😊出会いの泉😊

管理人さんのコメントに対してです。

7番を避ける受験生が多いと思うので、5番はかなり選んだ人が多いんじゃないかと思います。

7番は
・共通テストに変わってからの過去問がなく、対策のハードルが高い
・文系だとそもそも複素数平面の授業をしていない場合がある
・二次試験で「数Cの範囲はベクトルのみ」を指定する大学がちらほらあるので、複素数平面の対策優先順位が下がりがち
・数学が苦手な子は、数Cを両方解くより数Bを両方解く方がまだ希望があると内容も見ずに判断して67どっちか投げ捨てそう
と、受験生に避けられる理由がてんこ盛りですからねえ。

sucは1増やす関数でしょうか。それならば
suc(n) = exp(cot(atan(log(sqrt(exp(cot(atan(log(sec(atan(sqrt(n))))))))))))
でOKです（nは正整数）。

らふかるさん。ありがとうございます！！！

それにしても物凄い絵面です……ビビりまくりです。

なっ……なるほど。
sec(arctan(sqrt( n ))))
を二乗するのに手間がかかっているのでしたか。

このサイトで63を64にする問題という形で出題され、私も参加していた記憶があるのですが、記事を探しても見当たらない……。
どこにあるんだろう？
人力検索に立ちはだかる、24年間の記事数という壁。

数学感動秘話の"合成関数の合成" (3列並びの左端を見て行くと、中行辺りにあります。)

あれ？
63から64を作るの、違う問題だったかな……！

初等関数のうち代数関数でないものを初等超越関数ということとします。
いくつかの１変数の初等超越関数から合成関数 f を構成して次のような性質をもつようにすることはできますか？
f(1) = 3

※ 【代数関数 sqrt(・) を使わないで任意の正整数を表すことができそうだ】ゲームです。

ガウス記号は使っていいですか？
[exp(tan(sin(1)))]=3

ガウス記号は無しの方向性でお願いいたします。
ペコリ。🙇

では
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
でどうでしょう。

らすかるさん、チョベリグ(死語)ですね。

私が用意していたのは以下です。
①
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(1))))))))))))))))
②
cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(1))))))))))))))))

最初に気づいたのはsec(atan(x))の方だったのですが、少しでも見慣れている関数の方が良いかと思ってsin(atan(x))の方を採用しました。

No.2466に書いた解は最後に「cot(atan(○))」で逆数にしているわけですが、
よく考えたら最後のsinをcosecに変えるだけで逆数になりますので
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
は
cosec(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))=3
とした方が良かったですね。

らすかるさんの 2470 こちらは良い感じですねえ。

ところで古典の４つの４問題にかこつけますと。

0 = acos(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 )))))))))))))))))))))))))))))))

1 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))

2 =
tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))

3 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))

4 = sec(atan(tan(asec( 4 ))))
【だめじゃん】

5 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan( 4 ))))))))))))))))))

6 以上はよきにはからえ……
というあたりで許してもらえますかね？

※任意の正の有理数も 1 つの 4 でとか可能なものなのでしょうか？
試す気力はありませんけれども。

任意の有理数も作れますね。
例えば3/5を作る場合、最初に2乗して
2乗 → 9/25
逆数 → 25/9
1引く → 16/9
1引く → 7/9
逆数 → 9/7
1引く → 2/7
逆数 → 7/2
1引く → 5/2
1引く → 3/2
1引く → 1/2
逆数 → 2
のようになりますので、簡単のため1から始めるとして
cos atan 1 → √(1/2)
sec atan √(1/2) → √(3/2)
sec atan √(3/2) → √(5/2)
cos atan √(5/2) → √(2/7)
cos atan √(2/7) → √(7/9)
sec atan √(7/9) → √(16/9)
cos atan √(16/9) → √(9/25) = 3/5
の順に作ればよく、一気に書くと
cos atan sec atan cos atan cos atan sec atan sec atan cos atan 1 = 3/5
のようになります。
なお、負の有理数は
log cot atan exp x = -x
を使えば作れますね。

らすかるさん、凄い！！

P.S.

真似をしてみました。

22/7 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

sec(x)=1/cos(x)
asec(x)=1/acos(x)
としてPARI/GPのソフトで下記の計算をさせたら
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
%63 = 3.1439957705696095373721028193842780037 + 0.00093791769925741310431658346259798553071*I
と22/7とはならなかったのですが、どうしてなんでしょうね？

sec(x) は sec(x)=1/cos(x) でOKですが
asec(x) は asec(x)=1/acos(x) ではなく asec(x)=acos(1/x) です。

追記(そうなることの説明)
x=sec(y) (0≦y≦π,y≠π/2)とおくと
asec(x)
=asec(sec(y))
=y
x=sec(y)=1/cos(y)なので
cos(y)=1/x
y=acos(1/x)
∴asec(x)=acos(1/x)

あ～なるほど！
意味を考えずに形式に溺れていた。
定義し直して計算させたら、ピタリ22/7(=3.142757142757･･･)
となれました。

mod3のコラッツ擬きですが、
https://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/shirayanagi/lab/dl/2014/yamanaka.pdf
に

3n → 3で割る
3n+1 → 4倍して2を足す
3n+2 → 4倍して1を足す

というコラッツ擬きを考察したものがありました。上記のコラッツ擬きは、

1→6→2→9→3→1
7→30→10→42→14→57→19→78→26→105→35→141→47→189→63→21→7

という2種類のループのいずれかに到達しますが、
1～1000で
1を含むループに到達するのが79個で7.9%
7を含むループに到達するのが921個で92.1%
1～10000で
1を含むループに到達するのが4.2%
7を含むループに到達するのが95.8%
でした。

4倍だと1あるいは7に到達するのが早いので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して2を足す

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

4→21→7→36→12→4
8→42→14→72→24→8

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、4あるいは8に到達するまでに、例えば初期値10の場合は4に到達するまでに43回の操作が必要で途中で最大値3186に達し、初期値38の場合は8に到達するまでに386回の操作が必要で途中で最大値12317562に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 4 43 3186
38 8 386 12317562
253 8 755 60008787
325 4 204 61921287
443 8 509 2792211912
550 4 2832 366801780869709687
1973 4 5101 68833498238053197854493312
13301 4 2815 99325854394514885320584021
16955 8 7959 724763997101386821051531936
20776 4 4265 2933570318473933999921361031139062
59113 4 7510 1470455996222092703757506943141135411
85925 4 13246 340816539304436064398165865804406618021466224558460882751162

4を含むループと8を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
4を含むループに到達するのが688個
8を含むループに到達するのが312個
1～10000で
4を含むループに到達するのが6417個
8を含むループに到達するのが3583個
1～100000で
4を含むループに到達するのが62273個
8を含むループに到達するのが37727個
1～1000000で
4を含むループに到達するのが615220個
8を含むループに到達するのが384780個
でした。

上記のコラッツ擬きを初期値が負数の場合に拡張すると-1←→-3というループが現れたので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して2を引く
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで全て1←→3というループに到達しました。上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値10の場合は1に到達するまでに88回の操作が必要で途中で最大値3564に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 88 3564
25 116 10314
70 191 431604
82 201 124755588
140 707 18169045713
502 3077 3550975356647313
619 12254 570087155057912340205131104638425588
54847 12687 10089667480019633619334988145153010515029612088

さらに、ksさんのコラッツ擬きでは、

3n → 3で割る
3n+1 → 2倍して1を足す
3n+2 → 2倍して1を引く

だったので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

1→6→2→9→3→1
4→21→7→36→12→4

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、1あるいは4に到達するまでに、上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値5の場合は1に到達するまでに95回の操作が必要で途中で最大値20934に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

5 1 95 20934
44 1 70 40986
86 1 810 3419283861
235 1 488 46196151066
820 1 1167 3841972080939
1310 4 1080 8170346115441
1315 1 7145 157854812287762612809
1790 1 3337 978623937310722214986
8645 1 4953 209921511803443804073439891
8770 1 6819 64901218184254749066376852519465177611
68455 1 5931 533522890015686639949625171648394237684

1を含むループと4を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
1を含むループに到達するのが901個
4を含むループに到達するのが99個
1～10000で
1を含むループに到達するのが8774個
4を含むループに到達するのが1226個
1～100000で
1を含むループに到達するのが87410個
4を含むループに到達するのが12590個
1～1000000で
1を含むループに到達するのが874580個
4を含むループに到達するのが125420個
でした。

コラッツ予想の操作を

2n　　→　2で割る
2n+1　→　3倍して、1を足し、2で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/2)cos^2(πz/2)+((3z+1)/2)sin^2(πz/2)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合をプロットしたものがWikipediaに載っています。

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CollatzFractal.png

コラッツ擬き

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引く
3n+2　→　5倍して、1を引く

についても、同様に

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引き、3で割る
3n+2　→　5倍して、1を引き、3で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/3)g_0(z)+((5z-2)/3)g_1(z)+((5z-1)/3)g_2(z)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合について考えてみました。
ただし、g_0(z)、g_1(z)、g_2(z)については、

g_0(z)=(1/2)cos(2πz/3)+(1/6)cos(4πz/3)+(1/3)
g_1(z)=g_0(z-1),g_2(z)=g_0(z-2)
こちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#g

としました。ジュリア集合をプロットした結果はこちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#julia

　コラッツ擬き

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、1を足す
3n+2　→　5倍して、1を引く

についても、同様に

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、1を足す、3で割る
3n+2　→　5倍して、1を引き、3で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/3)g_0(z)+((5z+1)/3)g_1(z)+((5z-1)/3)g_2(z)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合について考えてみました。

ジュリア集合をプロットした結果はこちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#pm

1が作れないのは (1,4,7,8),(1,4,8,9),(1,5,7,8),(1,6,7,9),(1,6,8,9)の5通り
5が作れないのは (1,5,6,9),(4,5,7,9),(4,5,8,9)の3通り
6が作れないのは (6,7,8,9)のみ
7が作れないのは (1,3,7,8),(3,4,5,7),(4,6,7,8),(4,7,8,9)の4通り
8が作れないのは (1,3,7,8),(1,3,8,9),(1,5,8,9),(3,5,6,8),(5,6,7,8),(5,7,8,9)の6通り
9が作れないのは (1,3,8,9),(1,5,8,9),(3,4,5,9),(4,5,6,9),(4,7,8,9),(6,7,8,9)の6通り
作れないものが10通り以下のものは
0通り: 2,3,4,10
1通り: 6,12 (12は(1,5,7,8)のみ不可)
2通り: 24 (24は(1,6,7,8)と(3,4,6,7)が不可)
3通り: 5
4通り: 7,16
5通り: 1
6通り: 8,9,11,15,18,20
8通り: 14
10通り: 13,19,21,28
(1,2,5,8)は1～51が作れて最長

では、126通りすべてで作れない最小の自然数は？

298でしょうか？(次は299）

正解です（次の299も）。

単位円周上のn点を、z_1,z_2, … ,z_n とし、
多項式
P(w)=(w-z_1)*(w-z_2)*…*(w-z_n)
を考える。
|P(w)|≧2 かつ 1≧|w| なる w の存在が次のようにして示せる。

(z_1)*(z_2)*…*(z_n)=(-1)^n となるように座標を設定できる。
k=1,2,…,nに対して、w_k=exp(i*2*π*k/n) とすると、
P(w_1)+P(w_2)+…+P(w_n)=2*n
であることがわかる。よって、
|P(w_1)|+|P(w_2)|+…+|P(w_n)|≧2*n.
よって、|P(w_1)|，|P(w_2)|，…，|P(w_n)|のうち、
少なくとも1つは2以上。

特殊な場合ではこうなっているようです。

単位円に内接する正 n+1 角形の頂点のうち n 個をとります。それらまでの n 個の距離の積が 2 以上になる点が、円周上ないしは円の内部に存在することを示せ。

↓↓↓
正 n+1 角形の頂点のうち n 個をとったときにあぶれた頂点を P とします。
P から あらかじめとられていた n 個の頂点に引いた線分の長さの積 N は n+1 に等しい。

不思議……

「または円の内部」がわざわざついているのが気になっているんですが、
この積が最大値をとる点は必ず円周上にあるわけでもないんですかね？
感覚的には必ず円周上と言えそうな気がしていますが、さりとて証明もできず。

双対多角形を利用すべきと直感的に思ったのですが今日まで鼠一匹捕れませんでした。
(円の内部にもあるとしたら……)

1の原始(n+1)乗根をzとすると、z^(n+1)=1で、z^i(i=0,1,2,...,n)は複素数平面上で正(n+1)角形となります。
zの複素共役z^*はz^*=z^-1なので、実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積の2乗は、
(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^n)*(x-z^-n)
=(x-z)*(x-z^n)*(x-z^2)*(x-z^(n-1))*...*(x-z^n)*(x-z)
=((x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n))^2
となります。

(x-1)*(x-z)*(x-z^2)*..(x-z^n)=x^(n+1)-1=(x-1)*(x^n+...x^2+x+1)
なので、
(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n)=x^n+...x^2+x+1
と表すことができて、実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積は
|x^n+...x^2+x+1|
となります。

x=1のときは、
x^n+...x^2+x+1=n+1
となって、距離の積はn+1となります。
x=0のときは、(0,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離は1なので、それらの積も明らかに1ですが、
((-z)*(-z^2)*...*(z^n))^2=(-z)^(n(n+1)/2*2)=(-z)^(n(n+1))
=(-1)^(n(n+1))*z^(n(n+1))=1*1=1
となるので、距離の積は1となります。

実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積|x^n+...x^2+x+1|はxについて連続な実数値関数なので、
中間値の定理から、距離の積が2となる点は(0,0)と(1,0)の間にあることになります。

--------------------------------------------------------------

1の原始(2k+1)乗根をzとすると、z^(2k+1)=1で、z^i(i=0,1,...,2k)は複素数平面上で正(2k+1)角形となります。
実軸上の点(x,0)とz^i(i=0,1,...,2k)との距離の積の2乗は、
(x-1)^2*(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^2k)*(x-z^-2k)
=((x-1)*(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^2k))^2
=(x^(2k+1)-1)^2
となります。

x=-1のとき、
(x^(2k+1)-1)^2=(-2)^2=4
となるので、(-1,0)とz^i(i=0,1,...,2k)との距離の積は2となります。

--------------------------------------------------------------

1の原始2k乗根をz、原始4k乗根をwとすると、n=2k,w^2=z,w^4k=z^2k=1で、w^i(i=0,1,...,4k-1)は複素数平面上で正4k角形となり、w^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)は複素数平面上で正2k角形となります。
実軸上の点(x,0)とw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)との距離の積の2乗は、
(x-w)*(x-w^-1)*(x-w^3)*(x-w^-3)*...*(x-w^(4k-1))*(x-w^-(4k-1))
=(x-w)*(x-w^(4k-1))*(x-w^3)*(x-w^(4k-3))*...*(x-w^(4k-1))*(x-w)
=((x-w)*(x-w^3)*...*(x-w^(4k-1)))^2
となります。

(x-w)*(x-w^3)*(x^w^5)*...*(x-w^(4k-1))
=(x-w)*(x-w*z)*(x-w*z^2)*...*(x-w*z^(2k-1))
=x^2k-w^2k=x^2k+1
なので（x^2k-1=0の根と係数の関係を応用）、x=±1のとき、
x^2k+1=2
となるので、(±1,0)とw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)との距離の積は2となります。

[2448] の DD++ さんによる問いかけについて
ぼんやりと想起したのが以下です。

複素関数論における最大値の原理（または最大値の定理）
《正則関数f(z)を、円の中心からある一定の距離までの範囲で定義されていて、この範囲で値がなめらかに変化する関数とします。このとき、f(z)の大きさを表す|f(z)|の最大値は、その範囲の端っこの部分、つまり円周上で必ず見つかります。》

このような f がみつかると嬉しいなと。

※でも、大数の記事中の問題に複素関数論使うのかと。近道があるのですかね。

(1)
296352=2^5×3^3×7^3
84=2^2×3×7
なので2^5を2^2と2^3、3^3を3と3^2、7^3を7と7^2に分けて
組み合わせればよい。よって解は4通りとなる。
2^2×3×7 と 2^3×3^2×7^2 → 84 と 3528
2^2×3×7^2 と 2^3×3^2×7 → 588 と 504
2^2×3^2×7 と 2^3×3×7^2 → 252 と 1176
2^2×3^2×7^2 と 2^3×3×7 → 1764 と 168
並べ替えて、2数の組合せは
(84,3528),(168,1764),(252,1176),(504,588)

(2)
3528=2^3×3^2×7^2
なので2数のどちらかに2^3、3^2、7^2が含まれている必要がある。
1092は2,3,7で割り切れ、2^2でも割り切れ、2^3,3^2,7^2では割り切れないので
他方の指数は自動的に2^2、3、7と決まる。
すなわち組合せは(1)と同じ4通りになるので、
(1)の中で2数の和が1092となる(504,588)が答え。

(1)
296352=2^5*3^3*7^3
で、2数をN,N'として、N=2^n1*3^n2*7^n3とすると、
N'=2^(5-n1)*3^(3-n2)*7^(3-n3)で、
NとN'の最大公約数が84=2^2*3*7なので、
min{n1,5-n1}=2,min{n2,3-n2}=1,min{n3,3-n3}=1
より、
n1=2,3
n2=1,2
n3=1,2
なので、2数N,N'の組み合わせは、
84と3528、588と504、252と1176、1764と168


(2)
3528=2^3*3^2*7^2
で、2数をM,Nとして、M=2^m1*3^m2*7^m3,N=2^n1*3^n2*7^n3とすると、
max{m1,n1}=3,max{m2,n2}=2,max{m3,n3}=2で、
1092 mod 4=0, 1092 mod 8≠0
1092 mod 3=0, 1092 mod 9≠0
1092 mod 7=0, 1092 mod 49≠0
なので、
m1,n1≧2,min{m1,n1}=2
m2,n2≧1,min{m2,n2}=1
m3,n3≧1,min{m3,n3}=1
より、
m1=2,n1=3とすると、
(m2,m3,n2,n3)=(1,1,2,2),(1,2,2,1),(2,1,1,2),(2,1,2,1)
また、M,N<1092より、M/4=3^m2*7^m3,N/8=3^n2*7^n3<273/2
なので、
M/4=63,147、すなわち(m2,m3)=(2,1),(1,2)
N/8=63、すなわち(n2,n3)=(2,1)
より、
(m2,m3,n2,n3)=(1,2,2,1)なので、(M,N)=(588,504),M+N=1092

私の解釈が正しければ
(1,3,3), (2,2,3), (1,2,4), (2,6,6), (3,5,6), (4,4,6), (1,5,8),
(2,4,8), (3,3,8), (7,8,8), (3,9,9), (4,8,9), (5,7,9), (6,6,9)
の14通りだと思います。ちなみにこれで正しいならば、最大辺が
100までなら2060通り、1000までなら281334通り、10000までなら36553574通り、
100000までなら4487105091通り、1000000までなら532281148674通り、
10000000までなら61589103127262通り、100000000までなら6995157501115431通り、
1000000000までなら783139679297467648通り

私も初めはらすかるさんが出された数値でOKだと思ていたんですが、
展開図を書いて確認していた中で(2,9,10)の組み合わせも可能なはずだよな？
(底面２×9;高さ10とか)
これが何故取ってこれないのかを考え直し、改めてプログラムをし直して
(1,6,7),(2,5,10),(2,9,10),(3,5,9),(4,5,8),(5,5,7),(5,6,6),(5,8,10),(6,8,9)
の9個も考えられなくもないと思い直しました。
あとは人工知能を搭載してない私は、展開図を書きながら最短距離が整数となるかを
見て行くと(5,6,6)の組合せだけ最短距離が√157で整数となるコースどりでは13とは
なれるも最短ではないことになってしまう!
他の8個は最短を確認できました。
以上から異なる直方体の種類は14+8=22でないかと思っているところです。

私も初めに作っていたプログラムでは100まででは2060通りとなっていました。
でも今は確かめようもなくどうだろう？と思っているところです。

(2,9,10)の場合
√((2+9)^2+10^2)=√221
√((2+10)^2+9^2)=15
√((9+10)^2+2^2)=√365
√221＜15＜√365
となり最短の√221は整数ではないので不適では？

あと、もし「3方向のうち最短であるものが整数」でなく
「3方向のうちどれかが整数」でよいならば、
(5,6,6)も√((6+6)^2+5^2)=13で整数なので
(5,6,6)も含めて23通りにしないとおかしいと思います。
（つまり22通りとなる考え方はあり得ないのでは、という意味です）

そうか！
直方体の向かい合う角に向かうルートは3通り出来るので、そのうちの最短が整数とならなければいけないのが
条件でしたから追加しようとした9個は全くこの条件を満たしませんね。
ついつい自分が書いた展開図のみに従って判断していました。

問題の解釈とプログラムが正しければ
πは
進み方: 右下下下右右下下右下右下右右下下右右
合計: 3+1+8+2+5+0+2+3+2+0+3+0+6+2+0+4+0+6+7=54
eは
進み方: 下右下右下右下下右下右右右下下右下右
合計: 2+4+5+0+2+6+2+0+7+4+7+2+4+0+4+2+1+2+7=61
のようになると思います。
しかし、せっかく「上下左右どの方向へも進める」という条件なのに
右と下しか出てきませんね。
100×100=10000桁にすると、「上」や「左」が出てきます。
（特に、πの場合は最小値となるために上も左も必要です。eは右と下だけでも最小値が得られます。）
また、10×10の場合は最小となる進み方は1通りずつしかありませんが、
100×100の場合は複数通りになります。
では、100×100の場合、π・eそれぞれについて、最小値はいくつで
最小となる経路の数はそれぞれいくつあるでしょうか？

πでの最小値430
e での最小値455
でしょうか？(先人のやり方を大いに参考にしてやってみましたが･･･自信はありません。)
なお何通りの行き方があるのかやコースがどの様に辿っているか知るためのプログラムは
今は手も足もでません。
よかったらπのコースでなるだけ上や左へのコースを辿るものがあれば教えて下さい。

430と455は正解です。πの経路は4608通り、eの経路は48通りです。
100×100のπはすべて「上」を2個含み、「左」は2個(768通り)・
3個(2304通り)・4個(1536通り)のいずれかです。
「左」を4個含むものは、例えば
右右右下右右右下右下右下下下下右下下下右右右下右右下右下右右
右上右右右右右右下下右右右下下右右右右右右右右右下下右下下左
下下右右右下下下下右下右右下右右下下下右右右右右下右右右右右
上右右右右下下下下下右右右下右下下右右右右右右下右右下右下下
右右右右下右右右下下右下右右右下下下下右下下下下右右下下下下
右下下右右右下右下下下下右下下左左下下右下下右右下右右下下下
左下下下下下右右右下下右下下右下右下下下下下下下下下下下下下

(追記)
図を作ってみましたが、ここでは粗くてよく見えませんので
精細な画像はこちらでどうぞ → http://www10.plala.or.jp/rascalhp/image/pi10000.gif

私もエクセルに数値を貼り付け、教えてもらったコースを塗り潰してコースを眺めていました。
ふと思ったのですが、このコースを見つける方法は最小値を求めるために利用していたπの数値と
対応させていた100×100行列のデータを逆から辿っていけば見つけられるかも？
(10×10の時はそうやってコースを手作業で見つけていた。)
でもプログラムの構成方法はまだ分かりませんが･･･
全部で4608通りのコースが存在できるとはおったまげ～です。

ちなみにもし進路を右と下だけに限定させて進めるとしたら最小値は442である。
は合っていますか？

> ふと思ったのですが、このコースを見つける方法は最小値を求めるために利用していたπの数値と
> 対応させていた100×100行列のデータを逆から辿っていけば見つけられるかも？

はい、そうですね。私のプログラムではそのようにしてコースを調べています。
やり方は人間が手作業でやるのと同じで、「このマスにはどこから来たか」を
4方向調べ、値が一致する方向に進んでそれを繰り返す、というのを再帰的に
処理すれば、自動的に何通りかもわかります。
既に通過した場所に再度行かないように、マップの大きさ分の「通過済みフラグ」も
必要です（それがないと0が二つ隣り合っているところで無限ループします）。

> もし進路を右と下だけに限定させて進めるとしたら最小値は442である。
> は合っていますか？

はい、確かに442でした。その場合の経路数は3456通りです。

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。

R[n]=(10^n-1)/9 (repunit=1をn個並べた自然数) とする。
n桁の数の平方は2n桁または2n-1桁になるが、
(a+R[n])^2-a^2=2aR[n]+(R[n])^2＞R[2n-1] となるから
条件を満たすためには元の数は2n桁でなければならない。
(a+R[n])^2-a^2=R[2n] を解くと a=4R[n]+1 となるが
n≧3のとき4R[n]+1の平方の上から2桁目が9になり
「次の数字」が存在せず不適。
よって条件を満たすものは4R[1]+1=5, 4R[2]+1=45の二つ。
前者の平方の25は例示されているものだから、
答えは後者の平方の2025。

お見事です。

実は当初「√2025=25である」で出題しようとしていたのですが、その形だともう1つ解があることに気づいて慌てて記述を変更しました。
危なかった……。

書き間違い。
√2025=45ですね……。