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13,429

有限ず無限

無限ずいうものの凄さを感じさせるものに
S1=1+1/2+1/3+1/4++1/n+
はS1→∞
であり

S2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-+(-1)^(n+1)*1/n+
はS2→log(2)(=0.693147)

S3=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+(2ず玠であるものの亀代玚数)
はS3→π/4(=0.785398)

S4=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11-1/13-1/15+1/17+1/19-1/21-1/23+
=∑[n=1,∞]kronecker(n,8)/n 
はS4→sqrt(2)*π/4(=1.110720)

S5=1-1/3-1/5+1/7+1/9-1/11-1/13+1/15+1/17-1/19-1/21+1/23+
=∑[n=1,∞]kronecker(n,2)/n
はS5→log(1+sqrt(2))/sqrt(2)(=0.623225)

S6=1-/1/2+1/4-1/5+1/7-1/8+1/10-1/11+(3ず玠であるものの亀代玚数
はS6→π/(3*sqrt(3))(=0.604599)

S7=1+1/2-1/4-1/5+1/7+1/8-1/10-1/11+1/13+1/14-1/16-1/17+(䞊蚘の笊号を倉曎したもの
=∑[n=1,∞]kronecker(n,3)/n
はS7→2*π/(3*sqrt(3))(=1.209199)

S8=1-1/2-1/3+1/4+1/6-1/7-1/8+1/9+1/11-1/12-1/13+1/14+1/16-(5ず玠なもので構成
=∑[n=1,∞]kronecker(n,5)/n
はS8→log((3+sqrt(5))/2)/sqrt(5)(=0.43041)

S9=1-1/5+1/7-1/11+1/13-1/17+1/19-1/23+(6ず玠であるものの亀代玚数
=∑[n=1,∞]kronecker(n,12)/n
はS9→π/(2*sqrt(3))(= 0.906899)

S10=1 +1/2 -1/3 +1/4 -1/5 -1/6
+1/8 +1/9 -1/10+1/11-1/12-1/13
+1/15+1/16-1/17+1/18-1/19-1/20
+1/22+             (7ず玠なもので構成
  =∑[n=1,∞]kronecker(n,7)/n
はS10→π/sqrt(7)(=1.187410)



などなど䜿う数字ず笊号を埮劙に倉えるず、無限に繰り返す操䜜でこんなにも倉化に富む
䞖界ず通じお行くこずを芋぀け出したオむラヌやラむプニッツやディリクレなどの先人が
劂䜕に無限ずいう䞖界の扉をこじ開けおきたのかを驚愕をもっお感じられたす。

取り急ぎたずめたものなので、どこかしら䟋により勘違い郚分があるかず思いたすが、
その時はご指摘宜しくお願い臎したす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 10:38)

GAI様、こんばんは。

はじめたしお。

この構造は、バヌれル問題ず同じですね。

有理数の無限和が、無理数になる。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさんは、バヌれル問題に぀いお誀解しおいたせんか

有理数の無限和が有理数になる堎合もあるのでは

䟋えば、 /・/・/・・・・ ですよね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 20:27)

管理人様、こんばんは。

ああ、そうなんですか

オむラヌがどうやったかは、詳しくなるず、
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1583-12.pdf
に曞いおありたすが、よく理解できおたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月01日 10:17)

管理人様、

有理数の無限和が有理数になる堎合もあるのでは
䟋えば、 /・/・/・・・・ ですよね。

管理人様のおかげで、有理数は四則挔算で有理数で閉じおいるこずず無限和が無理数になるずいう矛盟の手がかりが芋えお来たした。

ありがずうございたす。

これで、数孊に察する䞍信感が幟分和らいだのです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月01日 07:46)

調和玚数
Σの逆数/(s-1)  
sのずき、収束し、のずき、発散するこずがよく知られおいたす。
ずころが、玠数の逆数和が発散するのには、びっくりです。
流石に、双子玠数の逆数和では、収束する。
収束ず発散の境目は、難しいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数の衚珟ヌ続き

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございたす。

Dengan kesaktian Indukmu様の投皿で、わたしは、玍埗したした。

忠告に埓っお、私ずしおは、終わりにしようず思いたす。

そういうこずで、DD++様、無回答をお蚱しください。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月01日 09:20)

数の衚珟続き

うんざりはちべえさんの仰る
「0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・は、無理数である」
を盎接蚌明しおいただけたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人様、おはようございたす。

い぀も、ご迷惑おかけしたす。

これは、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題が正しいずいう結論から、導き出されたもので、私がそれを蚌明できる技量・ヒントは、珟圚持ち合わせおおりたせん。

いずれか将来、そういうチャンスに恵たれたずきたで、お埅ちください。

たた、投皿の䜙蚈な䞀文が管理人様のご機嫌を損ねたこずをお蚱しください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

するず、すべおの無限小数は、無理数になるのではないかずいう疑問が、生じるず思いたす。

その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかずいうず、1/3は1÷3で、あたりが埪環するから、埪 環するのです。぀ たり、÷3=0.333・・・・・・・で、・・・・は、あたりです。

぀たり、挔算が可胜な範囲で0.333・・・が䞊んでいるので、無限では、挔算ができないので、1÷は、有限小数になる可胜性がありたす。したがっお、有理数です。

その説明では、√は、無理数ですが、無限に蚈算しおゆくので、無限では、挔算ができないなら、有限小数になる可胜性がありたす。したがっお、有理数ですずなっおしたうではないか

それには、埪環する無限小数は、有理数に含たれたすが、埪環しない無限小数は無理数であるが、答えにならないでしょうか
぀たり、埪環しおないずいけないのです。

・・・は、根拠もなしにただ、を䞊べ倚数ですから、挔算はどこにもありたせん。

埪環小数は有理数なので、分数にできたすが、・・・は、分数にできたせん。私が、x=aずしお、倍しお匕いおもx=aでした。
0.333・・・ずいう埪環小数を分数にする方法では、1/3になりたすが、1/3は、・・・より、・・・・で、・・・・は、あたりです。぀たり、・・・より倧きくなっおいるのですから、埪環小数を分数にする方法は、間違いです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月29日 13:07)

うんざりはちべえさん、論理が砎綻しおいたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

論理が砎綻しおたすかどのぞんでしょうかそれは、さおおいお、倚分、

これは、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題が正しいずいう結論から、導き出されたもの 

もずもず、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題が怪しいのです。

するず、すべおの無限小数は、有理数になっおしたいたす。バヌれル問題が正しければ、すべおの無限小数は、無理数になっおしたいたす。

埪環する無限小数は、有理数に含たれたすが、埪環しない無限小数は無理数である。

からも矛盟したす。

もずもず、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題は、䞍適切な呜題なんでしょうね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

これで終わりにしたしょう。
長い間、ご迷惑おかけしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月29日 16:05)

  関係があるのかもしれないず思いたしお投皿いたしたす。

たずは参考文献のご案内から。

■《高校生における「無理数」の抂念》倧山正信・米沢光掋
( https://core.ac.uk/download/pdf/144571306.pdf )

この参考文献の p.10 から匕甚したす。

-----
圌のこの誀解は,圌が【1】においお,「無理数ずは確定した数が存圚しないもの」ずしおいるずころから生じおいるず考えられる
-----

匕甚郚分にある生埒の誀解は、「無限回の操䜜を必芁ずするのでい぀たでたっおも確定した倀を取れない」ずいった気持ちからくるものなのであろうず掚察されたす。

自分自身を振り返りたすず、小孊生くらいの頃たでは同じような気持ちが匷かったず思いたす。

私の堎合には䞭孊䞀幎の頃に出䌚った関根先生の教え方が䞊手だったのかもしれたせんけれど、なんずなくですがこうした疑問は消えおしたいたした。

関根先生は 確か、
「党おの有限小数は無限小数ずしおも曞くこずができる、曞き方が違うだけで倀は同じだ」ずし぀こく宣蚀しおいらっしゃいたした。
こうした宣蚀を念仏もしくは埡題目のようにこずあるごずにバリトンの声で繰り返しおいらっしゃいたした。
関根先生が奜きな䟋題は/でした。
黒板に曞くのはい぀も
..         
でした。チョヌクで  を玠早く黒板の端から端たで䞀気に曞く必殺技をお持ちでしお、䞀郚の生埒たちも真䌌しようず奮闘しおいたこずが懐かしく思い出されたす。 これがなかなか難しいのですけれど。

尻切れトンボですけれども、今回の投皿は以䞊です。
远蚘先皋の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったずきの生埒たちの反応に぀いおのアンケヌト結果が出おいたしお倧倉に興味深いものでした。

以䞊です。

 さお、うんざりはちべえさんは、おそらく、人で行うグヌチョキパヌで行うゞャンケンは原理的には公平であるずお考えの筈です。
 
ゞャンケンぜんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったヌ負けたヌ
 
ずいう䟋のや぀です。
 
《このゞャンケンのルヌルは公平である》こずず
《進法で蚘すずきに /  .   無限小数の等匏が成立する》
こずずは同倀であるこずを指摘しおおきたく思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月29日 17:15)

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> このこずから、
> 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
> は、無理数であるずなりたすね。

なるわけないじゃないですか。
私の䞻匵を勝手に捻じ曲げないでください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

続き2に入っおからの投皿を芋たしたが、はちべえさんがやっおいるこずは数孊ず呌べないように思いたす。

はちべえさんは、根拠があろうずなかろうず自分の予想が間違っおいるわけがないずいう前提に立っおいるように感じたす。
そのような考え方は、良く蚀っお宗教、悪く蚀えば劄想ず呌ばれるべきものです。

ここは数孊の堎です。
蚌明が甚意できないのならば公理ず定矩を陀きどんな蚘述も真実かどうかわからない、ずいう数孊的立堎で発蚀しおください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

ご指摘ありがずうございたす。

さお、https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...によれば、0.999・・・=1ずいう䜓系もあれば、0.999・・・<1ずいう䜓系もあるそうです。それは、無限小を0ずするかしないかの違いだそうです。

昚日は、2日も曎新されず、これは、DD++様ぞの返信が、必芁であるず気づいお、投皿したのですが、あの行は、DD++様の発蚀の回答には、䞍芁であるず気づいお、あの行を消そうず思った時に、管理人様の投皿があったのです。それで、䞍芁な事態を招いおしたいたした。

皆様、倧倉、ご迷惑おかけしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさんは、
 「0.999・・・=1ずいう䜓系もあれば、0.999・・・<1ずいう䜓系もある」
ずいうこずを知った䞊で、「0.999・・・=1ずいう䜓系」は誀りだずいう立堎なんですよね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人様、おはようございたす。

無限小を⊿ずしたす。
・・・=1の考えでは、⊿です。
䞀方・・・1の考えでは、⊿です。

ここで、四則挔算が、無限でも適甚できるずしたす。

さお、実数は連続なので、a⊿=bずするず、a,bは隣り合うはずですね。
ずころが、⊿=0なら、a=bで、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができない、連続でないずなりたせんか

有理数の皠密性で、a<bなら、a<(a+b)/2<bですね。(a+b)/2=cずおくず、
a<(a+c)/2<c<bで皠密なんですよね。

ここで、⊿+aずするず、a<(a+b)/2<bは
a<(a+⊿)<a+2⊿
ずなりたすね。⊿=0では、この䞍等匏は成り立ちたせんね。
するず、有理数の皠密性が成り立ちたせんずなりたせんか

私は、普通の䞀般人なので、こんな初歩的な疑問です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> さお、実数は連続なので、a⊿=bずするず、a,bは隣り合うはずですね。

「隣り合う」ずは䜕を意味しおいたすか
そしお、その意味の䞊で「a⊿=bずするず、a,bは隣り合う」の蚌明は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんにちは。

a≠bずなるb>a>0ずしたす。c=(b-a)ずするず、cの最小倀は、⊿になりたすよね。

aずbの距離は、最小倀⊿ですから、隣り合うずなるず思いたす。

䞉次元のグラフ䞊のa,bずなるず、話が違っおきたすが、数盎線で考えるずずいうこずです。

cの最小倀は⊿しかないわけですから。

なお、以䞋の話は、ないものずしおおきたす。

連続なら、a<(a+b)/2<bが存圚するから最小倀は⊿/2だ、無限小は⊿なので、ずはなりたせんよね。

埮分の⊿⊿^2>0も、ここでは、扱わないずしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 13:20)

(1) 「隣り合う」ずいう蚀葉を正確に定矩しおください。
(2) その c=
b-a に最小倀は存圚したせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「隣り合うずは」
最小目盛り幅が⊿の数盎線で、目盛り䞊のaの隣の目盛り䞊をbずしお、隣り合うa,bず蚀っおたす。
すべおの点は、最小目盛り幅の自然数倍にあるずしたす。
ただし、a,bが3目盛り離れおいるず、䞭点cは15目盛りなので、目盛り䞊からずれおしたいたす。
たた、点間は、無限小以䞊を守らないずいけないので、連続するには、すべおの点は、最小目盛り幅でなければならないず思いたす。
デゞタル的だず思うかもしれたせんが、無限小間隔です。目盛りは可付番で、どれ䞀぀同じものはありたせん。

぀たり、⊿=0だず、すべおの点が、座暙で決められおいれば、䞀点に重なりたす。座暙ずは無関係ならば、座暙が点になるので、倚くの点が消えおしたいたす。これは、先に、⊿で座暙が決たっおいたものを、⊿にするずいう勘違いですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 18:57)

c が目盛り䞊からずれおしたうずいうのは、
・c=(a+b)/2 は実数ずは認めない
・この点の集合は党おの実数を衚しおいない
のどちらですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

は、実数です。

目盛り䞊で、ないずいけないずいうのではなくお、点ず点の幅が⊿以䞊あればよいのではないでしょうか

最初に曞いたb=a+⊿です。これを目盛り付きの数盎線で、説明したほうが、隣り合うずいうこずを説明しやすかったもので・・・・

だから、連続も、点ず点の幅が⊿であれば、目盛り䞊である必芁はないず曞いた぀もりです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 19:22)

では、a ず b の間が 3 目盛りだずしお、
c=(a+b)/2 ず d=(a+2b)/3 の衚す点の幅はいく぀ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさんがΔを持ち出しおいらしたので、暪入りですけれどもひずこずを。

うんざりはちべえさんが珟圚展開なさろうずしおいる無限小に぀いおのお話しの筋立おには未来がありたせん。早晩、矛盟があちこちから吹き出しお行き詰たりたす。やめおおいたほうがいいです。

うんざりはちべえさんが、オリゞナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み蟌もうず思っおいらっしゃるのであれば、
数孊基瀎論をひずずおり勉匷し、なかでもモデル理論に぀いお自信が持おるほどにしっかりず身に぀け、
そうした歊噚を駆䜿した䞊でオリゞナルの超実数に぀いお䜓系を構成しおいくべきです。
私たちは、通垞、暙準的なモデルの䞊で数孊に぀いお語り合っおいたす。
いた、うんざりはちべえさんは、暙準的なモデルの䞊で、Δを持ち出しおいらっしゃいたすが、これは䞍毛です。暙準的なモデルにはおっしゃるような抂念の぀けいる隙はありたせん。

ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」ずいうのであれば、
党く新しい非暙準的なモデルの䞊での数の䜓系を創造しなければなりたせん。
これは、玠人には無理な話です。
テキトヌにやろうずするず倱敗するので、厳密なやり方をたずは孊ぶ必芁があるのです。たぶん、倧孊院レベル。

なお、新しいモデルの䞊で無限小を定匏化し実数の䜓系を補完し新しい数の䜓系を生み出した事䟋は既に *耇数* 、存圚しおいたすが、
そうしたなかには、1. を是ずした䜓系も、1. を是ずした䜓系も、ずもにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、ずいう問いは存圚せず、「かくかくしかじかの手法で数の䜓系を構築したら、こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねお申し䞊げたすが、暙準的なモデルでの䞊での実数䜓を前提ずしおいる、倧抂の数孊掲瀺板では、.  が真です。
これが停だずいいはじめるず、おそらく䌚話がうたくいきたせん。

「だったら新しい䜓系を建蚭しおもっおきおね、数孊基瀎論の蚀葉で各皮の述語を定矩しお、公理・定理の連鎖でもっお、実数䜓の拡匵をしおみおくださいね」ずしか、反応できたせんよね。

※たしか、ロビン゜ン流の超準解析でも、.  だった気がしたすが、䞍勉匷の私ですから眉唟ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

調査での䞍䞀臎

円呚率π(3.141592)
に珟れる数字09が䜕個出珟するのかを調査しおいお(先頭の3も含む。)
党郚で10^n個䞭の特に"6"の数字に぀いおの調査結果で
n=1->1
n=2->9
n=3->94
n=4->1021
n=5->10028
n=6->99548
n=7->999337

n=12->99999807503

たでの結果がOEISのA099297に茉せおある。
他にも数字"0","1",,"9"
などのデヌタも他の項目で茉っおいるのだが、この"6"のn=5での数字だけが
自分の調査では10028は10029ずなっおしたいこれず䞀臎しなかった。
他の数字はピタリなのでやり方は間違っおいないず思うのですが
䜕方か、この数字を確認しお頂けたせんでしょうか)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAIさんによる埡指摘の真停を刀定するには至りたせんでしたけれども、少なくずも OEIS に誀怍があろうこずは確実ず思われたす。

実際に怜算いたしたすず、
A099291[5]+A099292[5]+A099293[5]+A099294[5]+A099295[5]+A099296[5]+A099297[5]+A099298[5]+A099299[5]+A099300[5]=
9999 +10137 +9908 +10025 +9971 +10026 +10028 +10025 +9978 +9902
=99999
ずなりたしお
OEISが無矛盟であるずきに期埅される倀である100000に1足りたせん。
GAIさんによる埡提起に状況蚌拠ずなるやもしれたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

↓こちらで解決枈みだず思いたす。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1309.html

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あら
近ごろ蚘憶障害が起き出しおいるのかも。
随分前に蚘録しおいたノヌトのメモを読み返しおいたら、この郚分に぀いおの ”どうしお違うのだろう”
ずいうコメントを残しお居ったので、぀い以前投皿しおいたこずを党く忘れおおり再び投皿しおしたった次第です。
お恥ずかしい。(先頭の3はカりントに入れるの間違いも犯しおいたした。3は入れないが正しいです。
ノヌトに投皿枈みずメモを远加しおおきたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 06:49)

数の衚珟ヌ続き

スレッドに远加できないず衚瀺されたしたので、新芏にしたした。

DD++様、おはようございたす。

はちべえさんは「有限回の蚈算では閉じおいる凊理が、無限回では閉じなくなるこずがある」ず理解しおいるわけですよね。

私ずしたしおは、自然数の2乗の逆数の和を求めるバヌれル問題は、有理数の四則挔算なので、有理数で閉じおいるから、無限であっおも、有理数のはずです。オむラヌが、π^2/6ず求めたのが、間違いであろうず思いたす。
ですから、圓然、オむラヌ積も有理数で閉じおいたすから間違いで、リヌマンのζ関数も間違いです。
ず、私は思っおいたす。

で最埌に9を付け足すずいう凊理を繰り返したずきに、有限回の凊理では小数点の前の数が必ず0のたた保たれるのに察しお、それを無限回やったら小数点の前の数字は0ずは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは䜕を論拠にそれが0のたたずしおいるのでしょう

0.999・・・のあずに、どれだけを぀けたしおも、小数点は、移動したせん。たた、末䜍で、9の次の蚘号が必芁になったら、桁䞊がりの連鎖がおきお、になりたす。小数点は、移動したせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月26日 07:37)

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございたす。
はじめたしお。

おしゃっおいるこずが、レベルが高すぎお、理解できたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

No.254の有理数進数では、無理数を衚せないず修正したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 有理数の四則挔算なので、有理数で閉じおいるから、無限であっおも、有理数のはずです。

なるほど、ではその蚌明をどうぞ。
四則挔算䞀般でなく和の堎合のみ、すなわち「有理数の総和は有理数である」ずいう呜題だけで構いたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、遅れおすみたせん。時間に投皿ずいう制限がありたした。うっかりです。

これで、どうでしょう

有理数ず有理数の和が有理数であるこずを蚌明する。
数孊的垰玍法を䜿う。

a0/b0を初項ずする。有理数である。
これに、a1/b1をたすず、
a0/b0+a1/b1=(b1a0+b0a1)/(b1b0)
であり、右蟺は有理数である。

a0/b0からan/bnたでを足しおも有理数cn/dnだったずする。
さお、これに、a(n+1)/b(n+1)を加えるず、
cn/dn + a(n+1)/b(n+1) = {b(n+1) cn+dn a(n+1)}/{dn b(n+1)}
右蟺は有理数である。

よっお、数孊的垰玍法によっお、蚌明された。

ちょっず、雑ですが、お蚱しください。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月26日 16:36)

数孊的垰玍法は、任意の自然数nに぀いおある条件が成立するこずを瀺す蚌明法です。
぀たり、はちべえさんがここで蚌明した呜題は正しくは「任意の自然数nに぀いお任意のn個の有理数の総和は有理数ずなる」ずいう呜題です。

確かにこれで、個数が100個であろうが1䞇個であろうが、有理数のみからなる総和は有理数であるこずが保蚌されたした。
しかし、数孊的垰玍法を甚いた以䞊、そこには【その個数が自然数ずしお衚珟できる限りは】ずいう制玄が぀いおきたす。

無限は残念ながら自然数ではありたせんね。
したがっおこの蚌明では有理数のみからなる無限和が有理数になるかどうかは実は䞍明なたたなんです。
無限和でも有理数だず䞻匵したいのであれば、個数が自然数でなくおも適甚できる蚌明をしなくおはなりたせんが、さお、どうでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

無限和でも有理数だず䞻匵したいのであれば、個数が自然数でなくおも適甚できる蚌明をしなくおはなりたせんが、さお、どうでしょう

困りたした。

そこで、䞖間では、どうしおいるのだろうず、みるず、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
の「収束するこずの蚌明」では、無邪気に無限たでなんの説明もなく、やっおいたす。

たあ、参考にはなりたせんね。困りたした。いい案ないですかね

ずころで、攟送倧孊の「初歩からの数孊」で、有理数には、埪環する無限小数はふくたれ、埪環しない無限小数は無理数だず習いたした。埪環する無限小数は、䟋えば、1÷7ですが、あたりが埪環するので、埪環する無限小数ずなるのです。ずころが、0.999・・・は、無限小数ですが、あたりはありたせん。぀たり、あたりが埪環する埪環小数では、ないのです。したがっお、無理数です。は有理数で、0.999・・・は、無理数で、等号で結べたせんず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞖間䞀般では、「0.999・・・」は埪環小数だず思うのですが、うんざりはちべえさんはそう考えないわけですね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さん、おはようございたす。

い぀もご迷惑おかけしたす。

さお、・・・は、ただを䞊べただけで、が連続する埪環する理由がないですよね。芋かけは、埪環しおいるように芋えたすが、ちがいたすよね。
÷は、あたりが埪環するから、埪環小数になり、無限小数になりたす。

埪環する根拠理由は、いりたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

÷を蚈算すれば、が連続したせんか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月27日 14:19)

÷1で、長さの有限小数です。あたり、0です。

もしかしお、
0.9999
1)1
  10
   9
  --------
    10
    9
   ------
    10
     9
    -------
     10
     
を蚀っおたすあたりで埪環させるこずもできたす・・・
昔の同僚が、孊校の数孊の先生から・・・の蚌明ずしお、説明されたず蚀っおたした。

これで、・・・は、終わりにしたすか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月27日 11:33)

> 困りたした。いい案ないですかね

ありたせん。なぜなら、実際には無限和の堎合この呜題は停だからです。反䟋の1぀がたさにバヌれル問題です。

同様に、亀換法則、結合法則等も無限和においおは成立せず、それどころか同じ内容の匏であれば䜕回蚈算しおも垞に同じ答えになるこずすら保蚌されたせん。

もちろん、9を付け足しおいくずいう操䜜に関しおも、有限回であれば圓たり前のこずが無限回で成り立぀かどうかは逐䞀蚌明が必芁です。
9を付け足しおいるだけでは繰り䞊がりが起こらない  本圓に無限回でもそうですか
ずいうのが最初に私が指摘した内容です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「あたりで埪環させるこずもできたす・・・」ずのこずですが、どうするのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

宇宙人ずの接觊に成功し懞呜に文化・孊問の亀流を詊みはじめおいたした。
この宇宙人ずのあいだで、地球の数孊抂念・数孊蚘号に぀いお察話しおいたす。
宇宙人偎は䞇胜翻蚳機に近いものを持っおはいたのですが  
察話のなかで
䞍等号に぀いおはすぐに宇宙人にご理解いただけたした。
ずころが等号に぀いおはなかなかご理解いただけおいたせん。

宇宙人偎にずっお、
1=0.999999


がどうやら難関のようです。

十進の有限小数の範囲たでなら等号の意味を理解はしおもらっおはいるのですけれども。

そんなある日のこず、地球偎の小さな子どもゞョンが、宇宙人の子ども名前䞍明ず話はじめたした。

ゞョン
「あのねえ

に぀いお説明するよ。
もひず぀なんでもいいから十進の有限小数ずなるをもっおくる。
 
 
がずもになりた぀か
 
 
がずもになりた぀かの、
どちらかがどんなに぀いおも必ずいえるずき

ずいうんだよ。 」

名無し宇宙人の子
「なあんだ、地球の等号っお、そういうこずなのか、悩んで損したなあ」

子どもたちの䌚話を聞いおいた倧人たちは喜びたした。
地球の十進無限小数の抂念が䌝わった瞬間でした。

※あずでわかったこずですが宇宙人の数孊での数の衚珟は連分数展開を基調ずするものだったのでした。


―――

ずいう䟋えばなしはいかがでしょうか

十進の有限小数の党䜓の集合をデデキントっぜく切断しお十進の無限小数埪環小数たたは無理数に拡倧するずいうお䌜噺です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんにちは。

無限では、情報はなくなるずいう理解でいいのでしょうか

管理人様、こんにちは。

「あたりで埪環させるこずもできたす・・・」ずのこずですが、どうするのでしょうか

管理人様の1÷のこずです。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

難しいお話ですが、お手数をおかけしお、申しわけございたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月27日 12:23)

具䜓的にどう蚈算するのかを知りたいのですが 。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人様、No.275です。
 --------

で、あたりずしお、
  0.9
 --------
0
   
  -----
   
ずあたりにするのです。
  0.9
 --------
0
   
  -----
   
    
   ------
    
ずあたりにするのです。
もう説明䞍芁でしょう

もちろん、
  1
 -------

  
  ----
  0
ですけどね。だから、1=0.999・・・ずなりたす。

もちろん、これは、方䟿に過ぎないず思いたすが、あたりで埪環する無限小数ずなりたす。有理数になりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月27日 14:04)

1÷1で、あたり1が続く蚈算から、0.999 が埪環小数であるこずを瀺されたわけですが、
このこずは今たで蚀われおいたこずに矛盟したせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

0.999・・・は、無理数です。埪環小数ずする根拠がありたせんからね。

この1÷は、あくたで、方䟿です。0.999・・・を䜜るのに、むンチキしおたすからね。

1=0.999・・・を終わらせる方䟿です。管理人様の発案を利甚しただけです。

この議論は、終わりにしないず、管理人様にもい぀たでも迷惑をおかけし、他の人にも迷惑だず思いたした。

本圓は、これから、0.999・・・は、埪環小数かずいう議論が、したかったのですが・・・。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
には、0.999・・・は、埪環小数ず曞かれおいたす。

勝手な行動ばかりで、管理人様には、本圓にすみたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月27日 15:46)

「情報が倱われる」ずいう数孊的甚語は私が知る限り存圚したせんが、それを「挔算に぀いお閉じなくなる」ず同じ意味で甚いおいるのであれば、そうです、無限の堎合にはそうなるこずがありたす。
たた、そうならない堎合でも、無限の堎合でも適甚可胜な蚌明をするたでは断蚀するこずはできたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

なぜなら、実際には無限和の堎合この呜題は停だからです。反䟋の1぀がたさにバヌれル問題です。

このこずから、
0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
は、無理数であるずなりたすね。

DD++様の
「情報が倱われる」ずいう数孊的甚語は私が知る限り存圚したせんが、それを「挔算に぀いお閉じなくなる」ず同じ意味で甚いおいるのであれば、そうです、無限の堎合にはそうなるこずがありたす。

は、理解できたした。

>たた、そうならない堎合でも、無限の堎合でも適甚可胜な蚌明をするたでは断蚀するこずはできたせん。

は、泚意しおおきたす。

ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月29日 10:49)

勘違いなのかな

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
内の蚘事で

Dirichlet's theorem says there are an infinite number of primes of this form. 2521 is the smallest,
and indeed 1^2 ≡ 1, 1046^2 ≡ 2, 123^2 ≡ 3, 2^2 ≡ 4, 643^2 ≡ 5, 87^2 ≡ 6, 668^2 ≡ 7, 429^2 ≡ 8, 3^2 ≡ 9, and 529^2 ≡ 10 (mod 2521).

の内容を芋る。

そこでこれを確かめおいたら
玠数2351に眮いお(mod 2351)では
1^2 ≡ 1
480^2 ≡ 2
84^2 ≡ 3
2^2 ≡ 4
97^2 ≡ 5
353^2 ≡ 6
684^2 ≡ 7
960^2 ≡ 8
3^2 ≡ 9
460^2 ≡ 10
898^2 ≡ 11
168^2 ≡ 12
13は存圚しない。
820^2 ≡ 14
1095^2 ≡ 15
4^2 ≡ 16
17は存圚しない。

たた10たでの連続ず限定しおも玠数2399では
(mod 2399)では
1^2 ≡ 1
49^2 ≡ 2
541^2 ≡ 3
2^2 ≡ 4
427^2 ≡ 5
120^2 ≡ 6
1157^2 ≡ 7
98^2 ≡ 8
3^2 ≡ 9
668^2 ≡ 10
11は存圚しない。
1082^2 ≡ 12

が存圚するのでsmallest 2521 は盞応しくないのでは
解釈が間違っおいたらご指摘䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「p≡1 (mod 8), (mod 12), (mod 5), (mod 28)のずき・・・であるが、それを満たす最小の玠数は2521」
ず蚀っおいるのでは

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月27日 19:31)

数の衚珟

数の衚珟に぀いお
≡ 無限≡/2≡√など、
log3(4)、√3は、無理数、
無理数無理数√3log3(4)(底が)

3^log3(2)≡2
異なるタむプの衚珟募集。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月23日 15:16)

最近、 -1・・・ ずいう衚蚘に觊れ、䞍思議さを感じたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

衚珟ずいうのは、違和感ありたすね。ただ蚈算の途䞭みたいな、
同等になるずいうこずですか。
sin(pai/4)cos(pai/4) も同等ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

0.999 は、厳密には、極限の問題ですが、
 . ずおいお、倍しお
0. .  より
 ぀たり、が気に入っおたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ちょっずKS様の蚈算に疑問ですが、

x=aずする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
䞡蟺を(n-1)でわるず、
x=a

さお、ここで、a=0.9999・・・・,n=10を代入するず、 

 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9 ✕ 0.9999・・・ なお右蟺の✕は掛け算のかけるずいう蚘号です。
䞡蟺を10-1でわるず、
x=0.999・・・・

ずなりたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月24日 08:17)

管理人さんのコメントに察しおですが、、代数孊的に、x=aは、10倍しお、匕いおも、x=aなのです。

ですから、よく説明される
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
䞡蟺を10-1でわるず、
x=1
なんお、真っ赀な嘘です。
代数孊的結論を吊定するこの蚈算はおかしいのです。

別のはなしで説明するず、
x=1-0.1=0.9 ずする。
 10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9

x=1-0.01=0.99ずする。
 10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99

x=1-0.001=0.999ずする。
 10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999

同 様にしお、x=1-10^(-n)ずするず、 x=0.9999・・・・であるが
 10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)
9x= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)

よっお、10^(-n)0であるから、{ 10^(-n)においおnは無限倧であるから、10^(-n) は無限小である。}
x<1
぀たり、
x≠1

ここで、もし、10^(-n)=0ずするず、もし、10^(-n)=0 ぀たり、無限小は0であるなら
x= 1-10^(-n)=1 ぀たり、x=1であり、x=0.9999・・・・ずはならない。

無限小を䜿っおもだめである。

私は、0.999・・・=1は、間違いだず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1/3は、0.333・・・・ずなるずいうこずをよく考えるず、1÷3はあ たりが出おきお、0.333・・・・・ず、あたり・・・・1ですね。無限にが続くずいうこずは、あたりが無限に続くずいうこずです。あたりが、な くなったら、は終わりです。ずころが、・・・・は、あたりがいらない、なくなるず蚀っおいるのです。

したがっお、1/3≠・・・です。䞡蟺を倍するにしおも、巊蟺はですが、小数蚈算は末䜍からするのが、芏則ですが、そこを無理やり、倍しおも・・・ですが、1/3✕3=1≠999・・・ずなり、1≠999・・・です。


たた、ε-Ύ法は、実数なら、䜿えるかもしれないが、進数では䜿えないのである。

数盎線で考えるず、ε-Ύ法でできたずなるが、10進数で、0.999・・・をいくら1に近づけようず9を増やしおも、0.999・・・でしかない のです。

なぜなら、0.999・・・・の9を䜿い果たしたら、桁䞊がりしお1になるのであるからです。

9を䜿い果たすずいうこずは、0.0・・・・1がなければありえないのです。したがっお、ε-Ύ法では、どこたで行っおも0.999・・・に過ぎ ないのです。

・・・の問題は進数の問題であるから、明らかに、・・・なのです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

極限なら、・・・はほがでしょう。
しかし、等号で、結ぶこずは、できたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

100歩譲りたしょう。

NHK のBSPでみた「コ ズミック フロント「盞察論量子論 事象の地平線ず“異次元のダンス”」から思いたした。

車いすの倩才・ホヌキング博士が提瀺した「ブラックホヌル情報パラドックス」で、ブラックホヌルは熱を出しお、瞮み消滅し、すべおの情報は倱われるずいったの に、量子力孊者たちは、情報は無くならないずいい、論争になり、䜕幎もかかっお、超匊理論で、情報は無くならないず結論が出たのです。

さ お、自然数、・・・・ず無限たでゆくずしたす。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、無限倧は、偶数ですか、奇数ですかずずわれるず、無限倧は、どちらかわからないので、偶数でも、奇数でもないずいう説明では間 違っおいるず思いたす。

無限では、バヌれル問題でも、有理数分数は、四則挔算で、有理数で閉じおいるのに、π^2/6ずいう無理数になっおいるのです。

有理数で閉じおいるものが、無限で、無理数になるずいうこずは、有理数ずいう情報が無限でなくなっおいるのです。

無限では、情報はなくなるのです。

ですから、自然数から掟生した無限倧も自然数もそういう情報なので、無限倧は、情報がなくなっお、自然数ずいうこ ずもありたせんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、耇玠数かもしれないし、これたでの抂念を超えたものかもしれなくなるずいうこずです。そうなるず、倧小関係情報もなくなるずいうこずです。

ずいうこずにすれば、1/3=0.333・・・・ずなるのです。

でも、これには根拠がありたせん。無理数、あるいは耇玠数かもしれたせんから・・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

10進数に぀いお、泚意曞きをしたす。
10進数は、10個の蚘号を぀かいたす。です。
蚘号を䜿い果たしたら、桁䞊がりしたす。぀たり、の次が必芁にならないず、桁䞊がりしたせん。

・・・ずを無限に䞊べおも、の次の蚘号が必芁にならない限り、桁䞊がりは起きず、にはなりたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もし、超匊理論ででた結論で、無限でも情報が無くならないずするず、

√は、
√2=1.414213562373095・・・
なので、桁ごずに衚すず、次のようになりたす。
=1+4/10+1/10^2-+4/10^3-+2/10^4-+1/10^5-+3/10^6-+5/10^7-+6/10^8-+2/10^9-+・・・・
さお、右蟺は、有理数の四則挔算なので、有理数で閉じおいたすから、無限であっおも有理数のはずです。
したがっお、10進小数はすべお、有理数ずなるはずです。
぀たり、10進小数は、無理数を含たない、すなわち、10進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか
圓然、2進数でも、桁ごずに衚せば、有理数の四則挔算なので、有理数で閉じおいたすから、無限であっおも有理数のはずです。したがっお、進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか
同様にしお、自然数進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか
同様にしお、有理数進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか

結論ずしお、有理数進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月25日 17:01)

うんざりはちべえさん、ご投皿ありがずうございたす。うんざりはちべえさんの蚈算で
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
 9x= 9×0.9999・・・
がよく分かりたせん。9.999・・・から0.999・・・を匕いたら、9になるず思うのですが、なぜ、
「9×0.999・・・」ずいう曞き方になるのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さん、ご迷惑おかけしたす。連投したしたこずをお蚱しください。

管理人さんの質問ですが、それは、次の代数匏の蚈算に圓おはめおいるからです。
x=aずする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
䞡蟺を(n-1)でわるず、
x=a

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

仮定が「x=aずする。」で、結論が「x=a」では、䜕も蚈算しおいないこずにならないで
しょうかうんざりはちべえさんの蚈算の真意は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Komornik-Loreti 定数 ずいうのがありたしお、定矩や、どんな数倀になるのかに぀いおを OEISの
「A055060」で参照できたす。
今回はこの定数を q で衚すこずずしたす。
さお『1 の q進衚珟』を考えたすず、1 = 0.11010011001011010010110011010011

ずなりたしお、この数は Thue-Morse 列 ずなりたす。

Thue-Morse 列に぀きたしおは、http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1053.html
に色々な関連事項が蚘茉されおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そも管理人さんが芋たのは「  999=-1」なんですよね
これは「0.999

=1」ずは党く別の等匏なわけですが議論が明埌日の方向にすっ飛んでたせんかね。
前者は解析接続の話、埌者は極限の話

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たた、はちべえさんの論理に察しお指摘を1぀。
はちべえさんは「有限回の蚈算では閉じおいる凊理が、無限回では閉じなくなるこずがある」ず理解しおいるわけですよね。
で最埌に9を付け足すずいう凊理を繰り返したずきに、有限回の凊理では小数点の前の数が必ず0のたた保たれるのに察しお、それを無限回やったら小数点の前の数字は0ずは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは䜕を論拠にそれが0のたたずしおいるのでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さん、私は、
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
䞡蟺を10-1でわるず、
x=1

この蚈算の、10倍したものから匕いお、0.999・・・が消えるずいう蚈算に疑問があったのです。
0.999・・・を桁移動しおも、無限だから、小数郚が、倉わらないずいうこずを代数蚈算で、吊定したのです。

少なくずも、小数蚈算は、原則ずしお末䜍から行うもので、無限だから、末䜍はありえないので、この蚈算はできないず指摘しおいるWebもありたす。

それもあったので、代数蚈算でやっおみたら、x=aは、n倍しお匕いおも、x=aであり、aの小数蚈算が䞍芁であるこずが、瀺されたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、はじめたしお。

はちべえさんは「有限回の蚈算では閉じおいる凊理が、無限回では閉じなくなるこずがある」ず理解しおいるわけですよね。

これは、どこの話でしょうかたくさん連投したもので、すみたせん。
バヌれル問題でしょうか

で最埌に9を付け足すずいう凊理を繰り返したずきに、有限回の凊理では小数点の前の数が必ず0のたた保たれるのに察しお、それを無限回やったら小数点の前の数字は0ずは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは䜕を論拠にそれが0のたたずしおいるのでしょう

これも、どこの話でしょうかひらめきが悪くおすみたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月25日 20:17)

䞊はバヌれル問題のずころの話ですね。
単なるはちべえさんの理解の確認皋床です。

䞋はNo253の話です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1 の倀に぀いおの十進衚珟ずしお自明な 1 ず非自明な 0.99999
 ずがあるこずに぀いお話題になっおいるようですね。
実のずころ、1 の倀に぀いお 2 通りの十進衚珟を蚱容するこずが暙準的なモデルずなっおいたすのでなんら問題なしずしたいずころではありたす。

十進に限らなければ、たったの2通りでは枈たないこずもありえたす。

黄金比を q で衚すこずずしたす。
ここで『1 の q進衚珟』に぀いおさたざたな衚珟を列挙したく存じたす。

いた、衚珟の埪環郚を()で囲むこずずいたしたす。
泚:10進衚珟で()の䜿い方わ䟋瀺したすず、
1/3=0.(3)
ですし、
1/7=0.(142857)
ずしたす。
本圓は埪環郚の始めず終わりの桁の数字の䞊に「・」を曞きたいのですが、今回は諊めるこずずし、()で代甚したす。

話を戻したす。1の黄金比進衚珟をいく぀か䞊べたす。

1
1.(0) →無限小数
0.(10) →無限小数
0.11
0.1011
0.101011

この他にも倚数ありたす。(䞊の䟋では可算無限個の衚珟がありたすね

以䞊、十進に限らなければ、たったの2通りでは枈たないこずもありえる、ずいうお話をしたした。

なお、前回に投皿した Komornik-Loreti 定数を基数ずした衚珟を取りたすず、1 の倀の衚珟ずしお非自明なものは、投皿枈みのあの衚珟のたったの個しかないそうです。

もっず驚くべきは、 基数を䞊手に遞べば、1の倀の衚珟が【非】可算無限個存圚するこずもある、ずいう  

以䞊は
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を参考にしおおりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

耇玠数の底力

「円円Oに内接する四角圢ABCDでAC⊥BDのずき、察角線の亀点を通る線分がず垂盎のずき、ずずの亀点はの䞭点である。」
ブラマグプタの定理ず円に内接しおなくおも䌌た定理が成り立぀。
「PAPD,PBPCのずき、四角圢ABCDでAC⊥BDのずき、察角線の亀点を通る線分がず垂盎のずき、ずずの亀点はの䞭点である。」
Pを原点ずし、Aα、Bβずおくず、PA,PBを回転し、
Cβi、D-αi、Mαβ/2ず眮くこずができる。
CD方向は、βαiなので、PMは、CDの垂盎である。
この結果を、䜿っお、ABCDが円に内接する堎合は、
PA,PBの盎線䞊に、PA’PD,PB’PCずなるようにA’、B’をずれば、
A’、B’の䞭点M’ずすれば、PM’は、CDず垂盎になる。
䞀方、△PAB∜△PDCなので、PAPDPBPC
PA/PA’PB/PB’である。
△PAB∜△PA’B’ ぀たり、ABずA’B’平行であるので、
盎線PM’は、ABの䞭点Mを通る。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玠数の問題

ありがずうございたす。
玠数の和の問題は、反䟋が、ただ、芋぀かりたせん。
うたい探玢法が、芋぀かれば、いいですけど。
他に、「玠数PずPの間にある、玠数の個数は、増加関数である。」
は盎ぐに芋぀かりたした。
「Pの玠因数の皮類は、を陀くず、たかだか、皮類以䞋である」
これも、今、芋぀かりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月22日 11:12)

玠数の問題

以䞊の玠数は、二぀の玠数の奇玠数の和から、を匕いお衚せる。
䟋えば、、など
反䟋がみ぀かりたすか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月17日 17:09)

「3以䞊」でよいず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「玠数の奇玠数」の意味がよくわかりたせん玠数番目の奇玠数ずかのタむポかなあず思いたすがが、
仮に奇玠数を党郚䜿っおよい堎合でさえ「3以䞊」だず3が反䟋になるのでは

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、奇玠数だったんですね。倱瀌したした。

# ずいうか、奇玠数に限る必芁はないず思いたすけどね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ksさんの問題の仮定に加えお、《その二぀の奇玠数のうち「少なくずも䞀぀」は「双子玠数の片割れ」ずするこずができる。》

こちらには反䟋があるでしょうか。












このあたりたでは双子玠数の片割れないし䞡方が右蟺に顔を出すようにできるようです。

もっず巊蟺が倧きい堎合にはどうでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

確かに、なのですが、は、唯䞀偶数の玠数で、
特別この時以倖は、䜿わないので、奇玠数奇玠数ヌの堎合だけにしたした。あず同時に、
姉効線、以䞊の奇玠数は、奇玠数のべき乗数で衚せる
こちらは、すぐに芋぀かりたした。最小数は
謎の倚い玠数が、簡単な匏で衚せるほど、甘くはないず、
単玔な匏では、うたく反䟋があるずは思いたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月19日 10:00)

反䟋ずなる最小の奇玠数は、ですね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

さんからのコメント:
《以䞊の玠数は、二぀の奇玠数の和から、を匕いお衚せる。》に぀いお、これに反䟋があるかどうかに぀いおは
ゎヌルドバッハ予想に぀いお参照すれば参考になろうかず存じたす。

《その二぀の奇玠数のうち「少なくずも䞀぀」は「双子玠数の片割れ」ずするこずができる。》に反䟋があるかどう
かに぀いおは 、OEISの「A295424」 Number of distinct twin primes which are in Goldbach partitions of 2n
が参考になりたす。

匕甚したす。
”Conjecture. Further empirical examinations lead to a hypothesis that all even numbers n  4 have at least 1 twin prime in GP(n).”

以䞊ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月22日 05:37)
合蚈305件 (投皿72, 返信233)

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