😊出会いの泉😊

牛乳を入れると側面中央がそれぞれ約2mm膨らむそうです(AIの回答)。
この曲線を円弧として計算すると、断面積が49→52.7となり、
19.5を掛けると1000を超えます。

はい牛乳を入れると側面が僅かに膨らみ、ピッタリ1ℓを注ぐことになるそうです。
工業デザインとはよく考えられているものですね。
そういえば缶コーヒーのプルトップも引っ張って切れやすいように非対称的な円形構造をしていますね。

多分
[1] n=32325229*k-3411452 のとき 32325229
[2] n=174878089*k-97513454 のとき 174878089

(追記)
ところで
gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)は n=41*k-12 だけではないですね。
n=6311*k-2501のときに6311になると思います。
つまり、gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)は
n=258751*k-236008 … (1) のとき 258751
（41k-12と6311k-2501の共通部分）
(1)以外でn=6311*k-2501 のとき 6311
(1)以外でn=41*k-12 のとき 41
上記以外のとき 1
となるのではないでしょうか。

同様に、
[1]は 32325229 の他に 3185062281087740571181
[2]は 174878089 の他に 833544852825037
があると思います。

わ～他の最大公約数もあるんですね。
こんな大きなものは全く予想外でした。

では
gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)の1以外の値は見つかりますか？

> gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)の1以外の値は見つかりますか？

1658074432246579665377027434627058627273061920217757410397795384493223
352114972939771130346840082354341978716844306415221012933487999
の素因数であることまではわかったのですが、この133桁の数が素因数分解できていないため、具体値は今のところわかりません（しばらくかかりそうですが、現在計算中です）。

[8936582237915716659950962253358945635793453256935559 1]
[13621228647205028136235902561643175420131 2]
の分解になるようです。

なるほど、それでしたら1以外の値は
8936582237915716659950962253358945635793453256935559
だけだと思います。（経験的にp^2のpにはならないようなので）
おそらく
n=8936582237915716659950962253358945635793453256935559*k-○ のときだけ
最大公約数が 8936582237915716659950962253358945635793453256935559
になると思いますが、○を特定する方法はわかりません。

gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)
において
n=29(その後41の開きの部分) で41
n=3810(その後6311の開きの部分) で6311
n=22743(その後258751の開きの部分) で258751
その他のnではすべて　1

これを発見するのに終結式が上手く使えることになっていました。
終結式はシルベスター行列Sが使えて
[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0]

[0 1 0 0 0 5 1 0 0 0]

[0 0 1 0 0 10 5 1 0 0]

[0 0 0 1 0 10 10 5 1 0]

[0 0 0 0 1 5 10 10 5 1]

[3 0 0 0 0 4 5 10 10 5]

[0 3 0 0 0 0 4 5 10 10]

[0 0 3 0 0 0 0 4 5 10]

[0 0 0 3 0 0 0 0 4 5]

[0 0 0 0 3 0 0 0 0 4]

この行列式が
gp > matdet(S)
%4 = 258751
これを因数分解して
gp > factor(%)
%5 =
[ 41 1]

[6311 1]
から
gcd=41,6311,258751（その他は1すべて)が見れる。

そこでこれをgcd(n^17+9,(n+1)^17+9)に使うと
[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1]

[9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17]

[0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136]

[0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680]

[0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380]

[0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188]

[0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376]

[0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448]

[0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310]

[0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10]

これから
gp > matdet(%)
%13 = 8936582237915716659950962253358945635793453256935559
gp > factor(%)
%14 =
[8936582237915716659950962253358945635793453256935559 1]
即ち素数

これって
gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)
の値は
n=1,2,3,･････････,8424432925592889329288197322308900672459420460792432 まですべて　1
n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433 でいきなり8936582237915716659950962253358945635793453256935559
また次からは　1が続いていき
つぎの8936582237915716659950962253358945635793453256935559だけ離れた
n=17361015163508605989239159575667846308252873717727992 で再び　8936582237915716659950962253358945635793453256935559
以下同様

という物凄い現象が起こることを示しているのですよね。
だれがこれだけ1が続いていて、いきなりビックリするような値が対応してくると想像できるだろうか！
いくら既成の事実が示されていても、数学的帰納法の様な魔法の証明で示さない限り真実ではないと心しておかないといけないんだと
いう警告を与えてくれます。

n=1 のとき g=27
n≡161 (mod 162) のとき g=1467
それ以外のとき g=9
でしょうか。
（nが大きいとき他の値をとる？）

はい。
もっと大きな所で探していたら突然これ以外が現れました。
しかしそれ以上があるのと言われたら何とも言えないのですが・・・

多分
n≡35281 (mod 37170) のとき g=334539
ですね。
この上は現在探索中です。
（しばらく見つからなければ諦めます）

その後しばらく探しましたが、見つかりませんでした。
おそらくn＜1億では他にないと思います。

10^5までで3時間30分ほど
10^6で9時間30分ほどの時間がかかるので
オーダーが一桁上がると指数関数的に所要時間が延びる
従って10^9ともなると243時間以上(10日以上)の時間がかかりそうです。

(裏話)
所で2024年度イギリスで開催された国際数学オリンピック大会で
問題2（全部で6題の問題が出される)に
正の整数の組(a,b)であって、次を満たす正の整数gとNが存在するようなものをすべて求めよ。
　任意の整数Nについてgcd(a^n+b,b^n+a)=g が成り立つ。
(ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数をgcd(x,y)で表す。)

この解答が
求める正の整数組は(a,b)=(1,1)に限る
であるという。（全問正解者がいるというのだからそれはすごい)

ということは必ずやあるN以上の自然数nすべてで一定のgの値で固定してしまうことは起こらないわけで
gcd(9^n+18,18^n+9)の値は9が圧倒的に出現回数が起こるが、ここで調査したように
n≡-1 (mod 162)ではg=1467
n≡-1889 (mod 37170)ではg=334539
（今のところ他は不明)
がずっと続くのだからこの反例とはならない。
この問題を知って(a,b)をいろいろ変えて調査していた時
(a,b)=(6,18)==>６が続くもn=49で366へ移る
(a,b)=(10,15)==>5が続くもn=71で5045となり
(a,b)=(9,18)==>9が続くもn=161で1467が出現
ということで(9,18)の場合を出題しておりました。

この問題の正解への導き方が想像にも及ばない。

どうぞお大事に……。

お大事に・・・

どうかお身体に気をつけて……

お大事になさってください。

ＨＰの更新を明日より再開したいと思います。ただ、まだ体調が万全ではないので、しばらくは不定期での更新とさせていただきます。皆様にはご迷惑をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

お帰りなさい。
自分事で恐縮ですが私も偶然にも大腸検査なるものをひょんな事から受けて、とても大きなポリープがあり
とても当病院では取れないので紹介状を書きますからここで手術を早めに受けて下さいとの宣言を頂いた。
日頃全く自覚症状は無く、他の検査も同時に受けた自分の心臓や肺、胃、大腸の映像を見せられ、これが自分の
中に有るのだ！　と改めて「自分の身体は自分が全く知らない」のだの認識を強く持ちました。
考えてみたら心臓なんて生まれてこの方　1秒間に1回70年間も生きておれば
60*60*24*365*70 = 2207520000（回)
もの拍動を一時も休まず動き続けていると思うとほんとにお疲れ様と言いたいです。

お互い身体を労わりながら、これからも付き合っていきましょう。

ＧＡＩさんもお身体を大切に！

管理人様

本日の更新を見て、ほっとしました。
ご退院、おめでとうございます。

早速ですが
角の大きさ（４９）を見て、

中心角が２７０度なので
円周角は１３５度
と解きました。

下記であっていますか？

n*(n +1)*(n +2)*(n +3)*(n +4)*(n +5)
(n^4/2 +5*n^3 +16*n^2 +(35*n)/2 +2)^2 -(n^4/2 +5*n^3 +15*n^2 +(25*n)/2 -2)^2

※別解もあるのかもしれず、ずっとあれこれこねくりまわしております。

合っていますね。
((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2=abから
nが偶奇の同じa,bの積で表せれば平方数の差で表せます。
例えば

a=(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)(n+2)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+49n/2+30
(a-b)/2=9n^2/2+45n/2+30
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+49n/2+30)^2-(9n^2/2+45n/2+30)^2

a=n(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+2)(n+4)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+29n/2+4
(a-b)/2=n^2/2+n/2-4
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+29n/2+4)^2-(n^2/2+n/2-4)^2

a=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)とすれば
(a+b)/2=n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60
(a-b)/2=n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60)^2-(n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60)^2

などのようにいろいろな組み合わせが作れます。

Dengan kesaktian Indukmuさんが書かれた例は
a=n(n+2)(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+4)
のようにおいたものと一致しますね。

あっ。そういう追い方をするのでしたか。
ありがとうございます。スッキリしました。

3以上の奇数は全て2個の平方数の差で構成可能が言えますね。
その中でも最も分割可能となるものは異なる奇素数を多く含む奇数が
予想出来るので、ちなみに6個の異なる奇素数を含む
N=3*5*7*11*13*17=255255
を2つの平方数の差で表せるパターンがどれだけ可能か予測してみました。
６つの素因数を2組(a,b)に分ける方法は
どんなに分けようともa,bは共に奇数にしかならないから、a,bから作られる
A=(a+b)/2;B=(a-b)/2は共に整数となりA^2-B^2はNを作ってくれる。

さてa,bへの分け方は
6C0=1　(1 VS 255255）
6C1=6
6C2=15
6C3/2=10(大小を区別するため）
全部で32通り可能
(n+1)^2-n^2=2*n+1=255255
からn=127627までが範囲ということで

チェックしてみた。
gp > {t=0;}for(a=1,127628,for(b=1,a-1,if(a^2-b^2==255255,print(t++";"a"^2-"b"^2"))))
1;508^2-53^2
2;512^2-83^2
3;524^2-139^2
4;536^2-179^2
5;604^2-331^2
6;628^2-373^2
7;668^2-437^2
8;688^2-467^2
9;752^2-557^2
10;776^2-589^2
11;856^2-691^2
12;964^2-821^2
13;1132^2-1013^2
14;1268^2-1163^2
15;1448^2-1357^2
16;1544^2-1459^2
17;1696^2-1619^2
18;1996^2-1931^2
19;2348^2-2293^2
20;2528^2-2477^2
21;3292^2-3253^2
22;3664^2-3629^2
23;3884^2-3851^2
24;6088^2-6067^2
25;7516^2-7499^2
26;8516^2-8501^2
27;9824^2-9811^2
28;11608^2-11597^2
29;18236^2-18229^2
30;25528^2-25523^2
31;42544^2-42541^2
32;127628^2-127627^2

予想通り32のパターンで255255の数字は２個の平方数の差で作ることが出来た。

通常{2^n};1,2,4,8,16,32,････(n=0,1,2,･･･)
を示すのに二項係数を使って
∑[i=0,n]C(n,i)が多用されている。

しかし例の異なる奇素数をｋ個含む場合の2つの平方数の差で構成する方法を
考える中で何も上記の式に寄らなくてもパスカルの三角形をもう一段降りて
2C0+2C1+2C2=1+2+1=4を
3C0+3C1=1+3=4

3C0+3C1+3C2+3C3=1+3+3+1=8を
4C0+4C1+4C2/2=1+4+3=8

4C0+4C1+4C2+4C3+4C4=1+4+6+4+1=16を
5C0+5C1+5C2=1+5+10=16

5C0+5C1+5C2+5C3+5C4+5C5=1+5+10+10+5+1=32を
6C0+6C1+6C2+6C3/2=1+6+15+10=32
としても不都合は起こらない。

これから一般に
G(n)=if(n%2==1,sum(i=0,floor(n/2),C(n,i)),sum(i=0,n/2-1,C(n,i))+C(n,n/2)/2);
としてやれば
gp > for(n=1,20,print(n";"G(n)"=2^"n-1))
1;1=2^0
2;2=2^1
3;4=2^2
4;8=2^3
5;16=2^4
6;32=2^5
7;64=2^6
8;128=2^7
9;256=2^8
10;512=2^9
11;1024=2^10
12;2048=2^11
13;4096=2^12
14;8192=2^13
15;16384=2^14
16;32768=2^15
17;65536=2^16
18;131072=2^17
19;262144=2^18
20;524288=2^19

私には全く今まで気付きもしなかった視点でした。

「素数でないときp^2で割り切れない」も成り立ちそうですね。

とりあえずプログラムで調べてみましたが、
上と下が正反対の順番になるときに必要となる横棒が最大数となり、
そのときの横棒の数はn(n-1)/2本のようです。
例

私のプログラムでも同じ値になりました。
ついでに8桁まで調べましたので、2桁～8桁のk=1～100を書きます。
(2桁～7桁はすべて8桁から作れますので、8桁以外はあまり意味はないです)

2桁
88, 64, 72, 08, 96, 44, 88, 76, 44, 12, 08, 76, 76, 76, 76, 68, 52, 76, 88, 08,
92, 04, 92, 52, 88, 92, 36, 12, 16, 44, 64, 56, 16, 84, 32, 48, 52, 96, 64, 56,
64, 12, 44, 64, 92, 08, 88, 04, 44, 52, 96, 76, 24, 24, 08, 48, 84, 16, 12, 92,
44, 84, 52, 44, 16, 92, 04, 64, 64, 92, 72, 16, 88, 96, 76, 04, 12, 12, 84, 84,
12, 48, 48, 72, 56, 92, 96, 32, 32, 36, 32, 52, 28, 56, 32, 52, 04, 96, 36, 16,

3桁
288, 864, 472, 008, 496, 544, 688, 176, 144, 112, 808, 576, 376, 176, 976, 168, 952, 776, 688, 608,
992, 704, 392, 152, 488, 992, 536, 512, 216, 344, 664, 256, 216, 784, 032, 848, 352, 496, 664, 856,
264, 712, 144, 864, 792, 008, 088, 704, 544, 152, 696, 776, 024, 624, 408, 448, 784, 616, 712, 192,
944, 184, 152, 344, 616, 992, 104, 464, 264, 792, 872, 216, 088, 896, 976, 104, 112, 112, 784, 984,
512, 848, 648, 072, 456, 192, 896, 232, 432, 736, 032, 352, 528, 256, 032, 552, 104, 296, 536, 616,

4桁
6288, 6864, 3472, 9008, 2496, 2544, 4688, 4176, 8144, 6112,
7808, 6576, 9376, 4176, 0976, 3168, 3952, 5776, 4688, 6608,
6992, 8704, 3392, 1152, 3488, 4992, 3536, 2512, 5216, 5344,
3664, 8256, 5216, 2784, 6032, 6848, 2352, 8496, 5664, 9856,
3264, 1712, 4144, 2864, 1792, 1008, 7088, 0704, 0544, 9152,
5696, 3776, 7024, 8624, 9408, 4448, 8784, 1616, 7712, 2192,
0944, 9184, 7152, 1344, 9616, 2992, 3104, 2464, 1264, 9792,
9872, 5216, 3088, 6896, 6976, 3104, 0112, 0112, 6784, 9984,
6512, 6848, 3648, 3072, 1456, 0192, 6896, 1232, 4432, 8736,
6032, 0352, 2528, 0256, 2032, 3552, 1104, 5296, 9536, 5616,

5桁
36288, 16864, 53472, 79008, 62496, 12544, 94688, 54176, 38144, 46112,
67808, 16576, 09376, 34176, 10976, 43168, 53952, 35776, 34688, 36608,
96992, 88704, 63392, 41152, 63488, 64992, 33536, 72512, 85216, 05344,
93664, 48256, 65216, 62784, 16032, 46848, 72352, 38496, 85664, 49856,
83264, 11712, 54144, 12864, 61792, 91008, 77088, 60704, 20544, 09152,
65696, 63776, 37024, 18624, 29408, 24448, 18784, 51616, 87712, 52192,
70944, 49184, 77152, 21344, 59616, 12992, 03104, 02464, 51264, 29792,
99872, 25216, 73088, 76896, 66976, 03104, 30112, 70112, 26784, 69984,
16512, 66848, 83648, 23072, 51456, 00192, 16896, 51232, 94432, 68736,
96032, 40352, 42528, 20256, 12032, 03552, 11104, 15296, 09536, 35616,

6桁
036288, 916864, 753472, 579008, 162496, 412544, 194688, 754176, 638144, 946112,
167808, 416576, 109376, 834176, 510976, 143168, 653952, 435776, 434688, 436608,
396992, 488704, 963392, 441152, 063488, 364992, 433536, 072512, 185216, 305344,
993664, 448256, 265216, 462784, 116032, 046848, 172352, 338496, 385664, 049856,
683264, 811712, 254144, 812864, 761792, 291008, 977088, 160704, 020544, 409152,
765696, 163776, 937024, 418624, 929408, 024448, 718784, 951616, 187712, 752192,
170944, 149184, 577152, 321344, 159616, 412992, 103104, 902464, 651264, 129792,
399872, 825216, 873088, 176896, 366976, 103104, 130112, 970112, 726784, 969984,
616512, 366848, 683648, 323072, 051456, 800192, 016896, 751232, 994432, 068736,
596032, 740352, 342528, 520256, 012032, 103552, 311104, 215296, 009536, 735616,

7桁
0036288, 0916864, 7753472, 1579008, 7162496, 8412544, 4194688, 0754176, 3638144, 1946112,
8167808, 3416576, 7109376, 4834176, 6510976, 5143168, 4653952, 7435776, 2434688, 4436608,
7396992, 4488704, 7963392, 5441152, 4063488, 7364992, 6433536, 1072512, 2185216, 7305344,
8993664, 4448256, 4265216, 9462784, 7116032, 6046848, 7172352, 1338496, 0385664, 5049856,
6683264, 7811712, 5254144, 7812864, 9761792, 3291008, 5977088, 1160704, 3020544, 1409152,
4765696, 3163776, 5937024, 3418624, 2929408, 8024448, 9718784, 7951616, 9187712, 9752192,
9170944, 7149184, 2577152, 3321344, 0159616, 9412992, 9103104, 5902464, 6651264, 8129792,
4399872, 0825216, 0873088, 0176896, 0366976, 1103104, 5130112, 6970112, 4726784, 0969984,
3616512, 4366848, 0683648, 4323072, 0051456, 5800192, 2016896, 4751232, 0994432, 0068736,
3596032, 6740352, 2342528, 5520256, 0012032, 8103552, 1311104, 2215296, 9009536, 8735616,

8桁
00036288, 10916864, 27753472, 01579008, 57162496, 58412544, 74194688, 40754176, 33638144, 41946112,
78167808, 83416576, 67109376, 34834176, 76510976, 55143168, 94653952, 07435776, 92434688, 74436608,
97396992, 84488704, 87963392, 15441152, 44063488, 37364992, 06433536, 91072512, 02185216, 17305344,
18993664, 24448256, 04265216, 09462784, 07116032, 76046848, 67172352, 31338496, 50385664, 05049856,
16683264, 97811712, 25254144, 87812864, 29761792, 93291008, 05977088, 41160704, 63020544, 91409152,
04765696, 73163776, 55937024, 83418624, 82929408, 98024448, 49718784, 67951616, 59187712, 79752192,
49170944, 97149184, 02577152, 83321344, 90159616, 39412992, 29103104, 35902464, 16651264, 88129792,
04399872, 50825216, 10873088, 60176896, 50366976, 21103104, 55130112, 86970112, 64726784, 60969984,
83616512, 24366848, 30683648, 64323072, 20051456, 25800192, 12016896, 54751232, 10994432, 90068736,
03596032, 56740352, 72342528, 55520256, 40012032, 38103552, 71311104, 32215296, 99009536, 38735616,

8桁までだと何とも中途半端なので、10桁まで求めました。
10桁だとe[10000000000]が作れませんので、配列を使わないようにしました。
その代わりk=1～100を求めるのに数時間かかっています。

9桁
000036288, 210916864, 027753472, 001579008, 957162496, 058412544, 574194688, 840754176, 933638144, 441946112,
378167808, 283416576, 067109376, 534834176, 576510976, 755143168, 894653952, 407435776, 792434688, 474436608,
597396992, 284488704, 387963392, 515441152, 344063488, 337364992, 306433536, 891072512, 802185216, 117305344,
218993664, 524448256, 904265216, 409462784, 307116032, 676046848, 467172352, 631338496, 350385664, 605049856,
516683264, 397811712, 725254144, 787812864, 329761792, 293291008, 405977088, 441160704, 863020544, 791409152,
804765696, 073163776, 655937024, 283418624, 182929408, 298024448, 249718784, 667951616, 059187712, 279752192,
049170944, 397149184, 902577152, 083321344, 290159616, 939412992, 829103104, 435902464, 016651264, 388129792,
104399872, 850825216, 110873088, 260176896, 450366976, 221103104, 655130112, 986970112, 164726784, 060969984,
183616512, 724366848, 230683648, 064323072, 820051456, 025800192, 712016896, 054751232, 110994432, 590068736,
303596032, 856740352, 672342528, 255520256, 340012032, 438103552, 571311104, 932215296, 899009536, 738735616,

10桁
0000036288, 5210916864, 0027753472, 8001579008, 4957162496, 5058412544, 2574194688, 2840754176, 0933638144, 6441946112,
1378167808, 0283416576, 9067109376, 4534834176, 2576510976, 9755143168, 3894653952, 5407435776, 2792434688, 8474436608,
7597396992, 4284488704, 3387963392, 5515441152, 3344063488, 2337364992, 5306433536, 6891072512, 6802185216, 6117305344,
6218993664, 5524448256, 5904265216, 4409462784, 4307116032, 6676046848, 0467172352, 7631338496, 7350385664, 6605049856,
9516683264, 8397811712, 0725254144, 9787812864, 8329761792, 4293291008, 4405977088, 8441160704, 5863020544, 5791409152,
8804765696, 4073163776, 1655937024, 4283418624, 6182929408, 1298024448, 2249718784, 9667951616, 5059187712, 1279752192,
3049170944, 4397149184, 4902577152, 5083321344, 8290159616, 3939412992, 6829103104, 4435902464, 0016651264, 8388129792,
0104399872, 4850825216, 9110873088, 6260176896, 3450366976, 6221103104, 3655130112, 0986970112, 6164726784, 2060969984,
0183616512, 1724366848, 4230683648, 9064323072, 5820051456, 7025800192, 8712016896, 0054751232, 0110994432, 6590068736,
5303596032, 3856740352, 7672342528, 1255520256, 0340012032, 5438103552, 6571311104, 7932215296, 4899009536, 3738735616,

8桁なら膨大な次元のベクトルが必要だなと思っていたんですが、それを実行されていたんですね。
10桁はまた異なるアルゴリズムで求められていてどんな対応も自由自在にこなせる能力には
ほとほと感心します。