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355,087

の倍数

倧きな数の堎合、四ケタず぀区切り、四぀数の、奇数番目の和ず偶数番目の和を
匕いお73で、割れる時、およびで割り切れるこずが、分かりたした。
000×
のずきは、ケタず぀ですが。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月08日 19:12)

連続する玠数の䞀぀の珟象

玠数5以䞊の玠数p1ならその数を末尟に持぀ものの䞭で次の玠数p2で割り切るものが必ず存圚する。
p1=5なら
15,25,35,45,,105,・・・,175,
などが候補で、この䞭で次の玠数で割り切れるのは
35,105,175,245,315,等が芋぀かる。
そこでこの䞭の最小倀の35に泚目する。

p1=7ならp2=11で割り切れるものずしお
77,187,297,407,なので77を遞ぶ。

こうしお各玠数p1に察する末尟にp1を持ち、しかも次の玠数p2で割り切れる最小の敎数が取れお行く。
こうしお芋぀かる最小の敎数の和が
5≩p1≩100000
の範囲で䜕になるかを求めお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

22405801611641
で合っおいたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

224たでは合っおいるず思われたすがその先からは異なっおいるようです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

合っおいない理由がわかりたした。
5≩p1≩100000 ではなく
5≩p1p2≩100000 で蚈算しおいお
(p1,p2)=(99991,100003)の分が抜けおいたためず思われたす。
修正したら以䞋のようになりたした。
5≩p1≩10: 112
5≩p1≩100: 69155
5≩p1≩1000: 36941222
5≩p1≩10000: 27951351491
5≩p1≩100000: 22415801611632
5≩p1≩1000000: 18613426663617118
5≩p1≩10000000: 15837879736548209451
5≩p1≩100000000: 13817330053429013602371
もしこれでも違っおいるようでしたら、どこたで合っおいるか教えお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月06日 00:21)

5≩p1p2≩100000 で蚈算しおいお
(p1,p2)=(99991,100003)の分が抜けおいたためず思われたす。

あヌなるほど

党郚合っおいたす。
お芋事です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞀般化されたグラスマン数

䞀般化されたグラスマン数に぀いお、英語版のWikipedia(https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number)のGeneralisationsの項で蚘茉がありたす。
グラスマン数には、反可換性ずいっお、2぀のグラスマン数Ξ1,Ξ2に぀いおΞ1Ξ2+Ξ2Ξ1=0が成り立ち、特にグラスマン数にはΞ^20ずいう冪零性がありたす。n個のグラスマン数から成るグラスマン代数では2^n個の基底が含たれ、2^n×2^n行列で衚珟されたす。
䞀般化されたグラスマン数は、Ξ^N0(N>2)で、Ξ_{i1},Ξ_{i2},...,Ξ_{iN}の積の党おの順列の総和に぀いおΞ_{i1}Ξ_{i2}...Ξ_{iN}Ξ_{iN}Ξ_{i1}Ξ_{i2}...0が成り立ちたす。
Wikipediaでは特にΞ^30の堎合が取り䞊げられおいお、Ξ1,Ξ2の2぀の䞀般化グラスマン数を含む代数は10×10行列で衚珟されるそうですが、Ξi^30(i=1,2)の堎合は、WikipediaにあるΞ1Ξ2^2+Ξ2Ξ1Ξ2+Ξ2^2Ξ10ずいう条件、および、Ξ2Ξ1^2+Ξ1Ξ2Ξ1+Ξ1^2Ξ20ずいう条件を課すだけでは基底が無限個になっおしたい、(Ξ1Ξ2)^3(Ξ2Ξ1)^30ずいう条件をさらに課しおも基底は23個ずなりたす。基底が10個ずなるには、WikipediaにあるΞ1Ξ2^2-(1/2)Ξ2Ξ1Ξ2Ξ2^2Ξ1ずいう条件、および、Ξ2Ξ1^2-(1/2)Ξ1Ξ2Ξ1Ξ1^2Ξ2ずいう条件をさらに課す必芁があり、このずき、10個の基底は1,Ξ1,Ξ2,Ξ1^2,Ξ1Ξ2,Ξ2Ξ1,Ξ2^2,Ξ1^2Ξ2,Ξ2^2Ξ1,Ξ1^2Ξ2^2で衚されたす。
Ξ1Ξ2^2-(1/2)Ξ2Ξ1Ξ2Ξ2^2Ξ1ずいう条件、および、Ξ2Ξ1^2-(1/2)Ξ1Ξ2Ξ1Ξ1^2Ξ2ずいう条件はどのように導き出されたのでしょうか。
Ξi^30(i=1,2)の堎合の䞀般化グラスマン代数は10個の基底をもちたすが、Ξi^30(i=1,2,3)の堎合、および、Ξi^40(i=1,2)の堎合は䜕個の基底があるのでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

よっぜど酔狂な人のための問題

同じ倧きさの正六角圢の板を100䞇個䜜っおおく。
各板の䞭倮に1から順番に100䞇たでの数字が
曞かれおいるものずする。
そのピヌスを次の様に䞊べお行くものずする。
1ず曞かれたピヌスをたず䞭倮に眮く。䞊䞋に平行線がある様にしおおく)
時蚈の12の䜍眮から反時蚈呚りに倖偎に2,3,4,5,6,7ず曞かれたピヌスを
蟺に合わせお眮いおいく。
次に、たた12時の䜍眮から2の番号のピヌスの䞊になる同様に2呚目ず
なるように数字の8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19のピヌスを1週目
の各ピヌスの各蟺に揃えお反時蚈呚りに眮いおいく。
これを繰り返し100䞇個のピヌスがハチの巣状に眮かれた巚倧なものが
出来䞊がる。(想像だけにしお䞋さい。実際䜜らないよう・・・)

これで各ピヌスはどれも呚りを6぀のピヌスが取り囲んだ状態䞀番倖偎は䟋倖ずなりたす。)
なので次に䞭倮の数字ずそれを取り囲んでいる6個のピヌスの数字の関係に着目する。
䟋
䞭倮の数字が
ならその呚りには2,3,4,5,6,7がいる。
そこで各呚りず䞭倮の数字の差をみるず
1,2,3,4,5,6なのでこの䞭には2,3,5の3個の玠数が発生する。
次に䞭倮の数字が2
ならその呚りには
8,9,3,1,7,19がいるこずになるので、その差は(絶察倀で凊理)
6,7,1,1,5,17よりやはり7,5,17の3個の玠数がずれる。
䞭倮の数字が3
なら呚りは
9,10,11,4,1,2の数字なので差は
6,7,8,1,2,1より今床は玠数は2個ずなる。
いろいろ詊しおおれば珟れる玠数の数は最倧が3個たでで、それ以䞊は発生しない。

なお䞭倮が8なら呚りは
20,21,9,2,19,37の数字のピヌスなので差は
12,13,1,6,11,29でこれも3個の玠数が発生しおいる。


さおここで問題です。
䞭倮のピヌスず回りの6個のピヌスずの差が3個の玠数を発生させるものはこの巚倧な
配列に䜕個存圚しおいるでしょうか
たたその䞭で䞭倮の数字も玠数であるものはいく぀あるでしょうか
䞊蚘の様に8は3個の玠数は発生させるが8自䜓は玠数でないのでカりントされたせん。)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月27日 19:56)

党郚で79個、そのうち䞭倮も玠数であるものは16個でしょうか。
呚りに6個揃っおないものはどうするのかず思ったのですが、
6個揃っおないもので玠数が3個あるものはないんですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

酔狂界のラスボスらすらるさん正解をたちどころに掎めるずは流石です。

始めやり方が党く掎めず、本圓にこのモデルを党郚䜜っおみようかず思う䜍
頭の䞭が混乱しおいきたした。
ずにかく玠数を3個発生させるものを手䜜業で芋぀けおいくず1,2,8,19,20
たでは䜕ずか探し出せたんですが、次がなかなかいない。
仕方なく5呚取り囲むたでの倧きさに拡倧しおみるずやっず61が芋぀かった。
それたでは連続的に21,22,23,,60を䞭心ずしお調べお来おいたので
61で3個になったのは本圓に久しぶりな事だったので感激した。
ここたで手䜜業で探しはしたもののこの先これを続ける気力が出たせんでした。

でも他にどんな手があるのか
あるピヌスを取り囲んでいる6個のピヌスにはどんな繋がりが数匏で衚珟できるのか
もうこれを䜜っおみたら今たでの手䜜業が党お自動化できるぞず䜕時間もその匏
造りに悩み続けた。
これが党く手掛かりが出来ない。どんなピヌスを遞んでも呚りの6個のピヌスに曞かれお
いる数字は本圓に気たぐれで䞊んでくるし本圓は芏則的にやっおきおはいるが
これを匏で衚珟しようず思うず頭が混乱しおくる。)
もうお手䞊げ状態でした。

ふず芋぀かった番号を赀く塗っおがんやり眺めおいるず、なんか巚倧なハチの巣の
いたる所ずいうよりは䜕か真䞊に䞀盎線、もしくはその右暪にも䞀盎線に䞊ぶんでは?
(それたではただ芋぀かった数字だけの意味しかなく、その堎所には無頓着だった。)

぀たり探すべき堎所はあらゆるずころを満遍なく探すのではなく、この郚分を集䞭的に
調べれば䜕ずかなるず・・・
冷静に考えおみれば数字の眮き方が12時の䜍眮からスタヌトさせお、その埌は連続的に
数字が取り囲んでいき取り囲み終わったら次の数をたた12時の䜍眮ぞなので蚀っおみれば
ここで連続ずいう構造が䞀旊砎れるこずが発生する堎でもある。
぀たり連続同志が隣り合うほずんどの堎所では玠数が3個も発生する構造は起きず
その歪を持぀12時方向ずその右暪での䞀盎線䞊では逆にその歪のお陰で玠数を3個
発生させる可胜性があるのだず思えた。

さおここからが再び戊いが始たりたした。
12時方向に䞊ぶ数は匏で䜜れたした。
埓っおその䞀぀の呚りを取り囲む6ピヌスの匏をどの様にしたらいいのだろうか
いやヌあれこれの詊行錯誀埌にn呚目の12時方向にいるピヌスを取り囲む
6ピヌスの数字をの関数で䜕ずか衚すこずに成功したした。

これずはたた別に䞊蚘の䞭心の右䞋にくっ付いおいるピヌスが今床は䞭心ずなる
回りの6ピヌスも候補であるのでこれも呚りに来る6個の数字をやはりnの関数で
衚珟し、これで䜕ずか手䜜業でやっおいたものを自動化できそうな芋通しが付きたした。

プログラムをこれらの材料も元に぀なぎ合わせ走らせおみたら61の次は䜕ず128
次は217ずずおも手䜜業では届かない範囲のものが次々ず芋぀かっおきたした。

改めおこの問題を六角圢で仕蟌んで考えさせおいる意味がずおも面癜く珟れる
玠数が3個の状態が歪の2方向に集䞭しおしたう察応が興味を匕きたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数の創成

たでの数を䜿っお、
四則挔算ず()により、10を創るおなじみの問題です。
できない堎合もありたすが、「䞀぀だけ、奜きな文字数に
倉えれば、可胜になる。」
䟋えば、000→0091、9998→998
䜆し、文字数が、123文字の堎合、䞀぀文字を生んでよい。
䟋えば、だけの時、9を生んで、910です。
「」は、真か停か

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数の連結がNGならば、0000は䞀぀倉えおも䞍可胜です。
蚀い換えれば、3文字で「000」のずき䜕を远加しおも䞍可胜です。
連結がOKならば必ず䜜れるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月25日 12:59)

ABC予想を思い起こしお

䞀時期ABC予想が望月新䞀氏によっお蚌明されたず隒がれ、しかしそれを粟査した
確かショルツェなどず感情的な察立が起こり䞖界的には承諟ずはならないずいう隒動が
今どの様になっおいるかは知る由もないが数孊に呜を懞けおいる人には、心の
琎線に觊れるず爆発的怒りが起こるものず想像される。
しかし和ず積の根本的な違いを思い知らせるABC予想には興味深いものがある。

定矩によるず
aずbが互いに玠であり、か぀a+b=cを満たす自然数の組(a,b,c)をabc-triple ず呌び、
䞍等匏 c>(rad(a*b*c))^(1+ε) を満たすabc-triple が無限個に存圚するような正の実数 ε>0
は存圚しない。
なおrad(n)はnの玠因数のうち盞異なるものの積を衚し根基関数ずも呌ぶ。

ずある。
そこでずりあえずc>rad(a*b*c)が起こるabc-tripleを探しおみるず
(a,b,c)=(1,8,9)なら
gcd(1,8)=1でrad(a*b*c)=rad(72)=rad(2^3*3^2)=2*3=6 ここに9>rad(a*b*c)=6 を満たすので
るabc-tripleの条件を満たしおいる。
同じく
(a,b,c)=(5,27,32)も
gcd(5,27)=1でrad(a*b*c)=rad(5*3^3*2^5)=5*3*2=30 より32>rad(a*b*c)=30 を満たし
これもabc-tripleの条件を満たす。
たた䞭には
(a,b,c)=(1,80,81);rad(a*b*c)=rad(1*2^4*5*3^4)=2*3*5=30
(a,b,c)=(32,49,81);rad(a*b*c)=rad(2^5*7^2*3^4)=2*3*7=42
の様に同じcでも2通りの構成が可胜なものも発生する。
こうしおc<1000たででのabc-tripleを探しおいくず党郚で31個の組合わせが芋぀かり
ちょっずしたプログラムを組めば短時間で探せたす。)
そこに珟れるcの合蚈をずるず(䞊蚘の様に81は2回合蚈するこずになる。それは12523
ずなりたす。

ここたではちょっずした蚈算機ずプログラムで可胜です。
では
c<120000 たでにずれるabc-tripleでcが珟れる䞭には䜕床も顔を出すものも出る。)すべおのの倀の合蚈は劂䜕に

ずなるず前のプログラムではいくら時間が有っおも無理じゃない
ず぀い思っおしたう。
そこを䜕ずかこれを超えお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月23日 09:03)

答えは
456通り、cの合蚈18407904
で合っおたすか
もし合っおいるなら、c1000000では
1268通り、cの合蚈390980551
になるかず思いたす。
# c120000で5秒、c1000000で6分半なので、c10000000たではやる気があればいけそうです。

(远蚘)
怜玢しお答えを芋぀けたした。合っおいるようですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月23日 13:42)

5秒ですか
これはOEISには茉っおないですよね。
10^7の結果は10830240243ず出たのですが、合っおいるのか確かめようがないです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

茉っおいないみたいですね。
これから倖出で今すぐは無理ですが、今日の倜にでも蚈算しおみたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

遅くなりたしたが、確かにc10^7ずなるcの合蚈は10830240243ずなりたした。
3499通りはOEISに茉っおいる倀ず䞀臎しおいたすので、これで正しいず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

四角圢の面積の公匏

ヘロンの公匏S(s-a)(s-b)(s-c)
の拡匵ずしおブタヌマグプタの公匏がありたす。
S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)  d=0 ずすれば、埗られたす。
これは、内接四角圢の堎合ですが、
内接しない四角圢に぀いお、ブレヌトシュナむダヌの公匏
S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)ヌabcdcos^2(A+C)/2

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

凞四角圢の堎合、四角圢ABCDずしお、
蟺ABの䞭点をE,BCの䞭点をF,CDの䞭点をG,DAの䞭点をHず眮きたす。
点Eず点Gをを結んだ線分䞊に、Fから垂線の足をP、点Hからの垂線の足をQずしたす。
するず、裁断しお、四角圢AEQHをEを䞭心に、四角圢HQGDを䞭心に回転し
長方圢ができ、
四角圢ABCDの面積SEG・HQEG・FPEGHQFP
を知り、感動したした。
裁断により、正䞉角圢を正方圢にするこずも、すごいですね!

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

長方圢は出来ない

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

おじゃた虫

小孊幎生の、おじゃた虫
「九九の研究」

九九の衚には個の答えがあるが、
重耇しおいるものを消すず個になる。

の䞭で、
九九の答に無いものは個

これは偶然の䞀臎

スピリチュアルの江原啓之さん曰く。
この䞖には偶然はなく党お必然に起こる。
私の頭がボケおるだけ

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人様

お恥ずかしいぃ。。。

私は九九の衚を斜めに、玄、真っ二぀にしただけでした。
正確には個でしたね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

今曎ながら・・・・・

私の衚珟の仕方が悪かったです。
【九九の重耇】の意味は
䞋蚘のような、答えの重耇ではなく



「匏の重耇」を意図ずしおいたした。


これらを1通りず考えるず個になり、
九九の答えに無い数字の個数個ず同じになる。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

盞乗平均ず敎数

æ•Žæ•° a, b, c (ただし 0 < a < b < c) に察し、a の平方ず c の平方の盞乗平均が b の平方ずなる、すなわち

√(a² · c²) = b²  
たたは同じこずですが
a² · c² = b⁎

を満たす敎数解は、たずえば a, b, c が等比数列の堎合などから容易に芋出すこずができ、無数に存圚したす。

これを螏たえ、次の問題に぀いお怜蚎しおください。

æ•Žæ•° a, b, c (0 < a < b < c) においお、a の平方から 1 を匕いた数ず c の平方から 1 を匕いた数の盞乗平均が、b の平方から 1 を匕いた数ずなる、すなわち

√((a² – 1)(c² – 1)) = b² – 1  
たたは同じこずですが
(a² – 1)(c² – 1) = (b² – 1)²

を満たす敎数解は、無数に存圚するのでしょうか

※ひず぀の䟋ずしお、
(577² – 1)(3363² – 1) = (1393² – 1)²
を挙げおおきたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月16日 22:55)

GAI さん颚の出題を志向しおおりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

a[1]=3, a[2]=7, a[n+2]=2a[n+1]+a[n] ずいう挞化匏により
3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 
 (A001333)
ずいう数列が生成されたすが、このずき
(a[2n-1]^2-1)(a[2n+1]^2-1)=(a[2n]^2-1)^2
が成り立ちたす。
# これは (a[2n])^2=a[2n-1]a[2n+1]-2 ず a[n+2]=2a[n+1]+a[n] から瀺せたす。
埓っお解は無数にありたす。
なお、䞊蚘に含たれない
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2
など存圚したすので、䞊蚘は党解ではありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん 瞬殺、お芋事です。

こい぀ら、興味深いですが難物そうですね。
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月17日 07:14)

ある調査の方法ず結果

連続する平方数の和で回文的数(前からも埌ろからも同じ数字ずなるもの)を䜜るこずを考えおみる。
䟋
9^2+10^2=181
11^2+12^2+13^2=434
6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2=595


などなど数倚くの回文的数が構成できる。
そこで
この回文的数の倧きさが10000000以䞋であるものずする条件のずき
その構成方法が2通り存圚するその回文的数は䜕があるか
たたその構成方法を具䜓的に瀺しお䞋さい。


䜕気に調査をしお行ったら、結構プログラム的に混乱しおいき、思ったより手間取っおしたいたした。
同じ数が誰かが芋぀けおもらえるか興味が湧いたので出題しおみたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月16日 13:37)

10000000以䞋では554455ず9343439の2個でしたが、
「10000000以䞋」を
「100000000000000以䞋」にしおも1個しか増えたせんでした。
9^2+10^2+
+118^2 = 554455
331^2+332^2+
+335^2 = 554455
102^2+103^2+
+307^2 = 9343439
657^2+658^2+
+677^2 = 9343439
2967^2+2968^2+
+14087^2 = 923222222329
42462^2+42463^2+
+42967^2 = 923222222329

(远蚘)
答えが↓ここにありたした。
https://oeis.org/A267600

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月16日 16:17)

昚幎からProject Eulerの問題をproblem1 から順番にプログラムの緎習にず解いおいお
https://projecteuler.net/about
problem=125にPalindromic Sumsのテヌマの問題にhttps://projecteuler.net/problem=125
圓たっおいた。
いろいろ苊劎しながら3日䜍かけやっず
the sum of all the numbers less than 10^8
that are both palindromic and can be written as the sum of consecutive squares.
の倀を算出し答え合わせをするず間違っおいるずの結果をもらう。
いくら芋盎しおもどこが間違っおいるかがどうしおも分からず、䜕時間も悩み゚クセルに芋぀けた
その回文的数を貌り付け(168個存圚)どこに芋萜ずしがあるのか悩んでいた。
ふず重耇しおいるかもの疑問を持ち重耇する倀があるのかをコマンドの機胜を利甚するず
なんず2か所で印が付くではないか
それは同じ倀が2぀の䜜り方が存圚しおいるこずを瀺しおいるこずに盞圓し、その重耇した倀を
それぞれ削陀し、もう䞀床合蚈数を求めその倀で尋ねたらやっずのこずで正解の返事をもらった。
(168個もあったので重耇しおいるこずが党く芋えおいなかった。)

この経隓を元に問題を䜜り尋ねたこずでした。
これ以䞊の重耇があるずは思えたが、今たでかかった時間を考えるず先に進む勇気が出なかった。
OEISのA267600にそれが茉っおいるずは䞖の䞭誰かが調べおいるものですね。
a(4) > 10^18, if it exists
のメモを芋るだけでもう腰が匕けおしたいたす。

これを短時間で芋出すらすかるさんの手腕に敬服です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈2439件 (投皿424, 返信2015)

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