+11477081^3=8000
7232973^3+11022059^3-11975466^3=8000
-9594600^3-10252843^3+12516843^3=8000
-8908243^3-11138730^3+12783243^3=8000
4883254^3+12952967^3-13180303^3=8000
2591174^3+13182333^3-13215621^3=8000
5013011^3+13147430^3-13386011^3=8000
4299933^3+14249931^3-14379262^3=8000
6545997^3+14404800^3-14841997^3=8000
-10691046^3-12901111^3+14991423^3=8000
973901^3+15118491^3-15119838^3=8000
-7959759^3-14664360^3+15407759^3=8000
-12279138^3-12336523^3+15506979^3=8000
-9460357^3-14564915^3+15789482^3=8000
-7791998^3-15970021^3+16565837^3=8000
-3892975^3-17480426^3+17544551^3=8000
14032737^3+14402207^3-17915916^3=8000
14183196^3+16037097^3-19108969^3=8000
-12821797^3-17989724^3+19941413^3=8000
-11777694^3-18576681^3+20036945^3=8000
10023277^3+19170152^3-20043181^3=8000
4836282^3+20160839^3-20253183^3=8000
11129165^3+21119492^3-22103117^3=8000
9427389^3+21933972^3-22499773^3=8000
-16470141^3-19080963^3+22515932^3=8000
12495101^3+22047451^3-23311378^3=8000
-15998092^3-20772915^3+23548467^3=8000
-17284633^3-21697575^3+24868008^3=8000
-7081099^3-24843789^3+25034082^3=8000
-12336784^3-25059735^3+26019159^3=8000
-8782926^3-26735199^3+27047495^3=8000
5065141^3+30508043^3-30554512^3=8000
11604746^3+30008847^3-30576519^3=8000
7966437^3+31076571^3-31250104^3=8000
20935037^3+27951684^3-31418493^3=8000
-15579015^3-31082169^3+32335544^3=8000
-18568097^3-33631351^3+35421074^3=8000
-7867089^3-35410120^3+35539089^3=8000
19191777^3+34767879^3-36617038^3=8000
-5906643^3-39306093^3+39350504^3=8000
8383863^3+39910641^3-40033582^3=8000
4447236^3+41335877^3-41353029^3=8000
2269703^3+48207969^3-48209646^3=8000
17726483^3+49421973^3-50170734^3=8000
22836748^3+49172735^3-50762623^3=8000
-36020275^3-46608756^3+52894131^3=8000
-31306004^3-49499959^3+53364407^3=8000
-11970177^3-53483175^3+53682302^3=8000
-22499773^3-52348584^3+53698941^3=8000
24184263^3+52241850^3-53915263^3=8000
-32659974^3-50738901^3+54899165^3=8000
24845063^3+53730178^3-55445599^3=8000
-17785367^3-61053745^3+61552742^3=8000
-34001070^3-62037943^3+65270943^3=8000
39145844^3+61731177^3-66586473^3=8000
-42224776^3-66586473^3+71823657^3=8000
-44900052^3-72367323^3+77722715^3=8000
1843259^3+74021062^3-74021443^3=8000
-4102633^3-84013591^3+84016852^3=8000
3957929^3+89972503^3-89975056^3=8000
-25204644^3-91065165^3+91704269^3=8000
-41270026^3-90205423^3+92997607^3=8000
27292038^3+93622119^3-94388911^3=8000
-12190529^3-97020487^3+97084598^3=8000
-60458957^3-90884266^3+99047429^3=8000
-32936367^3-99443310^3+100633367^3=8000
-37721205^3-100437451^3+102180576^3=8000
-13886818^3-121628109^3+121688421^3=8000
-46081415^3-259863634^3+260345759^3=8000
-68057876^3-303087373^3+304226957^3=8000
-50266232^3-307911991^3+308357879^3=8000
-88694134^3-409726241^3+411106985^3=8000
126055431^3+414033657^3-417892444^3=8000
-65488116^3-420919713^3+421447457^3=8000
126339945^3+440369138^3-443808513^3=8000
23436159^3+444875841^3-444897520^3=8000
94424006^3+529136217^3-530136609^3=8000

不定方程式
x^3+y^3+z^3=w^3
の自然数解　(x,y,z,w)で、
gcd(x,y,z)=1, 0<x<y<z, 0<w<=123
を満たすものを求めてみると、以下のようになります。


3^3+4^3+5^3=6^3
1^3+6^3+8^3=9^3
3^3+10^3+18^3=19^3
7^3+14^3+17^3=20^3
4^3+17^3+22^3=25^3
18^3+19^3+21^3=28^3
11^3+15^3+27^3=29^3
2^3+17^3+40^3=6^3+32^3+33^3=41^3
16^3+23^3+41^3=44^3
3^3+36^3+37^3=7^3+30^3+37^3=46^3
29^3+34^3+44^3=53^3
12^3+19^3+53^3=54^3
15^3+42^3+49^3=58^3
22^3+51^3+54^3=67^3
36^3+38^3+61^3=69^3
7^3+54^3+57^3=70^3
4^3+39^3+65^3=72^3
38^3+43^3+66^3=75^3
31^3+33^3+72^3=76^3
25^3+48^3+74^3=81^3
19^3+60^3+69^3=82^3
28^3+53^3+75^3=84^3
50^3+61^3+64^3=95^3
20^3+54^3+79^3=26^3+55^3+78^3=38^3+48^3+79^3=87^3
21^3+43^3+84^3=17^3+40^3+86^3=89^3
25^3+38^3+87^3=58^3+59^3+69^3=90^3
32^3+54^3+85^3=93^3
19^3+53^3+90^3=96^3
45^3+69^3+79^3=97^3
12^3+31^3+102^3=103^3
33^3+70^3+92^3=105^3
13^3+51^3+104^3=15^3+82^3+89^3=108^3
29^3+75^3+96^3=110^3
50^3+74^3+97^3=113^3
3^3+34^3+114^3=115^3
23^3+86^3+97^3=116^3
9^3+55^3+116^3=120^3
49^3+84^3+102^3=121^3
19^3+92^3+101^3=122^3

以下の4つが足りないと思います。
14^3+23^3+70^3=71^3
25^3+31^3+86^3=88^3
16^3+47^3+108^3=111^3
44^3+51^3+118^3=123^3

以下の4つに打ち間違い（それぞれ1文字不足か1文字違い）があります。
7^3+30^3+37^3=46^3 → 27^3+30^3+37^3=46^3
4^3+39^3+65^3=72^3 → 34^3+39^3+65^3=72^3
50^3+61^3+64^3=95^3 → 50^3+61^3+64^3=85^3
21^3+43^3+84^3=89^3 → 21^3+43^3+84^3=88^3

らすかる氏提示の関係式
m,nをパラメータとして
A(m,n)=3*m^2+5*m*n-5*n^2
B(m,n)=4*m^2-4*m*n+6*n^2
C(m,n)=5*m^2-5*m*n-3*n^2
D(m,n)=6*m^2-4*m*n+4*n^2
で定義すれば
gp > A(m,n)^3+B(m,n)^3+C(m,n)^3
%129 = 216*m^6 - 432*n*m^5 + 720*n^2*m^4 - 640*n^3*m^3 + 480*n^4*m^2 - 192*n^5*m + 64*n^6
gp > D(m,n)^3
%130 = 216*m^6 - 432*n*m^5 + 720*n^2*m^4 - 640*n^3*m^3 + 480*n^4*m^2 - 192*n^5*m + 64*n^6
で見事
A(m,n)^3+B(m,n)^3+C(m,n)^3=D(m,n)^3
が成立する。

どんな考えでこんな式が生まれるのか想像もできないが今流行りのAIに2パラメータ解があるかを尋ねると
A(m,n)=3*m^2-5*m*n-5*n^2
B(m,n)=4*m^2-4*m*n+6*n^2
C(m,n)=5*m^2+5*m*n-3*n^2
D(m,n)=6*m^2-4*m*n+4*n^2
なるものを返してきた。（Euler 型などの名称を付けている。)
らすかるさんの提示の式とそっくりですが2か所の符号が異なっています。
そこで喜んでこれで計算させていたら合わないのです。

ほんの僅かな違いが決定的に全体に影響を与えることに改めて元の式が精密に組み立てられていることに驚きます。


さらにNakao氏がいろいろな具体的等式を作り報告されているのを見て、すべての成立する等式はbrute forceでしか
求まらないのかと思ってしまいます。
これらの結果を利用してOEISに検索を掛けて色々調べてみた結果次のようなパラメータ解を1826年(何と江戸時代）
算額で奉納していた人物(Shiraishi Chochu)がいたことを外国人の研究者とYoshio Mikamiの共著で1914年
A HISTOTY of JAPANESE MATHEMATICS の著名で出版されているという。

数ある等式の中に
P(n)=3*n^2
Q1(n)=6*n^2-3*n+1
Q2(n)=6*n^2+3*n+1
R1(n)=9*n^3-6*n^2+3*n-1
R2(n)=9*n^3+6*n^2+3*n
S1(n)=R1(n)+1
S2(n)=R2(n)+1
で定義しておけば

P(n)^3+Q1(n)^3+R1(n)^3
%138 = 729*n^9 - 1458*n^8 + 1701*n^7 - 1188*n^6 + 567*n^5 - 162*n^4 + 27*n^3
gp > S1(n)^3
%139 = 729*n^9 - 1458*n^8 + 1701*n^7 - 1188*n^6 + 567*n^5 - 162*n^4 + 27*n^3
または
P(n)^3+Q2(n)^3+R2(n)^3
%140 = 729*n^9 + 1458*n^8 + 1701*n^7 + 1431*n^6 + 891*n^5 + 432*n^4 + 162*n^3 + 45*n^2 + 9*n + 1
S2(n)^3
%141 = 729*n^9 + 1458*n^8 + 1701*n^7 + 1431*n^6 + 891*n^5 + 432*n^4 + 162*n^3 + 45*n^2 + 9*n + 1
となり
P(n)^3+Q1(n)^3+R1(n)^3=S1(n)
P(n)^3+Q2(n)^3+R2(n)^3=S2(n)
の等式が成立することになる。
これらから
3^3+4^3+5^3=6^3
3^3+10^3+18^3=19^3
12^3+19^3+53^3=54^3
12^3+31^3+102^3=103^3
27^3+46^3+197^3=198^3
27^3+64^3+306^3=307^3
48^3+85^3+491^3=492^3
48^3+109^3+684^3=685^3
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などの等式を導ける。

いや～日本人も捨てたもんじゃないぞ！！(A226903参照)