😊出会いの泉😊

√3はb/aと(3a+b)/(a+b)の間にあると思います。
より一般に
√nはb/aと(na+b)/(a+b)の間にあると思います。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。

よって、次のようにいろいろ作れそうですね。

√3 は b/a と 3(2a+b)/(3a+2b) の間にある。
√3 は b/a と (9a+5b)/(5a+3b) の間にある。
√3 は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。

連分数展開と関係しているのかもしれませんね

p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
(n*p*a+q*b)/(q*a+p*b)
の分数がどの様な形を成すのかを調べて行くと
（但しn=3として調査したもの)

[p,q]=[2,3]=>(6*a+3*b)/(3*a+2*b)

[3,4]=>(9*a+4*b)/(4*a+3*b)
[3,5]=>(9*a+5*b)/(5*a+3*b)

[4,5]
[4,6]

[5,6]
[5,7]
[5,8]

[6,7]
[6,8]
[6,9]
[6,10]

[7,8]
･･････


の様に各pに対して分数を構成可能なqの最大値を追っていくと
3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,･････
この数列がちょうどA022838;Beatty sequence for　sqrt(3)
に対応する数列と繋がっていました。
sqrt(3)繋がりでちょっと面白く感じました。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。


証明を書いておきましょう。
簡単なので。


Y
= (√n - b/a) * (√n - (npa+qb)/(qa+pb))
= (√n - b/a) * (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - b/a) * (√n - q/p)
= (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - q/p) * (√n - b/a)^2
とおく。
ここで、
pa/(qa+pb) > 0,
√n - q/p > 0,
(√n - b/a)^2 > 0
なので、
Y < 0
となり、
「√n > b/a かつ √n < (npa+qb)/(qa+pb)」
あるいは
「√n < b/a かつ √n > (npa+qb)/(qa+pb)」
のいずれかが成り立ち、
√n が b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にあることがわかる。

m+1進数において、位取り記法では、定義によって、0.mmm・・・・＜１　（ただし、位取り記法の各桁の値がmのとき、0.mmm・・・・の次は桁上がりして１であるから）
さて、もし仮に、１と0.mmm・・・・の間に0.mmm・・・pという小数があるとすると、
0.mmm・・・・＜0.mmm・・・p＜１
ところである桁のpはm+1進数なので定義によって0〜mでなければならない。
しかし、0.mmm・・・・はすべての桁がmなので、ある桁のpはm+1でなければならないが、それはｍ＋１進数の定義によって不可能である。
したがって、0.mmm・・・pは存在しない。
また、0.mmm・・・・＜１より、1ー0.mmm・・・・＝β>0
ゆえに、m+1進数において、小数は量子化されている。

何通りでもできますね！
555+555+555+555=2220
222+444+666+888=2220
111+333+777+999=2220

自分の計算機では280になってしまう！
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!/floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))+floor(sqrt(exp(exp(2))))
%193 = 280

（内わけ）
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!
%194 = 720
gp > floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))
%195 = 3
gp > floor(sqrt(exp(exp(2))))
%196 = 40

最後のexp 2についているカッコは[　]です。つまり
floor(sqrt(exp(exp(2)))) = 40
ではなく
floor(sqrt(exp(floor(exp(2))))) = 33
です。

お遊びで2を5個も使ってみました。

gp > round(exp(2+2)/(log(2)-sin(2)-cos(2)))
%253 = 273

a=3m^2+5mn-5n^2
b=4m^2-4mn+6n^2
c=5m^2-5mn-3n^2
d=6m^2-4mn+4n^2
のとき
a^3+b^3+c^3=d^3
という一般式があり（全解は表さないようです）、
(m,n)=(1,0)のとき 3^3+4^3+5^3=6^3
(m,n)=(2,1)のとき 17^3+14^3+7^3=20^3
となります。

左辺を(共通因数を持たない)３個の整数の３乗数の和に拡張すると、3個の整数の３乗和が6^2=216または20^3=8000になるものは、他にもあるので、いくつか挙げます。

-1^3-8^3+9^3=216
3^3+4^3+5^3=216　 (左辺が3個の自然数の３乗和)
-32^3-33^3+41^3=216
97^3+551^3-552^3=216
-121^3-768^3+769^3=216
-127^3-180^3+199^3=216
-179^3-216^3+251^3=216
-381^3-436^3+517^3=216
-479^3-718^3+783^3=216
521^3+1143^3-1178^3=216
-547^3-1685^3+1704^3=216
551^3+3337^3-3342^3=216
565^3+2144^3-2157^3=216
675^3+1244^3-1307^3=216
769^3+4650^3-4657^3=216
-828^3-1585^3+1657^3=216
-865^3-1119^3+1270^3=216
-865^3-1494^3+1585^3=216
-867^3-1597^3+1678^3=216
-900^3-1801^3+1873^3=216
-908^3-5581^3+5589^3=216
-911^3-1321^3+1452^3=216
-1647^3-2257^3+2518^3=216
1773^3+14363^3-14372^3=216
1890^3+3881^3-4025^3=216
2493^3+5410^3-5581^3=216
-2542^3-4091^3+4395^3=216
-2598^3-6299^3+6443^3=216
-2828^3-3297^3+3881^3=216
2983^3+4521^3-4918^3=216
3560^3+7663^3-7911^3=216
3743^3+13105^3-13206^3=216
4490^3+5175^3-6119^3=216
4897^3+23120^3-23193^3=216
-7387^3-31718^3+31851^3=216
-7695^3-11369^3+12440^3=216
8013^3+12115^3-13186^3=216
9027^3+18989^3-19646^3=216
-9577^3-23399^3+23922^3=216
10583^3+15409^3-16920^3=216
-11112^3-18715^3+19939^3=216
12973^3+14712^3-17509^3=216
13159^3+20961^3-22564^3=216
16395^3+77629^3-77872^3=216
19743^3+22825^3-26956^3=216
-19957^3-98742^3+99013^3=216
-21290^3-67243^3+67947^3=216
-23615^3-48241^3+50058^3=216
27739^3+60290^3-62187^3=216
28759^3+32558^3-38775^3=216
30813^3+74864^3-76565^3=216
31254^3+41689^3-46873^3=216
-35148^3-46873^3+52705^3=216
-35792^3-71299^3+74187^3=216
37837^3+86651^3-88992^3=216
-47328^3-49315^3+60907^3=216
-50876^3-78661^3+85197^3=216
-60213^3-74699^3+85958^3=216
-60629^3-78651^3+89186^3=216
-63281^3-92103^3+101144^3=216
-46525^3-106500^3+109381^3=216
-25439^3-109593^3+110048^3=216
-88342^3-134079^3+145807^3=216
43984^3+156887^3-158031^3=216
-45610^3-160665^3+161881^3=216
-80387^3-156790^3+163539^3=216
33311^3+164329^3-164784^3=216
64927^3+166953^3-170164^3=216
-124651^3-171341^3+190992^3=216
-30505^3-195602^3+195849^3=216
103746^3+194717^3-204077^3=216
137139^3+183637^3-206236^3=216
154333^3+190403^3-219522^3=216
-14203^3-224189^3+224208^3=216
39401^3+226999^3-227394^3=216
107715^3+229381^3-237040^3=216
-194643^3-211109^3+256028^3=216
109381^3+250350^3-257125^3=216
-165472^3-385053^3+394981^3=216
-307415^3-358369^3+421860^3=216
286513^3+378462^3-426769^3=216
-42361^3-436412^3+436545^3=216
-226666^3-487617^3+503425^3=216
-185557^3-540680^3+547869^3=216
-272665^3-541488^3+563617^3=216
-190409^3-572562^3+579497^3=216
272585^3+629631^3-646220^3=216
-600723^3-659810^3+795827^3=216
-135599^3-800457^3+801752^3=216
483908^3+769047^3-828239^3=216
-141457^3-850298^3+851601^3=216
128785^3+894480^3-895369^3=216
272029^3+898995^3-907222^3=216
-559773^3-841748^3+917285^3=216
337378^3+916521^3-931513^3=216
451881^3+998815^3-1028740^3=216
-117943^3-1115912^3+1116351^3=216
390785^3+1139719^3-1154832^3=216
737729^3+1073799^3-1179188^3=216
-862040^3-1005091^3+1183083^3=216
-885106^3-993455^3+1187343^3=216
-418889^3-1221487^3+1237692^3=216
-172619^3-1239480^3+1240595^3=216
404505^3+1402159^3-1413292^3=216
-299833^3-1433855^3+1438212^3=216
-1256803^3-1289234^3+1604163^3=216
-906011^3-1615690^3+1705563^3=216
-400093^3-1765446^3+1772269^3=216
700231^3+1745688^3-1782463^3=216
1036131^3+1775710^3-1886275^3=216
-1335296^3-1684797^3+1927685^3=216
-602957^3-1940038^3+1959261^3=216
320402^3+1988827^3-1991595^3=216
584900^3+1998153^3-2014721^3=216
318115^3+2019006^3-2021635^3=216
431687^3+2036865^3-2043308^3=216
474769^3+2037468^3-2046025^3=216
148882^3+2299595^3-2299803^3=216
-1173025^3-2208348^3+2313577^3=216
411594^3+2443061^3-2446949^3=216
-412878^3-2454511^3+2458399^3=216
1615967^3+2203140^3-2461463^3=216
845224^3+2459859^3-2492683^3=216
629830^3+2570381^3-2582925^3=216
1397665^3+2480490^3-2620369^3=216
825727^3+2626700^3-2653623^3=216
860845^3+2704227^3-2732998^3=216
1203628^3+2657723^3-2737587^3=216
1886265^3+2472631^3-2794750^3=216
2185760^3+2462631^3-2938655^3=216
1607829^3+2980211^3-3128684^3=216
867229^3+3774494^3-3789693^3=216
-585531^3-3865570^3+3870043^3=216
-2167259^3-3700512^3+3933347^3=216
-1260036^3-4072541^3+4112357^3=216
-2982769^3-3869471^3+4387746^3=216
-314917^3-4869470^3+4869909^3=216
1884752^3+4847391^3-4940567^3=216
2316655^3+4874588^3-5043111^3=216
-4030381^3-4295307^3+5250160^3=216
1731798^3+5219803^3-5282587^3=216
3170425^3+4886159^3-5295792^3=216
-3190888^3-5062983^3+5454415^3=216
4174756^3+4750085^3-5645565^3=216
3537560^3+5607381^3-6042125^3=216
-3015699^3-6077068^3+6315163^3=216
2887029^3+6275842^3-6473221^3=216
3786437^3+6545923^3-6943584^3=216
1531675^3+7117050^3-7140619^3=216
-471557^3-7454131^3+7454760^3=216
-5666025^3-6701455^3+7845256^3=216
3336672^3+7927939^3-8120251^3=216
-3889854^3-8077309^3+8367469^3=216
4134921^3+8136754^3-8478169^3=216
-1930493^3-8482875^3+8516072^3=216
2635872^3+8571463^3-8653759^3=216
3236089^3+9107663^3-9241860^3=216
-5633415^3-8802097^3+9512404^3=216
816857^3+9744472^3-9746385^3=216
-2400413^3-9928995^3+9975542^3=216
3220960^3+9963329^3-10074297^3=216
3875534^3+10112895^3-10299167^3=216
7041127^3+11266664^3-12117471^3=216
-7389901^3-11887955^3+12772398^3=216
4391454^3+13161305^3-13322297^3=216
-9192061^3-12632370^3+14082013^3=216
-1758245^3-14462547^3+14471204^3=216
3399645^3+15447403^3-15502096^3=216
-9459480^3-14887715^3+16065131^3=216
11003002^3+15120227^3-16855635^3=216
4929693^3+17077931^3-17213768^3=216
11121191^3+15715873^3-17387988^3=216
-10415820^3-17294119^3+18471535^3=216
-11188123^3-17174837^3+18630546^3=216
-3182467^3-18600368^3+18631371^3=216
12008131^3+17300540^3-19046715^3=216
-9243302^3-19545313^3+20211441^3=216
9872400^3+20833979^3-21548147^3=216
2695565^3+21936435^3-21949994^3=216
-9274213^3-23034492^3+23525101^3=216
12033943^3+23260628^3-24288207^3=216
-19466061^3-19877594^3+24787661^3=216
-4828737^3-25320887^3+25379288^3=216
-19194137^3-21965383^3+26045886^3=216
17930006^3+24432085^3-27300885^3=216
2361038^3+29548273^3-29553297^3=216
-9237993^3-29418191^3+29718764^3=216
11071689^3+31018642^3-31481881^3=216
-4817773^3-32272784^3+32308533^3=216
26453277^3+28691708^3-34796309^3=216
-18169249^3-33782648^3+35450793^3=216
21805392^3+32588779^3-35563171^3=216
4375839^3+36555142^3-36576031^3=216
-9072239^3-38275654^3+38444799^3=216
-10612063^3-39019674^3+39279583^3=216
21232607^3+43380049^3-45013326^3=216
-9498547^3-45316421^3+45455100^3=216
-23418939^3-48703237^3+50445142^3=216
32705145^3+45987506^3-50947145^3=216
-19013037^3-50817736^3+51689845^3=216
12514220^3+52686297^3-52920593^3=216
-7019517^3-55070816^3+55108805^3=216
-27790354^3-54289413^3+56615653^3=216
38395530^3+49990775^3-56622119^3=216
6417881^3+57045295^3-57072360^3=216
-39581857^3-49999688^3+57185961^3=216
21050844^3+57608587^3-58530691^3=216
15916325^3+58692579^3-59080172^3=216
23675762^3+58798195^3-60050883^3=216
9250045^3+60325131^3-60397540^3=216
43161071^3+54802201^3-62572416^3=216
44008279^3+55271153^3-63336900^3=216
-32646390^3-62326301^3+65179373^3=216
-18635465^3-65776966^3+66271833^3=216
-39757415^3-61758033^3+66823412^3=216
5176176^3+68958719^3-68968439^3=216
-36398131^3-65925741^3+69434062^3=216
37945783^3+66060476^3-69994863^3=216
-14460744^3-71315905^3+71513545^3=216
-11491084^3-72703857^3+72799417^3=216
51033161^3+70111719^3-78164174^3=216
-26263109^3-79046251^3+80001066^3=216
28454131^3+81570270^3-82708435^3=216
4356761^3+90106663^3-90110058^3=216
56779609^3+82181039^3-90372168^3=216
56000621^3+87576091^3-94626156^3=216
-13979821^3-100491075^3+100581178^3=216
-42625829^3-99416211^3+101962496^3=216
-54384565^3-100519683^3+105568312^3=216
-52095779^3-104697597^3+108831662^3=216
-68506971^3-106646405^3+115341278^3=216
-8505619^3-128220320^3+128232795^3=216
140387049^3+299533223^3-309478790^3=216
139989079^3+304309592^3-313880271^3=216
3073465^3+364099688^3-364099761^3=216
-32118201^3-380839526^3+380915657^3=216
26073361^3+394269879^3-394307884^3=216
62439690^3+417645869^3-418110557^3=216
121955818^3+426540357^3-429838069^3=216
129892934^3+430522725^3-434428517^3=216
-152866494^3-436383085^3+442548445^3=216
27755847^3+448145729^3-448181216^3=216
109692385^3+498497528^3-500261721^3=216
-45469243^3-505832885^3+505955322^3=216
133902324^3+512190901^3-515223469^3=216

7^3+14^3+17^3=8000 (左辺が3個の自然数の３乗和)
33^3+96^3-97^3=8000
-54^3-79^3+87^3=8000
-89^3-487^3+488^3=8000
-109^3-379^3+382^3=8000
118^3+257^3-265^3=8000
-151^3-353^3+362^3=8000
159^3+192^3-223^3=8000
-198^3-565^3+573^3=8000
-322^3-669^3+693^3=8000
381^3+443^3-522^3=8000
-646^3-1081^3+1153^3=8000
696^3+1293^3-1357^3=8000
813^3+1683^3-1744^3=8000
831^3+13830^3-13831^3=8000
1161^3+22839^3-22840^3=8000
-1241^3-25240^3+25241^3=8000
2453^3+15296^3-15317^3=8000
-3623^3-47584^3+47591^3=8000
4133^3+12579^3-12726^3=8000
4793^3+8591^3-9062^3=8000
-5077^3-21611^3+21704^3=8000
5274^3+8993^3-9561^3=8000
7119^3+17073^3-17476^3=8000
7683^3+39429^3-39526^3=8000
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10137^3+34886^3-35169^3=8000
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13529^3+21471^3-23130^3=8000
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-17123^3-29524^3+31331^3=8000
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-53778^3-70531^3+79707^3=8000
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-140533^3-148842^3+182445^3=8000
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148029^3+227715^3-246904^3=8000
-38599^3-264849^3+265122^3=8000
-203650^3-248943^3+287943^3=8000
134436^3+287661^3-297133^3=8000
-86633^3-298492^3+300905^3=8000
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175206^3+1034651^3-1036323^3=8000
829505^3+858687^3-1063812^3=8000
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137864^3+1231127^3-1231703^3=8000
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1001036^3+1160647^3-1369159^3=8000
1106831^3+1147801^3-1420798^3=8000
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1112733^3+1393866^3-1598677^3=8000
-114718^3-1730657^3+1730825^3=8000
743699^3+1852022^3-1891163^3=8000
-1404363^3-1757293^3+2016234^3=8000
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106881^3+2269703^3-2269782^3=8000
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-1705303^3-3088801^3+3253162^3=8000
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7526609^3+10104082^3-11339113^3=8000
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7232973^3+11022059^3-11975466^3=8000
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-3892975^3-17480426^3+17544551^3=8000
14032737^3+14402207^3-17915916^3=8000
14183196^3+16037097^3-19108969^3=8000
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-11777694^3-18576681^3+20036945^3=8000
10023277^3+19170152^3-20043181^3=8000
4836282^3+20160839^3-20253183^3=8000
11129165^3+21119492^3-22103117^3=8000
9427389^3+21933972^3-22499773^3=8000
-16470141^3-19080963^3+22515932^3=8000
12495101^3+22047451^3-23311378^3=8000
-15998092^3-20772915^3+23548467^3=8000
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-7081099^3-24843789^3+25034082^3=8000
-12336784^3-25059735^3+26019159^3=8000
-8782926^3-26735199^3+27047495^3=8000
5065141^3+30508043^3-30554512^3=8000
11604746^3+30008847^3-30576519^3=8000
7966437^3+31076571^3-31250104^3=8000
20935037^3+27951684^3-31418493^3=8000
-15579015^3-31082169^3+32335544^3=8000
-18568097^3-33631351^3+35421074^3=8000
-7867089^3-35410120^3+35539089^3=8000
19191777^3+34767879^3-36617038^3=8000
-5906643^3-39306093^3+39350504^3=8000
8383863^3+39910641^3-40033582^3=8000
4447236^3+41335877^3-41353029^3=8000
2269703^3+48207969^3-48209646^3=8000
17726483^3+49421973^3-50170734^3=8000
22836748^3+49172735^3-50762623^3=8000
-36020275^3-46608756^3+52894131^3=8000
-31306004^3-49499959^3+53364407^3=8000
-11970177^3-53483175^3+53682302^3=8000
-22499773^3-52348584^3+53698941^3=8000
24184263^3+52241850^3-53915263^3=8000
-32659974^3-50738901^3+54899165^3=8000
24845063^3+53730178^3-55445599^3=8000
-17785367^3-61053745^3+61552742^3=8000
-34001070^3-62037943^3+65270943^3=8000
39145844^3+61731177^3-66586473^3=8000
-42224776^3-66586473^3+71823657^3=8000
-44900052^3-72367323^3+77722715^3=8000
1843259^3+74021062^3-74021443^3=8000
-4102633^3-84013591^3+84016852^3=8000
3957929^3+89972503^3-89975056^3=8000
-25204644^3-91065165^3+91704269^3=8000
-41270026^3-90205423^3+92997607^3=8000
27292038^3+93622119^3-94388911^3=8000
-12190529^3-97020487^3+97084598^3=8000
-60458957^3-90884266^3+99047429^3=8000
-32936367^3-99443310^3+100633367^3=8000
-37721205^3-100437451^3+102180576^3=8000
-13886818^3-121628109^3+121688421^3=8000
-46081415^3-259863634^3+260345759^3=8000
-68057876^3-303087373^3+304226957^3=8000
-50266232^3-307911991^3+308357879^3=8000
-88694134^3-409726241^3+411106985^3=8000
126055431^3+414033657^3-417892444^3=8000
-65488116^3-420919713^3+421447457^3=8000
126339945^3+440369138^3-443808513^3=8000
23436159^3+444875841^3-444897520^3=8000
94424006^3+529136217^3-530136609^3=8000

不定方程式
x^3+y^3+z^3=w^3
の自然数解　(x,y,z,w)で、
gcd(x,y,z)=1, 0<x<y<z, 0<w<=123
を満たすものを求めてみると、以下のようになります。


3^3+4^3+5^3=6^3
1^3+6^3+8^3=9^3
3^3+10^3+18^3=19^3
7^3+14^3+17^3=20^3
4^3+17^3+22^3=25^3
18^3+19^3+21^3=28^3
11^3+15^3+27^3=29^3
2^3+17^3+40^3=6^3+32^3+33^3=41^3
16^3+23^3+41^3=44^3
3^3+36^3+37^3=7^3+30^3+37^3=46^3
29^3+34^3+44^3=53^3
12^3+19^3+53^3=54^3
15^3+42^3+49^3=58^3
22^3+51^3+54^3=67^3
36^3+38^3+61^3=69^3
7^3+54^3+57^3=70^3
4^3+39^3+65^3=72^3
38^3+43^3+66^3=75^3
31^3+33^3+72^3=76^3
25^3+48^3+74^3=81^3
19^3+60^3+69^3=82^3
28^3+53^3+75^3=84^3
50^3+61^3+64^3=95^3
20^3+54^3+79^3=26^3+55^3+78^3=38^3+48^3+79^3=87^3
21^3+43^3+84^3=17^3+40^3+86^3=89^3
25^3+38^3+87^3=58^3+59^3+69^3=90^3
32^3+54^3+85^3=93^3
19^3+53^3+90^3=96^3
45^3+69^3+79^3=97^3
12^3+31^3+102^3=103^3
33^3+70^3+92^3=105^3
13^3+51^3+104^3=15^3+82^3+89^3=108^3
29^3+75^3+96^3=110^3
50^3+74^3+97^3=113^3
3^3+34^3+114^3=115^3
23^3+86^3+97^3=116^3
9^3+55^3+116^3=120^3
49^3+84^3+102^3=121^3
19^3+92^3+101^3=122^3

以下の4つが足りないと思います。
14^3+23^3+70^3=71^3
25^3+31^3+86^3=88^3
16^3+47^3+108^3=111^3
44^3+51^3+118^3=123^3

以下の4つに打ち間違い（それぞれ1文字不足か1文字違い）があります。
7^3+30^3+37^3=46^3 → 27^3+30^3+37^3=46^3
4^3+39^3+65^3=72^3 → 34^3+39^3+65^3=72^3
50^3+61^3+64^3=95^3 → 50^3+61^3+64^3=85^3
21^3+43^3+84^3=89^3 → 21^3+43^3+84^3=88^3

らすかる氏提示の関係式
m,nをパラメータとして
A(m,n)=3*m^2+5*m*n-5*n^2
B(m,n)=4*m^2-4*m*n+6*n^2
C(m,n)=5*m^2-5*m*n-3*n^2
D(m,n)=6*m^2-4*m*n+4*n^2
で定義すれば
gp > A(m,n)^3+B(m,n)^3+C(m,n)^3
%129 = 216*m^6 - 432*n*m^5 + 720*n^2*m^4 - 640*n^3*m^3 + 480*n^4*m^2 - 192*n^5*m + 64*n^6
gp > D(m,n)^3
%130 = 216*m^6 - 432*n*m^5 + 720*n^2*m^4 - 640*n^3*m^3 + 480*n^4*m^2 - 192*n^5*m + 64*n^6
で見事
A(m,n)^3+B(m,n)^3+C(m,n)^3=D(m,n)^3
が成立する。

どんな考えでこんな式が生まれるのか想像もできないが今流行りのAIに2パラメータ解があるかを尋ねると
A(m,n)=3*m^2-5*m*n-5*n^2
B(m,n)=4*m^2-4*m*n+6*n^2
C(m,n)=5*m^2+5*m*n-3*n^2
D(m,n)=6*m^2-4*m*n+4*n^2
なるものを返してきた。（Euler 型などの名称を付けている。)
らすかるさんの提示の式とそっくりですが2か所の符号が異なっています。
そこで喜んでこれで計算させていたら合わないのです。

ほんの僅かな違いが決定的に全体に影響を与えることに改めて元の式が精密に組み立てられていることに驚きます。


さらにNakao氏がいろいろな具体的等式を作り報告されているのを見て、すべての成立する等式はbrute forceでしか
求まらないのかと思ってしまいます。
これらの結果を利用してOEISに検索を掛けて色々調べてみた結果次のようなパラメータ解を1826年(何と江戸時代）
算額で奉納していた人物(Shiraishi Chochu)がいたことを外国人の研究者とYoshio Mikamiの共著で1914年
A HISTOTY of JAPANESE MATHEMATICS の著名で出版されているという。

数ある等式の中に
P(n)=3*n^2
Q1(n)=6*n^2-3*n+1
Q2(n)=6*n^2+3*n+1
R1(n)=9*n^3-6*n^2+3*n-1
R2(n)=9*n^3+6*n^2+3*n
S1(n)=R1(n)+1
S2(n)=R2(n)+1
で定義しておけば

P(n)^3+Q1(n)^3+R1(n)^3
%138 = 729*n^9 - 1458*n^8 + 1701*n^7 - 1188*n^6 + 567*n^5 - 162*n^4 + 27*n^3
gp > S1(n)^3
%139 = 729*n^9 - 1458*n^8 + 1701*n^7 - 1188*n^6 + 567*n^5 - 162*n^4 + 27*n^3
または
P(n)^3+Q2(n)^3+R2(n)^3
%140 = 729*n^9 + 1458*n^8 + 1701*n^7 + 1431*n^6 + 891*n^5 + 432*n^4 + 162*n^3 + 45*n^2 + 9*n + 1
S2(n)^3
%141 = 729*n^9 + 1458*n^8 + 1701*n^7 + 1431*n^6 + 891*n^5 + 432*n^4 + 162*n^3 + 45*n^2 + 9*n + 1
となり
P(n)^3+Q1(n)^3+R1(n)^3=S1(n)
P(n)^3+Q2(n)^3+R2(n)^3=S2(n)
の等式が成立することになる。
これらから
3^3+4^3+5^3=6^3
3^3+10^3+18^3=19^3
12^3+19^3+53^3=54^3
12^3+31^3+102^3=103^3
27^3+46^3+197^3=198^3
27^3+64^3+306^3=307^3
48^3+85^3+491^3=492^3
48^3+109^3+684^3=685^3
--------------------
--------------------
などの等式を導ける。

いや～日本人も捨てたもんじゃないぞ！！(A226903参照)

ある本に、6n+5の素数が、無限に、存在する。証明が、載ってました。
6n+1の、素数も、無限に存在する、事実は、知られていますが、証明は、難しいですか？

6n+1型の素数が有限個(m個)と仮定し、p[1]～p[m]とする。
a=6p[1]p[2]…p[m], b=a^3+1とすると
bは2,3,6n+1型の素数で割り切れないのでbの素因数は6n+5型のみ。
bの素因数の一つをq=6k+5とするとb≡0(mod q)なのでa^3≡-1 (mod q)
よってa^(6k+3)≡(a^3)^(2k+1)≡-1 (mod q)
一方、フェルマーの小定理からa^(q-1)=a^(6k+4)≡1 (mod q)なので
a≡-1 (mod q)
つまりa^3+1の素因数はすべてa+1の素因数であることになるが、
b=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)でa^2-a+1の素因数もa+1の素因数となり矛盾。
（∵a+1とa^2-a+1は互いに素）
従って6n+1型の素数は無限個。

# もし上記の証明に誤りがありましたらご指摘下さい。

らすかるさん、いつも、有難うごさいます。
証明を、試みましたが、力不足です。

数日経ちましたんで、解答を。
「あの関係式」とは相加平均と相乗平均の大小関係でした。


(1)
左辺 - 右辺 = (a^2+b^2) - 2ab = (a-b)^2 ≧ 0

(2-1)
(1) の結果で、a^2 を (a/b)(a/c) に、b^2 を (b/c) に書き換えると、
(a/b)(a/c)*(b/c) = (a/c)^2 となることから、
(a/b)(a/c) + (b/c) ≧ 2(a/c)
すなわち
(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)

(2-2)
(2-1) の結果でaとbを入れ替えたものを並べると
(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)
(b/a)(b/c) ≧ 2(b/c) - (a/c)
これらの両辺を足すと
(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c)

(2-3)
(2-2) の結果で文字をサイクリックを入れ替えて
(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c)
(b^3+c^3)/(abc) ≧ (b/a) + (c/a)
(c^3+a^3)/(abc) ≧ (c/b) + (a/b)
これらを全て加えて
2*(a^3+b^3+c^3)/(abc) ≧ (a/b+b/a) + (b/c+c/b) + (c/a+a/c)
右辺は (1) の関係式を使えば
(a/b+b/a) + (b/c+c/b) + (c/a+a/c) ≧ 2 + 2 + 2 = 6
となるので、
2*(a^3+b^3+c^3)/(abc) ≧ 6
すなわち
a^3+b^3+c^3 ≧ 3abc

(3) も同様。


任意のn個の変数に対する証明は、双方向に進む帰納法か、解析方面の知識を頼るか、大体そのどちらかです。
純粋な四則演算と累乗だけで1つずつ前進する帰納法は書けないもんなの？と長年思っていましたが、ふと解決したので投稿した次第でした。

簡単に思いつくものですかと言われると、えーと、うん、まあ……ね。

「どのようなもの」とは、例を書けば良いのでしょうか。もしそうなら例えば
n=6: (1,6)(2,5)(3,4)
n=12: (1,2,11,12)(3,4,9,10)(5,6,7,8)
n=18: (1,2,3,16,17,18)(4,5,6,13,14,15)(7,8,9,10,11,12)
n=24: (1,2,3,4,21,22,23,24)(5,6,7,8,17,18,19,20)(9,10,11,12,13,14,15,16)
・・・
n=6m:
(1,2,…,m-1,m,5m+1,5m+2,…,6m)
(m+1,m+2,…,2m-1,2m,4m+1,4m+2,…,5m)
(2m+1,2m+2,…,3m-1,3m,3m+1,3m+2,…,4m)

(追記)
n=6m+0,2,3,5のそれぞれの場合についての分け方の一般形の例が作れましたのでまとめます。
n=6m+0の場合(m≧1): それぞれの合計は m(6m+1)
(1～m, 5m+1～6m) と (m+1～2m, 4m+1～5m) と (2m+1～4m)
n=6m+2の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+1)
(1～m,4m+1～4m+2,5m+3～6m+1) と (m+1～2m+1,4m+3～5m+2) と (2m+2～4m,6m+2)
n=6m+3の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+2)
(1～m+1, 2m+1, 5m+4～6m+3) と (m+2～2m, 4m+3～5m+3) と (2m+2～4m+2)
n=6m+5の場合(m≧0): それぞれの合計は (m+1)(6m+5)
(1～m,5m+5～6m+5) と (m+1～2m+1,4m+4～5m+4) と (2m+2～4m+3)
※mに具体値を代入してa～a-1のように終値が始値より1小さくなる場合、その範囲は削除(n=5,8,9の場合に発生)
※n=6m+1,4の場合は総計が3の倍数ではないので3分割できません。

一般の等差数列、項数＝ｎ、初項＝a、公差=d　置くとき
a,a+d,…、a+(n-1)d　折り返して、和を取ると全て等しくなるので、
項数が６の倍数であれば、３分割して、和を等しくすることが可能です。
（n,a,d）=(6k,a,ｄ)

１，２，３，４，５は、分割して和を等しくすることが可能ですが、
a倍して、a,２a，３a，４a，５a も可能です。(5,a,a)

分割可能であれば、公差a の等差数列、初項a　を自由に作ることが可能。

１，２，３，４，５，６，７，８，９　の場合
｛９，１，５｝、｛８，３，４｝、｛７，２，６｝と
｛１，２，３，９｝、｛７，８｝、｛４，５，６｝複数解もあることが分かりました。

6m+5 5,11,17,23,…
6m+3 9,15,21,27,…
6m+2 8,14,20,26,…
については、5,9,8は、分割可能なので、残り6の倍数を足した数については、6の倍数が、3つの組に等分割可能なので、振り分けて、全体が、分割可能になります。

1が左上隅のパターンが8通り、1が中央のパターンが8通りなので
8×4+8=40通りだと思います。
(参考: oeis.org/A096969)