😊出会いの泉😊

10^14!=10^(14!)という解釈で正しければ、0の直前は1だけです。
（Pari/GPでも10^14!=10^(14!)と解釈されます）
もし(10^14)!ならば・・・今ちょっと忙しいので後で気が向いたら計算してみます。

おー失礼しました。
N=（10^14)!でお願いします。

プログラムにバグがなければ、76だと思います。
N=(10^k)!としてk=1～36に対して以下のようになりました。
88, 64, 72, 08, 96, 44, 88, 76, 44, 12,
08, 76, 76, 76, 76, 68, 52, 76, 88, 08,
92, 04, 92, 52, 88, 92, 36, 12, 16, 44,
64, 56, 16, 84, 32, 48

おープログラムでk=36までの超巨大数まで判明可能なのですか！
N=（10^14)!に対して手動で(少し面倒な計算は計算機に任せてもよい。)
進める戦略はとれますか？

「k=36まで」は、そこらへんまでなら多倍長演算せずに簡単に計算できるから
36で終わりにしただけで、多倍長演算を行えば計算時間的にはk=1000でも可能です。

具体的には以下のように計算しています。
n=2^a[n]・5^b[n]・c[n] （c[n]は奇数）として
a=Σ[n=1～N]a[n], b=Σ[n=1～N]b[n] とします。
a,bの計算は「2026!の末尾に0がいくつ続くか」などの問題で
使う方法で簡単に求められますね。
そして求めたいのは
2^(a-b)・Π[n=1～N]c[n] を100で割った余り
ですから、これをすべてmod100で計算すればOKです。
2^k % 100は先頭の2個を除き周期20でまわりますので
N≧8であれば
76 52 4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88
という配列d[20]のd[(a-b)%20]をとってくれば終わります。
Π[n=1～N]c[n]の方は
1～Nの中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2^2/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2^2/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2^x/5^y]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
のすべての積をmod100で求めればよいわけですが、
(1～100で末尾1,3,7,9の数の積)%100=1ですから、
(1～Mの中の末尾1,3,7,9の数の積)
≡(1～M%100の中の末尾1,3,7,9の数の積) (mod 100)
であり、これもさっきと同様に
1 1 1 3 3 3 3 21 21 89 89 79 79 27 27 27 27 59 59 21
21 41 41 43 43 43 43 61 61 69 69 39 39 87 87 87 87 19 19 41
41 81 81 83 83 83 83 1 1 49 49 99 99 47 47 47 47 79 79 61
61 21 21 23 23 23 23 41 41 29 29 59 59 7 7 7 7 39 39 81
81 61 61 63 63 63 63 81 81 9 9 19 19 67 67 67 67 99 99 1
という配列e[100]のe[M%100]をとってくるだけで各行の計算が終わります。
（もちろんd[20]とe[100]は固定配列でなく、プログラムで計算して作っています）
結局e[100]から各行の値をとってきたものと上の方のd[(a-b)%20]を
すべてmod100で掛ければ終わりです。
具体例としてk=4(N=10000!)の場合は
1～10000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～2000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～400の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～80の末尾1,3,7,9の数の積=e[80]=81
1～16の末尾1,3,7,9の数の積=e[16]=27
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～5000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～1000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～200の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～40の末尾1,3,7,9の数の積=e[40]=41
1～8の末尾1,3,7,9の数の積=e[8]=21
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～2500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～100の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～20の末尾1,3,7,9の数の積=e[20]=21
1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
1～1250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～50の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～10の末尾1,3,7,9の数の積=e[10]=89
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～625の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～125の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～25の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～5の末尾1,3,7,9の数の積=e[5]=3
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～312の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
1～62の末尾1,3,7,9の数の積=e[62]=21
1～12の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～156の末尾1,3,7,9の数の積=e[56]=47
1～31の末尾1,3,7,9の数の積=e[31]=39
1～6の末尾1,3,7,9の数の積=e[6]=3
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～78の末尾1,3,7,9の数の積=e[78]=39
1～15の末尾1,3,7,9の数の積=e[15]=27
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～39の末尾1,3,7,9の数の積=e[39]=41
1～7の末尾1,3,7,9の数の積=e[7]=21
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～19の末尾1,3,7,9の数の積=e[19]=21
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～9の末尾1,3,7,9の数の積=e[9]=89
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
そして
a=5000+2500+1250+625+312+156+78+39+19+9+4+2+1=9995
b=2000+400+80+16+3=2499
d[(9995-2499)%20]=d[16]=36
なので、求める2桁は
81×27×3×41×21×21×3×49×49×49×89×43×43×43×3×79
×21×79×47×39×3×39×27×3×41×21×21×3×89×3×36≡8 (mod 100)
（長くなりますので×1はすべて省略しました）
から「08」とわかります。

参考: k=1～1000の範囲の値
88 64 72 08 96 44 88 76 44 12 08 76 76 76 76 68 52 76 88 08
92 04 92 52 88 92 36 12 16 44 64 56 16 84 32 48 52 96 64 56
64 12 44 64 92 08 88 04 44 52 96 76 24 24 08 48 84 16 12 92
44 84 52 44 16 92 04 64 64 92 72 16 88 96 76 04 12 12 84 84
12 48 48 72 56 92 96 32 32 36 32 52 28 56 32 52 04 96 36 16
92 52 36 72 84 76 92 56 92 88 92 44 12 72 64 08 24 92 04 44
92 84 88 76 84 12 32 92 84 88 08 28 08 72 84 64 52 64 04 28
76 12 24 56 72 56 52 48 64 64 08 44 52 24 56 48 04 88 96 84
48 68 08 28 32 28 64 56 96 28 48 56 56 16 92 12 04 16 48 96
44 76 84 52 36 88 12 64 92 44 84 04 36 92 24 84 48 36 48 96
56 28 36 92 84 36 24 96 12 88 24 72 84 16 12 48 68 36 48 64
48 84 08 56 68 84 36 32 48 84 72 64 92 04 52 44 88 68 12 12
08 24 24 84 04 76 16 88 36 16 36 12 72 52 32 88 88 36 52 08
52 96 32 96 64 76 96 72 16 12 48 08 72 96 64 68 64 96 16 36
44 56 24 56 08 52 96 76 92 32 84 84 76 28 84 84 64 68 56 64
04 48 44 72 16 48 64 88 64 24 56 24 64 64 76 32 64 84 96 16
76 68 56 48 92 48 76 36 28 12 64 88 88 16 04 64 96 64 16 96
64 88 96 96 48 08 48 12 92 56 12 04 36 32 48 64 28 08 56 36
56 72 84 08 64 32 84 12 56 52 12 92 92 08 08 08 04 56 92 88
12 96 84 96 24 76 16 48 28 88 72 28 64 72 24 12 12 92 64 64
68 76 12 28 88 16 36 68 16 56 52 44 08 12 64 32 44 72 32 24
64 56 64 52 16 52 36 52 64 16 48 88 84 92 48 92 92 08 08 48
92 76 64 68 96 04 12 44 48 48 48 28 24 88 84 96 96 96 72 64
72 92 24 88 16 32 16 32 52 24 68 08 16 04 92 48 36 48 68 04
16 12 64 36 88 76 68 88 84 24 32 84 88 44 04 84 64 92 52 48
68 48 16 52 68 72 32 96 32 28 48 48 24 36 76 68 12 36 36 76
36 96 16 76 48 44 08 96 96 72 28 92 44 28 08 68 64 44 48 36
32 72 32 68 52 16 32 12 28 76 36 36 52 88 72 24 76 64 32 48
56 84 12 36 88 68 56 92 56 84 72 64 96 48 92 48 76 44 36 92
04 64 52 12 92 68 84 68 92 64 84 84 92 72 48 68 68 12 36 32
04 96 92 92 56 72 04 96 04 32 16 08 88 68 92 48 56 72 24 44
84 24 28 16 92 16 88 84 88 24 44 44 16 48 08 28 88 96 88 96
48 12 68 52 88 48 56 08 12 16 12 72 84 84 28 16 68 96 08 44
72 48 76 68 32 72 24 36 04 48 64 64 56 52 56 08 52 24 92 08
56 12 16 68 96 84 08 84 88 72 96 12 16 64 08 08 08 44 52 48
72 76 28 72 32 24 24 08 16 44 52 68 24 56 04 88 36 36 08 88
52 16 44 12 52 16 96 64 84 12 84 92 76 52 08 76 72 04 16 72
64 88 96 88 68 76 08 28 36 84 32 04 96 68 76 84 96 68 72 48
64 44 32 96 72 32 28 24 24 84 12 92 44 32 32 08 48 04 84 96
84 96 52 64 44 16 04 12 92 12 04 32 32 04 08 88 52 36 92 72
32 36 88 84 04 08 52 64 48 16 68 68 28 32 72 28 32 28 84 56
64 52 76 92 48 08 24 88 64 32 56 72 32 88 96 96 64 72 64 68
56 08 24 68 44 16 52 88 04 08 08 32 04 08 52 24 76 12 16 12
76 48 16 36 88 92 48 32 92 68 76 56 84 04 72 48 84 04 64 88
16 28 44 12 24 12 32 68 52 16 76 52 36 52 92 76 04 76 28 56
72 96 16 64 44 84 28 52 76 08 64 76 28 16 16 68 84 32 96 76
48 96 56 52 16 88 44 56 88 16 24 76 52 24 76 08 76 28 16 96
04 08 44 84 08 04 72 12 28 28 36 24 72 72 32 24 88 68 24 36
44 52 28 28 64 04 56 84 88 04 68 44 24 76 84 16 28 32 28 72
68 96 72 12 12 72 08 08 72 52 52 88 04 76 92 12 16 44 68 44

半径が整数で3個の格子点だけを含む円の方程式では
(x-3/5)^2+(y-4/5)^2=17^2
で3点(-13,11),(-2,-16),(16,8)のみが格子点

(x-1/5)^2+(y-3/5)^2=29^2
で3点(-23,18),(5,-28),(29,4)のみが格子点
などもありますね。

5個の格子点のみ含む円の方程式を探しているのですが中々見つかりません。

(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^0)^2 → 1個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^1)^2 → 3個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^2)^2 → 5個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^3)^2 → 7個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^4)^2 → 9個
・・・
となるようですが、証明はわかりません。
※(13^9)^2 → 19個 まで確認しただけですので、それより大きい数でも成り立つかどうかわかっていません
※半径13^nのとき2n+1個ですが、半径13^n・17^mのとき(2n+1)(2m+1)個となりそうなこともわかっています。
※同様に、半径Πp[n]^a[n]のときΠ(2a[n]+1)個になるようです。ただしp[n]は13以上の4n+1型素数です。
※よって半径を13*17*29*37*41*53にすると3^6=729個になります。

# ちなみに、左辺の(x-1/5)^2+(y-2/5)^2を(x-3/5)^2+(y-4/5)^2や(x-1/5)^2+(y-3/5)^2などにしても、
# 円を(1/2,1/2)中心に回転またはy=xに関して対称移動するだけですので、個数は変わりません。

(追記)
上記の式では奇数個しか現れませんが、
1/5と2/5を1/13と5/13とか1/17と4/17などに変えると偶数も出てきます。
しかし偶数では13^nのような規則性は見つかりません（が、おそらく任意の偶数が現れると思います）。
（x^2+y^2=r^2でr=5^nとすると8n+4個になるらしいということだけはわかっています）
(x-分数)^2+(y-分数)^2の場合、分母は4n+1型の奇数、分子は2乗和が分母の2乗になるような組または
その回転・対称移動のバリエーションにしないとおそらく解なしになります。
(1/5,2/5)≡(4/5,3/5) → 4^2+3^2=5^2
(1/13,5/13)≡(12/13,5/13) → 12^2+5^2=13^2
(1/17,4/17) → 1^2+4^2=17^2

格子点数が奇数個となる場合の半径rはr≡1 (mod 4)を満たしているものとアタリを付けて
1000までの半径について検索し続けたら
r=13^2=169 の半径では方程式
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=169^2
には(-167,25),(-135,-101),(-23,-167),(86,146),(164,42)の格子点が存在
同じく円の中心を
(1/5,3/5)==>(-167,-24),(-135,102),(-23,168),(86,-145),(164,-41)の格子点
(2/5,4/5)==>(-167,24),(-101,136),(25,168),(42,-163),(146,-85)
(3/5,4/5)==>(-145,-85),(-41,-163),(-24,168),(102,136),(168,24)
とそれぞれ5個の格子点が存在でき
らすかるさんのコメントの様にこの円の中心の(x,y)座標を交換した(y,x)の円でも
格子点の座標は違ってきますがやはりどれも格子点は5タイプ存在していきます。

次に
r=17^2=289の半径でも上記の円の中心と同じものをもつタイプがありました。
r=5^2*13=325での半径では円の中心は
(1/17,4/17)
(1/17,13/17)
(4/17,16/17)
(13/17,16/17)ととればよさそうです。
r=5^2*17=425では中心は
(1/13,5/13)
(1/13,8/13)
(2/13,3/13)
(3/13/10,13)
(4/13,6/13)
(4/13,7/13)
(5/13,12,13)
(6/13,9/13)
(7/13,9/13)
(8/13,12/13)
(10/13,11/13)で
以下中心座標は省略しますが半径
r=13*53=689
r=5^2*29=725
r=29^2=841
r=5*13^2=845
r=5^2*37=925
なる円ではどれも円周上に5個の格子点が存在できました。

偶数個もありかなと思いましたがどんな偶数でもとなると？
の感想を持ちました。

中心の分数の分子の平方和は分母の倍数でもいいみたいですね。
(1/13,5/13) → 1^2+5^2=13*2
(1/13,8/13) → 1^2+8^2=13*5
(2/13,3/13) → 2^2+3^2=13
(3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。
# (2/13,10/13) → 2^2+10^2=13*8, (3/13,11/13) → 3^2+11^2=13*10
(4/13,6/13) → 4^2+6^2=13*4
(4/13,7/13) → 4^2+7^2=13*5
(5/13,12/13) → 5^2+12^2=13*13
(6/13,9/13) → 6^2+9^2=13*9
(7/13,9/13) → 7^2+9^2=13*10
(8/13,12/13) → 8^2+12^2=13*16
(10/13,11/13) → 10^2+11^2=13*17
これらの組合せは平方和が分母の倍数になる組合せと一致していますね。

偶数は、例えば中心を(1/17,4/17)とすれば
r=13: 2個
r=650: 4個
r=1625: 6個
r=2665: 8個
r=21125: 10個
r=9425: 12個
r=17225: 14個
r=47125: 16個
r=86125: 18個
r=122525: 20個
r=99905: 22個
r=397085: 24個
r=1665625: 26個
r=612625: 28個
r=1119625: 30個
r=2911025: 32個
r=348725: 34個
r=499525: 36個
r=1298765: 38個
r=1533025: 40個
r=2566525: 42個
r=269187425: 44個
r=46191925: 46個
r=1743625: 48個
r=3531125: 50個
のようにありますので、（44個のようになかなか見つからないものもありますが）
任意の偶数個になり得る気がします。

とりあえず奇数だけ。
偶数は根底から発想を転換する必要がありそうですね。


「円周上の格子点の個数が 2k+1 個である、半径が整数の円が存在する」

自然数 n に対して、それを2つの整数の平方和で表す方法の数を f(n) と書くことにします。

r を整数とし、原点中心の半径 5r の円の上の格子点を考えます。
全部で f(25r^2) 個ある格子点のうち、x座標とy座標がともに5の倍数であるものは f(r^2) 個あります。
x座標が0のもの、y座標が0のもの、x座標とy座標の絶対値が等しいものは、すべてこの f(r^2) 個の中に含まれます。
よって、残りの f(25r^2)-f(r^2) 個は、x座標の符号反転、y座標の符号反転、x座標とy座標の交換による、8個1セットになっています。

さて、この8個1セットですが、5の倍数でない平方数を5で割った余りは1か4しかあり得ないので、x^2 と y^2 の片方は余りが1でもう片方は4です。
つまり、これら8個は5を法として (±1,±2), (±2,±1) と合同なものが1つずつです。

したがって、原点中心の半径5rの円の上の格子点に、(x,y)≡(-1,-2) (mod5)であるものは {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個あります。
これをx軸方向に1、y軸方向に2並行移動してから、原点中心で 1/5 に縮小すると、半径 r で格子点が {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個ある円になります。

あとは、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 が任意の奇数 2k+1 を取れることを証明すればよいです。
r=13^k とすると、ヤコビの二平方定理より f(25r^2) = 12(2k+1), f(r^2) = 4(2k+1) なので、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 = 2k+1 となります。

以上により示されました。

> "らすかる"さんが書かれました:

> (3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。

あ～見直したら(3/13,11/13)とタイプするべきを(3/13,10/13)と打ってしまっていました。

6個の格子点を持つものが中々見つけられずにいたので途方に暮れていたら
らすかるさんからの情報でやっと手に入りました。
(これだけ半径を大きくしないといけなかったんですね。44個では途方もない大きさなんだ！)
格子点の座標とその方程式が以下のものでした。

Points: [[-1472, -688], [-847, 1387], [-211, -1611], [521, -1539], [714, 1460], [1578, -388]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 4/17)^2 = 2640625(=1625^2)
--------------------------------------------------

Points: [[-1472, 689], [-847, -1386], [-211, 1612], [521, 1540], [714, -1459], [1578, 389]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 13/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, 815], [-1094, -1201], [-69, 1624], [425, -1568], [1073, -1220], [1606, 249]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 8/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, -814], [-1094, 1202], [-69, -1623], [425, 1569], [1073, 1221], [1606, -248]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 9/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1611, 212], [-1539, -520], [-688, 1473], [-388, -1577], [1387, 848], [1460, -713]]
Equation: (x - 4/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1568, -424], [-1220, -1072], [-1201, 1095], [249, -1605], [815, 1407], [1624, 70]]
Equation: (x - 8/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1623, 70], [-814, 1407], [-248, -1605], [1202, 1095], [1221, -1072], [1569, -424]]
Equation: (x - 9/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625

(x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。
--------------------------------------------------

Points: [[-1459, -713], [-1386, 848], [389, -1577], [689, 1473], [1540, -520], [1612, 212]]
Equation: (x - 13/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

> (x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。

6個はないですが、
(-1596,305),(-636,-1495),(-601,1510),(919,-1340),(1434,765)
の5点が解になっていますね。

いくつか証明につながりそうな法則を見つけました。
(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2でrに対する通過格子点個数は
(1) r=5^k (k=0～13)のとき 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7
(2) r=13*5^k (k=0～11)のとき 2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18
(3) r=29*5^k (k=0～11)のとき 1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18
(4) r=41*5^k (k=0～11)のとき 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17
よって
(1)または(1)の半分(kが偶数・奇数のどちらか)が証明できれば
任意の自然数に対して成り立つことになります。
また(2)は0,2(mod3)、(3)は0,1(mod3)、(4)は1,2(mod3)をカバー
しているように見えますので、(2)(3)(4)のうち二つ示すのでもOKですね。

(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2について見つけた法則(未証明)をまとめます。
上に書いたようにr=5^kのときすべての自然数が表れるため、これが正しければ
「任意の自然数が出現するか」という話については終わっているわけですが、
「あるnに対して実際にrを作って確認する」という話になると
r=5^kでは値が大きくなりすぎて現実的ではありません。
たとえばしばらく見つけられなかったn=44では5^87≒6*10^60という巨大な
値となり、単純な探索では実際に44個になっているか調べられません。
上の(2)～(4)ではn≡0,1,2(mod3)について計算できるため、こちら使うと
(2)から13*5^28≒5*10^20でよいことがわかります。(1)を使った場合より
かなり小さくなりましたが、まだ大きいです。
(1)は5^k型、(2)～(4)はp*5^k型ですが、さらに5以外の素数を増やします。
p*q*5^k型の場合
r=29*41*5^kのとき 2,7,11,16,20,25,29,34,38,43,…
r=13*29*5^kのとき 3,7,12,16,21,25,30,34,39,43,…
r=13*41*5^kのとき 3,8,12,17,21,26,30,35,39,44,…
r=13*89*5^kのとき 4,9,13,18,22,27,31,36,40,45,…
r=13*53*5^kのとき 5,9,14,18,23,27,32,36,41,45,…
いずれもk=0のときの値から+4,+5,+4,+5または+5,+4,+5,+4していった値になり
n≡0,2,3,4,5,7,8(mod9)は全て含まれています。
しかしn≡1,6(mod9)は含まれておらず、素数の範囲を拡大して調べましたが
上記の5パターン以外はどうも出現しないようです。
（そういう理由で「なかなか見つからないものがある」のだと思います）
n=44は含まれていて、13*41*5^9=1041015625で44個になることがわかります。
実際に数えると、1041015625で確かに44個になります。
しかし5以外の素数を増やすともう少し小さくなります。
以下長くなりますので詳細は省略しますが、
p^4*5^k → n≡0,2,4,7 (mod9)
p^5*5^k → n≡0,3,6,9 (mod11)
p^2*q*5^k → n≡0,4,5,7,8,11,12,13 (mod15)
p^3*q*5^k → n≡0,5,6,7,11,16,17 (mod21)
p^2*q^2*5^k → n≡0,6,7,12,19,20 (mod25)
p*q*r*5^k → n≡0,7,8,9,13,14,20,21,22,23 (mod27)
p^3*q^2*5^k → n≡0,10,11,18,28 (mod35)
p^2*q*r*5^k → n≡12,13,14,15,35,36,38 (mod45)
p^2*q^2*r*5^k → n≡20,22,23,57,58,60 (mod75)
p*q*r*s*5^k → n≡0,21,22,23,27,41,61,63,67 (mod81)
p^2*q*r*s*5^k → n≡35,37,45,103,105,112 (mod135)
ただし、上の方は広く探索して他の値が出そうにないことを確認していますが、
下半分ぐらいは(組合せが多すぎて)途中でやめていて、
たまたま出てきた値のみ書いていますので、全部の値を網羅していません。
特に上半分でn≡0が必ず含まれていることから、下半分もさらに調べれば
n≡0は含まれているものと思われます(経験的予想です)。
上記の中でn=44が含まれるものは
p^5*5^k の n≡0 (mod11) と
p^2*q^2*5^k の n≡19 (mod25)
であり
p^5*5^k型の最小は 13^5*5^7=29007265625
p^2*q^2*5^k型の最小は 29^2*37^2*5^3=143916125
となりますが、この143916125が以前見つけた値に該当しています。
つまりこれらのパターンを調べていれば、もっと早く発見できていました。

この時点でまだ発見できていなかったもの(偶数のみ)は
n=64,78,86,92,96,100,…
なので、もう少し計算してみました。
n=64はp^2*q*5^k型のn≡4 (mod15)から算出できて
最小29^2*37*5^8=12155078125となり、これは確かに64通りになっていました。
n=78はp*5^k型のn≡0 (mod3)しか該当するものがなく、値が大きくなりすぎます。
そこで「各パターンで≡0は存在するだろう」という予想のもとに
「mod39のパターンはどうすれば作れるか」を考えました。
素数の掛け方とmod値を眺めると、すべて
「(5以外の素数の指数)×2+1」の積
がmod値になっていることがわかります。
ということは、
p^6*q*5^k型にすれば(6×2+1)×(1×2+1)=39でmod39になるはずなので
これで考えてみると、13^6*53*5^(2k+1)で≡0(mod39)となることから
最小13^6*53*5^3=31977609625でn=78となることがわかります。
実際、r=31977609625で確かに78個になっていました。
（最初mod13で検討しましたが、値が235684033203125で大きすぎました）
次はn=86ですが、これはさすがに値が大きくなりすぎて(1683642578125)
計算上は出ても確認が無理でした(確認できる方法が他にあるかも知れません)。

考察
・たまたま上記パターンに合致すればrは小さな値になる
・合致するパターンのmod値が大きいほどrは小さい値になる傾向がある
・奇数の素因数が小さければ(2u+1)(2v+1)…という積に細かく
分解できるので、小さな値になりやすい
・素因数2の指数が大きい場合は、たまたまパターン中にあれば
rは小さく済むが、そうでない場合はrは大きくなる。特に2の累乗数は
1以外に奇数の約数がないためパターンに合致しにくい。例えばn=128は
p^2*q*r*5^k型のn≡38(mod45)に合致するので13^2*29*53*5^5=811728125で
済むが、n=64はよりmod値の小さいmod15にしか該当しないので
12155078125という大きな値になっている
・つまり「パターンに合致しない」「素因数2の指数が大きい」「大きい
素数を素因数に持つ」がrが大きくなる要因
・パターン中のp,q,r,…に使える有用な素数は、5より大きい4n+1型の素数
ただし17を除く（円の中心の分母が17であることと関係あると思います）
つまり13,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,…
そしてこの素数中、13,53,89,101,…を使うかどうか(いくつ使うか)により
値が大きく変わる傾向があるが、これらの素数の特徴は不明

まったく見当違いかも知れませんが
シンツェルの定理(Schinzel's thenorem)というものがあるらしく

ユークリッド平面において、任意の正整数nに対し
ちょうどn個の格子点を通る様な円が存在する。
(半径が整数であることは問うていない。)

n=2*kの時
(x-1/2)^2+y^2=5^(k-1)/4
n=2*k+1の時
(x-1･3)^2+y^2=5^(2*k)/9

これはこの問題にヒントを与えたり、利用したりは出来ない物だろうか？
半径を整数に指定することで全く異なる問題となってしまうのか？

らすかるさんがおっしゃるに。
【いくつか証明につながりそうな法則を見つけました。
(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2でrに対する通過格子点個数は
(1) r=5^k (k=0～13)のとき 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7】

この17 は奇跡の数字なのかもと思い始めましだ。
r=5^k (k=1～14 )のとき

Σ[k=0～n](nCk)^4
の値(A005260参照)とその素因数分解をn=1～100まで出力して一時眺めてみました。
様々な素数が出力されており、一見無秩序な素数が並び中には巨大な素数も
出現してきて眼も眩む状態です。
大きな素数には目もくれず、例え連続している素数に着目したとしても
特にn=3,7ではその関係は途絶えていて、とても統一的な性質を持つとは
思えない風景です。
これに対し
n<p<4/3*n+1という一見何気ない条件で示されている不等式ですが
等号が入らない不等式のためnが素数であったり4/3*n+1が素数になる場合も
当然起こる(n=3,9,12,21,27,30,39,45,54,66,72,75,81,84,･･･)訳で
これで微妙に条件を満たす素数pの値がずれていきます。
プログラムで条件を満たす素数pを抜き出そうとしましたが途中頭が混乱して
結局手作業でnに対する条件を満たす素数のグループを書き出していくと
まさしくn=3,7ではpは存在できなく他の部分では正しくその条件にしっかりと
納まっている素数が各nに対し因数として鎮座しているではないか！

あの混沌とした中にこの微妙な式で示される針の穴を通すような枠の中に見事に
得体が未だ定かになっていない素数がおとなしくいるなんておったまげ～です。
気になり一気にn=100でも調査しましたが、p=101,103,107,109,113,127,131
いずれの素数は顔を揃えていました。
これってすべてのnでも成立するんですよね？
(リーマン仮説がいるのかな？）

<作業材料の参考>
gp > primes(33)
%599 =
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137]

gp > for(n=1,100,print(n"=>",n,"<",(4/3*n+1)+0.))
1=>1<2.333333333 ;2
2=>2<3.666666667 ;3
3=>3<5.000000000 ;∅
4=>4<6.333333333 ;5
5=>5<7.666666667 ;7
6=>6<9.000000000 ;7
7=>7<10.33333333 ;∅
8=>8<11.66666667 ;11
9=>9<13.00000000 ;11
10=>10<14.33333333 ;11,13
11=>11<15.66666667 ;13
12=>12<17.00000000 ;13
13=>13<18.33333333 ;17
14=>14<19.66666667 ;17,19
15=>15<21.00000000 ;17,19
16=>16<22.33333333 ;17,19
17=>17<23.66666667 ;19,23
18=>18<25.00000000 ;19,23
19=>19<26.33333333 ;23
20=>20<27.66666667 ;23
21=>21<29.00000000 ;23
22=>22<30.33333333 ;23,29
23=>23<31.66666667 ;29,31
24=>24<33.00000000 ;29,31
25=>25<34.33333333 ;29,31
26=>26<35.66666667 ;29,31
27=>27<37.00000000 ;29,31
28=>28<38.33333333 ;29,31,37
29=>29<39.66666667 ;31,37
30=>30<41.00000000 ;31;37
31=>31<42.33333333 ;37,41
32=>32<43.66666667 ;37,41,43
33=>33<45.00000000 ;37,41,43
34=>34<46.33333333 ;37,41,43
35=>35<47.66666667 ;37,41,43,47
36=>36<49.00000000 ;37,41,43,47
37=>37<50.33333333 ;41,43,47
38=>38<51.66666667 ;41,43,47
39=>39<53.00000000 ;41,43,47
40=>40<54.33333333 ;41,43,47,53
41=>41<55.66666667 ;43,47,53
42=>42<57.00000000 ;43,47,53
43=>43<58.33333333 ;47,53
44=>44<59.66666667 ;47,53,59
45=>45<61.00000000 ;47,53,59
46=>46<62.33333333 ;47,53,59,61
47=>47<63.66666667 ;53,59,61
48=>48<65.00000000 ;53,59,61
49=>49<66.33333333 ;53,59,61
50=>50<67.66666667 ;53,59,61,67
51=>51<69.00000000 ;53,59,61,67
52=>52<70.33333333 ;53,59,61,67
53=>53<71.66666667 ;59,61,67,71
54=>54<73.00000000 ;59,61,67,71
55=>55<74.33333333 ;59,61,67,71,73
56=>56<75.66666667 ;59,61,67,71,73
57=>57<77.00000000 ;59,61,67,71,73
58=>58<78.33333333 ;59,61,67,71,73
59=>59<79.66666667 ;61,67,71,73,79
60=>60<81.00000000 ;61,67,71,73,79
61=>61<82.33333333 ;67,71,73,79
62=>62<83.66666667 ;67,71,73,79,83
63=>63<85.00000000 ;67,71,73,79,83
64=>64<86.33333333 ;67,71,73,79,83
65=>65<87.66666667 ;67,71,73,79,83
66=>66<89.00000000 ;67,71,73,79,83
67=>67<90.33333333 ;71,73,79,83,89
68=>68<91.66666667 ;71,73,79,83,89
69=>69<93.00000000 ;71,73,79,83,89
70=>70<94.33333333 ;71,73,79,83,89
71=>71<95.66666667 ;73,79,83,89
72=>72<97.00000000 ;73,79,83,89
73=>73<98.33333333 ;79,83,89,97
74=>74<99.66666667 ;79,83,89,97
75=>75<101.0000000 ;79,83,89,97
76=>76<102.3333333 ;79,83,89,97,101
77=>77<103.6666667 ;79,83,89,97,101,103
78=>78<105.0000000 ;79,83,89,97,101,103
79=>79<106.3333333 ;83,89,97,101,103
80=>80<107.6666667 ;83,89,97,101,103,107
81=>81<109.0000000 ;83,89,97,101,103,107
82=>82<110.3333333 ;83,89,97,101,103,107,109
83=>83<111.6666667 ;89,97,101,103,107,109
84=>84<113.0000000 ;89,97,101,103,107,109
85=>85<114.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
86=>86<115.6666667 ;89,97,101,103,107,109,113
87=>87<117.0000000 ;89,97,101,103,107,109,113
88=>88<118.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
89=>89<119.6666667 ;97,101,103,107,109,113
90=>90<121.0000000 ;97,101,103,107,109,113
91=>91<122.3333333 ;97,101,103,107,109,113
92=>92<123.6666667 ;97,101,103,107,109,113
93=>93<125.0000000 ;97,101,103,107,109,113
94=>94<126.3333333 ;97,101,103,107,109,113
95=>95<127.6666667 ;97,101,103,107,109,113,127
96=>96<129.0000000 ;97,101,103,107,109,113,127
97=>97<130.3333333 ;101,103,107,109,113,127
98=>98<131.6666667 ;101,103,107,109,113,127,131
99=>99<133.0000000 ;101,103,107,109,113,127,131
100=>100<134.3333333 ;101,103,107,109,113,127,131

＞これってすべてのnでも成立するんですよね？

するっぽいのですが、きちんと「定理」となっているのを見たわけではなく
似たような質問をしている人がいたことから自分で数値的に調べて
成り立っている様子が観察できました。
ちなみに100程度だと大した個数にならないので「へぇ～」ぐらいの感想なのですが、
n=10000で調べて10007,10009,10037,…,13331という354個の素因数が
すべて含まれているのを確認したときは圧巻でした。
そんなに素因数が連続している数は、素数階乗のように故意に掛けない限り
今まで見たことないですからね。
（n=100000で100003～133327の2852個の素因数がすべて含まれていることまでは確認しました）
ちなみに、n＜p＜(4/3)n+1の中の最大の素数の次の素数も素因数に含まれているものは
n=5, 2816, 5466, 15067, …のようにたまにしかないみたいです。

らすかるさんに刺激を受け
n=200000で200003～266663の5378個の素因数がすべて
S=Σ[k=0～200000](nCk)^4の数に含まれていることが確認できました。
P=[200003,200009,200017,･･････,266641,266647,266663]
に対し
gp > apply(i->valuation(S,i),P)
%=[1,1,1,･･･････,1,1,1](5378個の1が並びました)
実際画面いっぱいに1が並ぶ光景は壮観です。

もう信じるしかないですね。
でも何故4乗和なんでしょうかね？
OEISには
Sum_{k = 0..n} C(n,k)^m for m = 1..12:
A000079, A000984, A000172, A005260, A005261, A069865, A182421, A182422, A182446, A182447, A342294, A342295.
12乗までの和が載っていますから、別の累乗でも十分に調査済みなのでしょうね。

改めてn<p<4/3*n+1
の条件を良くも思い付いたなと(この範囲に効率よくも素数が集まってしまうのか！）感心してしまいます。

今まだ確認中ですが(現在n≦10000で確認済み)、素因数を眺めていたところ
n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。
n=200000の場合は
200003～266663 (k=1;5378個) だけでなく
100003～114281 (k=2;1223個)
66683～72727 (k=3;548個)
50021～53327 (k=4;307個)
40009～42101 (k=5;200個)
・・・
1667～1669 (k=120;2個) ← 複数個の最後
・・・
71 (k=2817;1個)
59 (k=3390;1個)
11 (k=18182;1個)
3 (k=66667;1個)
の範囲内の素数をすべて素因数に持っていることになります。

(5月15日追記)
n≦30000で成り立っていました。

n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。

らすかるさんすごい。
素因数を眺めていたことでこんなことに気付けるんですか？
始めの範囲に比べ存在している素数は減っては行きますが確実に素因数に含まれる素数が並んでいますね。
素数の出現と組合せ関数の目に見えぬ結びつきが見えない糸に引き寄せ合いられながら手繰り寄せられている。
n=200000での∑の莫大な数に含まれている素数を計算させていてもいくら時間をかけても一向に姿を示してくれなくて
別の手法でチェックしていただけでしたので、こんな世界が開けているとは思ってもみませんでした。
例え具体的素数が並んでいても全く気付けないと思います。
ちなみにAIに
Σ[k=0～n](nCk)^4 は
n＜p＜(4/3)n+1 を満たすすべての素数pで割り切れるは定理にできますか？
と質問してみると
主張は定理として正しく言えます（既知の結果として文献にも出てきます）。
との返事を返してきていました。

下記の URL にある PDF に証明っぽいものがあります。

https://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/pene16.pdf

私はまだ全体を読んでいません

こちらも関連するのかも？

https://artofproblemsolving.com/community/p849499

証明が長い・・・

最大は9回で、9回になるのは
0149,0589,0941,0985,1094,1490,4109,4901,
5098,5890,8509,8905,9014,9058,9410,9850
の16個です。
ただし、abcd,bcda,cdab,dabc,dcba,cbad,badc,adcbが同じ回数になりますので、
本質的には0149と0589の2個ですね。

(追記)
abcd+efgh=9999のときabcdの回数とefghの回数は同じなので、本質的には0149の1通りだけでした。(∵0149+9850=9999)

(追々記)
5桁で試したら、「1回以下で終わるもの」と「無限に終わらないもの」しかないようでした。
7桁も同じです。奇数桁では自明な解を除き0にならないのかも知れません。
6桁は最大4回(例:014523)、8桁は最大22回(例:00012448)、10桁は最大4回(例:0143014523)でした。

(さらに追記)
よく考えたら奇数桁では2回以上の解はないですね。
例えば5桁でもし2回以上の解があったとすると
最後が00000→その前はaaaaa (a=1～9)
その前がbcdefとすると
c=b±a, d=c±a, e=d±a, f=e±a, b=f±aなので
b=b±a±a±a±a±a
±a±a±a±a±a=0
∴±1±1±1±1±1=0
これはあり得ませんので奇数桁では2回以上の解はなく、
よって無限回を除外すると1回(全桁同じ数字から開始)が最大となります。

出所は、記憶が定かではありませんが、25年くらい前の、数学セミナーだと思います。
設問は、「４つの数（桁数関係なく）からはじめて、差をとると0になり、その操作の回数を10回以上にしてください。」
　0を除く一桁の数で、10回以上可能だったような。二桁かも。記憶は誤りでしたか？
　選択の数の桁数を増やせば、いくらでも回数を増やすことができる？

小学生に、出題する予定でした。

「四角形の数」数学の部屋
サイトがありました。

上限が9より大きくてよければ、10回以上は可能です。
「その操作の回数を10回以上」とのことなので最初の状態はカウントしません。
(0,2,6,13)
→(2,4,7,13)
→(2,3,6,11)
→(1,3,5,9)
→(2,2,4,8)
→(0,2,4,6)
→(2,2,2,6)
→(0,0,4,4)
→(0,4,0,4)
→(4,4,4,4)
→(0,0,0,0)
最小数と最大数の差が12以下のとき10回未満となります。
2桁の最大は13回(例:0,7,20,44)
3桁の最大は19回(例:0,81,230,504)
4桁の最大は25回(例:0,927,2632,5768)
でした。

数字を、大きくしても、なかなか、10回以上は、見つかりにくいです。
A〈B〈C〈D　かつ　A+B+C＝Dが、良い条件のようです。
他に、見つける、条件、ありませんか？

紹介して頂いた貴重な論文を拝見させて頂きました。
目が回る様な論理の展開で一つの式で表現するためには
大変な考察が必要なことが実感できました。

一般にO(0,0),P(n,m)の2点を結ぶ直線の下方(直線上を含む)の領域
だけを通過する格子路でOからPまでの最短路の総数G(n,m)を求める
プログラムをらすかるさんのアイデアをお借りして以前作成していた
のを思い出しました。
以下がそのプログラム(PARI/GPでのコード)と結果になります。
なお\記号は複数行に渡る記述のための繋ぎのためのものです。

gp > G(n,m)={M=matrix(n+1,m+1,i,j,if(j==1,1,i==1 && j>1,0))};\
for(x=2,n+1,for(y=2,m+1,if(m*(x-1)<n*(y-1),next,\
M[x,y]=M[x-1,y]+M[x,y-1])));M[n+1,m+1]

gp > for(n=2,9,print1(n"=>");for(m=1,30,print1(G(n,m)","));print)
2=>1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,
3=>1,2,5,5,7,12,12,15,22,22,26,35,35,40,51,51,57,70,70,77,92,92,100,117,117,
126,145,145,155,176,
4=>1,3,5,14,14,23,30,55,55,76,91,140,140,178,204,285,285,345,385,506,506,593,
650,819,819,938,1015,1240,1240,1396,
5=>1,3,7,14,42,42,66,99,143,273,273,364,476,612,969,969,1197,1463,1771,2530,
2530,2990,3510,4095,5481,5481,6293,7192,8184,10472,
6=>1,4,12,23,42,132,132,227,377,525,728,1428,1428,2010,2803,3504,4389,7084,
7084,9097,11654,13793,16380,23751,23751,28931,35246,40356,46376,62832,
7=>1,4,12,30,66,132,429,429,715,1144,1768,2652,3876,7752,7752,10659,14421,
19228,25300,32890,53820,53820,67860,84825,105183,129456,158224,231880,231880,
278256,
8=>1,5,15,55,99,227,429,1430,1430,2529,3978,7229,9690,14985,21318,43263,43263,
61600,82225,121637,148005,199238,254475,420732,420732,543806,672452,900239,
1043460,1307742,
9=>1,5,22,55,143,377,715,1430,4862,4862,8398,15090,22610,35530,58040,81719,
120175,246675,246675,345345,500449,650325,876525,1220135,1542684,2017356,
3362260,3362260,4289780,5630306,

6=>の場合がat氏の出力と一致すると思います。

一般の長方形の格子路でカタラン路のような数を求める時には一辺が
多くの約数を含むようなものについては一個の式で表すのにはどうしても複雑な場合分けでの式が重なってします。
私も一辺が6のものについてatさんとは異なる式となりましたが何とか式にしてみました。

G6(m)={k=m\6;L=6*k+1;S=(6+m)!/(m!*6!);}\
if(m%6==0,S/L,\
m%6==1,S/(L+6),\
m%6==2,(S-k*(k+1)*(3*k+2)*(6*k+7)*(9*k+7)/40)/(L+6),\
m%6==3,(S-k*(k+1)*(6*k+7)*(28*k^2+61*k+31)/30)/(L+6),\
m%6==4,(S-(k+1)*(3*k+4)*(6*k+7)*(57*k^2+133*k+70)/40)/(L+6),\
m%6==5,S/(L+10))

で100までを出力してみると
gp > for(m=1,100,print1(G6(m)",");if(m%10==0,print))
1,4,12,23,42,132,132,227,377,525,
728,1428,1428,2010,2803,3504,4389,7084,7084,9097,
11654,13793,16380,23751,23751,28931,35246,40356,46376,62832,
62832,73950,87143,97584,109668,141778,141778,162883,187453,206591,
228459,285384,285384,322046,364124,396510,433160,527085,527085,586638,
654240,705789,763686,910252,910252,1002037,1105317,1183487,1270752,1489488,
1489488,1625096,1776599,1890570,2017169,2331924,2331924,2525439,2740354,2901207,
3079140,3518515,3518515,3786757,4083170,4304066,4547556,5145336,5145336,5508104,
5907251,6203610,6529292,7324878,7324878,7805193,8331713,8721393,9148503,10187344,
10187344,10811692,11493880,11997356,12547920,13881945,13881945,14680520,15550580,16191123,

場合分けを一つの式にしてみましたが、あまり綺麗になりませんでした。
G6(m)={k=m\6;}((6+m)!/(m!*6!)-\
((m+1)%6\3)*((m%6+1)*k+(m%6\4)*(13*k+24))*\
((54*k^2+78*k+28)+((m%3+2)%4)*(k^2+11*k+8)+(2-m%6%4%3)*(11*k+9))*\
(k+1)*(6*k+7)/240)/(m+163036%(m%6+9))

管理人様
【更新履歴】にコメント有難うございます。

ここで、全く役に立たない定理を考えてみました。

『頂角が２０度の全ての二等辺三角形において、
「底辺と同じ長さの線分」を、頂点を始点として置くと、
終点と、その対角を結んだ線分との、なす角は１５０度となる』


知っていても役に立たないが、テストの時だけ速攻で使えるかな？
ヒントに「正三角形を作る」が無いとテスト時間内に解くには
時間が足りなくなると思う。
私なら「捨て問」です。

角の大きさ（４８）の問題、随分昔にここの掲示板に同じ問題が出されて、解いた覚えがあるんですよね。
なのでここのサイトのどこかに残っているのではないかと思って探し回ったのですが、
見つけられませんでした。
もし過去の掲示板のログが残っていたら、どこかにあるかも知れません。

らすかるさん
有難うございます。

あれれ？？
ホーム画面の【更新履歴】を見ると、
初回の投稿が、令和８年　４／２４になっているので・・・・・


私の大きな勘違いでしたら申し訳ありません　ｍ（＿）ｍ

すみません
４／２５の間違えでした。

らすかるさん
申し訳ありませんでした。

更新履歴の管理人様のコメントを見て、
掲示板の全ての投稿が履歴に
載っている訳ではなかったのですね。

このサイトを、よく理解していなくてスミマセンｍ（＿）ｍ

ちゃちゃっとプログラムを作って（最下段左端＜最下段右端という条件を付けて）調べたところ
（例示されたものも含めて）以下の4通りになりました。

___3
__4,7
_5,9,2
6,1,10,8

___3
__5,2
_4,9,7
6,10,1,8

___4
__2,6
_5,7,1
8,3,10,9

___4
__5,1
_2,7,6
8,10,3,9

ならば
___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4
の様に
下の隣り合う2数の和の下桁の数が上の段にあり、積み上げ終わると
0～9の数が一通り揃う。
ということになる配列は他にあるか？

全部で以下の4通りだと思います。

___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4

___0
__4,6
_9,5,1
2,7,8,3

___0
__2,8
_7,5,3
6,1,4,9

___0
__4,6
_9,5,1
7,2,3,8

では、最初の差分の方式で
1段(1のみ): 1通り
2段(1～3): 2通り
3段(1～6): 4通り
4段(1～10): 4通り
となりますが、5段(1～15)では何通りでしょう？

一通りのみでは。
_____5
____4,9
___7,11,2
__8,1,12,10
6,14,15,3,13

では6段には存在するか？
存在しないならその証明は？

5段の1通りは正解です。
証明はわかりませんが、6段・7段・8段では解はありませんでした。
「6段以上では解はない」という可能性もありますが、
さすがに6・7・8だけでは何とも言えないですね。
ちなみに8段の全探索には半日かかりました。

6段での証明が気になったので色々調べてみたら
Shichermanというこのパズルを提出した人らしい人物が
mod 2
では|a-b|≡a+b (mod 2)
から,
6個の異なる整数
a,b,c,d,e,fから
a+b,b+c,c+d,d+e,e+f
a+2*b+c,b+2*c+d,c+2*d+e,d+2*e+f
a+3*b+3*c+d,b+3*c+3*d+e,c+3*d+3*e+f
a+4*b+6*c+4*d+e,b+4*c+6*d+4*e+f
a+5*b+10*c+10*d+5*e+f
と和を作っていき、それまでのすべて現れる総和が
6*a+20*b+34*c+34*d+20*e+6*f
なのでその数字は偶数であることになる。
一方1~21(6段では全部の数は1+2+･･･+6=21)
の数の総和は21*22/2=231
で奇数である。
mod2では奇数、偶数は一致するはずなのでこれは矛盾し
如何なる6個の数でも構成は不可能となる。

で示していた。
そこで7段ではと思い
a,b,c,d,e,f,g
で生まれてくる2数の和による（mod 2での考察)構成での総和をみると
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
一方
28*29/2=406≡0 (mod 2)
より7段でも矛盾
8段では
a,b,c,d,e,f,g,h
からは総数
8*a+35*b+83*c+125*d+125*e+83*f+35*g+8*h≡0 (mod 2)
36*37/2=666≡0 (mod 2)
従って8段はこの手では証明ができないことになる。

さらに気になったのでAIを利用して尋ねると
n>5では一切存在できないことがHerbert Taylorにより証明が与えられており
かなりテクニカルなもので単純なパリティ計算だけではすまず、より精巧な
不変量や構造解析を行うとある。

なおこれが2018段においては不可能であることの証明を問う問題が
数学オリンピックに出題さているという。

やはり6段以上では解はなかったのですね。
2018段の問題をいきなり出されても解けないだろうなぁ・・・

今さらですが、7段の証明がちょっと違うような気がします。
（私の勘違いでしたらご容赦下さい）
> 7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
これはa,b,c,d,e,f,gのうち奇数が奇数個なら成り立ちますが、
奇数が偶数個の場合は
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡0 (mod 2)
となるのではないでしょうか。

a,b,c,･･･,gの奇遇によって変化してしまいますね。
単に奇数の係数が奇数個であったので1と判断してしまっておりました。
らすかるさんの指摘どうりですね。

Shichermanというと、ジッヒャーマンダイスのShichermanでしょうか。