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96,402

特殊トランプのカード当て

64枚のトランプ(各種マークの14,15,16を作り追加して、計64枚にしたデック)
をある規則で配列させたものを準備する。

(1)観客に好きな回数だけそのデックをカット(任意の場所で上下のパケットを入れ替える。)
させる。

(2)その後上から6枚のカードを表向きにテーブルに並べさせる。
 (この時演者は並べているカードは見ないことにする。)

(3)並び終えたら、そのカードの色が赤か黒かの状態を並べた順番で言ってもらう。

(4)これを聞いて演者は並んだ6枚のカードの名前(マークと数字)を全部言い当てる。


[原理]
色の情報から0,1よりなる6ビットの列(abcdef)が得られる。
abの配列から最初に並べたカードのマーク(4種類対応できる)
cdefの配列からそのカードの数字(2進数表示とみて16通りの違いを作れる)
とし、これが初めに並べるカードとなるように対応させておく。
次に2番目に並べたカードは
今並んでいる1番目のカードを取り去りデックのボトムへ納める。
次に出すカードの色で6個のビット列を作った場合、
これが2番目のカードと対応するように、以下配列状態を
次々と起こせる順番にカードを組み合わせおけば、カードの配列状態から
6枚のカードのすべての名前を当てることが可能になる。

従って初めに並べた6個のビット状態から、次に出すカードの色をどう決定
するかのルールを見つけ出すことさえできておけば自動的にカードの数字も
決められることになり、目的の現象が可能となる64枚のトランプの配列が
見つかることになる。

これを元にその配列のルールを求めてコンピュータで試行錯誤を繰り返し
実験していて偶然も重なりその配列を一応見つけました。
但しカットされた状態が見つけたデックの初期の配列状態に戻ってしまった
ものと、ボトムにあったカードがカットの結果トップにきた2つの場合では
出来なくなりますが(この状態が起こることはまずないとは思いますが)
これが傷と言えば今のところ傷です。

通常の52枚のトランプでこれを試みていたのですが、むしろ64枚での方が
やり易く感じたので敢えてこの特殊トランプで挑戦しました。


興味が出た方はこの配列状態を見つけ出して下さい。
もっと効率よい方法をお知りの方は教えて下さい。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年09月22日 08:03)

しばしば話題に上がる de Bruijn 数列の B(2,6) ですか?

引用して返信編集・削除(未編集)

たぶん結果的に凄く関係していると思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

グラフソフトをお持ちの方へ(2)

次の9個のグラフを同時に描いてみよう。
C1:x^2+y^2=9^2
C2:(x-15)^2+y^2=6^2
C3:(x-6)^2+y^2=15^2
C4:(x-189/19)^2+(y-180/19)^2=(90/19)^2
C5:(x-81/31)^2+(y-360/31)^2=(90/31)^2
C6:(x+33/17)^2+(y-180/17)^2=(30/17)^2
C7:(x+351/79)^2+(y-720/79)^2=(90/79)^2
C8:(x+135/23)^2+(y-180/23)^2=(18/23)^2
C9:(x+357/53)^2+(y-360/53)^2=(30/53)^2

なお
これに続く3個の円の方程式は?

引用して返信編集・削除(未編集)

一般式は
(x+9(4n^2-25)/(4n^2+15))^2+(y-180n/(4n^2+15))^2=(90/(4n^2+15))^2
なので、続きは
(x+1539/211)^2+(y-1260/211)^2=(90/211)^2
(x+2079/271)^2+(y-1440/271)^2=(90/271)^2
(x+897/113)^2+(y-540/113)^2=(90/339)^2
(x+675/83)^2+(y-360/83)^2=(90/415)^2
(x+4131/499)^2+(y-1980/499)^2=(90/499)^2
(x+1653/197)^2+(y-720/197)^2=(90/591)^2
(x+5859/691)^2+(y-2340/691)^2=(90/691)^2
(x+6831/799)^2+(y-2520/799)^2=(90/799)^2
(x+525/61)^2+(y-180/61)^2=(90/915)^2
(x+8991/1039)^2+(y-2880/1039)^2=(90/1039)^2
(x+10179/1171)^2+(y-3060/1171)^2=(90/1171)^2
(x+3813/437)^2+(y-1080/437)^2=(90/1311)^2
・・・
のようになりますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

一般の場合について考えてみました。
まず今回の設定は最初の2円を右に9移動して
中心(15,0)半径15の円((x-15)^2+y^2=15^2 ⇔ x^2-30x+y^2=0) と
中心(9,0)半径9の円((x-9)^2+y^2=9^2 ⇔ x^2-18x+y^2=0) にすると、一般式は
((4n^2+15)x-360)^2+((4n^2+15)y-180n)^2=90^2
という綺麗な形になります。

そしてさらに半径も一般化すると
原点で接する2円
中心(a,0)半径aの円(x^2-2ax+y^2=0)
中心(b,0)半径bの円(x^2-2bx+y^2=0)
に挟まれる円は
((((a-b)n)^2+ab)x-ab(a+b))^2+((((a-b)n)^2+ab)y-2ab(a-b)n)^2=(ab(a-b))^2
n=0が最大円、n=±1が最大円の隣、n=±2がその隣、・・・
のようになりました。
aとbの大小関係はどちらでもOKですし、負でもOKです。
aもbも負ならばx<0の範囲で同じことが起こり、
aとbの符号が異なる場合(最初の2円が原点で外接する場合)は外接円で同様のことが起こります。
(つまりn=0のとき2円を包む円、n=±1のときその円と元の2円に接する外接円、・・・)

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年09月16日 23:18)

一般化された式で早速実験してみました。
a=-9,b=6
で2円を描き
n=0で大円が
n=1で3つの円に接する円が作れてくるのですが
n=2,3,4,・・・では下方に向かって円が連なっていく行くのですが
これをa=-9の円と大円に接する様に左に進行するようなもの(絵柄的にこちらがかっこいいので・・・)
にするのはどうしたらいいのでしょうか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年09月17日 07:14)

a=15,b=9としたときの図を左に18移動したものですから、
((((a-b)n)^2+ab)x-ab(a+b))^2+((((a-b)n)^2+ab)y-2ab(a-b)n)^2=(ab(a-b))^2
のxを(x+18)にして
a=15,b=9とすればいいですね。
またxを(x-12)にしてa=-15,b=-6にすれば反対側の円も描けます。
一般形の式があるとこんな図も簡単に描けますが、なかったら大変ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

またxを(x-12)にしてa=-15,b=-6にすれば反対側の円も描けます。

うわー!
このアイデアは思ってもいませんでした。
一般化することで応用の道が広がりますね~

引用して返信編集・削除(未編集)

有理化へ挑戦

t=∛2
である時
(1)P=1/(t^2+3*t+1)
(2)Q=1/(t^3+3*t+1)
なる式を有理化させたい。

さてそれぞれどの様な式にできるか?

引用して返信編集・削除(未編集)

(1) (t^2+3*t+1)*(8*t^2-t-5)=41 なので、P=(8*t^2-t-5)/41
(2) t^3+3*t+1=3*t+3 なので、 (3*t+3)*(t^2-t+1)=9 より、Q=(t^2-t+1)/9 ですか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年09月15日 19:13)

あっけなく解決されちゃいまいた。

引用して返信編集・削除(未編集)

グラフ作成ソフトをお持ちの方へ

(1)x^2+y^2+sin(7*x)+sin(7*y)-1=0

(2)x^2+y^2+sin(7*x)+cos(7*y)-1=0

(3)x^2+y^2+cos(7*x)+cos(7*y)-1=0

(4)|x|+|y|+sin(|7*x|)+sin(|7*y|)-1=0

(5)|x|+|y|+sin(|7*x|)+cos(|7*y|)-1=0

(6)|x|*|y|+sin(|7*x|)*cos(|7*y|)-1=0

のグラフが劇的に変化する様子をお楽しみください。

引用して返信編集・削除(未編集)

Grapesで描画しました。そのグラフは明日付でアップ予定です。

引用して返信編集・削除(未編集)

予言パフォーマンス

3×3のマス目を作り
客に9つの枠に好きな一桁の数字を勝手に埋めてもらう。
0を含んでも良いし、数字が重なっていても構わない。

次に埋めた行列の各行の3つある数字から、これも勝手にそれぞれ
1個ずつ選んでいき3桁の整数(第1行が百位、第2行が十位、第3行が一位)
を作ってもらう。
同じように2つ目の3桁の整数を各行で上で選んだ数は除く残り2つから選ぶことで
作ってもらう。
そして、各行残った数字から3つ目の整数を作る。

こうして客が任意に作った3つの3桁の数の合計をしてもらう。
(0が先頭に来た場合は2桁のものとなる。)

勿論あなたは客が作った3つの数は見ないものとする。

あなたは客が計算で求めたであろう合計の数を予言と称して紙に書きつける。

客が合計数を発表。そしてあなたはその予言の紙を見せる。


*さてこのパフォーマンスを成功させるためには、どんな方法を使えば可能でしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

答えは管理人さんが書いてくれてるとして、1つツッコミどころが。

客が3つの数を作る前にやらないと「予言」にならないのでは。

引用して返信編集・削除(未編集)

確かに9マス目の数が
5 1 3
3 6 9
4 2 8
なら客が計算で出す数は
(5+1+3)*100+(3+6+9)*10+(4+2+8)
なので、これは上の行列を90°左回転させ
3 9 8
1 6 2
5 3 4
と眺めて、これを計算しとけばいいことになります。

DD++さんのツッコミがありましたが、客が作る数を見ていないのだから予言とは行かなくても
予知パフォーマンスとはなるんではないかな?

引用して返信編集・削除(未編集)

式の変形

A^2+B^2
は因数分解することは出来ませんが
A=X^2,B=2*Y^2と置き直すと
X^4+4*Y^4
=X^4+4*X^2*Y^2+4*Y^4-4*X^2*Y^2
=(X^2+2*Y^2)^2-(2*X*Y)^2
=(X^2-2*X*Y+2*Y^2)*(X^2+2*X*Y+2*Y^2)
と2つの積で作り直せる。

同じく
A^3+B^3=(A+B)*(A^2-A*B+B^2)
までは出来るが
A=X^2,B=3*Y^2と置き直すと
X^6+27*Y^6=(X^2+3*Y^2)*(X^4-3*X^2*Y^2+9*Y^4)
=(X^2+3*Y^2)*(X^4+6*X^2*Y^2+9*Y^4-9*X^2*Y^2)
=(X^2+3*Y^2)*((X^2+3*Y^2)^2-(3*X*Y)^2)
=(X^2+3*Y^2)*(x^2-3*X*Y+3*Y^2)*(X^2+3*X*Y+3*Y^2)
と3つの積で作り直せる。

A^5-B^5=(A-B)*(A^4+A^3*B+A^2*B^2+A*B^3+B^4)
であるが
A=5*X^2,B=Y^2と置き直すと
(5*X^2-Y^2)*(625*X^8+125*X^6*Y^2+25*X^4*Y^4+5*X^2*Y^6+Y^8)
=(5*X^2-Y^2)*(25*X^4 - 25*X^3*Y + 15*X^2*Y^2 - 5*X*Y^3 + Y^4)*(25*X^4 + 25*X^3*Y + 15*X^2*Y^2 + 5*X*Y^3 + Y^4)
という3つの積の形に作り変えられる。


そこで
A^7+B^7=(A+B)*(A^6-A^5*B+A^4*B^2-A^3*B^3+A^2*B^4-A*B^5+B^6)
ではあるがA,Bを適当に置き直すことで
3つの積で作った形に直してほしい。

引用して返信編集・削除(未編集)

4つだと簡単なので「ちょうど3つの因数」ということですよね?
それならば例えば
A=X^3+1, B=Y^3-1 とすれば
A^7+B^7=(X^3+1)^7+(Y^3-1)^7
=(X+Y)(X^2-XY+Y^2)
{(X^18-X^15Y^3+X^12Y^6-X^9Y^9+X^6Y^12-X^3Y^15+Y^18)
+7(X^15-X^12Y^3+X^9Y^6-X^6Y^9+X^3Y^12-Y^15)
+21(X^12-X^9Y^3+X^6Y^6-X^3Y^9+Y^12)+35(X^9-X^6Y^3+X^3Y^6-Y^9)
+35(X^6-X^3Y^3+Y^6)+21(X^3-Y^3)+7}

引用して返信編集・削除(未編集)

なるほど!
この発想でもいけるのか。
全く関係ありませんが上の第3項目を書き直すと
(X^18+Y^18) - X^3*Y^3*(X^12+Y^12)+X^6*Y^6*(X^6+Y^6)-X^9*Y^9 +
7*{ (X^15-Y^15) -X^3*Y^3*(X^9-Y^9) +X^6*Y^6*(X^3-Y^3)} +
21*{(X^12+Y^12) -X^3*Y^3*(X^6+Y^6) +(X^3-Y^3)+X^6*Y^6} +
35*{ (X^9-Y^9) -X^3*Y^3*(X^3-Y^3) +(X^6+Y^6)-X^3*Y^3} +
7

なおこちらが用意していたのが
A=7*X^2,B=Y^2と置いて出来る
823543*X^14+Y^14=(7*X^2+Y^2)*(117649*X^12 - 16807*Y^2*X^10 + 2401*Y^4*X^8 - 343*Y^6*X^6 + 49*Y^8*X^4 - 7*Y^10*X^2 + Y^12)
=(7*X^2+Y^2)
* (343*X^6 - 343*Y*X^5 + 147*Y^2*X^4 - 49*Y^3*X^3 + 21*Y^4*X^2 - 7*Y^5*X + Y^6)
         * (343*X^6 + 343*Y*X^5 + 147*Y^2*X^4 + 49*Y^3*X^3 + 21*Y^4*X^2 + 7*Y^5*X + Y^6)
なる式でした。



となんかきれい。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年09月01日 05:37)

[続]分度儀に都合の良い三角形

再び申し訳ないのですが
この正多角形をどんどん大きくして行った時、どうしたらいいのか迷っているので
次の問題を考えて頂きたい。

正1000角形の図形があるとする。
この任意の頂点3か所を選んで作られた三角形の内角が全部整数角となる
頂点3か所の選び方(組合せ)は全部で何通りあるかを求めて欲しい。
但し頂点には固有の番号が振り当てられているものとします。
できたら
正2024角形,正2345角形でも求めて欲しい。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年08月25日 08:11)

正1000角形
1000=2^3×5^3、180÷(2^2×5)=9と2×5^2=50は互いに素なので
整数角になるためには頂点を50n個(円周角9n°)単位で使用しなければならない。
∴(1000÷50)C3×50=57000通り

正2024角形
2024=2^3×11×23、180÷2^2=45と2×11×23=506は互いに素なので
整数角になるためには頂点を506n個(円周角45n°)単位で使用しなければならない。
∴(2024÷506)C3×506=2024通り

正2345角形
2345=5×7×67、180÷5=36と7×67=469は互いに素なので
整数角になるためには頂点を469n個(円周角36n°)単位で使用しなければならない。
∴(2345÷469)C3×469=4690通り

つまり正N角形の場合は
g=gcd(N,180)としてgC3×(N/g)通り(ただしg<3のとき0通り)
ということですね。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年08月25日 09:26)

正1000角形について、1辺に対する円周角は、9/50なので、50個のまとまりごとに整数角となる。
よって、自然数k、l、mに対して、9k+9l+9m=180 から、 k+l+m=20
回転させて重なる解(k,l,m)は同一視して、手作業で解を求めると、57通り
よって、三角形の選び方は、57×1000=57000(通り)となる。
#らすかるさんの結果と一致して、安心しました!

引用して返信編集・削除(未編集)

分度儀に都合良い三角形作り

一般に正n角形があり
その任意の相異なる3頂点A,B,Cを選んで三角形ABCをつくるとき
内角のすべてが整数度(1°の整数倍)となるような三角形である
ことが起こる3点の選び方はそれぞれ何通りあるか?
(1)n=14
(2)n=15
(3)n=16

引用して返信編集・削除(未編集)

(2)は
正15角形のどの3頂点を選んでも、その3点で作られる三角形のすべての内角は整数度になるから
15C3=455通り
となるような気がしますが、
もし私の勘違いでしたらご指摘下さい。

引用して返信編集・削除(未編集)

(2)(3)を計算してみました。3点の選び方が問題なので、合同や裏返しで重なる三角形も異なると見なしてよい。

(2) 正15角形の1辺に対する円周角は、12°で、これらを組み合わせて三角形を作ることになる。
よって、15個の頂点から3つの頂点を選ぶ場合の数は、15C3=455(通り)。
#当初、考え違いをしていることに気づき、修正しました。

(3) 正16角形の1辺に対する円周角は、11.25°で、これらを組み合わせて三角形を作るには、
(4,4,8)、(4,8,4)、(8,4,4)の組み分けで三角形が作られる。
 よって、求める場合の数は、16×3=48(通り)

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年08月24日 16:23)

(2)は455(通り)の組合せで、お二人とも正解です。
(3)は私の解と管理人さんとは異なっています。
できたらその48通りは具体的に頂点の部分を{1,2,3,・・・,16}
とするとき、どの頂点の3つを選んでいるのかを示してくれませんか。

引用して返信編集・削除(未編集)

全く自信はありませんが...。
頂点を1、2、・・・、16とした場合、(4,4,8)が表す三角形として
159とか2610とか、・・・で、∠519=∠591=45°、∠159=90°
となります。

引用して返信編集・削除(未編集)

外接円を考えたときに、任意の 2 頂点間にできる中心角が偶数度になればいいと考えます。

(1)
360/14 を整数倍して偶数を作るには 7 の倍数を掛けるしかなく、正の 7 の倍数 3 つ合計で 14 にはできません。
よって 0 通り。

(2)
360/15 を整数倍して偶数を作るには任意の整数でよく、結局 A,B,C を重複しないように任意に選べばいいです。
よって 15P3 = 2730 通り。

(3)
360/16 を整数倍して偶数を作るには 4 の倍数を掛けるしかなく、正の 4 の倍数 3 つ合計で 16 になるのは 4,4,8 という組み合わせのみ。
つまり直角二等辺三角形を作るしかありません。
A が直角なものが 16*2 = 32 通り、B と C についても同じ個数あるので、全部で 32*3 = 96 通り


##「3頂点を選んで三角形をつくる」のではなく、「3頂点A,B,Cを選んで三角形ABCをつくる」問題ですから、点の名前が入れ替われば別物とすべきだと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

(1)は90°の角度は作れるが(1,2,9の頂点など)他の内角は整数になれなく、結局0(通り)
(2)は出題の時3点を何気にA,B,Cと言ってしまったのでDD++さんの解釈が起こったが(こう質問するとDD++さんが正しい。)
こちらが思っていたのは、15個の頂点の3つの組合せが幾つ取れるか?
のつもりで考えていたので15C3=455(通り)でお願いしておきます。
(3)は直角二等辺三角形なら、条件を満たすので、これも頂点1,2,3,・・・,16
からの3つの頂点の選び方は各頂点に90°の部分がくる場合の16(通り)
という予定でした。

正n多角形と、その頂点の任意の3点を結んで作る三角形の3つの内角がどれも整数角となれるのが
n=5 -->各内角は36°の整数倍
n=6 -->各内角は30°の整数倍
n=9 -->各内角は20°の整数倍
n=10 -->各内角は18°の整数倍
n=12 -->各内角は15°の整数倍
n=15 -->各内角は12°の整数倍
n=18 -->各内角は10°の整数倍
n=20 -->各内角は9°の整数倍
n=30 -->各内角は6°の整数倍
n=36 -->各内角は5°の整数倍
が起こせるんですね。
計算をして初めて気付けました。

引用して返信編集・削除(未編集)

指数和

aとbは互いに素な正の整数、kは2以上の整数、nはabの倍数である正の整数とします。
以下のΣはΣ[x[1]=1~n]Σ[x[2]=1~n]…Σ[x[k]=1~n]の意味とします。
f(m)=e^(2πi x[1]x[2]…x[k]/m)とします(i=√-1)。
Σf(a)*Σf(b)/Σf(n)の値を求めて下さい。

引用して返信編集・削除(未編集)

勘違いだったらすみませんが、これ分母が 0 になりませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

結合法則を満たすとは

結合法則とは
ある演算∘に対し
(a∘b)∘c=a∘(b∘c)
がいつも成り立つことを指す。

そこで今集合Mの演算を
Mの二つの元に対しMの元一つを対応させる規則
f:M×M→Mへの写像
f(a,b)=a∘b  (∀(a,b)∈M×M, ∃a∘b∈M )
で定義することにする。

さてこの時
(1)Mの元が2個である時
M×Mの元は2^2=4個でM×MよりMへの写像はM×Mの各元に対し
2通りある行き先を指定するので、全部で2^(2^2)=16(通り)の写像が
考えられる。
ではこの中で結合法則を満たす写像は何通りあるか?

(2)Mの元が3個である時
全部で3^(3^2)=19683(通り)の写像の中で
結合法則を満たす写像は何通りあるか?

(3)Mの元が4個である時
全部で4^(4^2)=4294967296(通り)の写像の中で
結合法則を満たす写像は何通りあるか?

引用して返信編集・削除(未編集)

(1)は、8通りとなりました。

引用して返信編集・削除(未編集)

ある本を読んでいるとき、この写像と結合法則の組合せについての記述を読んで
実際どんな写像(演算)が条件を満たすのかを知りたくなり、Mの要素が2つの場合に
全部(16通り)を全てチェックしたら、管理人さんと同様に8通りであることを実験から
見つけられました。
でもこれを前もってわかることはどうしても見つけられなく、次のMの要素が3個の場合は
全部で19683通りもあるので、何とかコンピュータを利用してカウントしない限り分からない
と感じそのプログラムをどう設計すれば可能なのかと、あれこれ試行錯誤を繰り返して組み上げて
いきました。(何日も組み方が分からず悪戦苦闘の連続でした。)
やっとこれで求まるのではないかと思われるプログラムで計算した結果が113通りでした。
Mの要素が4なら3492通りになりました。(結果が出るまで随分時間がかかりました。)
Mの要素が2の場合に較べ、その比率が極端に小さくなったのでこの結果は自信がありませんでした。
この僅かの8,113,3492を例のOEISで検索すると
A023814がヒットしました。
でもこのサイトでの説明文では何も結合法則なる記述はなく、数は一致するもこれが求める数を
示すものかいまいち自信がありません。
何方かこの数を示す正しい数値を見つけて貰いたいのですが・・・

もしこの数値が正しいなら結合法則が成り立つとはとても珍しい現象であると認識しないと
いけないものだと思える。

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさん

>この僅かの8,113,3492を例のOEISで検索すると
>A023814がヒットしました。
>でもこのサイトでの説明文では何も結合法則なる記述はなく、数は一致するもこれが求める数を
>示すものかいまいち自信がありません。


英語の意味を検索すると、

associative : 〔演算などが〕結合的な、結合律[法則]を満たす

binary operation : 二項演算

らしいので、

" Number of associative binary operations on an n-set "

は

「要素数nの集合における結合法則を満たす二項演算の数」

となってGAIさんが知りたいものそのものではないでしょうか?

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