😊出会いの泉😊

それはpとqが小さいときだけでは？
以下でp以上q以下の素数はすべて8個なのでpとqの異なる組み合わせは28通りです。
2≦p＜q≦19 のとき 28個中 17個が素数
11≦p＜q≦37 のとき 28個中 11個が素数
101≦p＜q≦137 のとき 28個中 4個が素数
1009≦p＜q≦1049 のとき 28個中 2個が素数
10007≦p＜q≦10079 のとき 28個中 4個が素数
100003≦p＜q≦100109 のとき 28個中 1個が素数
1000003≦p＜q≦1000121 のとき 28個中 4個が素数
10000019≦p＜q≦10000189 のとき 28個中 2個が素数
100000007≦p＜q≦100000127 のとき 28個中 0個が素数
1000000007≦p＜q≦1000000103 のとき 28個中 4個が素数
10000000019≦p＜q≦10000000141 のとき 28個中 0個が素数
2≦p＜q≦n で n→∞ のとき 素数確率→0 になりそうです。

# 多分名前とタイトルが逆ですね。

失礼しました。パスワードの関係で治せません。
管理人さま訂正お願いします。
ｐ＊ｑ＋ｐ＋ｑでも、同じ結果でしょうか？
ｐを２や３の累乗に置き換えたものも、小さい数の時だけでしょうか？
オイラーの二次式ｘ＾２＋ｘ＋ｑ
でｑが素数のとき、素数になりやすく、特に４１のときは特別の様にもかんじられますが、？∞においては、０みたいな？

p*q+p+qならば
2≦p＜q≦19 のとき 28個中 19個が素数
11≦p＜q≦37 のとき 28個中 13個が素数
101≦p＜q≦137 のとき 28個中 6個が素数
1009≦p＜q≦1049 のとき 28個中 7個が素数
10007≦p＜q≦10079 のとき 28個中 5個が素数
100003≦p＜q≦100109 のとき 28個中 5個が素数
1000003≦p＜q≦1000121 のとき 28個中 0個が素数
10000019≦p＜q≦10000189 のとき 28個中 0個が素数
100000007≦p＜q≦100000127 のとき 28個中 4個が素数
1000000007≦p＜q≦1000000103 のとき 28個中 0個が素数
10000000019≦p＜q≦10000000141 のとき 28個中 2個が素数
となります。値は違いますが、傾向は一緒ですね。

空舟さん、情報提供ありがとうございます。１０年ぶりに心が晴れました！

単位円周上のn点を、z_1,z_2, … ,z_n とし、
多項式
P(w)=(w-z_1)*(w-z_2)*…*(w-z_n)
を考える。
|P(w)|≧2 かつ 1≧|w| なる w の存在が次のようにして示せる。

(z_1)*(z_2)*…*(z_n)=(-1)^n となるように座標を設定できる。
k=1,2,…,nに対して、w_k=exp(i*2*π*k/n) とすると、
P(w_1)+P(w_2)+…+P(w_n)=2*n
であることがわかる。よって、
|P(w_1)|+|P(w_2)|+…+|P(w_n)|≧2*n.
よって、|P(w_1)|，|P(w_2)|，…，|P(w_n)|のうち、
少なくとも1つは2以上。

特殊な場合ではこうなっているようです。

単位円に内接する正 n+1 角形の頂点のうち n 個をとります。それらまでの n 個の距離の積が 2 以上になる点が、円周上ないしは円の内部に存在することを示せ。

↓↓↓
正 n+1 角形の頂点のうち n 個をとったときにあぶれた頂点を P とします。
P から あらかじめとられていた n 個の頂点に引いた線分の長さの積 N は n+1 に等しい。

不思議……

「または円の内部」がわざわざついているのが気になっているんですが、
この積が最大値をとる点は必ず円周上にあるわけでもないんですかね？
感覚的には必ず円周上と言えそうな気がしていますが、さりとて証明もできず。

双対多角形を利用すべきと直感的に思ったのですが今日まで鼠一匹捕れませんでした。
(円の内部にもあるとしたら……)

1の原始(n+1)乗根をzとすると、z^(n+1)=1で、z^i(i=0,1,2,...,n)は複素数平面上で正(n+1)角形となります。
zの複素共役z^*はz^*=z^-1なので、実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積の2乗は、
(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^n)*(x-z^-n)
=(x-z)*(x-z^n)*(x-z^2)*(x-z^(n-1))*...*(x-z^n)*(x-z)
=((x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n))^2
となります。

(x-1)*(x-z)*(x-z^2)*..(x-z^n)=x^(n+1)-1=(x-1)*(x^n+...x^2+x+1)
なので、
(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n)=x^n+...x^2+x+1
と表すことができて、実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積は
|x^n+...x^2+x+1|
となります。

x=1のときは、
x^n+...x^2+x+1=n+1
となって、距離の積はn+1となります。
x=0のときは、(0,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離は1なので、それらの積も明らかに1ですが、
((-z)*(-z^2)*...*(z^n))^2=(-z)^(n(n+1)/2*2)=(-z)^(n(n+1))
=(-1)^(n(n+1))*z^(n(n+1))=1*1=1
となるので、距離の積は1となります。

実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積|x^n+...x^2+x+1|はxについて連続な実数値関数なので、
中間値の定理から、距離の積が2となる点は(0,0)と(1,0)の間にあることになります。

--------------------------------------------------------------

1の原始(2k+1)乗根をzとすると、z^(2k+1)=1で、z^i(i=0,1,...,2k)は複素数平面上で正(2k+1)角形となります。
実軸上の点(x,0)とz^i(i=0,1,...,2k)との距離の積の2乗は、
(x-1)^2*(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^2k)*(x-z^-2k)
=((x-1)*(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^2k))^2
=(x^(2k+1)-1)^2
となります。

x=-1のとき、
(x^(2k+1)-1)^2=(-2)^2=4
となるので、(-1,0)とz^i(i=0,1,...,2k)との距離の積は2となります。

--------------------------------------------------------------

1の原始2k乗根をz、原始4k乗根をwとすると、n=2k,w^2=z,w^4k=z^2k=1で、w^i(i=0,1,...,4k-1)は複素数平面上で正4k角形となり、w^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)は複素数平面上で正2k角形となります。
実軸上の点(x,0)とw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)との距離の積の2乗は、
(x-w)*(x-w^-1)*(x-w^3)*(x-w^-3)*...*(x-w^(4k-1))*(x-w^-(4k-1))
=(x-w)*(x-w^(4k-1))*(x-w^3)*(x-w^(4k-3))*...*(x-w^(4k-1))*(x-w)
=((x-w)*(x-w^3)*...*(x-w^(4k-1)))^2
となります。

(x-w)*(x-w^3)*(x^w^5)*...*(x-w^(4k-1))
=(x-w)*(x-w*z)*(x-w*z^2)*...*(x-w*z^(2k-1))
=x^2k-w^2k=x^2k+1
なので（x^2k-1=0の根と係数の関係を応用）、x=±1のとき、
x^2k+1=2
となるので、(±1,0)とw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)との距離の積は2となります。

[2448] の DD++ さんによる問いかけについて
ぼんやりと想起したのが以下です。

複素関数論における最大値の原理（または最大値の定理）
《正則関数f(z)を、円の中心からある一定の距離までの範囲で定義されていて、この範囲で値がなめらかに変化する関数とします。このとき、f(z)の大きさを表す|f(z)|の最大値は、その範囲の端っこの部分、つまり円周上で必ず見つかります。》

このような f がみつかると嬉しいなと。

※でも、大数の記事中の問題に複素関数論使うのかと。近道があるのですかね。

返信遅くなりました。
私が作った解法も、複素平面によるものでした。
なぜ「円の内部」とわざわざ記述されているかについての考察、興味深く拝見いたしました。

ツイッターで紹介されていたサイトに以下のページがありました。(画像はその一部をトリミングしたものです)

https://jkoizumi144.com/puzzles.html

文面が on the circle であり、in the circle ではないことから、求める点は円周上にあると意識されていることと存じます。

単位円周上のn個の点について、円周上、又は円の内部の任意の点と
それらまでのn個のキョリの積が2以下になるとき、これらn個の点は
正n角形の頂点であることを示せ。

無作為に選ぶ、というのはあみだ1人分じゃなく、全員分の対応関係を同時に取りたいってことですか？
それだとまた根本的に別のコードが必要そうですが。

あと、確率という意味では、むしろ(n-1)^mでやる方が正確さは上じゃないかなあという気がします。

PDFを拝見しました。
言われてみれば確かにAIの言う「層」という表現が謎ですね。

このiは、あみだくじで最後に引いた線は左から何本目の右に引かれているか、です。
i=3なら、最後（番号付け的な意味で）の線が左から3番目と4番目の間に引かれているものを意味します。
酔歩モデルなら、最後の右下移動は、左下から数えて3本目を通った場合という意味に対応するかな？

moonlightさんへ質問ですが

10人で各一本ずつ好きな場所に横線を入れ横線の総数が10本である場合
第一行が左端(くじ棒1を選んだ時全部で4292145通りのあみだくじのパターンのうち
この10人がどのパターンを作っているかは知る由もないが(そのどれかにはなっているはず。）くじの行き先が
左から最終的にくじの1,2,3,･･･,10番へと至る総数を知らせる。
第２行が選んだくじが2番である場合の最終の到達場所になっています。
以下同様

横線総数10;
2797793, 895375, 368825, 152326, 55475, 16989, 4315, 889, 142, 16
895375, 1886974, 858064, 400591, 167993, 59769, 17877, 4456, 904, 142
368825, 858064, 1553894, 840565, 413847, 172825, 60764, 18016, 4456, 889
152326, 400591, 840565, 1388969, 834802, 418154, 173782, 60764, 17877, 4315
55475, 167993, 413847, 834802, 1318601, 833690, 418154, 172825, 59769, 16989
16989, 59769, 172825, 418154, 833690, 1318601, 834802, 413847, 167993, 55475
4315, 17877, 60764, 173782, 418154, 834802, 1388969, 840565, 400591, 152326
889, 4456, 18016, 60764, 172825, 413847, 840565, 1553894, 858064, 368825
142, 904, 4456, 17877, 59769, 167993, 400591, 858064, 1886974, 895375
16, 142, 889, 4315, 16989, 55475, 152326, 368825, 895375, 2797793
total: 4292145(通り)

横線総数20;(各自2本ずつ勝手に横線を書き入れた場合)
1206969885175, 444626687408, 223944116341, 123985414511, 68419073997, 35219432968, 16356793415, 6802760919, 2521009672, 809262504
444626687408, 736976131952, 404974329652, 244129892658, 146778115239, 82292337422, 41427338639, 18559662466, 7368931802, 2521009672
223944116341, 404974329652, 552089840963, 377497635883, 254748110156, 159277066729, 88500743423, 43260170378, 18559662466, 6802760919
123985414511, 244129892658, 377497635883, 454051817726, 360453569477, 259933003640, 163318227538, 88500743423, 41427338639, 16356793415
68419073997, 146778115239, 254748110156, 360453569477, 407940958106, 354592769176, 259933003640, 159277066729, 82292337422, 35219432968
35219432968, 82292337422, 159277066729, 259933003640, 354592769176, 407940958106, 360453569477, 254748110156, 146778115239, 68419073997
16356793415, 41427338639, 88500743423, 163318227538, 259933003640, 360453569477, 454051817726, 377497635883, 244129892658, 123985414511
6802760919, 18559662466, 43260170378, 88500743423, 159277066729, 254748110156, 377497635883, 552089840963, 404974329652, 223944116341
2521009672, 7368931802, 18559662466, 41427338639, 82292337422, 146778115239, 244129892658, 404974329652, 736976131952, 444626687408
809262504, 2521009672, 6802760919, 16356793415, 35219432968, 68419073997, 123985414511, 223944116341, 444626687408, 1206969885175
total: 2129654436910(通り)


横線総数30;;(各自3本ずつ書き入れた場合)
496647560097440001, 200445588666012991, 111899880246277899, 69792696535021405, 44738672491416379, 27922874500844965, 16258458172179943, 8597168046702841, 4054782107743644, 1643303416611824
200445588666012991, 282712254410516606, 174876883331777285, 118941996483630956, 82376641820193608, 55272922570250507, 34417898391400316, 19315501555853237, 9586514942872742, 4054782107743644
111899880246277899, 174876883331777285, 203125589064861508, 157132397723195171, 120882336138695072, 89132275101361093, 60473442328480160, 36565510743047626, 19315501555853237, 8597168046702841
69792696535021405, 118941996483630956, 157132397723195171, 166300290157052329, 146258783232882355, 121111693187082065, 91313328069327192, 60473442328480160, 34417898391400316, 16258458172179943
44738672491416379, 82376641820193608, 120882336138695072, 146258783232882355, 151780229152448736, 142524556085077112, 121111693187082065, 89132275101361093, 55272922570250507, 27922874500844965
27922874500844965, 55272922570250507, 89132275101361093, 121111693187082065, 142524556085077112, 151780229152448736, 146258783232882355, 120882336138695072, 82376641820193608, 44738672491416379
16258458172179943, 34417898391400316, 60473442328480160, 91313328069327192, 121111693187082065, 146258783232882355, 166300290157052329, 157132397723195171, 118941996483630956, 69792696535021405
8597168046702841, 19315501555853237, 36565510743047626, 60473442328480160, 89132275101361093, 120882336138695072, 157132397723195171, 203125589064861508, 174876883331777285, 111899880246277899
4054782107743644, 9586514942872742, 19315501555853237, 34417898391400316, 55272922570250507, 82376641820193608, 118941996483630956, 174876883331777285, 282712254410516606, 200445588666012991
1643303416611824, 4054782107743644, 8597168046702841, 16258458172179943, 27922874500844965, 44738672491416379, 69792696535021405, 111899880246277899, 200445588666012991, 496647560097440001
total: 982000984280251892(通り)

もし当たりがどのくじの元に設定されているかが事前に判明しておれば、全体的にどんなあみだくじ状態になっているかはわからなくても、確率的にはその当たりのくじの番号に相当する籤を選ぶのが当たりを引ける戦略だ。
ということは可能性の総数の比較より論理的に言えるのですよね。（当然全体的くじの構造によってはハズレも十分にあり得ますが・・・)
の解釈はいいんでしょうか？

DD++さんへ。見て頂いてありがとうさんです。「間違ったこと」は書いてないでしょうか？
iの受け取り方を間違えていたのでしょうか？まぁ「どの方向？操作？から見るか」で表現は変わりそうだとは思いましたが...

GAIさんへ。もちろんm^{n-1}でザックリ数えても凡その結果というか傾向は分かるので勿論それでも「良い」のかも知れませんが, 私的には「嘘」を伝えているようでとても「気持ち悪い」です。まぁ統計自体が「嘘八百」ばかり（現実問題に対応するには致し方ない部分があるとはいえ）なのでどうしようもないのかも知れないし, webの記事や御本とか見ても鈍感さに慣れっこになっているのかも知れませんけど... 数えられるときは「数えられるけどこちらの概算で大体わかるから「ちゃんとしたこと」は別途調べて／これは杜撰な数え方での集計だけど大体は掴めるから正しくはないけどコレで話を進めます」みたいなことはちゃんと書いておいて欲しいなぁと。（このあみだくじの話の場合は, 杜撰な数え方を根拠にした抽出をしてるから余計に救い難い... ）

で, こういう『有難い場所』で「きちんと数えるということはどういうことか」が議論されそこそこ纏められていれば, 気になる人は調べられるだろうから良いかなぁと。そんなことを思っています。

これは杜撰な数え方での集計だけど・・・
と書かれていましたがこれはDD++さんがつくられたプログラムをPARIのコードに読みかえて実行すると
例えば縦数5本、横数3本では
25, 10, 4, 1, 0
10, 15, 10, 4, 1
4, 10, 12, 10, 4
1, 4, 10, 15, 10
0, 1, 4, 10, 25
total: 40
結果が返されます。

これは勿論異なるあみだ数が40通り存在することを教えると同時に
上の5×5行列に現れている各数の意味は
5本のくじを左から1,2,3,4,5番と呼ぶとき
籤1番を選ぶと結果的に1に戻ってくるものが40パターン中25個
2へ辿り着くのが10個、3には4個,4には1個,5は存在しない。
籤2番を選ぶと結果的に1には10個,2は15個,3は10個,4は4個,5は1個
以下籤3,4,5が選ばれた時の行き先の度数が同時に判明しています。

これは実際40通りにあみだを作ってみて
それがどの様な結果が起きて、40パターンの総計として結果を整理すると
正しくここに掲げられた表と一致するのです。
ここにプログラムが掲載される前にその作業をしていたので、このプログラムが
その結果と一致しているのをみてこのプログラムのありがたみを痛感しました。

moonlightさんも
「m筋n横棒のあみだくじでi筋目を選んだ場合にj筋目に至るものは幾つあるか」は「どうすれば計算できるか」は解決していません。
とそんな数値を渇望されていたではありませんか？
正確なシミュレーションをあれほど望んであったのでは？

したがってこのプログラムを活用すれば正確に例の結果が求まるのです。
けっして杜撰な数え方での集計ではないのです。

だからこれに私的には「嘘」を伝えているようでとても「気持ち悪い」です。
との発言をされていることに、一体どんなことを求められているのだろうとの疑問が湧きます。

私も、あみだくじの総数としてはmoonlightさんの数え方を支持しますが、確率として求めるなら逆にmoonlightさんの主張の方が杜撰だと思います。

例えば、左からi本目とi+1本目の間に引かれる横線の本数の期待値を考えてみます。
例えば4筋2横線の場合、moonlightさんの考えるやり方では
1本目と2本目の間：5/16本
2本目と3本目の間：3/8本
3本目と4本目の間：5/16本
となり、真ん中に偏って横線が引かれます。
これは本当にランダムにあみだくじを作っていると言えるのでしょうか？


あ、AIによる解釈は多少表現方法に「ん？」と思うところがある（層とか）以外は間違ってないと思います。
最後の計算でi=2のときがおかしいところはmoonlightさんが正しくやり直していますし。
あとは、n≧4の場合はn=3の場合にはない事象（i=1に対しての計算でi=3の分を足さない）が発生するので、その例も出してもらうといいかもしれませんね。

GAIさんへ
「杜撰な数え方」というのはここで皆さんが提示して下さった, 「同じ」ものは省いて数えたもの（DD++さんのも勿論）ではなく,
隣同士の置換で済ませるm筋n横線なら(m-1)^nとしてしまう方です。読み難くて申し訳ない。（どこで誤解されたかもまだ特定してません... ）

DD++さんの「moonlightさんの主張の方が杜撰」というのは...
例えば, ここで紹介して貰った, 「m-1以下の自然数を階差が-1以上であるようにn個並べる数の列」で言えば,
その中から「無作為に選ぶ」場合に,
m=4,n=3だと
1-1-1, 1-1-2, 1-1-3, 1-2-1, 1-2-2, 1-2-3, 1-3-2, 1-3-3, <==無条件なものから 1-3-1が除かれている
2-1-1, 2-1-2, 2-1-3, 2-2-1, 2-2-2, 2-2-3, 2-3-2, 2-3-3, <==無条件なものから 2-3-1が除かれている
3-2-1, 3-2-2, 3-2-3, 3-3-2, 3-3-3 <==無条件なものから 3-1-1, 3-1-2, 3-1-3, 3-3-1 が除かれている
の21通りから選ぶ事になります。でも数の列を見ていれば,
1,2,3が各桁に入る分布は均等ではなく
どの数↓ 1 2 3 ←何番目
1 | 8 6 5　　|| 19
2 | 8 9 8　　|| 25 ←2だけ多い...
3 | 5 6 8　　|| 19
計 | 21 21 21←こちらが全部同じなのはまあ当然として
となる(2が多めに入っている)のだから「杜撰」だというそういう事でしょうか？
でもちゃんと数えているし, コレらは重複しないし, この中から選ぶのですから「同じように選ばれる」としておかしくないですよね。
そしてこれは, m筋n横本のあみだくじと対応しているわけですから... どう「杜撰」なのかが
気持ち的には「わからないでもない」のですけど, 分かりません。

あと, 少し前の投稿の
「無作為に選ぶ、というのはあみだ1人分じゃなく、全員分の対応関係を同時に取りたいってことですか？」
ですが... ちょっと上手く読み取れませんでしたが,
「あみだくじが無作為に選ばれて, 全員が筋を選ぶ, ということをした場合に,
そのあみだくじによる結果というのか全員の対応も同時に分かる／分かりたい」ということです。
（で, それを統計的に処理するっていうことをしないと... となるのだろうかなぁ... )
無作為に選ぶのは「1回だけ」です。コレで良いでしょうか？

確率を考える場合、重複するものを別個で考えた方がいい場合があります。

例えば、区別のつかないサイコロを2つ同時に振る場合。
目の出方は21通りです。
しかし根元事象はサイコロの区別ができない場合でも36通りとすべきなのは明らかです。

あみだくじの場合、例えば4筋2横線で左の2本と右の2本の間に1つずつ横線があるパターンはどう扱うべきでしょう。
パターン数としては合わせて1でいいと思いますが、根元事象としては2つと数えるべきだと思います。


全員分の対応を同時に取りたいのかというのは、例えば1本目を選んだ人が1本目にたどり着く結果を得るときに、同時に他の人がどういう結果だったのかでさらに細かく分類する必要があるのかどうかということです。

DD++さんへ
「根元事象としては2つ... 」のところが全く分かりません... どう考えればそうなるのでしょう。
あみだくじを知っている人に, 何種類ありますかと聞けば多くの人は「重複しない数え方」を取るのではと。
同じですから。（あみだくじの区別をそのあみだくじで辿る経路, 1>2>3>2>3>4のようなどの筋を順に辿るか, の辿り方の集合として区別すれば... という事になるのかなぁ... ）
サイコロの場合はよく問題にあるように, 大小2つのサイコロなどと「区別」をすれば明らかに36通りとなりますが...
あみだくじの場合はどう見れば？「根元事象としては2つ... 」となるのでしょう...

「全員分の対応を同時に取りたいのか」については... 分かりましたが分かりません... 「あみだくじには偏りがあることを知っているのは統計リテラシー」系の記事では当然「当たりの筋を知って」いれば「その筋に近い筋を選ぶこと」が得策とありますが, その説明に必要なデータが欲しいわけですから... そういう意味では, あみだくじの全ての場合で, 「その筋に近い筋を選ぶこと」が得策って本当か？を検証するためのデータが必要だという話です。

どう考えればも何も、普通にm^(n-1)通りで数えた方が同様に確からしい事象になると考えるからですが。

話はずいぶん遡りますが
単純な行列の累乗で分布が逐次計算できる事が分かりました。
無理だなんて適当な発言をして申し訳ない。
状態遷移行列、或いはグラフ理論だと隣接行列の累乗で計算できるのですねぇ。
やっとそこまで追い付きました。
隣接行列は正方行列で上でも下でも三角成分を全て1としてその反対側の対角成分から1つ横にある成分も1として残りは全て0という綺麗な形の行列です。
ただその累乗の各成分を表す式が...
3次の場合はフィボナッチ数列そのもので、4次の場合は3の累乗で簡単に表現できるのですが... 5次だともうお手上げです。確かにプログラム任せで必要な分だけ計算させる方が実用的なのかもとも。

はい。
このサイトでは1年前に既にそこまで議論済なのでした。

そうだったのですね。流し読みではさっぱり分かりませんでした。
そうなると矢張り5次以上は隣接行列の累乗を簡単に計算するのは無理そうだという結論ですか？

5次「以上」かどうかはわかりません。
5次は無理そうですが、もっと大きいところでたまたまできるところはあるかもしれませんし。

また、「簡単に計算する」という意味にもよりますね。
各成分をnを用いた表記にするのは難しいでしょうが、機械計算で求めるのはある程度容易いでしょうし。

さらに言えば、対応関係まで取りたい場合は3筋や4筋でも行列のサイズは大きくなるでしょうし。

既に書いた通り, ある意味問題は解決しているわけです。
で, 総当たりではない数え方をという意味では,
DD++さんのご教授は大変参考になるのでは？と思いつつも
あまりに煩雑で, 本来の意味での「総当たり」ではないにせよ,
各層では「総当たり」している感が強い... というところがモヤるところなのかと自己分析しています。

できうればもう少し簡潔にならないかなぁと。
各層での「場合わけ」の定型化など... 難しいというよりは表現が大変そうですけど...

煩雑な原因の大部分は、任意のスタートから任意のゴールへ行くパターン数をn^2個全部出せという問題設定にあります。
処理方法を変えたところでそのn^2個という個数が減るわけではないので、その点はこちらではどうしようもないです。

別表現をというなら行列の累乗として表現もできると思いますよ。
ただし、固有値はnの値ごとに個別に求めるしかなくなるので、一般化からは遠ざかる方向になりますけど。

単純な行列の累乗では無理だと思いますけど...
それは兎も角, ネットの方には
https://github.com/shimizudan/20250427amida/blob/main/20250427AmidaCount.ipynb
で更に高速化されたプログラムを載せて下さってる方がいてとても「早い」です。
どうなってるのか一寸詳しくは分かりませんが...
8筋20横棒でも一瞬で結果が出てきました。

コレならもう「計算式」要らんやんと思ってしまいそうですけど
矢張りもっと規模が大きいと無理でしょう（例えば30人のあみだくじで一人2本ずつ横棒入れるとか）から
できれば一般的な計算式が構成できれば欲しいなぁと... （直接でなくて漸化式的なものでも... ）

あみだくじの縦線の数がいくら多くなっても漸化式でその時の横線数kを指定してやれば、あみだの総数を算出できる方法なら
ある手段で割とスムーズに構成できます。
あみだの縦線が
偶数本の時(nをもっと大きくとっても可能です,polchebyshev(2*n+2,2)は第２チェビシェフ多項式）
for(n=1,9,print(2*n+2";"subst(polchebyshev(2*n+2,2),x,t/2)))
4;t^4 - 3*t^2 + 1
6;t^6 - 5*t^4 + 6*t^2 - 1
8;t^8 - 7*t^6 + 15*t^4 - 10*t^2 + 1
10;t^10 - 9*t^8 + 28*t^6 - 35*t^4 + 15*t^2 - 1
12;t^12 - 11*t^10 + 45*t^8 - 84*t^6 + 70*t^4 - 21*t^2 + 1
14;t^14 - 13*t^12 + 66*t^10 - 165*t^8 + 210*t^6 - 126*t^4 + 28*t^2 - 1
16;t^16 - 15*t^14 + 91*t^12 - 286*t^10 + 495*t^8 - 462*t^6 + 210*t^4 - 36*t^2 + 1
18;t^18 - 17*t^16 + 120*t^14 - 455*t^12 + 1001*t^10 - 1287*t^8 + 924*t^6 - 330*t^4 + 45*t^2 - 1
20;t^20 - 19*t^18 + 153*t^16 - 680*t^14 + 1820*t^12 - 3003*t^10 + 3003*t^8 - 1716*t^6 + 495*t^4 - 55*t^2 + 1

これで縦線が4本の時は
t^4-3*t^2+1=X^2-3*X+1
とみて=0から
X^2=3*X-1 の式として、この時横線がk本である場合の求める総数をT4(k)で表しこの式から
T4(k)=3*T4(k-1)-T4(k-2)
の漸化式を生み出す。
使うためにはT4(1)=3,T4(2)=8を与えれば良い。

もし縦線が20本なら
T20(k)=19*T20(k-1)-153*T20(k-2)+680*T20(k-3)-1820*T20(k-4)+3003*T20(k-5)+1716*T20(k-6)-495*T20(k-7)+55*T20(k-8)-T20(k-9)
の漸化式と
T20(1)=19,T20(2)=208,T20(3)=1725,T20(4)=12051,T20(5)=74907,T20(6)=427924,T20(7)=2294248,T20(8)=11709940,T20(9)=57483052,T20(10)=273438880
を与えれば良い。

また縦線が
奇数本の時は
gp > for(n=1,9,print(2*n+3";"subst(polchebyshev(2*n+3,2),x,t/2)/t))より
5;t^4 - 4*t^2 + 3
7;t^6 - 6*t^4 + 10*t^2 - 4
9;t^8 - 8*t^6 + 21*t^4 - 20*t^2 + 5
11;t^10 - 10*t^8 + 36*t^6 - 56*t^4 + 35*t^2 - 6
13;t^12 - 12*t^10 + 55*t^8 - 120*t^6 + 126*t^4 - 56*t^2 + 7
15;t^14 - 14*t^12 + 78*t^10 - 220*t^8 + 330*t^6 - 252*t^4 + 84*t^2 - 8
17;t^16 - 16*t^14 + 105*t^12 - 364*t^10 + 715*t^8 - 792*t^6 + 462*t^4 - 120*t^2 + 9
19;t^18 - 18*t^16 + 136*t^14 - 560*t^12 + 1365*t^10 - 2002*t^8 + 1716*t^6 - 792*t^4 + 165*t^2 - 10
21;t^20 - 20*t^18 + 171*t^16 - 816*t^14 + 2380*t^12 - 4368*t^10 + 5005*t^8 - 3432*t^6 + 1287*t^4 - 220*t^2 + 11

これから例えば縦線が17本なら
T17(k)=16*T17(k-1)-105*T17(k-2)+364*T17（k-3)-715*T17(k-4)+792*T17(k-5)-462*T17(k-6)+120*T17(k-7)-9*T17(k-8) と
T17(1)=16,T17(2)=151,T17(3)=1100,T17(4)=6854,T17(5)=38480,T17(6)=200655,T17(7)=990756,T17(8)=4692780
から横線数kをいろいろ変えて(初期値の求め方はDD++さんの方法で)
1;16
2;151
3;1100
4;6854
5;38480
6;200655
7;990756
8;4692780
9;21518464
10;96160636
11;420866416
12;1810911128
13;7683058880
14;32215438277
15;133749903324
16;550649378199
17;2250829575120
18;9143995148926
19;36950585233432
20;148629592843159
等が判明してくる。

8筋20横棒どころか、30筋500横棒でも、私のアルゴリズムで1秒以内ですよ。
ただ、C++で2^63を超える数を扱うのはいろいろ面倒ですし、そんなデカい数を何千個も一覧出力する需要はないと思ったのでオーバーフローへの対応をサボってるだけで。
求めるものが概数でよければ、コード中の「long long」と書かれている8箇所を全部「double」に書き換えれば、10^308くらいまではすぐ対応できますが、そっちの方がよかったですか？

一応、doubleへの書き換えをした上での、30筋500横棒対応の出力の、最初3行。
全部見たい方は以前投稿したコードの「long long」8か所を全部「double」に書き換えて、paiza.ioででも実行してください。
標準入力に「30 500」と入れて実行すれば、一瞬で全部出してくれます。

30 500
1.91318e+304 7.03258e+303 3.68362e+303 2.25787e+303 1.51266e+303 1.07205e+303 7.89158e+302 5.9652e+302 4.59462e+302 3.58607e+302 2.82409e+302 2.23627e+302 1.77531e+302 1.40923e+302 1.11579e+302 8.79137e+301 6.87716e+301 5.32915e+301 4.08166e+301 3.08311e+301 2.29171e+301 1.67253e+301 1.19554e+301 8.34624e+300 5.66958e+300 3.72827e+300 2.35477e+300 1.40994e+300 7.81054e+299 3.79149e+299
7.03258e+303 1.09241e+304 5.87978e+303 3.69338e+303 2.52801e+303 1.82552e+303 1.36614e+303 1.04793e+303 8.17924e+302 6.46161e+302 5.14587e+302 4.11754e+302 3.30103e+302 2.64478e+302 2.11264e+302 1.67864e+302 1.32374e+302 1.03367e+302 7.97502e+301 6.06579e+301 4.53826e+301 3.33238e+301 2.39561e+301 1.68122e+301 1.14757e+301 7.57952e+300 4.80621e+300 2.88793e+300 1.60476e+300 7.81054e+299
3.68362e+303 5.87978e+303 7.71461e+303 5.02038e+303 3.53913e+303 2.61979e+303 2.00249e+303 1.56466e+303 1.24139e+303 9.95288e+302 8.03405e+302 6.5095e+302 5.28011e+302 4.27738e+302 3.45271e+302 2.7709e+302 2.20594e+302 1.73824e+302 1.35269e+302 1.03729e+302 7.82063e+301 5.78407e+301 4.18604e+301 2.95596e+301 2.02917e+301 1.34718e+301 8.58238e+300 5.17835e+300 2.88793e+300 1.40994e+300
以下略。

現在プログラムを参考にするべき記事にはPython やC#,C++の言語で記述されているものを多く見ます。
自分もこの言語が使えたらいいなと思いながらも未だに手に付かずにいます。
昔からPARIは我流で利用していますが、まだ知らない使い方も多く他の言語まで手を伸ばす余裕がありません。
DD++さんは殆んど頭を利用する記事ばかりが多かったのでコンピュータは使われないのかと思っていましたら
勉強中とは言いながら忽ち使いこなされていることに驚きました。さすがです。

ところでmoonlightさんが何気に30人がそれぞれ2本ずつ横線を入れあみだを作ったら････
の記事をみて（これは縦線30本、横線60本のあみだに相当と思い。）自分流に何通り作れるか挑戦してみました。
初期値を求める部分もある程度自動で求めれる様にプログラムしてやってみたら何とその総数が

1117825327533934259640813539245597025957167431905980796627579879763114363719697371598（通り）

となってしまいました。
果たしてこの数字は妥当でしょうか？
よかったらDD++さんm=30,n=60で確認してもらえませんか？

30筋60本の総数とか30筋500横棒でも1秒以内とか素晴らしいのですけど...
筋の対応表はどうでしょうか？
この話の発端は「あみだくじの偏りを正確に数え上げる」ところにあるので,
その辺りの「数学的に明快な要領」を「納得したい」ところです。
まぁプログラムのアルゴリズムの要領でも良いのですけど。
あと, C++を走らせる技量がない（というよりは使う気がない... ）ので, 困惑しています。

もしこの数字が正しいとしての話なのですが
30人がランダムに2本ずつ横線を引く時点で、構造的に同型であるものが十分に発生するので
どの線を引いた人がどの場所に落ち着くかはその時その時で全部異なる結果を生むと思われます。
ですから全員が同型とはならない様に引いたとして（偶然では決して起こらない。）もこんな莫大な
パターンが起こせるので、これを全部調べる気が起こらない。

例えば縦に3本横に2本なら異なるくじは4通り出来て
[1,2,3]->[1,2,3];2通り
[1,2,3]->[2,3,1];１通り
[1,2,3]->[3,1,2];1通り
の結果が生じる。

縦に4本横に2本なら異なるくじは8通り出来て
[1,2,3,4]->[1,2,3,4];3通り
[1,2,3,4]->[1,2,4,3];1通り
[1,2,3,4]->[1,3,4,2];1通り
[1,2,3,4]->[1,4,2,3];1通り
[1,2,3,4]->[2,3,1,4];1通り
[1,2,3,4]->[3,1,2,4];1通り

縦に5本横に3本なら異なるくじは40通り出来て[1,2,3,4,5]が
12435; 6通り
13245; 6
12354; 5
21345; 5
12543; 2
14325; 2
32145; 2
13452; 1
13524; 1
14253; 1
15234; 1
21453; 1
21534; 1
23154; 1
23415; 1
24135; 1
31254; 1
31425; 1
41235; 1
この様に調べてみると1の下の1へ辿り着くパターンが圧倒的に多い感じがする。

この様な分布が知りたいのですね。
私はここまでは手で一つ一つ手で書いていって調べています。
これを30人2つずつの横線で構成される全パターンでの分布など私の手に負えるものではありません。
またそれを正確に出したとしても、私には1のくじの真下に辿り着くことが最も起こり易いが感じられれば
十分な気がします。
手で調べた経緯を自動化するにはとは思いますがどうやればよいのかは全くわからないです。
moonlightさんと同じあみだくじでの興味に違いがあるのですね。

> GAIさん

まあ、どう計算すれば作業量が減るか考える部分は、普通の数学となんも変わりませんからね。
自分がやろうとしてる計算手順を言語化するだけで行ける範囲はわりとすぐでした。

30 1 で 29
30 2 で 463
30 3 で 5390
30 4 で 51171
30 5 で 420394
30 10 で 4.55989e+09
30 20 で 4.03578e+16
30 30 で 1.06671e+23
30 40 で 1.76862e+29
30 50 で 2.34175e+35
30 60 で 2.74243e+41 ←ご要望の
30 70 で 2.98696e+47
30 80 で 3.10927e+53
30 90 で 3.14275e+59
30 100 で 3.11465e+65

60の場合、GAIさんの1.117825e+84とはだいぶ相違がありますね。
もちろん、私の方が間違ってる可能性もあります。
GAIさんの方では他の横線本数ではどんな結果ですか？


> moonlightさん
筋の対応表とは何を指しておっしゃってます？
moonlightさんが2622番で書いている形式とほぼ同じもの（合計を先に出すか後に出すかと、括弧などの装飾が違うだけ）を私も出しているのですけれど。
これが筋の対応表ではないとおっしゃるなら、まず筋の対応表とやらの実例を提示してください。

漸化式の作り方も2627で説明していますし、筋の対応を求める方法への変更も2631で説明しています。
「この投稿のこの文章がわからないからもっと詳しく」とかなら対応のしようもありますが、説明を投稿済のものに対して「いいから説明を書け！」とだけ言い続けるのは、ただあなたに話を聞く気がないだけとしか思えません。

私はあなたの先生でもないですし、あなたがどの程度の学力かも知りません。
具体的な不明点も言わずにただ喚くだけの人に、寄り添う努力をする義理もなければ、その手段も持っていません。
C++を走らせる気がないというのは、私が提示した「paiza.ioを開いてそこにコードを投げる」という誰でも30秒でできることすらやるつもりがないということですか？
「PythonがいいならAIに訳してもらえばいい」と言ったのも、やるのが面倒だから無視ってことですよね。
本人にそれらの手間すらかける気がないのであれば、きっとあなたには誰が何をどれだけ説明をしても無駄なんでしょうね。

横線数60までの可能数一覧
1;29
2;463
3;5390
4;51171
5;420394
6;3098862
7;20993804
8;132939015
9;796625654
10;4559889334
11;25112905580
12;133834729210
13;693377073900
14;3505338139380
15;17345898649800
16;892033314203139
17;27733773552429223
18;1118409311622637368
19;40443070417349370483
20;1527210370835118559332
21;56673976478816860747774
22;2117897601581472517771066
23;78923421248818203600565427
24;2944399943419196373497114774
25;109797106537775911758807162778
26;4095095417290316282939442547680
27;152723339720122501108555011840342
28;5695863174154192679028192753380340
29;212426436445814460576060868565141484
30;7922452345203935157114149652287687884
31;295467611549841015492082915284979621511
32;11019463714682126522890048157626008654473
33;410970741180874710387820391271814117039458
34;15327149785690207118885870323300255918993423
35;571625873548142874360678229042613943062115466
36;21318780749923986727127209867571593246051772792
37;795083690343313989839224384718429436112629600108
38;29652637460436628119426525781824034780378617858107
39;1105894785552205786432302749539159553666515145287222
40;41244333795790621245739946592147320794065883565680290
41;1538206972425500348947263126645174656249917797251481336
42;57367412016658739514161229915304087943069732860319297800
43;2139516996330777959490116551283833358117060754594797276832
44;79793262703232759273815095962367380584502386825047441842582
45;2975888849544976589836518005290872762652116689120004217680428
46;110985741713586389931309449649350862931122663738438389421170269
47;4139212009073395230798901086511848165112620340965868742219499787
48;154371866075172177263089105463100114315014887200826345809003180000
49;5757297037042150504612687946059868808701941641867529313983174674031
50;214718329288028117388183596542053732242317398732806011411150816078034
51;8007917714790557941233055393258000318873880099217751017200538624008158
52;298655202559982290915864096247122825932213134993383861881469194843760686
53;11138342474648737567533867624306069773630827219825309621513293889500901823
54;415404359338583563240822830410726177624082300119922772035644260066074468818
55;15492500984796742751657733290329634715839880609542698284110815714988820803522
56;577792652792786427263779283761230091891336037456469059968177339997587731768310
57;21548770592232778950593226336183306224619421016130072191215241776265825517607246
58;803661160785313324174825880131482661709940319330388414827929681984410805278529046
59;29972534098423254020758850854144560768881344890674163772909010594416675059756419112
60;1117825327533934259640813539245597025957167431905980796627579879763114363719697371598
の並びとなりました。

15までは私と一致しています。
30 16 で 84235251439605
から一致しませんね。
なんでこんな半端なとこから？
横線の本数が縦線の本数の半分を超えると何かあるんでしょうか？

縦線8本の場合、
8 1 で 7
8 2 で 34
8 3 で 143
8 4 で 560
8 5 で 2108 ←ここからが食い違う？
8 6 で 7752
ってなるんでしょうか？

折角興味深い算出法が... と思うて対して努力はしてませんが疑問を投げているだけなのですが...
一寸気が利いてなかったようで申し訳ありません。
明らかにあみだくじの筋の選びようによる結果の分布には偏りがある事は明らかだというのも別段否定したりはしません。その通りですから。
ただ、数え方が怪しかったり数えられるにも関わらずサボって恐らくは間違ったシミュレーションで語られるのは拙いなぁと。沢山あるあみだくじの話の大半はあみだの総数を(筋の数-1)^(横線の数)通りとしていて、多分その根拠としている構成法を使ってシミュレーションしているでしょうから。
だなら正確にシミュレーションしようとすれば先ずは選ばれるあみだくじ全体の構成法がきちんとないとね。という話です。そういう意味では「行きつ戻りつ」を攫う事できちんと構成できるという話はとても有難い「教え」でした。
とはいえ別段皆さんを「先生」だと思うてるわけではありません。
お知恵を拝借して助けて貰おう。あわよくば更に新しい知見を見出せれば♬という思惑です。
そもそも最近の先生は「きちんと教える」事ができないようで、「やり方」を仕込む事を仕事だとか教育だと心底思うてる人が大半らしいですからそういう「先生」呼ばわりするなんてとても失礼だとも思うてます。

ところで、議論する中身としては小さな規模のあみだくじめ十分だと思うので、何故計算が食い違うのかも含めて、アルゴリズムの確認ができないものでしょうか？

何度も言っていますが、私はアルゴリズムの全容を既に全部書いてます。
「確認ができないでしょうか」も何も、あとはあなたが読んで確認するだけです。

不明点を具体的に挙げてもらえば協力はできますが、そうではなくただ駄々をこねるだけの人にしてあげられることはありません。

再挑戦
これとはどうでしょうか？
1;29
2;463
3;5390
4;51171
5;420394
6;3098862
7;20993804
8;132939015
9;796625654
10;4559889334
11;25112905580
12;133834729210
13;693377073900
14;3505338139380
15;17345898649800
16;84235251439605
17;402316301124360
18;1893310678517700
19;8793147391736136
20;40357786347273252
21;183266905331524344
22;824255034747971688
23;3674950883378678800
24;16255421882564830140
25;71384840041723959608
26;311418663604915014072
27;1350375077353954614384
28;5823041821257562590120
29;24981782165889424128048
30;106671345686835109102032
31;453501538615221120120097
32;1920247373753821060916773
33;8100476665368181748160571
34;34052954042136508229919042
35;142690568445704254905970971
36;596112426258621587933361150
37;2483369892192881694636148630
38;10318473866094099974679219796
39;42768516724584960514403750335
40;176862366945026630666520869874
41;729813126230735455341470281926
42;3005456846790981942293708712036
43;12353359966837224339431413442178
44;50685607079444329323255005077044
45;207613079229358124452968845335380
46;849058280539586545208387260201240
47;3467146895324531934103815498948841
48;14138241146010198255730566783356800
49;57575916461409965986900847410036600
50;234174867066415421926684291204186160
51;951312375045376858090381562585181640
52;3860263877836478670013758164200228880
53;15647593976660949236650911300126253200
54;63363471704000869756678505803691947360
55;256338444794052835483998138135784555640
56;1036079462632519082207654384813062022800
57;4184049118051380918526064679844187838320
58;16882762634340248602038470164697874805280
59;68069225361124124594166026380622389476240
60;274242739789885194337625897729987657084960

それであれば私の結果と一致していると思います。
（全部を精査したわけではないですが）

DD++さんの仰る通りに Claude におねがしてみました。

何も余分なことを訊かずにDD++さんのプログラムを投げたところ,
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
このプログラムは2つの整数 n と m を読み込み、(n-1)×n×nサイズの3次元配列を作成して、それに対して m 回の変換操作を行います。
初期状態では、最初の層の対角要素がすべて1に設定されています。
各変換操作は主に2つのステップで構成されています：

累積フェーズ：現在の状態から値を合計して次の状態を構築します
交換フェーズ：各層で隣接する要素を交換します

すべての反復が終わった後、プログラムは各位置の合計値を計算して出力し、最終的な合計も表示します。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
とプログラムを解析してくれましたが, 細かい点の解説はまだ訊けてません。
で, Juliaで書き換えてもらいました。30筋60横棒の場合に負の数が現れた（整数型のオーバーフロー）のでそれも書き直して貰いました。

プログラムを動かしてみたところ, 既に結果が判っているものと合致しています。そして早い。これなら十分実用範囲内です。
あとは, ここで数えた「あみだくじ」から無作為に選び出して「試す」ことができれば, あちこちにある杜撰そうなシミュレーションではなく、正確なシミュレーションが実行できるというわけですね。ありがとうございます。

アルゴリズムというかプログラムの本質はコレから読んで「分かる（というよりは解説できる？）」努力をしてみます。

claudeにプログラムの解説をお願いしてみました。
Juliaに書き換えたものを解説して貰っていますがアルゴリズム的には同じ事でしょう。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
あみだくじを数えるプログラムのアルゴリズムについて、関数ごとに解説します。
このプログラムは、あみだくじの可能な組み合わせ数（または経路数）を計算するものです。各関数の役割と背後にあるアルゴリズムを説明します：
count_amidakuji(n, m) 関数
この関数は全体の処理を管理しており、以下のようなステップで動作します：

初期化:

n本の縦線と、それらを横線でつなぐ構造を考えます
3次元配列 a[i, j, k] を作成します：

i: 横線の層を表します（1からn-1まで）
j: 出発点を表します（1からnまで）
k: 到達点を表します（1からnまで）

最初は、a[1, j, j] = 1 として、出発点jから同じ位置jに到達する経路が1つあることを表します

反復操作（m回）:

各反復は、横線（あみだくじの「横棒」）を1本追加する可能性をシミュレーションします
大きく分けて「累積フェーズ」と「交換フェーズ」があります：

a. 累積フェーズ:
next[1, j, k] は、最初の層と2番目の層の値を合計します
中間層の next[i, j, k] は、前の層からの累積値と次の層の現在値を合計します
これにより、経路数が下から上へと累積されていきます

b. 交換フェーズ:
各層iにおいて、位置(j,i)と(j,i+1)の値を交換します
これは、横線が引かれたときに経路がどのように変化するかを表現しています

最終計算:
すべての反復が終わったら、各出発点jから各到達点kへの経路数の合計を計算します
特に最後の列（k=n）への経路の総数が「total」として計算されます

main() 関数
この関数は単にユーザーインターフェースを提供します：

ユーザーから入力値n（縦線の本数）とm（横線の追加回数）を受け取ります
大きな計算になる場合の警告を表示します
count_amidakuji(n, m) を呼び出して計算を実行します

アルゴリズムの数学的解釈
このアルゴリズムは、あみだくじの組み合わせを直接生成するのではなく、動的計画法を使用して経路数を効率的に計算しています：

配列 a[i, j, k] は、i層目で出発点jから到達点kへの経路数を表します
横線が引かれると、隣接する経路が交換されます（交換フェーズ）
層が追加されるごとに、経路数は累積されます（累積フェーズ）
m回の反復後、最終的な経路数が計算されます

特にこのアルゴリズムは、あみだくじを「排他的な横線の組み合わせ」として効率的にカウントしています。すべての可能な組み合わせを列挙するのではなく、数学的に経路数を計算するので、大きな入力値に対しても比較的効率的に動作します。
ただし、時間計算量はO(m×n³)なので、非常に大きな値に対しては計算時間が長くなる場合があります。それに対応するため、BigInt型を使用して数値のオーバーフローを防いでいます。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
何となく「漸化式的」と表現していましたが, 「動的計画法」と呼ぶのですね。
説明は抽象的ですが多少は分かり易いので確認してみます。

> 大きな計算になる場合の警告を表示します

ここは（AIが何か足したのでなければ）n>2 でなかった場合の警告のことですかね？
これは大きな計算になるからではなく、n=2 だと途中でクラッシュするので入れています。
n=2 の場合は明らかに1通りしかないので、特別対応する価値もありませんし。

それ以外はAIの解釈であっています。

方針は、漸化式であってますよ。
DP（動的計画法）⊃漸化式　なので、DPと呼んでもいいだけです。

「20通り」の数えあげで、「左に1本、中に0本、右に2本」が数えられていない気がします。
私の勘違いでしたらご容赦下さい。

自分もあみだくじについていくつかの投稿をしていたのを記憶していたので調べてみたら
私の備忘録中の
数学・・・その他(数学についての雑学を・・・)
思い通りのあみだくじを作る方法　(右列上から2番目)
に関連記事がまとめられています。

懐かしかったので自分でも、もう一度整理してみました。
縦線が4本で横線がn本では(A088305)
gp > a(n)=(((3+sqrt(5))/2)^(n+1)-((3-sqrt(5))/2)^(n+1))/sqrt(5)
gp > for(n=1,10,print(n";"round(a(n))))
1;3
2;8
3;21
4;55
5;144
6;377
7;987
8;2584
9;6765
10;17711


縦線が5本で横線がn本では(A261547)
gp > b(n)=(3^(n+1)-1)/2
gp > for(n=1,10,print(n";"b(n)))
1;4
2;13
3;40
4;121
5;364
6;1093
7;3280
8;9841
9;29524
10;88573


縦線が6本で横線がn本では(A005021)
c(n)={S=[];}for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,\
S=concat(S,[binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(n+1-j,n-(i+j+k))]))));vecsum(S)
gp > for(n=1,10,print(n";"c(n)))
1;5
2;19
3;66
4;221
5;728
6;2380
7;7753
8;25213
9;81927
10;266110

なお縦棒が6本での横軸n本でのあみだくじの本数がA005021での解説では
P_6と呼ばれる道（直線上６点A、B、C、D、E、F が並んでいる。）を、Aから出発し、
2*n+5(歩)にてFの地点に到着する酔歩のコースが何通りできるか？ 　　に同じとある。
よって横棒2本では2*2+5=9歩で進む実例を構成すると
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E, F]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E, F]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E, F]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E, F]
5;[A, B, A, B, C, D, E, F, E, F]
6;[A, B, C, B, A, B, C, D, E, F]
7;[A, B, C, B, C, B, C, D, E, F]
8;[A, B, C, B, C, D, C, D, E, F]
9;[A, B, C, B, C, D, E, D, E, F]
10;[A, B, C, B, C, D, E, F, E, F]
11;[A, B, C, D, C, B, C, D, E, F]
12;[A, B, C, D, C, D, C, D, E, F]
13;[A, B, C, D, C, D, E, D, E, F]
14;[A, B, C, D, C, D, E, F, E, F]
15;[A, B, C, D, E, D, C, D, E, F]
16;[A, B, C, D, E, D, E, D, E, F]
17;[A, B, C, D, E, D, E, F, E, F]
18;[A, B, C, D, E, F, E, D, E, F]
19;[A, B, C, D, E, F, E, F, E, F]

と計算の通り19パターン構成可能なので
縦棒が5本である時は
P_5と呼ばれる道（直線上5点A、B、C、D、E が並んでいる。）を、Aから出発し、
2*n+4(歩)にてEの地点に到着する酔歩のコースが何通りできるか？
と上のパターンを参考に
今度は2*2+4=8歩で進み
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E]
5;[A, B, C, B, A, B, C, D, E]
6;[A, B, C, B, C, B, C, D, E]
7;[A, B, C, B, C, D, C, D, E]
8;[A, B, C, B, C, D, E, D, E]
9;[A, B, C, D, C, B, C, D, E]
10;[A, B, C, D, C, D, C, D, E]
11;[A, B, C, D, C, D, E, D, E]
12;[A, B, C, D, E, D, C, D, E]
13;[A, B, C, D, E, D, E, D, E]
の13通り（計算上一致)
がすぐに探すことができます。

だから縦棒4本のときは
P_4と呼ばれる道（直線上4点A、B、C、D が並んでいる。）を、Aから出発し、
2*n+3(歩)にてDの地点に到着する酔歩のコースが何通りできるか？
で処理され、横棒2本では7歩で進み
1;[A, B, A, B, A, B, C, D]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D]
4;[A, B, C, B, A, B, C, D]
5;[A, B, C, B, C, B, C, D]
6;[A, B, C, B, C, D, C, D]
7;[A, B, C, D, C, B, C, D]
8;[A, B, C, D, C, D, C, D]
が見つかる。

ありがとうございます。
うっかり数え落としをしていた事が確認できました。
行きつ戻りつの順路数で数えられる理路はちゃんと確認できてませんが、Pythonでプログラムしてみて確かに書かれている場合な数が得られる事は分かりました。
次は記事にあった、縦棒8本横棒12本の場合に、あみだくじの行き先を場合わけして数える事が必要になります。
「行きつ戻りつ」を1と-1のリストで数え上げる事はできたので、あとはそのリストからあみだくじを復元して行き先を確認すれば良いのですが... あみだくじの「復元」はどのようにすれば良いでしょう？

縦8本で横棒n本のときの異なるあみだくじの引き方は
次の計算で与えられそうです。

gp > F(n)={S=[];}for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,for(l=0,n-i-j-k,for(m=0,n-i-j-k-l,
W=binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(k+l,l)*binomial(l+m,m)*binomial(n+1-(j+k+l),n-(i+j+k+l+m));
S=concat(S,[W]))))));vecsum(S)

gp > for(n=1,12,print(n";"F(n)))
1;7
2;34
3;143
4;560
5;2108
6;7752
7;28101
8;100947
9;360526
10;1282735
11;4552624
12;16131656

OEISで検索するとA005023がヒットしました。
従って求めるべき値は16131656(通り)では？

私も酔歩とあみだくじを対応させようと試みたのですが総数で一致しか言えないです。

対応の仕方はこうじゃないか？というものに思い至りました。如何でしょう。
あとは仕方ないので, Pythonで一つ一つ数えるしか...

以下の考えはどうでしょうか？

n本の縦線にm本の横線を引く場合、
・項数m
・各項の値は1以上n-1以下
・任意の連続する2項について、a[i+1] > a[i]-2
という条件を満たす数列と一対一に対応すると思います。
そして、そのような数列の個数は、最後の項が何なのかで分類して漸化式が作れると思います。

あみだくじで縦線がn本(n≧3)で横線がk本での作り方Tn(k)を漸化式で構成すると
T3(k)=if(k==1,2,2*memorize(T3,k-1))
T4(k)=if(k==1,3,k==2,8,3*memorize(T4,k-1)-binomial(2,2)*memorize(T4,k-2))
T5(k)=if(k==1,4,k==2,13,4*memorize(T5,k-1)-binomial(3,2)*memorize(T5,k-2))
T6(k)=if(k==1,5,k==2,19,k==3,66,5*memorize(T6,k-1)-binomial(4,2)*memorize(T6,k-2)+binomial(3,3)*memorize(T6,k-3))
T7(k)=if(k==1,6,k==2,26,k==3,100,6*memorize(T7,k-1)-binomial(5,2)*memorize(T7,k-2)+binomial(4,3)*memorize(T7,k-3))
T8(k)=if(k==1,7,k==2,34,k==3,143,k==4,560,7*memorize(T8,k-1)-binomial(6,2)*memorize(T8,k-2)+binomial(5,3)*memorize(T8,k-3)-binomial(4,4)*memorize(T8,k-4))
T9(k)=if(k==1,8,k==2,43,k==3,196,k==4,820,8*memorize(T9,k-1)-binomial(7,2)*memorize(T9,k-2)+binomial(6,3)*memorize(T9,k-3)-binomial(5,4)*memorize(T9,k-4))
T10(k)=if(k==1,9,k==2,53,k==3,260,k==4,1156,k==5,4845,9*memorize(T10,k-1)-binomial(8,2)*memorize(T10,k-2)+binomial(7,3)*memorize(T10,k-3)-binomial(6,4)*memorize(T10,k-4)+binomial(5,5)*memorize(T10,k-5))
T11(k)=if(k==1,10,k==2,64,k==3,336,k==4,1581,k==5,6954,10*memorize(T11,k-1)-binomial(9,2)*memorize(T11,k-2)+binomial(8,3)*memorize(T11,k-3)-binomial(7,4)*memorize(T11,k-4)+binomial(6,5)*memorize(T11,k-5))

*スピードアップを計るためメモ化して処理しています。
縦の本数が多くなると初期値をいくつか集めないといけないのでこの辺が面倒か？

縦の本数
-3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11(本)
横の本数;で見て下さい。
1;2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
2;4 | 8 | 13 | 19 | 26 | 34 | 43 | 53 | 64
3;8 | 21 | 40 | 66 | 100 | 143 | 196 | 260 | 336
4;16 | 55 | 121 | 221 | 364 | 560 | 820 | 1156 | 1581
5;32 | 144 | 364 | 728 | 1288 | 2108 | 3264 | 4845 | 6954
6;64 | 377 | 1093 | 2380 | 4488 | 7752 | 12597 | 19551 | 29260
7;128 | 987 | 3280 | 7753 | 15504 | 28101 | 47652 | 76912 | 119416
8;256 | 2584 | 9841 | 25213 | 53296 | 100947 | 177859 | 297275 | 476905
9;512 | 6765 | 29524 | 81927 | 182688 | 360526 | 657800 | 1134705 | 1874730
10;1024 | 17711 | 88573 | 266110 | 625184 | 1282735 | 2417416 | 4292145 | 7283640
11;2048 | 46368 | 265720 | 864201 | 2137408 | 4552624 | 8844448 | 16128061 | 28048800
12;4096 | 121393 | 797161 | 2806272 | 7303360 | 16131656 | 32256553 | 60304951 | 107286661
13;8192 | 317811 | 2391484 | 9112264 | 24946816 | 57099056 | 117378336 | 224660626 | 408239530
14;16384 | 832040 | 7174453 | 29587889 | 85196928 | 201962057 | 426440955 | 834641671 | 1547129284
15;32768 | 2178309 | 21523360 | 96072133 | 290926848 | 714012495 | 1547491404 | 3094322026 | 5844716616
16;65536 | 5702887 | 64570081 | 311945595 | 993379072 | 2523515514 | 5610955132 | 11453607152 | 22025185281
17;131072 | 14930352 | 193710244 | 1012883066 | 3391793664 | 8916942687 | 20332248992 | 42344301686 | 82836630954
18;262144 | 39088169 | 581130733 | 3288813893 | 11580678656 | 31504028992 | 73645557469 | 156404021389 | 311063682160
19;524288 | 102334155 | 1743392200 | 10678716664 | 39539651584 | 111295205284 | 266668876540 | 577291806894 | 1166646177136
20;1048576 | 267914296 | 5230176601 | 34673583028 | 134998297600 | 393151913464 | 965384509651 | 2129654436910 | 4371207361885

まだ何の検証もしませんが... Python でプログラムして数えた分布がこうなりました。
1282735は総数の筈ですが皆さんの数値と合ってないような気がします...

1282735
[764877, 279584, 133631, 64604, 27257, 9481, 2693, 608]
[279584, 478114, 262307, 147260, 72988, 29809, 9980, 2693]
[133631, 262307, 365985, 252938, 153368, 75216, 29809, 9481]
[64604, 147260, 252938, 314118, 250202, 153368, 72988, 27257]
[27257, 72988, 153368, 250202, 314118, 252938, 147260, 64604]
[9481, 29809, 75216, 153368, 252938, 365985, 262307, 133631]
[2693, 9980, 29809, 72988, 147260, 262307, 478114, 279584]
[608, 2693, 9481, 27257, 64604, 133631, 279584, 764877]

お騒がせしました。（編集のパスワードを間違って入れたようで訂正できないので重ねての投稿となり申し訳ありません）

Pythonで組んだものはなかなか処理が終わらないので
Claudiにお願いしてJuliaに書き直して貰って実行するとそこそこの時間で結果が出ました。
--start---------------------------------------
8 12
--Ans-------------------------------------------
16131656
[9188341, 3508269, 1778834, 939616, 451633, 184261, 63000, 17702]
[3508269, 5568480, 3238722, 1961381, 1086206, 507952, 197646, 63000]
[1778834, 3238722, 4168532, 3074842, 2048283, 1130230, 507952, 184261]
[939616, 1961381, 3074842, 3550353, 3019342, 2048283, 1086206, 451633]
[451633, 1086206, 2048283, 3019342, 3550353, 3074842, 1961381, 939616]
[184261, 507952, 1130230, 2048283, 3074842, 4168532, 3238722, 1778834]
[63000, 197646, 507952, 1086206, 1961381, 3238722, 5568480, 3508269]
[17702, 63000, 184261, 451633, 939616, 1778834, 3508269, 9188341]
--end-------------------------------------------
この結果を使うと,
「統計リテラシーのない者がカモられる時代がやってきた」というダイアモンド・オンラインの記事
https://diamond.jp/articles/-/363654
にあるあみだくじの話の分布の部分を確認できます。

GAI さんへ
「if(k==1,2,2*memorize(T3,k-1))」
の読み方？が分かりません。これはもしかして
if k=1 then 2 else 2*T3(k-1) endif
ということでしょうか？

そうです。

教えていただいた「行きつ戻りつ」の行程があみだくじに対応するという知恵を使ってPythonで組んだけど遅すぎたのでClaudeにお願いしてJuliaに書き換えたもので無事に8筋12横棒のあみだくじでは, 何筋目を選んだ場合何筋目に至るかという数え上げはできましたが, 「m筋n横棒のあみだくじでi筋目を選んだ場合にj筋目に至るものは幾つあるか」は「どうすれば計算できるか」は解決していません。
何とか計算で済ませることはできないものでしょうか？

皆さんの助けを借りて少し取り組んだことをまとめたpdfをここに置いておきます。
まだ解決していませんのでもう少し助けて下さい。

https://amaryllis4u.wordpress.com/2025/04/26/標準的な「あみだくじ」である筋を選んだときに/

8筋12横棒のものを数列に対応付けます。

例えば
┣┫┃┣┫┃┃┃
┃┣┫┃┣┫┣┫
┣┫┃┣┫┃┃┃
┣┫┣┫┃┣┫┃
┃┃┃┣┫┃┣┫
という形のもので考えます。

これの横線に番号を
・基本的に左にあるものから右にあるものへ、同じ列内では上にあるものから下にあるものへ、順に番号を振る
・ただし、自分の上流に未採番のものがあれば、それが採番されるまで保留する
というルールで振っていきます。

・最左列の一番上のが1
・最左列真ん中は上流に未採番のものがあるので保留
・最左列下段は上流に未採番のものがあるので保留
・左から2列目のが2
・最左列真ん中は上流が採番されたのでこれが3
・最左列下段は上流が採番されたのでこれが4
以下略

各番号が左から何列目にあるかを見ると、
1,2,1,1,4,5,4,3,4,7,6,7
という数列になります。

この対応付けで、8筋12横棒のあみだくじと、1から7までの数を「どの項も前項-1以上」という条件で12項並べる数列が一対一に対応します。
よって、あみだくじの個数の代わりに後者を数えることにします。

1項並べる場合、
末尾が1のものが1個
末尾が2のものが1個
末尾が3のものが1個
末尾が4のものが1個
末尾が5のものが1個
末尾が6のものが1個
末尾が7のものが1個
合計7個

2項並べる場合、
末尾が1のものが1+1=2個
末尾が2のものが1+1+1=3個
末尾が3のものが1+1+1+1=4個
末尾が4のものが1+1+1+1+1=5個
末尾が5のものが1+1+1+1+1+1=6個
末尾が6のものが1+1+1+1+1+1+1=7個
末尾が7のものが1+1+1+1+1+1+1=7個
合計34個

3項並べる場合、
末尾が1のものが2+3=5個
末尾が2のものが2+3+4=9個
末尾が3のものが2+3+4+5=14個
末尾が4のものが2+3+4+5+6=20個
末尾が5のものが2+3+4+5+6+7=27個
末尾が6のものが2+3+4+5+6+7+7=34個
末尾が7のものが2+3+4+5+6+7+7=34個
合計143個

4項並べる場合、
末尾が1のものが5+9=14個
末尾が2のものが5+9+14=28個
末尾が3のものが5+9+14+20=48個
末尾が4のものが5+9+14+20+27=75個
末尾が5のものが5+9+14+20+27+34=109個
末尾が6のものが5+9+14+20+27+34+34=143個
末尾が7のものが5+9+14+20+27+34+34=143個
合計560個

あと8回分略

手計算でも数分で終わるレベルなので、いくらPythonが遅い言語といっても一瞬だと思います。

あ、対応関係もでしたか。
まあ、最後の番号ごとに「到着地点がどこになるものが何個」をわけて計上していけばどうとでもなると思います。

DD++さんへ
細かい解説をありがとうございます。
「行きつ戻りつ」でも仰る「項数m・各項の値は1以上n-1以下・任意の連続する2項について、a[i+1] > a[i]-2」となる有限数列を数える手法でも全部で何通りあるかを数えることはできて, コレまた仰る通り「全部で何通り」だけならいくら遅いPythonでも十分我慢できる時間で結果を教えてくれます。（そして多分Juliaならもっとプログラムも書き易くて早い）
そのレベルの話は（面白いですけど）まぁある意味解決済みです。

そうではなくて, 8筋12横棒のあみだくじで, 4筋目を選んだときに至る筋が3筋目になるようなあみだくじは何通りあるか? を数えたいのです。
でないと, 記事にあるような「分布」はシミュレーションでしか確認できませんから。
「ちゃんと数えてみたい」できれば「数式で（例え漸化式レベルでも）計算したい」という話です。

何とかならないでしょうか？

DD++さん
仰る通りで、「どうとでもなった」結果は得られているのですが... あまりにも機械頼りな数え上げなので...

ゴール位置も考えたい場合の計算例

3本目スタートの場合

1項並べる場合、
末尾が1のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が2のものが1個（2ゴールが1個）
末尾が3のものが1個（4ゴールが1個）
末尾が4のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が5のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が6のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が7のものが1個（3ゴールが1個）
合計7個（2ゴールが1個、3ゴールが5個、4ゴールが1個）

2項並べる場合、
末尾が1のものが1+1=2個（1ゴールが1個、3ゴールが1個）
末尾が2のものが1+1+1=3個（2ゴールが1個、3ゴールが1個、4ゴールが1個）
末尾が3のものが1+1+1+1=4個（2ゴールが1個、3ゴールが1個、4ゴールが2個）
末尾が4のものが1+1+1+1+1=5個（2ゴールが1個、3ゴールが3個、5ゴールが1個）
末尾が5のものが1+1+1+1+1+1=6個（2ゴールが1個、3ゴールが4個、4ゴールが1個）
末尾が6のものが1+1+1+1+1+1+1=7個（2ゴールが1個、3ゴールが5個、4ゴールが1個）
末尾が7のものが1+1+1+1+1+1+1=7個（2ゴールが1個、3ゴールが5個、4ゴールが1個）
合計34個（1ゴールが1個、2ゴールが6個、3ゴールが20個、4ゴールが6個、5ゴールが1個）

例えば末尾が4のものの場合、1つ横線が少ないやつの末尾5以下を全部合計してから、ゴール4のものとゴール5のものの個数を入れ替えるという感じですね。

最近C++によるプログラミングの勉強を始めたので、ご要望のものを一瞬で出力するコードを書いてみました。
……掲示板にコード丸ごと載せちゃって大丈夫かな？
標準入力からnとmを入力してください。
n≧3のみ対応、また結果が2^63を超えるとオーバーフローすることには対処を放棄しています。
Pythonで実行したければAIにでも翻訳してもらってください。

-----
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main () {

int n, m;
cin >> n >> m;
assert(n>2);

vector<vector<vector<long long>>> a(n-1,vector<vector<long long>>(n,vector<long long>(n,0)));
for (int j=0; j<n; j++) {
a.at(0).at(j).at(j) = 1;
}

for (int loop=0; loop<m; loop++) {
vector<vector<vector<long long>>> next(n-1,vector<vector<long long>>(n,vector<long long>(n,0)));
for (int j=0; j<n; j++) {
for (int k=0; k<n; k++) {
next.at(0).at(j).at(k) = a.at(0).at(j).at(k) + a.at(1).at(j).at(k);
for (int i=1; i<n-2; i++) {
next.at(i).at(j).at(k) = next.at(i-1).at(j).at(k) + a.at(i+1).at(j).at(k);
}
next.at(n-2).at(j).at(k) = next.at(n-3).at(j).at(k);
}
}
for (int i=0; i<n-1; i++) {
for (int j=0; j<n; j++) {
swap (next.at(i).at(j).at(i),next.at(i).at(j).at(i+1));
}
}
swap (a,next);
}

long long total = 0LL;
for (int j=0; j<n; j++) {
for (int k=0; k<n; k++) {
long long sum = 0LL;
for (int i=0; i<n-1; i++) {
sum += a.at(i).at(j).at(k);
}
cout << sum;
if (k==n-1) {
total += sum;
cout << endl;
} else {
cout << " ";
}
}
}
cout << "total:" << total << endl;

return 0;
}
-----

出力サンプル

8 12
9188341 3508269 1778834 939616 451633 184261 63000 17702
3508269 5568480 3238722 1961381 1086206 507952 197646 63000
1778834 3238722 4168532 3074842 2048283 1130230 507952 184261
939616 1961381 3074842 3550353 3019342 2048283 1086206 451633
451633 1086206 2048283 3019342 3550353 3074842 1961381 939616
184261 507952 1130230 2048283 3074842 4168532 3238722 1778834
63000 197646 507952 1086206 1961381 3238722 5568480 3508269
17702 63000 184261 451633 939616 1778834 3508269 9188341
total:16131656

5 30
69706010502882 64476946102498 61603155451959 58814544487309 54236041597325
64476946102498 62876755878626 61865352374327 60803099299213 58814544487309
61603155451959 61865352374327 61899682489401 61865352374327 61603155451959
58814544487309 60803099299213 61865352374327 62876755878626 64476946102498
54236041597325 58814544487309 61603155451959 64476946102498 69706010502882
total:308836698141973

（追記：インデント全部消えるんかーい！）

DD++さん
反応頂き有難いのですが... 矢張り数え方は総当たりよりは素敵なのかもしれませんがモヤります。