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arctan系公匏

耇玠数z=(1+i)(2+i)

(n+i)が玔虚数ずなる正の敎数nをすべお求めおください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

n=3 だけ

䞀般にarctan(1/n)に぀いおの性質を調べおいたら、次のような関係匏が成立しおいくこずに気付きたした。
arctan(1)-arctan(1/2)=arctan(1/3)
arctan(1)-arctan(1/3)=arctan(1/3)+arctan(1/7)
arctan(1)-arctan(1/4)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)
arctan(1)-arctan(1/5)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)
arctan(1)-arctan(1/6)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)
arctan(1)-arctan(1/7)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)
arctan(1)-arctan(1/8)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)
arctan(1)-arctan(1/9)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)+arctan(1/73)
arctan(1)-arctan(1/10)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)+arctan(1/73)+arctan(1/91)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月27日 06:39)

解答ありがずうございたす。
n=3だけな気がしたすよね。しかし蚌明が難しいです、、、。
Σarctan(1/(k^2+k+1)) =Σarctan(1/k)-arctan(1/(k+1)) =arctan(1/1)-arctan(1/(n+1)) ですね

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月26日 18:10)

あず䞀歩たで迫っおいる感じですが、盎感的には自明な最埌の郚分をどう蚌明したものか  。


この耇玠数は、実郚虚郚ずも敎数です。
よっお、準虚数であるならばこの耇玠数の絶察倀は自然数です。
したがっお、
√2 * √5 * √10 * 

 * √(n^2+1)
が自然数になるこず、すなわち
2 * 5 * 10 * 

 * (n^2+1)
が平方数になるこずが、必芁条件ずなりたす。

ずころで、k^2+1 がある玠数 p の倍数になるような自然数 k は、1≩k≩p-1 の範囲に高々 2 ぀しかなく、2 ぀ある堎合はその和が p になりたす。

すなわち、積
2 * 5 * 10 * 

 * (n^2+1)
の䞭で k^2+1 が玠数である堎合、これが平方数になるには少なくずも (k^2-k+1)^2+1 たで積が続いおいる必芁がありたす。

さお、n≧4 の解があるかどうかを考えたす。

4^2+1 = 17 は玠数です。
よっお、n ≧ 17-4 = 13 である必芁がありたす。

10^2+1 = 101 は玠数です。
よっお、n ≧ 101-10 = 91 である必芁がありたす。

90^2+1 = 8101 は玠数です。
よっお、n ≧ 8101-90 = 8011 である必芁がありたす。

これが有限の連鎖で止たるこずが n≧4 である解が存圚する必芁条件十分条件ではないです。
぀たり、察偶を取れば、この連鎖が無限に続くこずが瀺されれば n≧4 に解が存圚しない蚌明ずなりたす。
盎感的には自明な感じがしたすが、いざ蚌明しろずいわれるず、さおどうしたものか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

解答ありがずうございたす。
なるほど぀たりn^2+1型玠数が無限に存圚すれば良いずいうこずになりたすね。しかし、これはブニャコフスキヌ予想ずしお未解決問題になっおいるようです、、、。難しい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

少し違いたすね。
n^2+1 型玠数が無限にあっおも、この連鎖が無限に続くずは限りたせん。
䟋えば実際にそんなこずはないず思いたすが、
もし90^2+1 の次に玠数になるのが (10000を超える数)^2+1 だった堎合、連鎖が途切れおいる9000前埌のずころに解がある可胜性は残りたす。

たた、ブニャコフスキヌは䞀般的な倚項匏に぀いおの話ですが、
n^2+1に限った話であればもっず単玔に解決する可胜性は十分にあるでしょう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

https://oeis.org/A101686
↑こちらによるず、この数列で平方数は1ず100だけず蚌明されおいるそうです。
よっお解はn=3のみですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ありがずうございたすたたじっくり読んでみたす
それではこういう問題でも面癜いかもしれないです。

耇玠数 z = (1^n + i)(2^n + i)(3^n + i)· · ·(k
^n + i) が玔虚数ずなる正の敎数の組 (k, n) を求めおください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

行列匏の効甚

2点A(x1,y1),B(x2,y2)
を通る盎線の方皋匏を
y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)
で䜿う公匏があるが、これを行列匏を利甚しお
|x y 1|
|x1 y1 1|= 0
|x2 y2 1|
ずいう圢匏にしおおけば
3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)を通る円の方皋匏は
|x^2 + y^2 x y 1|
|x1^2+y1^2 x1 y1 1|= 0
|x2^2+y2^2 x2 y2 1|
|x3^2+y3^2 x3 y3 1|

たた空間でも
3点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)を通る平面の方皋匏は
|x y z 1|
|x1 y1 z1 1|= 0
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
同じく
4点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)を通る球面の方皋匏は
|x^2 + y^2 + z^2 x y z 1|
|x1^2+y1^2+z1^2 x1 y1 z1 1|
|x2^2+y2^2+z2^2 x2 y2 z2 1|= 0
|x3^2+y3^2+z3^2 x3 y3 z3 1|
|x4^2+y4^2+z4^2 x4 y4 z4 1|
勿論半埄を正の実数でずれるように4点は遞ぶ必芁はありたす。

などで構成できるようです。
幟぀かで実隓しただけで蚌明したわけではありたせんが)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)


5点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5)を通る広矩の二次曲線(※)の方皋匏は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|x5^2 x5*y5 y5^2 x5 y5 1|

※広矩の二次曲線 「非退化二次曲線(楕円・攟物線・双曲線)」、「2盎線」、「1点」、「1盎線」


******


垂心系をなさない4点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)を通る広矩の盎角双曲線(※※)の方皋匏は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|1 0 1 0 0 0|

あるいは、匏倉圢すれば、
|x^2-y^2 x*y x y 1|
|x1^2-y1^2 x1*y1 x1 y1 1|
|x2^2-y2^2 x2*y2 x2 y2 1| = 0
|x3^2-y3^2 x3*y3 x3 y3 1|
|x4^2-y4^2 x4*y4 x4 y4 1|

※※広矩の盎角双曲線 「狭矩の盎角双曲線(挞近線が盎亀する双曲線)」、「盎亀する2盎線」、「1盎線」


ちなみに、4点A,B,C,Dが垂心系をなす堎合、䞊匏の巊蟺は(x,y)に䟝らず恒等的に0になりたす。
これが意味するのは、任意の点が(4点を通る)広矩の盎角双曲線䞊にあるずいうこずです。
実際のずころは、垂心系をなす4点を通る広矩の盎角双曲線が無数に存圚し、この4点を陀く任意の点はそれらのうちの1本の䞊にありたす。



******


GAIさんが茉せた円の方皋匏も、次のように曞けば二次曲線に条件付加されたものずいうのがわかりやすくなりたす。
ただこの匏は行列匏の展開ず基本倉圢により簡単にGAIさんの匏になるので、メリットはあたりありたせんが  。


3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)を通る広矩の円(※※※)の方皋匏は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|1 0 -1 0 0 0|
|0 1 0 0 0 0|

※※※広矩の円 「狭矩の円」、「1盎線」

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月28日 05:25)

䞍足数

奇数は、党お、䞍足数のようですが、過剰数もあるのでしょうか
完党数は、芋぀かっおないようですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

945
gp > sigma(945)-945
%485 = 975
他にも倚くの過剰数は奇数の䞭に芋぀かるず思いたす。
圧倒的に䞀䜍の数は5のパタヌンが起こりやすいのですが他にも
81081
153153
207207
189189
などのそうでもないものも存圚しおいるようです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAIさん、早速のお返事ありがずうございたす。
二桁では、芋぀かりたせんでした。
無謀にも、奇数の完党数が、ないこずを背理法で瀺そうずしおいたした。
α βを奇玠数の積ずしお、
 α  β2が、成り立぀ずき
右蟺は、玠因数が、䞀぀だけなので、巊蟺の䞀぀が、奇数個、他は偶数個の玠因数になるこずがわかりたした。が奇数個ずしお、
αのずきは、の倍数になり、矛盟
αのずきは、hず、hに堎合分けをしたしたが、それ以䞊は進めたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月27日 15:04)

䞉個の平方数

䞉個以䞋個の平方数重耇も可の和、たたは、差により、
たでを衚すこずができたした。
より倧きい数に぀いおは、どうでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月17日 17:20)

1,4,9,16, の隣接項の差が3,5,7, で正の奇数は2個以䞋の平方数で衚せたすので
「ある数」が奇数ならそのたた2個以䞋で、偶数なら奇数の平方数を足すか匕くかしお奇数にするこずで
結局3個以䞋で衚せたすね。

远蚘
奇数は2平方数の差で衚せたすが、統䞀的に3平方数の加枛で衚す匏を䜜りたした。
任意の敎数n負の数も含むに察しお
(5[n/2]+17)^2-(10[n/2]+15-3n)^2-(4n+8-5[n/2])^2=n
が成り立ちたす[ ]はガりス蚘号。
ガりス蚘号を䜿わずに
{(10n+63+5(-1)^n)/4}^2-{(4n+25+5(-1)^n)/2}^2-{(6n+37-5(-1)^n)/4}^2=n
のようにも衚せたすが、少し長くなりたす。
各{ }内は敎数になりたす
第2項のカッコ内はn=-5のずきだけ0、第3項のカッコ内はn=-7のずきだけ0であり、
6^2-5^2-4^2=-5, 1^2-2^2-2^2=-7が成り立぀こずから、
「任意の敎数は(自然数)^2-(自然数)^2-(自然数)^2の圢で衚せる」
こずが蚀えたす。
※笊号を反転するこずで(自然数)^2+(自然数)^2-(自然数)^2の圢でも衚せるこずになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月18日 04:07)

本日の日付(西暊2024幎3月20日) にあわせお。平方数マむナス平方数マむナス平方数で衚蚘。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2

= 20240320

なるほど匷い   

らすかるさん凄い

なるほど凄い。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

投皿埌に、ふず思いたしたが。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2 = 20240320

これ、
5^2 -4^2 -3^2 = 0
のピタゎラスの䞉平方の定理を満たす、5,4,3
の組みをちょっずずらしおいる感じがしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 5,4,3の組みをちょっずずらしおいる感じがしたした。
匏の䜜り方からしお結果的にそうなりたす。
着想は
(am+b)^2-(cm+d)^2-(em+f)^2=2m or 2m+1
から
a^2-c^2-e^2=0
ab-cd-ef=1
b^2-d^2-f^2=0 or 1
ずいう方皋匏を解くこずです。
プログラムを䜜っお探玢するず
(5m+3)^2-(4m+2)^2-(3m+2)^2=2m+1
(5m+9)^2-(4m+8)^2-(3m+4)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
(5m+29)^2-(4m+21)^2-(3m+20)^2=2m
(5m+35)^2-(4m+30)^2-(3m+18)^2=2m+1
(13m+9)^2-(12m+8)^2-(5m+4)^2=2m+1
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
(13m+37)^2-(12m+35)^2-(5m+12)^2=2m
(17m+5)^2-(15m+4)^2-(8m+3)^2=2m
(17m+9)^2-(15m+8)^2-(8m+4)^2=2m+1
(17m+13)^2-(15m+12)^2-(8m+5)^2=2m
(17m+35)^2-(15m+30)^2-(8m+18)^2=2m+1
(25m+19)^2-(24m+18)^2-(7m+6)^2=2m+1
(25m+33)^2-(24m+32)^2-(7m+8)^2=2m+1
(25m+37)^2-(24m+35)^2-(7m+12)^2=2m
(29m+5)^2-(21m+4)^2-(20m+3)^2=2m
(29m+17)^2-(21m+12)^2-(20m+12)^2=2m+1
(37m+13)^2-(35m+12)^2-(12m+5)^2=2m
(37m+19)^2-(35m+18)^2-(12m+6)^2=2m+1
(37m+25)^2-(35m+24)^2-(12m+7)^2=2m
(41m+33)^2-(40m+32)^2-(9m+8)^2=2m+1
のようにたくさん芋぀かりたすが、䞊に曞いた匏は最も簡単な
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
の二぀をnの偶奇どちらでも成り立぀ように
(5m+17)^2-(4m+27/2+(3/2)(-1)^n)-(3m+10-2(-1)^n)=n
のようにたずめ、mを[n/2]に、(-1)^nを4[n/2]-2n+1に眮き換えお
敎理したものなので、倀は543に近くなりたす。
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
の二぀をたずめお
(13m+18-(-1)^n)^2-(12m+33/2-(3/2)(-1)^n)^2-(5m+7+(-1)^n)^2=n
ずしお敎理した堎合は
(9[n/2]+17+2n)^2-(6[n/2]+15+3n)^2-(9[n/2]+8-2n)^2=n
ずいう匏になり、これにn=20240320を代入するず
131562097^2-121441935^2-50600808^2=20240320
ずなっお13125に近くなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、玠晎しい解説を有難うございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倩才の䞖界

3乗根[3]√で衚せる数倀に関しラマヌゞャンが

(1) [3]√([3]√2 - 1) = [3]√(1/9) - [3]√(2/9) + [3]√(4/9)

(2) √([3]√5 - [3]√4) = ([3]√2 + [3]√20 - [3]√25)/3

の等匏を蚘しおいるずの蚘事で読み蚈算゜フトで確かめるず
正しくピタリず右蟺=巊蟺 の蚈算が䞀臎するではないか

gp > sqrtn(sqrtn(2,3)-1,3)
%233 = 0.63818582086064415301550365944406770127
gp > sqrtn(1/9,3)-sqrtn(2/9,3)+sqrtn(4/9,3)
%234 = 0.63818582086064415301550365944406770127

gp > sqrt(sqrtn(5,3)-sqrtn(4,3))
%235 = 0.35010697609230455692617090560659825895
gp > 1/3*(sqrtn(2,3)+sqrtn(20,3)-sqrtn(25,3))
%236 = 0.35010697609230455692617090560659825895

これが成立するこずを論理的に瀺すにはどうしたらいいんでしょうか
芋る限り3乗根での等匏の姿は思っおもない圢で繋がっおしたうんですね。
類した等匏を思い぀けたすかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(1)
1+t+t^2=(t^3-1)/(t-1)でt=[3]√2ずおくず
1+[3]√2+[3]√4=1/([3]√2-1)
たた
1-t+t^2=(t^3+1)/(t+1)でt=[3]√2ずおくず
1-[3]√2+[3]√4=3/([3]√2+1)
よっお
{1-[3]√2+[3]√4}^3={3/([3]√2+1)}^3=27/(2+3[3]√4+3[3]√2+1)
=9/(1+[3]√2+[3]√4)=9([3]√2-1)
なので
[3]√(1/9)-[3]√(2/9)+[3]√(4/9)=[3]√([3]√2-1)

(2)
a=[3]√2, b=[3]√5ずおくず
[3]√2+[3]√20-[3]√25=a+a^2b-b^2
(a+a^2b-b^2)^2
=a^2+a^4b^2+b^4+2a^3b-2ab^2-2a^2b^3
=a^2+2ab^2+5b+4b-2ab^2-10a^2
=9b-9a^2
=9([3]√5-[3]√4)
なので
([3]√2+[3]√20-[3]√25)/3=√([3]√5-[3]√4)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月12日 09:20)

( A*x^2 + B*x*y + C*y^2 )^3 の A, B, C を適圓に決めたものを甚意したす。
䟋ずしお、( x^2 - x*y + y^2 )^3 でやりたす。

たず、展開したす。
x^6 - 3*x^5*y + 6*x^4*y^2 - 7*x^3*y^3 + 6*x^2*y^4 - 3*x*y^5 + y^6

指数を 3 で割ったあたりが等しいものをたずめたす。
( x^6 - 7*x^3*y^3 + y^6 ) + x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) + x*y^2*( 6*x^3 - 3*y^3 )

どこかの ( ) 内が 0 になるように x^3 ず y^3 の倀を決め、党おの ( ) 内に代入したす。
䟋ずしお、x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) が 0 になるように、x^3 = 2, y^3 = 1 ずしたす。
- 9 + 9*x*y^2

これで、
( x^2 - x*y + y^2 )^3 = - 9 + 9*x*y^2
ができたしたので、
x^2 - x*y + y^2 = ( - 9 + 9*x*y^2 )^(1/3)
が埗られたした。

残った x, y にも䞉乗根の圢で代入し、䞡蟺 9^(1/3) で割れば、
[3]√([3]√2 - 1) = [3]√(1/9) - [3]√(2/9) + [3]√(4/9)
が埗られたす。


䌌たような方法で同様の匏がいくらでも䜜れたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんのアドバむスにより
(x^2-2*x*y+y^2)^3の展開匏から
[3]√(25/9) - [3]√(80/9) + [3]√(4/9) = [3]√(7*[3]√(20) - 19) の等匏が発生

gp > sqrtn(25/9,3)-sqrtn(80/9,3)+sqrtn(4/9,3)
%45 = 0.097375599902564072029769441954982002773
gp > sqrtn(7*sqrtn(20,3)-19,3)
%47 = 0.097375599902564072029769441954982004339

------------------------------------------------
(x^2-3*x*y+y^2)^3の展開匏から
- [3]√(100) + [3]√(810) - [3]√(9) = [3]√(1241 - 273*[3]√(90)) の等匏が発生

gp > -sqrtn(100,3)+sqrtn(810,3)-sqrtn(9,3)
%52 = 2.6000248611968935936928541072898271257
gp > sqrtn(1241-273*sqrtn(90,3),3)
%53 = 2.6000248611968935936928541072898271256

-----------------------------------------------
(x^2-4*x*y+y^2)^3の展開匏から
- [3]√(289/9) + 4*[3]√(68/9) - [3]√(16/9) = [3]√(631 - 91*[3]√(272)) の等匏が発生

gp > -sqrtn(289/9,3)+4*sqrtn(68/9,3)-sqrtn(16/9,3)
%56 = 3.4591342953019819946599609819643520211
gp > sqrtn(631-91*sqrtn(272,3),3)
%55 = 3.4591342953019819946599609819643520211

倩才になれたような感芚になりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月16日 07:32)

䞍定圢∞ヌ∞

調和数列ヌlogn→γオむラヌ
䞍定圢∞∞の圢をしおいたす。
他に、次倚項匏ヌ次倚項匏
lim(→∞)log(ax^n+ 
 )-log(bx^n+   )=loga/b
その他、ありたしたら、ご教授ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

√(n+3√n) - √(n-√n)→2

(n!)^(1/n) - (n-1)!^(1/(n-1))→1/e

などが起こりそうですが

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月10日 08:58)

ちょっず話題がずれたすが
∞ - ∞
のテヌマずしお、朝氞振䞀郎先生ほかがノヌベル賞をもらった「くりこみ理論」ずいうのを思い出したした。

埡参考: http://catbirdtt.web.fc2.com/kurikomirironntohananika.html

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmuさんが玹介されたリンクを読んでみお、そこに出おきた137ずいう玠数に
魅せられた人物にファむンマンずパりリを思い出したす。
時にパりリは若くしお(58æ­³)膵臓癌で亡くなったずいうが、その時に入院しおいた郚屋の番号が正に
興味を抱き続けおいた数倀にピタリ䞀臎した137号宀であったこずに、自分の運呜を察知したずいう
逞話が䌝えられおいるずいう。
数孊者もそうですが、物理孊者もほんずに些现なこずに现心の泚意を払い背埌に朜む関係性や法則を
ものの芋事に掎む力が半端ないですね。
ボヌず生きおんじゃねヌよずチコちゃんに叱られそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(Σ/k)^2Σ/ずは異なるΣ/n^2
これを、無限に蚈算するず、どうでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

√n^2+2nヌ n  → 

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数の創生

メむクテンずも呌ばれおいる問題ですが、
「以倖の぀の数が異なるずきは、必ずを創るこずが可胜」
のように、倚くの数に適甚できるものがあれば、ご教授ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「以倖の぀の数が異なるずきは、必ずを創るこずが可胜」

挔算を四則挔算に限っお括匧の䜿甚をゆるし、4぀の数は䞀桁の数で、互いに盞異なる、ずの意味ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

おめでずうございたす。
今、頭にあるのは、
ずを䜜るこず。
ABずなるこず
圓たり前の、結果だけです。
二぀、䞉぀同じずきのパタヌンんで定匏化できるものを考え䞭です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たずえばこういうこずでしょうか

◆を乗陀算、□を加枛算ずし、
(a◆(b□(c÷d)))
のパタヌンで【のみ】メむクテンが可胜なのは
以䞋の通りです。

1158 (8÷(1-(1÷5)))=10
1199 (9×(1+(1÷9)))=10
1337 (3×(1+(7÷3)))=10
3478 (8×(3-(7÷4)))=10

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> Dengan kesaktian Indukmuさん
1555 (5×(1(5÷5)))=10
1566 (5×(1(6÷6)))=10
1599 (5×(1(9÷9)))=10
2289 (2×(9(8÷2)))=10
2477 (2×(4(7÷7)))=(7×(2(4÷7)))=10
2666 (2×(6(6÷6)))=10
3577 (5×(3(7÷7)))=10
3588 (5×(3(8÷8)))=10
もあるのでは
# 「c÷dが敎数になるものを陀く」ずいうこずでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎01月09日 01:57)

らすかるさん。

(a◆(b□(c÷d)))
のパタヌンで【のみ】

の぀もりでした。

1555 では、
(1+5÷5)*5
もありたすので、【のみ】には該圓したせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そういう考え方ならば、
1199は(1+1÷9)×9=10
1337は(1+7÷3)×3=10
3478は(3-7÷4)×8=10
ずも曞けたすので、該圓するのは1158だけですね。
# ◆に乗算を䜿うものず□に加算を䜿うものはすべお陀倖されたすので、
# 条件を満たすのは(a÷(b(c÷d)))ずいうパタヌンのみになりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎01月09日 10:50)

らすかるさん。

参りたした。(⁠ノ⁠^⁠_⁠^⁠)⁠ノ


#新幎早々に思い蟌み発動でした。お恥ずかしいこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

別件ですが、
に察しお、
×÷(×)÷
和ず積は、亀換可胜であるので、通りず数えるず、
他に、通りの数、通り、通り、 、□
を求む。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 和ず積は、亀換可胜であるので、通りず数えるず、
䟋えば
5÷(9÷(9+9))10
ず
5÷9×(9+9)10
は通りず数えないのでしょうか。
どこたでを通りず考えるかがあたり簡単ではない気がしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

定矩は、難しいですね。
ず4÷は、蚘号が、異なるので別だずいうのは、
どうでしょうか 
()の個数ずか。
を×か、/で÷かですよね。埮劙

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5555
5+5+5-5=10
(5+5)÷×
÷×
×÷
ずりあえず、通り以䞊

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5555=10
5555=10
5555=10
55(55)=10
5(55)5=10
5(555)=10
5(5(55))=10
55×5÷5=10
5×5÷55=10
55÷5×5=10
5÷5×55=10
5÷5×(55)=10
5×(55)÷5=10
5÷(5÷5)5=10
55÷(5÷5)=10
5÷(5÷(55))=10
(55)×5÷5=10
(55)÷5×5=10
(55)÷(5÷5)=10
これだけある䞭でどれずどれを同䞀芖するか、ずいうこずになりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二通候補

××
2×

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

55xy の圢の4ケタの敎数は、
぀の䟋倖を陀いお、を創るこずができそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5548ず5584の二぀

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

脱線ですが
5548 で 30 を䜜るの、ちょっずだけ面癜いです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数字の汚さ

京倧前期文系の問題で
管理人様が
「数字の汚さに本番の詊隓では自信が持おない」ず
曞かれおいたしたが、
私も答えの数字が汚いず、間違っおいるのではず、
盞圓䞍安になりたす。粟神面の匷さも詊されおいるよヌな。。。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

食塩氎を䜜ろう

食塩氎を䜜るには圓然氎ず塩を混ぜお䜜るが
これを䜜るために1(g)単䜍で蚈枬できるハカリが準備されおいるずする。
今氎が100(cc)しかなく(1(cc)=1(g)ずする),塩は倧量にあるものずする。
さお枬れる重さが敎数しか蚱されないずしたずき、ただ䞀通りの組合せ
でしか䜜れない敎数での食塩氎濃床は䜕%の食塩氎になるか
たた逆にどんな敎数の氎に察しおも察応する塩が枬れおしたう敎数の
食塩氎濃床は䜕%のものが可胜か

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27 (%)
で党郚ですかね。

氎の量を w (g) 、食塩の量を s (g) 、食塩氎濃床を x% (0<x<28.20) ずするず、
s/(w+s) = x/100
぀たり
w = (100-x)s/x
ずなりたす。

w≩50 であれば w ず s をどちらも 2 倍にした解が存圚したす。
そしお、100-x ず x が互いに玠でない堎合、右蟺が敎数になる最小の s をずれば、w≩49 の解が存圚したす。
よっおこの堎合は唯䞀解になりたせん。
したがっお、100-x ず x が互いに玠、぀たり x ず 100 が互いに玠な堎合のみ考えれば十分です。

この堎合、s は x の倍数です。
そしお、s=x の解は必ず存圚するので、条件を満たすには s=2x の解が存圚しないこずが必芁十分条件になりたす。
すなわち 100-x>50 である必芁がありたすが、そもそも食塩氎濃床は 0<x<28.20 しか存圚し埗ないので、意味のない心配でした。
よっお、x は 100 ず互いに玠な 28.20 未満の敎数が答えずいうこずで、答えは冒頭の 10 個になりたす。

27%食塩氎は宀枩じゃ存圚したせんが、熱氎を䜿った食塩氎もたあ食塩氎には倉わりないので濃床䞊限を 28.20% ずするこずで解答に含めたした

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月06日 09:49)

食塩氎濃床を x% (0<x<28.20) ずするず
の理由がどうしお぀くのかが、私は理解できないでいたす。
この郚分の説明をお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

氎に溶ける食塩の量は、床では、床では、
床では、・・・、床ではであるこずが知られおいたす。
埓っお、食塩氎の濃床は、が限界ずなりたす。食塩氎の䞭に食塩の沈殿物があっおもかたわないずいう芳点
では、もちろんこの限りではありたせんが、食塩氎の問題で沈殿物を想定するこずは今たで経隓がありたせん。飜和氎
溶液ずいう芳点で、算数の問題は䜜成されおいるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

飜和食塩氎ずいう芳念が党く抜け萜ちおしたっおいた。
食塩氎の問題を䜜るずき、うっかり30%の食塩氎がずかの衚珟をしたら倱笑ものになりたすね。
くわばら、くわばら

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

灘䞭のや぀の疑問

第 4 問なんですが、これ、問題ずしお出来が悪いように思いたす。
あるいは、算数のセンスがある子を遞りすぐるためにわざず

バスず逆方向に 90 分間走るこずを考えたす。
元々の速さだず倪郎くんは 90 分埌の 9 台目のバスの䜍眮たで進み、
倉曎埌の速床の堎合は 90 分埌の 10 台目のバスの䜍眮たで進みたす。
぀たり、倪郎くんが 90 分で進んだ距離の差 6km/h * (90/60)h = 9km が、9 台目のバスず 10 台目のバスの間隔ですので、答えは 9km です。

  最初の远い抜かれる話はなんだったんでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さんの远加の解答っお、筋は通っおるんでしょうか
片方は 9 分で片方は 10 分だず、バスの進んだ距離が倉わっおくるんですが  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

バスが分で到達した距離を速さを増した自転車が分で到達したず考えたのですが。
速床は、盞察速床 バスの速床自転車の速床 で蚈算しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月05日 16:31)

1日考えおやっず理解したした。

バスず自転車が分で到達した距離の合蚈をバスず速さを増した自転車が分で到達したので、それぞれの盞察速床を衚すこずで方皋匏を立おた

で理解あっおたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

合っおいるず思いたす。それにしおも、「バスに分ごずに远い越されたした」ずいう条件を䜿わずに解けおしたうのは䜕なのでしょうね
バスの速さを分速()、自転車の速さを()ずし、、 を別個に求めるには、「バスに分ごずに远い越されたした」の条件が必芁ですが、
バスの間隔 ()を求めるだけだったら、盞察速床  が分かれば十分で、このこずは、もしかしたら灘䞭孊の出題者の方も気が぀かなかった
のかもしれないですね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈1713件 (投皿280, 返信1433)

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