😊出会いの泉😊

左からでも右からでも同じ並びの数は「回文数」といいます。
5回を超えるものは山ほどありますが、以下は例です。

6回で終わるもの
1069, 1079, 1159, 1169, 1249, 1259, 1339, 1349, 1429, 1439,
1519, 1529, 1609, 1619, 1699, 1709, 1789, 1799, 1879, 1889,
(以下略)

7回で終わるもの
1394, 1484, 1574, 1664, 1754, 1844, 1898, 1934, 1988, 1992,
1994, 1999, 2393, 2483, 2573, 2663, 2753, 2843, 2897, 2933,
(以下略)

8回で終わるもの
1993, 1995, 2992, 2994, 3991, 3993, 4990, 4992, 5991, 6990,
8059, 8149, 8239, 8329, 8419, 8509, 8599, 8689, 8779, 8869,
(以下略)

9回で終わるもの
1397, 1487, 1577, 1667, 1757, 1847, 1937, 2396, 2486, 2576,
2666, 2756, 2846, 2936, 2999, 3395, 3485, 3575, 3665, 3755,
(以下略)

10回で終わるもの
9059, 9149, 9239, 9329, 9419, 9509, 9599, 9689, 9779, 9869, 9959

11回で終わるもの
7069, 7159, 7249, 7339, 7429, 7519, 7609, 7699, 7789, 7879,
7969, 8068, 8158, 8248, 8338, 8428, 8518, 8608, 8698, 8788,
(以下略)

12回で終わるもの
2069, 2159, 2249, 2339, 2429, 2519, 2609, 2699, 2789, 2879,
2969, 3068, 3158, 3248, 3338, 3428, 3518, 3608, 3698, 3788,
(以下略)

13回で終わるもの
1797, 1887, 1894, 1977, 1984, 2796, 2886, 2893, 2976, 2983,
3795, 3885, 3892, 3975, 3982, 4794, 4884, 4891, 4974, 4981,
(以下略)

14回で終わるもの
1991, 2990

15回で終わるもの
1998, 2997, 3996, 4995, 5994, 6079, 6169, 6259, 6349, 6439,
6529, 6619, 6709, 6799, 6889, 6979, 6993, 7078, 7168, 7258,
(以下略)

16回で終わるもの
1496, 1586, 1676, 1766, 1856, 1897, 1946, 1987, 2495, 2585,
2675, 2765, 2855, 2896, 2945, 2986, 3494, 3584, 3674, 3764,
(以下略)

17回で終わるもの
1792, 1882, 1972, 2791, 2881, 2971, 3790, 3880, 3970

18回で終わるもの
1798, 1888, 1978, 2797, 2887, 2977, 3796, 3886, 3976, 4795,
4885, 4975, 5794, 5884, 5974, 6793, 6883, 6973, 7792, 7882,
(以下略)

20回で終わるもの
6999, 7998, 8039, 8129, 8219, 8309, 8399, 8489, 8579, 8669,
8759, 8849, 8939, 8997, 9038, 9128, 9218, 9308, 9398, 9488,
(以下略)

21回で終わるもの
1297, 1387, 1477, 1567, 1657, 1747, 1837, 1927, 2296, 2386,
2476, 2566, 2656, 2746, 2836, 2926, 3295, 3385, 3475, 3565,
(以下略)

10000回でも終わらないもの
1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857,
1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764,
(以下略)
4桁で10000回でも終わらないものは、数回で
52514,83127,96558,97768,109989
のいずれかになる数です。

ピラミッド数（仮称）
121＝11×11
12321＝111×111
1234321＝1111×1111
123454321＝11111×11111
掛け算でつくれますが、
上の数を、操作１，２，３で作ることを考えてみました。
任意の数で、できるかは不明です。

10進法なら
111111111×111111111＝12345678987654321
までですが、例えば11進法にすると、
1111111111×1111111111＝123456789A987654321
となりますね。

操作1，2，3で
121＝56＋65
24300＋342＝24642（偶数なので）
12321＝24642÷2
2464000＋4642＝2468642
1234321＝2468642÷2
5の時は、繰り上がるので、難しいが、可能。

196問題
196＋691＝887
887＋788＝1675
1675＋5761＝7436
7436÷2＝3718
3718＋8173＝11891
11891＋19811＝31702
31702÷2＝15851

123454321=(246850000+58642)/2
12345654321=(24685650000+5658642)/2
1234567654321=(2468567650000+567658642)/2
123456787654321=(246856787650000+56787658642)/2
12345678987654321=(24685678987650000+5678987658642)/2

二桁の10からは、不思議なことが起こりました。

12345678910987654321を作るために
パターンに従がって、２倍した
24685678910987650000と逆転数5678901987658642を足して２で割れば、出来なくて
逆転数の代わりに、5678910987658642だとうまくいきます。

（246851250000＋51258642）÷2＝123451254321　？！

三角形ABCの、外接円の半径をR、内接円の半径をｒとするとき、
　　Ｒ≧2ｒ　が成り立つ。等号は、正三角形のとき

三角形ＡＢＣの内部の点をＰ、フェルマー点をＦとするとき、
　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧ＡＦ＋ＢＦ＋ＣＦ　
　　　　が成り立つ。　

△ABCの外接円のAにおける接線とBCの延長との交点（交わるとき）
をDとすると
BD：CD＝AB＾２：AC＾２　が成り立つ。

△ABCの外接円のB,Cにおける接線の交点をPとし、
直線APとBCの交点をDとすると
BD：CD＝AB＾２：AC＾２　が成り立つ。

△BCDに対して、∠BCD＝∠BADとなる、平行四辺形をとる。
△BCDの外接円の頂点Cにおける接線が直線AB、ADと交わる点をP、Qとすると
PC：CQ＝AP＾２；AQ＾２,
BP：DQ＝AP＾３：AQ＾３
が成り立つ。3乗が珍しい（私見）

誤差はほぼe/(2*5^(3^84))なので
小数点以下約8368428989068425943817590916445001887164桁(≒8.37×10^39桁)正しい
ということになるかと思います。

「小町算で無理数近似」の記事の話ですかね？

成分が異なるだけでよいなら変なものも作り放題なので、
勝手に整数かつ非ゼロという条件を付けてみます。


目標の固有値が対角成分に並ぶ三角行列Aと正則行列Pを用いると、PAP^(-1)は目標の固有値を持つ。

Pの各成分が整数で行列式が+1または-1ならばP^(-1)の各成分も整数になる。

あとは適当に試して成分がすべて異なるようにすればよい。


(1)
A=[[-3,1],[0,7]], P=[[1,0],[-1,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[-2,1],[9,6]]

(2)
A=[[1,3,2],[0,2,1],[0,0,3]], P=[[1,0,0],[3,1,0],[0,2,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[4,-1,2],[12,-3,7],[18,-6,5]]

(3)
A=[[-4,3,2],[0,8,1],[0,0,9]], P=[[1,0,0],[1,1,0],[0,2,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[-3,-1,2],[-9,5,3],[6,-6,11]]

こんな便利な方法があるのですね。
目的の固有方程式を満たすようにある意味力ずくで探していました。

そこで(3)の結果の行列S=[[-3,-1,2],[-9,5,3],[6,-6,11]]を使わせてもらって
f1(x)=1/312*x^3+3/104*x^2-29/156*x
と
f2(x)=1/312*(313*x^3--4047*x^2+1190*x+89856)
の2つの関数において、それぞれ
f1(S),f2(S)を計算させると結果は共に3次の正方行列M1,M2に集約されますが(f2の定数項では3次の単位行列を補う。)
それぞれM1,M2の固有値は何でしょうか？

とりあえず普通に計算しました。


Sの固有値λの固有ベクトルをvとする。
nを自然数とするとき、
S^nv
=S^(n-1)Sv
=S^(n-1)(λv)
=λ*S^(n-1)v
=λ*S^(n-2)Sv
=λ*S^(n-2)(λv)
=λ^2*S^(n-2)v
…
=λ^(n-1)*Sv
=λ^(n-1)*(λv)
=λ^n*v
なので、vはS^nの固有ベクトルでその固有値はλ^nである。


[1]
M1=1/312*S^3+3/104*S^2-29/156*S
に右からvを掛けると
M1v
=(1/312*S^3+3/104*S^2-29/156*S)v
=1/312*S^3v+3/104*S^2v-29/156*Sv
=1/312*λ^3*v+3/104*λ^2*v-29/156*λ*v
=(1/312*λ^3+3/104*λ^2-29/156*λ)*v
なので、vはM1の固有ベクトルであり、その固有値は
1/312*λ^3+3/104*λ^2-29/156*λ
である。
Sの固有値-4,8,9を代入するとM1の固有値は1,2,3となる。


[2]
単位行列をIとする。
M2=1/312*(313*S^3-4047*S^2+1190*S+89856*I)
に右からvを掛けると
M2v
=1/312*(313*S^3-4047*S^2+1190*S+89856*I)v
=1/312*(313*S^3v-4047*S^2v+1190*Sv+89856*v)
=1/312*(313*λ^3*v-4047*λ^2*v+1190*λ*v+89856*v)
=1/312*(313*λ^3-4047*λ^2+1190*λ+89856)*v
なので、vはM2の固有ベクトルであり、その固有値は
1/312*(313*λ^3-4047*λ^2+1190*λ+89856)
である。
Sの固有値-4,8,9を代入するとM2の固有値は1,2,5となる。

計算ありがとうございます。
[2]ではSの固有値9ではM2の固有値は3となりませんか？

たまたまフロベニウスの定理というものに出会い、本当にこんなことが起こるのか？
と思って色々固有値をもつ行列Sを使って実験をしている中で
f(x)の関数で作り上げるf(S)の行列Mの固有値をこちらが指定できるものに動かすことができる
f(x)はどんな関数として設定しておけばいいのかを探すのに
ラグランジュの補間法からのf1(x)
ファンデルモンドの行列式からのf2(x)
で験していたのがこの計算でした。
どうしてこんなことが成り立つのかは正しくりらひいさんが示されることで納得できました。

実験してみて一般に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を通る3次関数は
原点を通るものと、原点を通らないものと2通り存在できることが起こるんですね。

計算ミスしていたようです。
確かに、[2]ではSの固有値9でM2の固有値が3となりました。
失礼しました。


(-4,1), (8,2), (9,3) を通る3次関数は
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
とおいて、
f(-4)=1, f(8)=2, f(9)=3 より
-64a+16b-4c+d=1, 512a+64b+8c+d=2, 729a+81b+9c+d=3
を連立して解いた答え
b=-13a+11/156, c=4a-31/156, d=288a-12/13
（WolframAlphaに解いてもらった）
を使用して
f(x)=ax^3+(-13a+11/156)x^2+(4a-31/156)x+(288a-12/13)
とすればいいです。

a=1/312 を代入すれば f1(x) が得られ、
a=313/312 を代入すれば f2(x) が得られます。

地道に計算しようと思って式を立てて計算を進めたら、結構あっさり解けました。
A=[1,1;1,9], B=[1,4;5,2] (Pari/GPの形式) ですね。

(追記)
私が解いた何の工夫もない方法を整理すると
A=[a,b;b,c], B=[d,e;f,g]とおくと、条件から
(1)ad+bf=6 (2)ae+bg=6 (3)bd+cf=46 (4)be+cg=22
(5)ad+be=5 (6)bd+ce=37 (7)af+bg=7 (8)bf+cg=23
(7)-(2)からa(f-e)=1, (8)-(4)からb(f-e)=1, (3)-(6)からc(f-e)=9
なのでa=b=1,c=9,f=e+1。(2)(4)(5)に代入して
(2)e+g=6 (4)e+9g=22 (5)d+e=5
(4)-(2)からg=2, (2)からe=4, (5)からd=1, f=e+1からf=5
∴(a,b,c,d,e,f,g)=(1,1,9,1,4,5,2)

|A||B| = -144
なので、A,Bは正則である。

B^(-1) = [[a, b], [c, d]]
とおく。

一つ目の式に右からB^(-1)を掛けると
A = [[6a+6c, 6b+6d], [46a+22c, 46b+22d]]
となり、
二つ目の式に左からB^(-1)を掛けると
A = [[5a+7b, 37a+23b], [5c+7d, 37c+23d]]
となる。

6a+6c = 5a+7b, 6b+6d = 37a+23b, 46a+22c = 5c+7d, 46b+22d = 37c+23d
を連立して解くと、p,qを任意の実数として
a = 7p-6q, b = p, c = q, d = 46p-37q
となるので、
A = [[42p-30q, 282p-222q], [322p-254q, 1058p-814q]]
と書ける。

Aが対称行列のとき、
282p-222q = 322p-254q
を解くと、rを任意の実数として
p = 4r, q = 5r
と書けるので、
A = [[18r, 18r], [18r, 162r]]
および
B^(-1) = [[-2r, 4r], [5r, -r]]
となる。よって、
B = [[1/(18r), 4/(18r)], [5/(18r), 2/(18r)]]
となる。

Aの各成分が自然数になるのはmを自然数として r = m/18 のときであり、
Bの各成分が自然数になるのはnを自然数として r = 1/(18n) のときである。
m/18 = 1/(18n) より mn = 1 なので、m,nがともに自然数になるのは m = n = 1 のときだけである。
このとき r = 1/18 であり、
A = [[1, 1], [1, 9]], B = [[1, 4], [5, 2]]
となる。



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|A||B| = -144
なので、A,Bは正則である。

A^(-1) = [[a, b], [c, d]]
とおく。

一つ目の式に左からA^(-1)を掛けると
B = [[6a+46b, 6a+22b], [6c+46d, 6c+22d]]
となり、
二つ目の式に右からA^(-1)を掛けると
B = [[5a+37c, 5b+37d], [7a+23c, 7b+23d]]
となる。

6a+46b = 5a+37c, 6a+22b = 5b+37d, 6c+46d = 7a+23c, 6c+22d = 7b+23d
を連立して解くと、p,qを任意の実数として
a = -46p+37q, b = p, c = q, d = -7p+6q
となるので、
B = [[-230p+222q, -254p+222q], [-322p+282q, -154p+138q]]
と書ける。

Aが対称行列のとき、A^(-1)も対称行列になるので、rを任意の実数として p = q = r と書けて
B = [[-8r, -32r], [-40r, -16r]]
および
A^(-1) = [[-9r, r], [r, -r]]
となる。よって、
A = [[-1/(8r), -1/(8r)], [-1/(8r), -9/(8r)]]
となる。

Aの各成分が自然数になるのはmを自然数として r = -1/(8m) のときであり、
Bの各成分が自然数になるのはnを自然数として r = -n/8 のときである。
-1/(8m) = -n/8 より mn = 1 なので、m,nがともに自然数になるのは m = n = 1 のときだけである。
このとき r = -1/8 であり、
A = [[1, 1], [1, 9]], B = [[1, 4], [5, 2]]
となる。

k=t-3とおいて地道に計算したら3(t^2+5)になったので
多分3(k^2+6k+14)になるのだとは思いますが、
こういう綺麗な結果になるということは
うまい計算方法があるのでしょうね。

y=x^2 と y=kx+1 の交点を (a,a^2), (b,b^2) (a<b) とします。
y=x^2 と y=(k+6)x+1 の交点を (c,c^2), (d,d^2) (c<d) とします。

すると、明らかに a<c<b<d なので、1/6公式と外積を用いると、求める面積は
S = (1/6)(c-a)^3 + (1/2){a(c^2-1)-c(a^2-1)} + (1/2){b(d^2-1)-d(b^2-1)} + (1/6)(d-b)^3
= (1/6)(c^3+d^3) + (1/2)(c+d) - (1/6)(a^3+b^3) - (1/2)(a+b)
= (1/6)(c+d)^3 + (1/2)(c+d)(1-cd) - (1/6)(a+b)^3 -(1/2)(a+b)(1-ab)
= (1/6)(k+6)^3 + (k+6) - (1/6)k^3 - k
= 3k^2 + 18k + 42

y=x^2と
y=mx+1
の交点をP(p,mp+1),Q(q,mq+1) (p>q)
E(0,1)とおく。
mを極僅かだけ変化させた微小量⊿mに対し
y=x^2,y=mx+1,y=(m+⊿m)x+1
とで囲まれる微小面積⊿Sを△EPM+△EQNで近似する。
ただし
M(p,(m+⊿m)p+1),N(q,(m+⊿m)q+1)とする。

⊿S=1/2*p*⊿m*p+1/2*(-q)*(-⊿m*q)=1/2*(p^2+q^2)*⊿m
ここにp,qは
x^2-mx-1=0の2根より
p^2+q^2=m^2+2
即ち
dS/dm=1/2*(m^2+2)
求める面積S(k)がF(m)=1/6*m^3+mとして
S(k)=1/2*∫[k,k+6](m^2+2)dm=F(k+6)-F(k)
=1/6*((k+6)^3-k^3)+((k+6)-k)
=3*k^2+18*k+42
=3*(k^2+6*k+14)

あのめんどくさい曲線部分を含む
y=kx+1,y=x^2の交点をA(a,ka+1),B(b,kb+1)　(a<b)
y=(k+6)x+1,y=x^2の交点をC(c,(k+6)c+1),D(d,(k+6)d+1) (c<d)
E(0,1)とし
p=k^2+4,q=(k+6)^2+4とすると求める部分の面積は
EAC+EBD
=AC曲線部+△EAC+BD曲線部+△EBD
=AC曲線部+BD曲線部+△EAC+△EBD
=1/6*((c-a)^3+(d-b)^3)+3*(a*c+b*d)
これより
S(k)=1/6*(((6-(sqrt(q)-sqrt(p))/2)^3+((6+(sqrt(q)-sqrt(p))/2)^3)+
3*((k-sqrt(p))/2*(k+6-sqrt(q))/2+(k+sqrt(p))/2*(k+6+sqrt(q))/2)
r=sqrt(q)-sqrt(q)と置くことで
=1/4*(36+3*r^2)+3/4*(2*k*(k+6)+2*sqrt(p*q))
=1/4*(36+3*(p+q-2*sqrt(p*q)))+3/2*(k*(k+6)+sqrt(p*q))
=9+3/4*(p+q)+3/2*k*(k+6)
=9+3/4*(k^2+4+(k+6)^2+4)+3/2*k*(k+6)
=3*(k^2+6*k+14)

なる計算をパスできることに感激しました。(途中タイプミスがあるかも知れません。)
ニュートン様様です。

共通部分の形を考えずに断面だけを考えて・・・
※立体Kのy軸上の頂点はy＞0にあるものとしました
立体Kをy=t(-√3/6＜t＜√3/3)で切るとz軸方向にのびる幅(2/3)(1-t√3)の帯
立体Lをy=t(-1/2＜t＜1/2)で切るとx軸方向にのびる幅(√3/2)(1-2|t|)の帯
よって共通部分をy=t(yの共通部分は-√3/6＜t＜1/2)で切ると
2辺が(2/3)(1-t√3)と(√3/2)(1-2|t|)の長方形
面積は(2/3)(1-t√3)×(√3/2)(1-2|t|)
=(1-t√3)(1-2|t|)/√3
なので、求める体積は
∫[-√3/6～1/2](1-t√3)(1-2|t|)/√3 dt
=1/6+5/(36√3)≒0.2468542

自分も挑戦していたが値が同じになっていたので安心しました。
らすかるさんは核心の部分しか記述されていませんが、この結果を
得るまでは結構ややこしい手続きと積分での面倒な計算を経過せねば
なりませんでした。

ではこの共通部分の形状は？
といくら頭の中で像を結ぼうと努力しても人の脳（私の脳みそだけかも)
は上手く対応できない。
2つの直円柱どうしのあの形状も皆さん見えてきますか？
さらに3つの互いに直交する直円柱の共通部分など全く想像できません。
しかしこの幾何学的には認識し難いものでも、
代数的手法でその実態を認識できる手段を人類が手に入れることが可能
ならしめたデカルトのアイデアとニュートンやライプニッツなどの寄与
には全く称賛の感謝しかありません。
人が理解するという営みやそのアプローチの手段などは哲学的問題も含め
大いに興味あるテーマに感じます。

実行してない思いつきですが……

i行目の削除を「単位行列からi行目を消した行列S[i]を左から掛ける演算」として書き、j列目の削除も同様に、というのがとりあえず自然な発想に見えますよね。
adjの中に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな？

n=3 の場合をごり押しで計算しました。
https://mathlog.info/articles/0kO5cJBKcTqurCc5NyzK

私はこの予想のきっかけとなった別の計算に戻りたいので、
この問題について多分これ以上考えないと思います。

この予想のきっかけとなった別の計算をやり直していたところ、新たな発見がありました。
どうやら次式が成り立ちそうな感じです。（いくつかの数値の計算からの予想です。）

det(M)*R(x,M,y) = (x adj(M)y)adj(M) - adj(M)yx adj(M)

この式を示すことができれば、(Mが正則の場合に限りますが)最初の予想が証明できますね。
ただ、この式も簡単にはいかなそうです。

また、この式が成り立てば、
xR(x,M,y) = (行ベクトルの)0
と
R(x,M,y)y = (列ベクトルの)0
も簡単に示せます。

△ABCの垂心をHとする。各辺の垂心の足をDEFとすると、
Hは、△DEFの内心になる。したがって、
△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をIとする。内接円の各辺との接点をDEFとすると、
Iは、△DEFの外心になる。したがって、
△ABC（I）＝△DEF（O）

これで、H→I→O→Hとなりましたが、
逆の、I→H→O→Iの場合、見つけていただけないでしょうか？

管理人様へ　前の記事、追加編集してます。
△ABCの、外心をO、
ベクトル　OA＝a,　OB=b,　OC=c　とするとき、
重心　OG＝（a+b+c）/3
垂心　OH＝a+b+c なので
　　　OH＝３OG　（オイラー線）

△ABCの、外心（O）垂心（H）内心（I）重心（G）
の4個のうち、いずれかの二つが、一致するとき、
△ABCが正三角形であるための
必要十分条件になります。

△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による、対称点をDEFとする。△DEFの内心が、Hに一致するので、△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をＩとする。Ｉのそれぞれの辺対称な点をＤＥＦとする。
△ＤＥＦの外心は、Ｉに一致するので、
△ＡＢＣ（Ｉ）＝△ＤＥＦ（Ｏ）

△ABCの外心をOとする。各辺による、点Oの対称点をDEFとすると、
△DEFの垂心は、Oに一致する。
△ABC（O）＝△DEF（H）
H→I→O→H　逆順の例はないでしょうか？

△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する。
したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）

逆に、△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点を
それぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致するので、
△ABC（I）＝△DEF（H）

また、△ABCの外接円をOとするとき、円周上のどの三点DEFをとっても
△ABC（O）＝△DEF（O）
証明は、簡単ですが、…

三角形ABCの内心をI。傍心を、D、E、Fとし、三角形DEFの垂心をHとする。
IとHは、一致する。
△ABC（I）＝△DEF（H）