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x^4+20015y^4=z^4+20015w^4 の自明でない整数解

不定方程式 x^4+20015*y^4=z^4+20015*w^4 の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか計算した。

8513710387513^4+20015*209949857134^4=8527633537859^4+20015*122012568856^4

9892332126346429069688889044164658960191848102869506039998033551555613270738667910553646254942303626304035^4+20015*282375846852921480964433503904805379625885825616798886856138678934021519680884390219919579234359698449992^4=9925032812819466394586889015510060805356844220367653327693761849044080174621341735884401992515201427554265^4+20015*2411350229317465545384305070959991472669092998108164006242023765105913395933698810937773983094372796242^4

2677651100023618434981109559850488552207531569795312055822533434762892478328869837245922825028883845330896533406380578399171989175645491578236184558369650942043167887283166034896128860985587951254126001206787530210231033783856955984867477707280557291599961248650508760544906753647258616108293^4+20015*66680387190839598447192830900882557165237093380565781626016688802289031437057753259818562302480089665266565530086182295250137953199601610360376839747332802418023869520001221278145719210939803794285672907913249355673307795087120078111916422228362388282962817283155153566658992906461835606058^4=2682290206168498752428379800354386881589412555237532430773808981536199171442827714063918824549894051072804350925002296223125105100397923131621600995058828381645481051740753148842918794116724793219285668091432989366306082302758312409560397598020095239610331676397752987509204244284658329188551^4+20015*37242769748266728770397483705109275936877996884424010539720740943619058778327792120177159846186420220824987595710455752892289885898906305825286884259430380430854143969290056224344204387451055476689659943242500742109470154591035119059513486687681708894272710610625443818053264525957547224088^4

...

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。
また、max{|x|,|y|,|z|,|w|}<=100000を満たす自明でない整数解(x,y,z,w)は存在しない。
しかし、max{|x|,|y|,|z|,|w|}=8527633537859は13桁であるので、最小解である可能性は高いと思われる。
この辺りまでは、工夫次第で力任せの全域検索(brute-force search)が有効そうなので、この最小性(あるいは、もっと小さい整数解があるか)を検証してみてはいかがでしょうか？

NEWNo.3244H.Nakao今日 06:27

返信

大きな数での不思議

a(n)=∑[k=1,n]gcd(k,n)
とするとき
{a(n)}:1,3,5,8,9,15,･･･

a(n)+1≡0 (mod n) <==> nは素数である

を予想するものを知りました。
確かにn=2～1000までの様子を見てみると

gp > a(n)=sum(k=1,n,gcd(k,n))
gp > for(n=2,1000,if(Mod(a(n)+1,n)==0,print1(n",")))
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997,

primes(primepi(1000))
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997]

でピタリあてはまります。

ところがN=3*37*43*42307*116341(=23492890653051)
となった部分で
a(N)=610815156979325で
a(N)+1= 610815156979326 = 26*23492890653051 =26*N
つまり
a(N)+1≡0　(mod N) にもかかわらず　Nが合成数
となり予想はここで破綻してしまう。
（こんな大きな値で初めて破綻してしまうとは････)

さてこんな破綻を与えてしまう他のnはあるのか？

No.3235GAI8月28日 08:22

「5個の相異なる素数の積」という条件で検索すると
提示されたNはあっという間に見つかるのですが、
この条件では他にはなさそうでした。
（この条件を満たすものは他にあっても有限個だと思います）
「4個」以下ではおそらく存在せず、「6個」「7個」を
しばらく検索してみたのですが、見つかりませんでした。
（7個以上は「すべて検索」は時間的に無理）
p^3×q^2×r×s×tなど、指数が2以上のものも含めれば
見つかるのかも知れませんが、
組合せが多すぎるのとそれぞれの計算式を作るのも
大変そうなので、諦めます。

(追記)
p^2で割り切れるとき、gcdの合計がpで割り切れるようなので
条件は満たさないですね。
よって「相異なる素数の積」の素数の個数を多くして探すしかない、ということになると思います。

No.3236らすかる8月29日 11:29

相異なる素数の積しかない、とわかったところで
もう少しプログラムを改良して変数値範囲も広げ、
6素数の積について探してみたら、一つ見つかりました。
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 = 8193613126657808805087106
のとき
a(N) = (2*2-1)(2*13-1)(2*151-1)(2*34649-1)(2*64783-1)(2*929765438293-1)
= 376906203826259205034006875
で
a(N)+1 = 376906203826259205034006876 = 46*8193613126657808805087106
なので
a(N)+1≡0 (mod N) かつ Nが合成数
となります。

# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。

No.3237らすかる8月30日 16:23

らすかるさん凄い！
A018804に是非登録してください。

もし存在するならどういう条件かを確定させて探られていることに感心します。
たとえ相異なる素数の積という条件でも6個の素数の組合せなんてとんでもない数に
なると思うし、果たしてどこまでの素数を使用するかによってその数は全く異なって
きます。
結果を見る限り、素数の大きさが12桁まで広がっているので、この素数になるまで
gp > primepi(929765438293)
%417 = 35062717755(個)の素数がありますから
gp > binomial(35062717755,6)
%418 = 2580720418848458496825306224464616005861484887789012966085250(通り)
なる天文学的組合せになります。
こんな可能性から、例の
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293
を探し出すなんて麦わらの山から一本の黄金の針を探し出す行為に例えられます。
どれほどの探索時間を要したのですか？

なおメモに
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。
がありましたが私もいろいろこの数字で検索かけましたが、全く関係しないものしか現れなくて
これを拾い出すのはどんな手法なのかが知りたいです。
例のAIに尋ねても分かりませんでした。

No.3240GAI8月31日 05:21

探索時間は、1秒ぐらいです。
たまたま「先頭の方」にあって、かつ小さい5個の素数が
32ビット以内だったため運よく見つかっただけです。
「先頭の方」になければ延々と見つからなかったと思います。
現に、条件を絞って「6素因数の2個目」を探していますが、終わりが見えません。
探索方法は、「小さい順に決めていく」方法です。
a＜b＜c＜d＜e＜fとして、まずaは2,3,5,…ですがたまたまa=2の解がありました。
bは単純に考えると3,5,7,11,13,…ですが、
(2a-1)(2b-1)(2c-1)(2d-1)(2e-1)(2f-1)+1 が abcdef で割り切れなければならないため
b=3は不適です。（2a-1=3なので分子は3で割り切れず、分母に3があってはならないためです））
よってbは5から開始することになります。
この処理は他の変数を決めるときにも行います。例えばb=7のとき2b-1=13なのでcやdを
13にすることはできません。
あと、いくつかの変数を決めた段階でそのときの(Σgcd+1)/Nの最小値・最大値が決まりますが、
その範囲に整数が存在しないことが多々あります。（例えば最小値26.2、最大値26.9など）
そのときに探索をやめて変数の値を次の値にすると、かなり速くなります。
そして未定の変数が残り二つになったとき（つまりa,b,c,dを決めたとき）に
残りの二つは (Ae+B)(Af+B)=kC という方程式を立て、kを(Σgcd+1)/Nの最小値～最大値の
範囲、eをd＜e＜(√(kC)-B)/Aの範囲で変化させてfが素数になるものを探しています。

8193613126657808805087106 については、こちらの環境でググると
↓このサイトが見つかります。
math.stackexchange.com/questions/5074339/pillais-sum-of-gcd-arithmetical-function-and-primality
こちらでは1年前に同じ値が発見されていますので、私がA018804に登録するのはちょっと…

No.3243らすかる8月31日 12:22

返信 (4)

x^4+16329y^4=z^4+16329w^4の自明でない整数解

富田誠二氏の計算数論サイト(Computational Number Theory)の記事
　　http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph121e.html
によると、Elkiesが2017年7月30日に、
　　x^4+16329*y^4=z^4+16329*w^4
の自明でない整数解
　　(x, y, z, w)=(346429732854975524407446847, 54141872796715970999006713, 606051030994671192182211305, 33186693159559232548599185)
を見つけている。

今回、Elkiesの解とは別の自明でない整数解をいくつか見つけた(これらはElkiesの解よりも大きい)。

3336967878912435316510997681334353582488640115322603572239556909865501786578321553935838297676341362485201^4+16329*933312101447740809699456856506832428924412880871520955086714173064356847648587078482182025573255921786239^4=5192028969273974407462429694682161553044792326040873907499363951717919983094723726687720732630468664969151^4+16329*921748988913798281251975156840975541631739329846749380173092868788061348867815094269700409380871380697711^4

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No.3242H.Nakao8月31日 11:50

返信

x^4+20043y^4=z^4+20043w^4の自明でない整数解

x^4+20043*y^4=z^4+20043*w^4の自明でない整数解(0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。

2621169957906627569727127344868295239429912946603356183^4+20043*159962114751783403385627527338735104967235051928081009^4=2786943516161909375025791202752159312644982054868946349^4+20043*5811443503498401913036330545128968247834056337509157^4

254207793009846632239996028865752867336363539414255359087172425866553353662309520900171867339119924940632194105685900123157965254475420766103765572719351614082411259782072168557006834992266572150574729527229913964971857^4+20043*19927285714079438922245350087502626484505895020230901601535036405053851280986005350251593305189294999671848437170653716787438184694953403627830005280354740143092989288887776787530292567662753455241023415931260972763487^4=287010441222465888966320572327591254978733687254590920383782423883865724931441935966547514233862703137744993386382199075533056659536965926177695321139976995987957169287791715556435064860462048761164922844456190276359623^4+20043*12875362498539817804079193374335761157864252820104659695074961612258519988146409716124053589553483197440950843525645235587653220366591756446099743140270641762452920216831770211897937300532723155349169901295015338624279^4

816660240872723477802475951133068737723119626935326624837136886207184947586858525570019146280053976202491895552315580953744733817295552802461209686555832159248569475638762642608201461306618976426573005508295202424936581981131143675549441367295699357010780115892427929286241313544144725697685772689105798969388547449143017840793675146490320306966985241553119530125651855161817808953904508710564351390028199032603976414787950908046057431795660420268496857548703688449176473082479376239779869^4+20043*109540392954423175665673471212321292700574416458115524867129930980603212889509128521643817454901706834327808711778290616361363769208340078568783543419250598441874096134267731787840094316555569161308557431431887496112863827876315173454864095411873494123391072919501345634509964120501862628986567850730270463834265047904979097216391185785651754942776391490696990533095952038415273545372057459240476572517454376307379272850747488592002369615528751596606009800077097198855787255280920755654411^4=1028682397492589595795055449119070978075070166160495166546570369735912283480571842628166820046954469015110785236346919792957660289623359155118276635291835161449418856951548612238395418226266414564741889773873131926300099665319673726608593295852365400433088024344975262737918537476017427091681252743287799069487695934364111465347755461462906235164910128416238434780419977040876592733698471171029030271644512475525055286545993416146932939909568603422802679026964449854163715809882678455987447^4+20043*102481763665442942326906026773680947651376122767053016842303552548124123004204188536503856311998785978291080972253048222851562703119466274088283405316752403758975285178518237842353862603091868976860326834146042005250653856312214877604287833144792549298916835533045987817167259811370838765008912203451729636264883437316114527337689129186934173255148495372421914121672169840643510234421905001224202309098859066613699598907295019508873138498379431557699811678183664206131455472122381460553167^4
....

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。

No.3239H.Nakao8月30日 22:47

その後、小さい整数解を３個見つけた。これらが、おそらく最小解である。

11633^4+20043*2391^4=28453^4+20043*973^4

12578^4+20043*1809^4=17032^4+20043*1669^4

34141^4+20043*1208^4=34403^4+20043*396^4

No.3241H.Nakao8月31日 06:49

返信 (1)

x^4+20018y^4=z^4+20018w^4の自明でない整数解

不定方程式 x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4 の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか計算した。
ここで、整数解(x,y,z,w)が自明であるとは、x=±z, y=±wを満たすことである。

1751644480712358022764610996849836207083^4+20018*2836129120602314244716197776197608652748^4=33243366941390782106221945784520622608077^4+20018*1386041370951376207830363394185229070526^4

15367057244614666558224860350174017451909172271746086680747743919490773596016910615730695495321308476791755354060638799636675911262278590232548181847377358057976078498217178358084373597254560536633502625152006659852526638677208412953662569616533076832082559887788107489251842179548490179324688246061022874018808491202447431369405898383881361998765375673351^4+20018*8180387748026547334342747144445783184821381371747939300439203724914617559465887366679925048688706793581247347412408059940943869630926512511157712079283704492399425509890751757779073211333030244973795310724523350841748837924220032265231699904336460892350164492608798541359228199768319967091748858259460526981570897914961042241566691435350240855292940457332^4=95625704196203883611468729137271898431950887288333762384063303458106961414202426405367541849325718819511342577899070245920031423161460490873504235658753424714996713958462697072546913478399575600534617246014236909284915479272330693668319267277277329550093807108698915915806649372706613296077750562477747896346043181989668812167029118554140809895002982116079^4+20018*4174822027338205680611658780660614508762615041108055951052489544846882104122863606709135299101235596913986835494685106590059258716609268127986266979511489031365014235260835013630042867655881037325354287706455721121383958391513209731642569483396646170966162385807527966245143892726332751230894280832994969880614652590031696024707004273650690516227570582986^4

...

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。また、max{|x|,|y|,|z|,|w|}<=100000を満たす自明でない整数解(x,y,z,w)は存在しない。

No.3224H.Nakao8月20日 22:31

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない整数解を求める方法については、以下のURLにまとめているので、もし興味があれば、参考にしてください。

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de50-20018.html
[2026.08.21]A^4+20018*B^4=C^4+20018*D^4の整点

No.3225H.Nakao8月21日 22:32

Nakaoさんは以前から途轍もない大きな数を相手にいろいろ計算をされている様子ですが、
私は日頃数の世界から見ればほんの一部、海で言えば海岸に打ち寄せる浅瀬の水に対する
物だけを相手に遊んでいる程度です。
ですからこんな想像を超えてくる数字をみると恐怖さえ感じる感覚なのです。
ですからこれらが正しいのやら、どうなのかの余裕は全く湧いてこないのです。

所でこの頃想像を超える数の話でゲーベル数列というものをたまたま知ることになったのですが
a(0)=a(1)=1;
a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
の漸化式で{a(n)}を作り出していくのですが
1,1,2,3,5,10,28,154,3520,1551880,･･･････(A003504参照)
と定義式がnで割るようにはなっているのですが、それにも拘わらずこの様に整数が並んでいきます。
この先どうなるかと言えばたとえ計算機を使ったとしても、急激に数が巨大化していき、ものの15番目ぐらいでは
恐ろしく大きな値がしかしちゃんと整数できまってきます。
ついどこまでも巨大になっていくが整数であろうと勝手に想像してしまいます。
しかし現実a(43)までは整数だが、a(44)ではＮ/43 (Nは何と178485291570桁のある整数)
つまり分母に43が残る有理数となるという。
もちろんこれを具体的に計算の王様コンピュータで見ることは私たちには出来ないと思われます。
面に見えぬ大きさの数まで視野がとれれば、
日常では考えられぬ思わぬ出来事が起こってもおかしくない世界観起こるのでしょうが・・・
ところでいつも大きな数を相手にされているNakaoさんにぜひこのa(43)までは整数でa(44)は有理数にしかならないよ！
ということをPARIコード(楕円曲線の技を使いこなしてあるので多分熟知と思い)で作って貰えませんか？

No.3227GAI8月24日 10:37

> a(0)=a(1)=1;
> a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
この式だとa(3)=1/3*(1+1+4)=2になってしまいます。
（計算が合わないのでA003504を見たのですが）A003504では
a(n+1)=1/n*sum(k=0,n,a(k)^2) なので、a(n)=にするなら
a(n)=1/(n-1)*sum(k=0,n-1,a(k)^2) ですね。

No.3228らすかる8月24日 16:21

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の整数解が、本当に正しいのか、あるいは、間違っているのかは、Pari/GPやGoogle AIモードを使えば、一瞬で分かるはずだ。
あえて、間違った数式をここに投稿する意味は無いだろう。

No.3230H.Nakao8月26日 21:49

異なる方法で、x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない(前回よりも小さい)整数解を求めた。

6024952034408244154677^4+20018*327901407351075242811^4=6272822028564689110027^4+20018*80031413194630287461^4

10715394633278845240166368299565623244683015152919602007935845671946915231352945064632481^4+20018*1221663305617509907342313057092900917274609429661104216378283154779464720512768231800319^4=13033368220045982546914929580674735403270983881336482128830631976385072961835340081450719^4+20018*1096310281149627399406248224016211241313359298755775904516503149658693009969626785017919^4

10105261490479126602185601826179263253592237573573096758520683843784768255097945985429679200055679560867795210829208505117160374975688954975195215770744844532831070658076832076933547577464757971147^4+20018*752292917296716478558237276241338986336740738222910458649406524355247625213321491339587360666114354800397210248924778567176914074385826394678689818580932296840911051910463055852624518882749992421^4=11281036167985289372629809177393625710003414925192367504282644050644655973177662958724292304671469783810739309099616027092215213533801010019784411766322192902572242473309529351629313524222050830197^4+20018*423481760209446291885970074973023470074436613396360287112553682504640092866395481955025743949675868142546888021482743407877924483726228649910506176996416072900260763322234218843141427874542866629^4

36225977896786674500224548953130803378443628128489179105782154257291013748255098808802092707461760498969272970244723305181452335621749545861737278686423690290975810044386629727739973233572594130925226743317876675997665018517257875867707969386697255575260581757115745235997380331391893054946518270343097445110662605469581755289135136185966308930970879^4+20018*2485381893564519406940192354167000776954451552957534150343717899617963488390447695531677302807162966772279327884554675151796386238509235422930110633104468086411720647206698265719347158982889387969629860830749237162996626875060552298920871483008328968892727045960922930746470580534502906082222264037269002752716992970117914445725652792684232217859521^4=39646520897906515152364590674369165531504629330168116233864512156808345437663338398649585024927668569774671600477671583901929498824810933781780577738887830186694020634892386699957223446216949852421085655566104653575857042654157252353884692017805062741080301558918398683134808292233337701231425841336543221601098661385356873813492785216603709040286721^4+20018*935161107555321245199849367071361376106549648721402977738639999899368201017791894315815014658745104033119302348393603568680776964552152497113188419359671809306489943299058706497903053661466333526229051417478740415195397261838824187255851148099478196926992755841730516390957380306941740202685306956176773737719062945657204078631996237953167891456321^4
....

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。

No.3238H.Nakao8月30日 20:56

返信 (5)

Gobel sequence の謎

ゲーベル数列は色々な部分によって異なる定義で示されていますね。

A003504　では
a(0)=a(1)=1; thereafter a(n+1) = (1/n)*Sum_{k=0..n} a(k)^2 (a(n) is not always integral!).

1,1,2,3,5,10,28,154,･･･
が並んでいき,a(43)まで整数でa(44)で有理数

より一般化(2乗をk乗にしてk-Gobel sequence)したもの
A108394 では
Least k for which f(k) = (1 + f(0)^n + f(1)^n + ... + f(k-1)^n)/k, f(0) = 1

n=2-->1,2,3,5,10,28,154,･･･
が並びf(42)までが整数でf(43)で有理数
n=3-->1,2,5,45,22815,2375152056927,･･･
が並びf(88)までが整数でf(89)で有理数
n=4-->1,2,9,2193,5782218987645,･･･
が並びf(96)までが整数でf(97)で有理数
n=5-->1,2,17,473297,5937570334133678310135701537,･･･
が並びf(213)までが整数でf(214)で有理数

これらは共通してf(1)=2となるタイプとして並ぶことになるので
さらのここをf(1)>=2 (即ちf(1)=3,4,5,6,･･･と変化させたことも含め)

A097398では
Matrix T(m,x(1)), m>=1, x(1)>=2, read by antidiagonals,
where T(m,x(1)) gives the position of the first noninteger term in the sequence
defined by x(n)=(x(n-1)*(x(n-1)^m+n-1))/n for n>=2
with exponent m and the given starting value x(1)
として
m\x1:--,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11
1;--,43 ,7 ,17 ,34 ,17 ,17 ,51 ,17 ,7 ,34
2;--,89 ,89 ,89 ,89 ,31 ,151 ,79 ,89 ,79 ,601
3;--,97 ,17 ,23 ,97 ,149 ,13 ,13 ,83 ,23 ,13
4;--,214 ,43 ,139 ,107 ,269 ,107 ,214 ,139 ,251 ,107
5;--,19 ,83 ,13 ,19 ,13 ,37 ,13 ,37 ,347 ,19
6;--,239 ,191 ,359 ,419 ,127 ,127 ,239 ,191 ,239 ,461
7;--,37 ,7 ,23 ,37 ,23 ,37 ,17 ,23 ,7 ,37
8;--,79 ,127 ,158 ,79 ,103 ,103 ,163 ,103 ,163 ,79
9;--,83 ,31 ,41 ,83 ,71 ,83 ,71 ,23 ,41 ,31
10;--,239 ,389 ,169 ,137 ,239 ,239 ,239 ,239 ,239 ,389

の表が作られている。
確認のため
gp > gobel_kl(k, l, N) =
{
my(v = vector(N));
v[1] = l;
for(n = 1, N-1,
v[n+1] = v[n] * (n + v[n]^(k-1)) / (n+1);
);
return(v);
}

とプログラムを組み
上記表で最も少ない数で(m,x1)=(1,3),(1,10)での7を確認してみると
gp > gobel_kl(2, 3, 7)
%21 = [3, 6, 16, 76, 1216, 247456, 61235956672/7]
gp > gobel_kl(2, 10, 7)
%22 = [10, 55, 1045, 273790, 14992411852, 37462068869158688194, 1403406603957588515490448060329867110800/7]
となり確かに第7項目が初めて有理数となってしまう。

これ位の大きさなら十分通常のコンピュータの計算で確認は取れるが
上記の
n=5-->1,2,17,473297,5937570334133678310135701537,･･･
が並びf(213)までが整数でf(214)で有理数
などの様子など望むべくもありません。

一体どの様にして調べたのか教えてほしい。

No.3229GAI8月25日 07:21

f(213)を214で割った余りがわかればよい
→f(212)を213*214で割った余りがわかればよい
→f(211)を212*213*214で割った余りがわかればよい
→・・・
ということですので、例えば

gobel_kl(k,l,N)=
{
x=l;
for(n=1,N-1,
x=x%(N!/(n-1)!);
x=x*(n+x^(k-1))/(n+1);
);
return(x);
}
for(i=3,300,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))

のようにするとf(214)が非整数であることがわかりますね。

# 理由がよくわからないのですが、非整数が出てくると
# 次のx=x%(N!/(n-1)!)でエラーになりますので、
# 最初の非整数まで表示してエラー終了します。
# （非整数が出現したら終了というロジックを省略できて便利ではあります）

No.3231らすかる8月27日 04:45

このプログラムでどこで有理数となる場所が判明できるのですね。
そこでこのプログラムを使って
A288641に並んでいる整数を算出していたら
forprime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))で
･･･････････････
193 132351082600315838701
197 3340985130460343217
199 841924060846945
211 11068272793562666699
*** at top-level: ...rime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))
*** ^-----------------
*** in function gobel_kl: x=l;for(n=1,N-1,x=x%(N!/(n-1)!);x=x*(n+x^(k-1)
*** ^---------------------------
*** _%_: impossible inverse in Fl_inv: Mod(0, 107).
の返しが起こりA288641でのn=5での値251にひっからないのです。
n＝2~20まではn=5以外ではちゃんと正解の値を与えてくれます。

この部分の謎は何なのでしょうか？

No.3232GAI8月27日 16:09

原因の予想はつきますが、対策はどうすればよいかわかりません。
n=5のとき最初に非整数になるのが214であり、214が素数でないから
という理由だと思いますが、非整数になってしまうとmod演算が
できなくなって今の方式では不都合です。
n=2～20はn=5を除きすべてたまたま素数項で非整数になりますが、
少し先を計算するとn=22のときも素数でない94で非整数になってしまい
179が得られません。
非整数を5乗とか22乗とかするとあっという間に分子分母が
巨大になってしまうのでうまくないですね。
さて、どうしましょう？

(追記)
上のプログラムで求まる43, 89, 97, 214, 19,・・・という数列はA108394ですね。

No.3233らすかる8月27日 18:35

これを使うとてっきりA288641も見つかると思ってやっていました。

No.3234GAI8月28日 06:24

返信 (4)

どんなときも♪

「角の大きさ（５１）」

中心角が何度であっても、折り重ねれば
「３辺がｒの正三角形」
になるので、
そして
折り重ねているので、半分の３０度になる。

No.3226カルピス8月23日 22:53

返信

行列で素数の常用対数値を求める

備忘録で付けていたノートを見返していて
以前DD++さんがlog[10]2,log[10]3,log[10]5,log[10]7 (常用対数)
の近似値を行列Mを使って
M=
[5 -2 -2 1]

[5 1 2 -4]

[1 7 -4 -1]

[1 0 1 0]

に対し
M^(-1)*[0;0;0;1]
から
log[10]2≒72/239,log[10]3≒114/239,log[10]5≒167/239,log[10]7≒202/239
(小数第3位ほどまで一致する)

の方法がとても面白かったので、log[10]11
まで拡張できないか挑戦していたら
M=
[-1 4 0 -2 2]

[ 1 7 -4 -1 0]

[ 4 3 -2 1 -2]

[-3 -1 0 4 0]

[ 2 3 1 -2 -1]

に対し
M^(-1)*[2;0;0;2;0]
から
log[10]2≒72/239,log[10]3≒114/239,log[10]5≒167/239,log[10]7≒202/239,log[10]11≒249/239
までの値が一気に算出出来ることができました。

はてlog[10]13まで広げられるのか？

No.3222GAI8月17日 07:00

p=17まで拡張して調べていたら
M17=
[ 1 3 0 1 0 1 -3]

[ 1 1 0 3 -2 0 -1]

[-4 -2 0 1 2 0 1]

[ 3 6 0 -3 0 0 -1]

[-1 7 0 0 -1 -2 1]

[ 2 -1 -1 -1 -1 0 2]

[ 3 -2 -3 1 -1 1 1]

gp > matdet(M17)
%153 = -239
gp > M17^(-1)*[0;0;2;0;1;0;0]より
%154 =
[ 72/239]

[114/239]

[167/239]

[202/239]

[249/239]

[266/239]

[294/239]

で再び239の共通分母でp=2,3,5,7,11,13,17の常用対数の近似値を
上記の分数で示す結果が入手できた。
(p=13までは行列M13の行列式は-897で239は出現できなかったのだが、
ひょっとして他の組合せからは可能だったかも知れないが未確認)

そこでp=19を239の分母での常用対数を指定して近似分数を構成してみると
306/239が対応してくるが、そこまでの絶対誤差と相対誤差を数値化すると

素数p;絶対誤差;相対誤差
2;+0.000225;+0.0748%
3;-0.000134;-0.0280%
5;-0.000225;-0.0322%
7;+0.000090;+0.0107%
11;+0.000448;+0.0430%
13;-0.000973;-0.0873%
17;-0.000323;-0.0263%
19;+0.001581;+0.1236%
となりp=17までは共通分母239でかなりの精度で表示できることが判明出来た。
p=19ではそれまでの精度は一気に落ちてしまった。

結論：
p=17までの常用対数値の近似分数式では239の分母が大変有効な値であることがわかった。
ここまで広範囲で使えるとは全く予想できなかった。
(勿論もっといい精度の近似分数を考えれば、各素数で全て異なる分母系を用いることになるが･･･)

No.3223GAI8月19日 18:16

返信 (1)

傷の解消

三すくみサイコロ
A=(1,1,3,5,5,6)
B=(2,3,3,4,4,5)
C=(1,2,2,4,6,6)
の目を持つ3つのサイコロでは出た目が大きい方が勝つとすれば
A VS B ==> 17-15でAが勝つ
B VS C ==> 17-15でBが勝つ
C VS A ==> 17-15でCが勝つ
で正しく3つのサイコロはじゃんけんでのグー、チョキ、パー
の役割を果たす。

しかし一つのサイコロの中に同じ数字が含まれているのが傷といえば傷
そこで使用できる数字を1～9までに拡張できる代わりに同じ数字は使えない
として何とか三すくみサイコロを構成してほしい。

No.3218GAI8月15日 09:11

三すくみが構成される組み合わせは入れ替えを除いて24通り
そのうちすべて勝敗確率が同じになるものは
A=(1,2,5,6,7,9), B=(1,3,4,5,8,9), C=(2,3,4,6,7,8)
A=(1,2,4,6,8,9), B=(1,3,5,6,7,8), C=(2,3,4,5,7,9)
の2通りのみ（いずれも17-16）

No.3219らすかる8月15日 16:56

お見事です。
それも2通りのパターンを見つけられたことも凄いです。

そこでこの三すくみのサイコロをそれどれ3人が手にして出た数が最も大きい数を出した人を勝者とするとき、
もし同数で最高の数を出せば、その2人で再びそのサイコロをふって争うものとします。
そのようなゲームをするとすればケース１とケース2ではどのサイコロが有利になるか判定してほしい。

No.3220GAI8月15日 19:32

手計算で地道に計算した結果、勝利確率の比は
ケース1は A：B：C = 19：19：16
ケース2は A：B：C = 20：17：17
のようになると思います。

No.3221らすかる8月16日 10:36

返信 (3)

数学の面白さ

現代計算能力を手助けするコンピュータの出現で数に特徴を付加し、その性質を探ることも
面白さを与えるが、計算ではなく明らかに成立していける事項を組合せ積み上げていく過程
を楽しむユークリッド幾何学ほど数学の楽しさを与える題材は無い。
そこで以下の図形であれこれ挑戦願う。

ある大きさの円がある。
その円周上に任意の点A(説明上左下あたりに)をとる。
Aを通る直線L1を水平に引き再び円周と交わ点をBとする。
またL1とはxの角度で伸びる点Aを通る直線L2を上方にむけて引く。
L2が再び円周と交わる点をCとする。
次に
L2上に円外の点P2をとってP2とBを結ぶ直線L3を引き,L3が円周と交わる点をDとする。
最後に点CとDを結ぶ直線L4を引きL1と交わる点をP1とおく。
(図形を作って張り付ける技術が無いので説明が長くなりすみません。)

さてこうして出来た図に置いて
∠AP1D=θ1 (L1,L4のなす角;ただし鋭角)
∠AP2D=θ2 (L2,L3のなす角;ただし鋭角)
であるときL1とL2がなしていた角xをθ1,θ2を用いて求めて下さい。

No.3212GAI8月13日 08:05

L1とL4がABの延長上で交わる場合は x=(180°-θ1-θ2)/2
L1とL4がBAの延長上で交わる場合は x=(180°+θ1-θ2)/2
となる気がします。

No.3213らすかる8月13日 18:49

xが鋭角である時のみしか調べてなかったので、らすかるさんのを見て
鈍角もあり得ると調べ直したら正にらすかるさんの結論に辿り着きました。
一見自明でない事柄でも、既成事実を重ねるとその結論を認めざるを得ない状況が
発生してくる過程は、ミステリー小説や、探偵物語、検事と弁護士の法廷でのやり取り等
とも関連していて犯人を断定出来たときの驚きと喜びは共通しています。
私はもっぱら事件の報告係を務めてきたような気がしていて、どなたか未解決の事件を
報告してください。

No.3214GAI8月14日 05:05

場合分けはもっとたくさんあります。

左図のような場合は x=(θ1-θ2)/2 となると思います。

また、θ1 を ∠AP1D ではなく (L1,L4のなす角;ただし鋭角) の方で決める場合、右図の場合も別に考える必要がありますね。

さらに、"直線L2を上方にむけて引く"とありますが、L2は半直線ではなく直線となっているので、点P2を点Aよりも下方にとった場合も考えないといけないでしょう。
点P2を点Cよりも上方にとった場合でも、点や直線の位置関係によってほかの場合分けがありそうな気がします。

No.3215りらひい8月14日 18:07

有向角を使って考えたことを書きます。
（有向角に関して知りたい場合は denta_geometry さんのMathlog記事 https://mathlog.info/articles/2956 を見るとよいです。）

有向角は、直線を反時計回りに回転させて別の直線に重ねたときの回転角で考えます。
時計回りに角度α回転させて重なる場合は反時計回りに角度 180°-α 回転させても重なるので、反時計回りの回転角[180°-α]を使います。
（もしくは、時計回りの回転角αにマイナス符号をつけて[-α]にして使っても大丈夫です。）

有向角を使うと、GAIさんの問題で図形がどんな形になっても次の関係が成り立ちます。
直線L2を下方にむけて引いたり、直線L2上の点P2を円内にとったりしても成り立ちます。

角度(有向角)y,φ1,φ2を、
y : 点Aを中心に直線L1を反時計回りに回転させてL2に重なるようにしたときの回転角，
φ1 : 点P1を中心に直線L4を反時計回りに回転させてL1に重なるようにしたときの回転角，
φ2 : 点P2を中心に直線L2を反時計回りに回転させてL3に重なるようにしたときの回転角，
とするとき、
2y≡-(φ1+φ2) mod 180°
が成り立つ。

[証明]
t : 点Dを中心に直線L3を反時計回りに回転させてL4に重なるようにしたときの回転角，
とする。
直線を反時計回りにL1→L2→L3→L4→L1と回転させると元の直線に戻ることから、
y+φ2+t+φ1≡0° mod 180°
が成り立つ。
また、円周角の定理により、
y≡t mod 180°
が成り立つ。
法が同じ合同式は代入や移項ができるので、
2y≡-(φ1+φ2) mod 180°
となる。
[証明終]

有向角は、回転方向を決めているところと、180°を法とする合同関係で考えるところがみそです。

ちなみに、この式は合同式なので両辺を2で割ることはできません。
次のようになるからです。

…
2y=-(φ1+φ2)-360° ならば y=-(φ1+φ2)/2-180° ，
2y=-(φ1+φ2)-180° ならば y=-(φ1+φ2)/2-90° ，
2y=-(φ1+φ2) 　ならば y=-(φ1+φ2)/2 ，
2y=-(φ1+φ2)+180° ならば y=-(φ1+φ2)/2+90° ，
2y=-(φ1+φ2)+360° ならば y=-(φ1+φ2)/2+180° ，
2y=-(φ1+φ2)+540° ならば y=-(φ1+φ2)/2+270° ，
…

これらの式から、0°＜y≦90°なのか 90°＜y＜180°なのかが確定できれば、
y=-(φ1+φ2)/2+n×90°が条件を満たすn∈Zが一つだけ決まり、φ1,φ2からyの計算ができることがわかります。

GAIさんの問題文のx,θ1,θ2とここで定義したy,φ1,φ2を比較してみます。

[yについて]
問題文では "Aを通る直線L1を水平に引き" および "L1とはxの角度で伸びる点Aを通る直線L2を上方にむけて引く" となっていますが、
xがL1の右方向との角度なのかL1の左方向との角度なのか、
あるいはL1の点Bがある方向との角度なのかL1の点Bがない方向との角度なのかが明示されていません。
一般的に使われる角度の測り方で考え、点Aが左・点Bが右にあってxは点BがあるL1右方向との角度(半直線ABとの角度)としてよいのであれば、
yはxと一致するといってよいでしょう。

[φ1について]
φ1については、GAIさんの問題文におけるθ1を
"∠AP1D" (0°～180°) と捉えるか、"L1,L4のなす角;ただし鋭角" と捉えるか
によって、θ1とφ1の関係が変わってきます。

θ1が"∠AP1D"(0°～180°)の場合、φ1は次のように場合分けされます。
φ1=θ1 (三角形AP1Dにおいて点A,P1,Dがこの順に反時計回りに並ぶとき),
φ1=180°-θ1 (三角形AP1Dにおいて点A,P1,Dがこの順に時計回りに並ぶとき).

θ1が"L1,L4のなす角;ただし鋭角"(0°～90°)の場合、φ1は次のように場合分けされます。
φ1=θ1 (点P1を中心に直線L4を反時計回りに回転させたとき、回転角90°未満でL1に重なるとき),
φ1=180°-θ1 (点P1を中心に直線L4を反時計回りに回転させたとき、回転角90°以上180°未満でL1に重なるとき).

[φ2について]
φ2については、GAIさんの問題文におけるθ2を
"∠AP2D" (0°～180°) と捉えるか、"L2,L3のなす角;ただし鋭角" と捉えるか
によって、θ2とφ2の関係が変わってきます。

θ2が"∠AP2D"(0°～180°)の場合、φ2は次のように場合分けされます。
φ2=θ2 (三角形AP2Dにおいて点A,P2,Dがこの順に反時計回りに並ぶとき),
φ2=180°-θ2 (三角形AP2Dにおいて点A,P2,Dがこの順に時計回りに並ぶとき).

θ2が"L2,L3のなす角;ただし鋭角"(0°～90°)の場合、φ2は次のように場合分けされます。
φ2=θ2 (点P2を中心に直線L2を反時計回りに回転させたとき、回転角90°未満でL3に重なるとき),
φ2=180°-θ2 (点P2を中心に直線L2を反時計回りに回転させたとき、回転角90°以上180°未満でL3に重なるとき).

θ1,θ2に関してどちらの解釈を採用するにしても(θ1:2通り)×(θ2:2通り)の場合分けが必要(全部が実際に存在するか不明)で、かつ、
y=-(φ1+φ2)/2+n×90°のn∈Zがいくつになるかも考えないといけません。

それぞれの場合でどんな点や直線の位置関係になるかを考える、
あるいは逆に、点や直線の配置からどれに当てはまるかを考えていく、
……どちらも大変そうですね。

ここまで書いておいてなんですが、この有向角からのアプローチは手間かもしれないです。

結局、場合分けの上手な方法や何通りの場合分けが必要なのかといったことが私はわかっていません。

No.3216りらひい8月14日 23:01

言葉で図形を説明すると、こちらが意図するものが正確には伝わらないことが起こり得る
（認識している以外にも見落としてしまう形状が入り込む)ことが痛いほどわかります。
らすかるさんやりらひいさんからの投稿で全くこちらが想像もしてなかった形状が入り込める
事実が発生してしまう。
法廷で争われる罪の決定にも、言葉中心でのやり取りを元に(誰もその現場に立ち会っていない)
争われている印象がありますが、基本的にはこんな例と構造的には似ているのではないかと思えます。
死刑を受けた人が長年の時を要して無罪となる冤罪で苦しむのも言葉による世界を作ろうとするとき
正確には真実を構築できないもどかしさが関係しているのかも知れないとふと思ってしまいました。

No.3217GAI8月15日 07:35

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