😊出会いの泉😊

大円の上半分だけで考えて
2/3*π*R^3-π∫[R/2,R](R^2-x^2)dx=11/24*π*R^3
これより比率は
(11/24)/(2/3)
=11/16

ではないですね。
仮に半球の内部まで動けるとしてももう少し小さいですし、この問題は半球の表面だけなのでさらに小さいです。

そうか！
表面しか動けないのか。
xy平面で半径1の円x^2+y^2=1上の動点P(cost,sint) (0<t<π)
と点S(-1,0)の中点M(x,y)を考えると
x=(cost-1)/2,y=sint/2から
(2*x+1)^2+(2*y)^2=1
(x+1/2)^2+y^2=(1/2)^2
従ってMは中心(-1/2,0)半径1/2の円周上にある。
対称性を考慮してMが動ける領域は円盤(半径1/2)がy軸の周りを一回転してできるトーラス内になる。
このトーラスの体積は(1/2)^2*π*(2*1/2*π)=π^2/4
よって体積比は
(π^2/4)/(4/3*π)
=3*π/16 かな?

正解！

Geogebraのソフトで球面の2か所（２つに分けた各半球上で動かしてみる。)
での中点の軌跡を見ていたらどうもトーラスの形状とは程遠い形状になる様なんです。
点を一点に固定したまま考えていたので、2つが独立に自由に動き回る条件はカバーしきれていないかもしれません。
すべての部分を動かした中点の軌跡を全部残像で残すことがいまのところソフトでやる方法がわからないので、今のところ
上部の円周上と下部の円周上でいろいろと高さを変えながらの観察の様子からの判断です。
以外に複雑な様子になりそう。

余りにも図形が入り組んでいてこのMの領域を積分等で出す方法が全く見えてこない。
どなたかモンテカルロ法を使った確率幾何学的な方法で近似値でもいいので試みてくれませんか？

AIに質問すると
1.𝑃,𝑄 を球面上から一様にランダムに選ぶ。
2.𝑃･𝑄<0（反対の半球）という条件を満たすペアだけを使う。
3.その中点𝑀 を大量に生成して、点群として分布を記録。
4.得られた点群の凸包（convex hull）をとって、その体積を数値的に評価。

この方法で得られる体積が、球全体の体積の5/16 に非常に近づくことが確認されているんだ！
と厳密な解析積分は非常に複雑で、ヤコビアンの計算や高次元の変数変換が必要
などとの返事をよこす。

P・Q<0って、本当に逆の半球上にいる条件になっていますかね？
仮に実際はちゃんとしていたとして、答えの領域は穴の半径が0になっているトーラスであり、凸包にはなっていません。
だからこの計算だと過大評価になる……はずなんですが、なんで真の値より小さいんだろう？

実際の形の確認は、大円を赤道に見立てるとして、北緯と南緯をあまり変化させないようにするとイメージしやすいかも？

円柱座標を使って

V = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r dr ∫_{-√[r(1-r)]}^{√[r(1-r)]} dz

となりますか？(自信なし)

V = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r dr ∫_{-√[r(1-r)]}^{√[r(1-r)]} dz
これってπ^2/2
の値を与えるのですか？
これは何の値を示すのですか？

体積比
(π^2/4)/(4/3*π)
の分子を求めるつもりでおりました。

Denganさん
それであっています。
実際にはz方向に積分した方が簡単で、パップスギュルダンの定理ならさらに簡単です。

すみません。
∫_0^1 r dr
の所のrを1と見てしまい計算していました。

これでトーラスの体積量が計算できるんですね。
ちなみに
π^2/4は例のπ^2/6
に近づけるために
もし半径を1/2から1/sqrtn(12,3)(≒0.436790) (1/(12の3乗根))
へ変更して軸の周りを回転させるとその体積はπ^2/6(=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+･･･････)
または
そのまま
π^2/4=2*(1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+･････+1/(2*n-1)^2+･･･)
で鑑賞すると面白い。

お返事が遅れてしまい申し訳ありません。

DD++さん、GAIさん、ご教示を、ありがとうございます。

下限が0なのは自明として、最大値をゴリゴリ計算したら
ものすごーく変な値になって自信がないのですが、
最大値はひょっとして
(29√1443-78√74)/1196≒0.36
ですか？

もっと大きくとれると思います。
下限が0の意味が掴みかねるんですが、最小値もある値で決まります。

＊平面の切り方は三角柱の底面の一角を通る様に切断しても、切断面は
すべて側面の部分を通って切り離せるので適当な角度をつけて切断すれば
直角三角形の切り口は結構広く作れます。

下限が0にならないということは、私が何か勘違いしている？
と思って問題を読み直したら、とても大きな勘違いに気づきました。
「三角柱」を「三角錐」と思い込んでいました・・・
三角柱なら下限が0になるわけないですね。
もう一度考え直します。
（もし気が向いたら「三角錐」の場合を考えてみて下さい）

(追記)
計算し直しました。最小3/4、最大√17/4でしょうか。 (← 最初4で割り忘れていて後で修正しました)
合っていれば私の計算方法を書きます。

正解です。

私も三角錐にてGeogebraを利用して角度が90°になる瞬間に近い部分で三角形の面積を同時に表示しながら
眺めてみました。90°の角度を作れる場所は本当に特殊な位置にP,Qがいる時に起こるしか無く、勝手にとれば
ほとんど鋭角の状態のままの時がほとんどでした。
この時の面積を計算させたものを読んだら0.35~0.36辺りの数値が表示されていました。
らすかるさんがあの複雑怪奇な式がどのように算出されるのかは全く分かりませんが、実験的にP,Qを連続的に
動かして直角の条件を通過するときの面積表示を見ていれば確かに0.36以上の値は起こりませんでした。

以下のように計算しました。
3点の高さを低い順に0(点A)、a(点B)、b(点C) (0≦a≦b≦2, a≧b/2)とすると
AB^2=a^2+1, BC^2=(b-a)^2+1, CA^2=b^2+1
∠Bしか直角になり得ないのでAB^2+BC^2=CA^2に代入して整理すると
2a^2-2ab+1=0
a=(b±√(b^2-2))/2
これと条件から √2≦b≦2
b=√2のときa=√2/2、b=2のときa=(2+√2)/2
2a^2-2ab+1=0から b=(2a^2+1)/(2a) … (1)
ヘロンの公式から、各辺の長さの2乗をp,q,rとすると
16S^2=2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)
p=AB^2,q=BC^2,r=CA^2と(1)を代入して整理すると
16S^2=(a^2+1)(4a^2+1)/a^2
これにa=√2/2とa=(2+√2)/2を代入して計算すると
S=3/4、√17/4を得る。

# 三角錐のときも、AB^2,BC^2,CA^2の式が長くなって計算が面倒になる以外は同じです。
# ちなみに三角錐の場合は
# AB^2=(49-14a√3+52a^2)/49
# BC^2=(49-14(a+b)√3+52a^2+52b^2-92ab)/49
# CA^2=(49-14b√3+52b^2)/49
# AB^2+BC^2=CA^2に代入して整理すると104a^2-2(14√3+46b)a+49=0
# b=(104a^2-28a√3+49)/(92a)
# b=7(√26-√3)/23のとき最大
# となります。
# (追記)三角錐の場合のa,bは、純粋な高さではなく側面の二等辺三角形上の高さです。

## 手作業で書き写したので細かい間違いがあるかも知れません。

3点の高さを低い順に0(点A)、a(点B)、b(点C)　(0≦a≦b≦2)で
a=(2-√2)/2,b=2の場合も△ABCの面積は√17/4になりませんか？

もちろん私が書いた解と合同ですからそうなります。
しかし複数の合同な解は書くのが手間がかかりそうなので、
最初にa≧b/2という条件を付けて一方に絞っています。
結果的には(2+√2)/2を(2±√2)/2と書くだけなので手間ではありませんでしたが。

数字の組合せが異なっていたのでてっきり別物かと今の今まで思っていました。
天地をひっくり返したら同じだ！
失礼いたしました。

長さ1の線分を[0,1]とし区間を三等分して
S1=[0,1/3],S2=(1/3,2/3),S3=[2/3,1]
に分けると
点P、QがそれぞれS1,S3の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS2区間を端点も含み生成できる。
このことを今度は
S1,S3に対して同様にして
S1の区間を三等分して
S11=[0,1/9],S12=(1/9,2/9),S13=[2/9,1/3]
すると
点P、QがそれぞれS11,S13の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS12区間を端点も含み生成できる。
S3の区間を三等分して
S31=[2/3,7/9],S32=(7/9,8/9),S33=[8/9,1]
すると
点P、QがそれぞれS31,S33の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS32区間を端点も含み生成できる。

この作業を無限に繰り返せば中点の軌跡は[0,1]
区間を埋め尽くし長さ1の線分全体を動ける。
何故なら中点の軌跡の合計は
S2+S12+S32+S112+S132+S312+S332+････
1/3+2/9+4/27+8/81+････
=1/3*(1+2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+････)
=1/3*(1/(1-2/3)
=1

そうあのカントールの三進集合を区間群Aとして
採用すればよい。
従って各区間群の長さの和は
S1+S3+S11+S13+S31+S33+S111+S113+S131+S133+S311+S313+S331+S333+････
=2/3+4/9+8/27+16/81+････
=2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+(2/3)^4+････
=2/3/(1-2/3)
=2

これは中点Mが長さ1の線分を動けるためのぎりぎりの限界であり
これ以上の合計値にすれば余裕で達成される。
従って合計値Lの下限は2

もし私が問題を正しく理解できていれば
長さ1の線分を[0,1]として
区間1: [0,1/n]
区間2: [2/n,2/n]
区間3: [3/n,3/n]
・・・
区間n-2: [1-2/n,1-2/n]
区間n-1: [1-1/n,1]
のようにすれば条件を満たせるので、下限は0

GAIさん
構成法はほぼ正解です。
S11とS13を採用した場合、S1は不要になります。
つまり区間群の長さ合計は(2/3)^nになり、下限は0となりますね。

らすかるさん
そのような構成もありですね。正解です。

左からでも右からでも同じ並びの数は「回文数」といいます。
5回を超えるものは山ほどありますが、以下は例です。

6回で終わるもの
1069, 1079, 1159, 1169, 1249, 1259, 1339, 1349, 1429, 1439,
1519, 1529, 1609, 1619, 1699, 1709, 1789, 1799, 1879, 1889,
(以下略)

7回で終わるもの
1394, 1484, 1574, 1664, 1754, 1844, 1898, 1934, 1988, 1992,
1994, 1999, 2393, 2483, 2573, 2663, 2753, 2843, 2897, 2933,
(以下略)

8回で終わるもの
1993, 1995, 2992, 2994, 3991, 3993, 4990, 4992, 5991, 6990,
8059, 8149, 8239, 8329, 8419, 8509, 8599, 8689, 8779, 8869,
(以下略)

9回で終わるもの
1397, 1487, 1577, 1667, 1757, 1847, 1937, 2396, 2486, 2576,
2666, 2756, 2846, 2936, 2999, 3395, 3485, 3575, 3665, 3755,
(以下略)

10回で終わるもの
9059, 9149, 9239, 9329, 9419, 9509, 9599, 9689, 9779, 9869, 9959

11回で終わるもの
7069, 7159, 7249, 7339, 7429, 7519, 7609, 7699, 7789, 7879,
7969, 8068, 8158, 8248, 8338, 8428, 8518, 8608, 8698, 8788,
(以下略)

12回で終わるもの
2069, 2159, 2249, 2339, 2429, 2519, 2609, 2699, 2789, 2879,
2969, 3068, 3158, 3248, 3338, 3428, 3518, 3608, 3698, 3788,
(以下略)

13回で終わるもの
1797, 1887, 1894, 1977, 1984, 2796, 2886, 2893, 2976, 2983,
3795, 3885, 3892, 3975, 3982, 4794, 4884, 4891, 4974, 4981,
(以下略)

14回で終わるもの
1991, 2990

15回で終わるもの
1998, 2997, 3996, 4995, 5994, 6079, 6169, 6259, 6349, 6439,
6529, 6619, 6709, 6799, 6889, 6979, 6993, 7078, 7168, 7258,
(以下略)

16回で終わるもの
1496, 1586, 1676, 1766, 1856, 1897, 1946, 1987, 2495, 2585,
2675, 2765, 2855, 2896, 2945, 2986, 3494, 3584, 3674, 3764,
(以下略)

17回で終わるもの
1792, 1882, 1972, 2791, 2881, 2971, 3790, 3880, 3970

18回で終わるもの
1798, 1888, 1978, 2797, 2887, 2977, 3796, 3886, 3976, 4795,
4885, 4975, 5794, 5884, 5974, 6793, 6883, 6973, 7792, 7882,
(以下略)

20回で終わるもの
6999, 7998, 8039, 8129, 8219, 8309, 8399, 8489, 8579, 8669,
8759, 8849, 8939, 8997, 9038, 9128, 9218, 9308, 9398, 9488,
(以下略)

21回で終わるもの
1297, 1387, 1477, 1567, 1657, 1747, 1837, 1927, 2296, 2386,
2476, 2566, 2656, 2746, 2836, 2926, 3295, 3385, 3475, 3565,
(以下略)

10000回でも終わらないもの
1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857,
1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764,
(以下略)
4桁で10000回でも終わらないものは、数回で
52514,83127,96558,97768,109989
のいずれかになる数です。

本家の9×9の場合
空欄５０でも、問題が作れるようですが、
ミニナンプレの場合、空欄が、
最大いくつある問題が作れるでしょうか？
９つの空欄場合はできました。

最大12個ですね。
①○○○
○○○③
○○○○
○③○②

上記の解は存在しない？

存在します。
もしかして斜めも考えていますか？
最初に書かれた例から、斜めは関係ないと判断しました。
（魔法陣ではないので）
ちなみに斜めも考慮した場合は最大13個になります。
○○○○
○○○②
○○○○
○○④③

①●○○
●●○③
○○○○
○③○②
において、●には③は入らないので、矛盾？
何か考え違いしているんですかね？

あ、これって単純に4×4だと思ってましたが
そうじゃなくて(2×2)が2×2だったんですね。
私が勘違いしていました。申し訳ありません。

(追記)
2×2の小ブロックも考慮に入れて調べ直しました。
最大12個は変わりませんでした。
○②③○
○○○○
○○○○
④○○①

らすかるさん、朝早くからありがとうございます。
○②③○
○○○○
○○○○
④○○①
については、
１②③４
３４１２
２１４３
④３２①
と、唯一解がありますね。

らすかるさん、ありがとうございます。
ナンプレ、ルール
各列、各行、各ブロックに、異なる数が入る（１～Nの一個ずつ全て）
1～N^2　の数を使って、大きなナンプレができそうですね。
１～16で、１６×１６のナンプレがつくれました。

ミニナンプレ、色々
3，2，4，1
4，1，3，2　対角線も、1～４
1，4，2，3
2，3，1，4

4，3，2，1
1，2，3，4　ブロック同型
2，1，4，3
3，4，1，2

1，4，3，2
3，2，1，4　中心に、点対称
4，1，2，3
2，3，4，1
個数が少ないので、易しいです。

PS
9×9ナンプレで、初期設定から、複数解に出会ったことがありますが、
残り数を１６個以下では唯一解のものはつくれないことが、証明されているみたいですね。複数解もゆるすと、全て空欄もよいことになりますので。
１２個の空欄で、複数解のものが、見つかりました。
＊　＊　＊　１
＊　＊　２　＊
＊　３　＊　＊
４　＊　＊　＊
複数解になりました。
異なる（？）初期設定から、同一の結果を得ることも可能みたい。
同一か、異なるかは、対称性を異なるとするか、同一とみなすか。
９×９の場合はわかりませんが。

> "ｋｓ"さんが書かれました:
> ミニナンプレ、色々
> 3，2，4，1
> 4，1，3，2　対角線も、1～４
> 1，4，2，3
> 2，3，1，4

> 4，3，2，1
> 1，2，3，4　ブロック同型
> 2，1，4，3
> 3，4，1，2

> 1，4，3，2
> 3，2，1，4　中心に、点対称
> 4，1，2，3
> 2，3，4，1
> 個数が少ないので、易しいです。

ブロック同型と中心に、点対称を組合すと
ブロック同型を十位、中心に、点対称を一位として用いて
41, 34, 23, 12
13, 22, 31, 44
24, 11, 42, 33
32, 43, 14, 21
が出来るので
十位1,2,3,4を♦,♣,♥,♠
一位1,2,3,4をA,J,Q,K
に対応させると
トランプカードで

♠A, ♥K, ♣Q, ♦J
♦Q, ♣J, ♥A, ♠K
♣K, ♦A, ♠J, ♥Q
♥J, ♠Q, ♦K, ♣A

の二重方陣が作れますね。
これを対角線まで拡張できませんかね？

思い付くまま作ってみました。
これ以外のパターンを作られたらお知らせ下さい。

♥A ♣J ♠Q ♦K
♠K ♦Q ♥J ♣A
♦J ♠A ♣K ♥Q
♣Q ♥K ♦A ♠J


♥A ♦J ♠Q ♣K
♠K ♣Q ♥J ♦A
♣J ♠A ♦K ♥Q
♦Q ♥K ♣A ♠J


♦A ♣J ♥K ♠Q
♠K ♥Q ♣A ♦J
♣Q ♦K ♠J ♥A
♥J ♠A ♦Q ♣K


♦A ♣Q ♥K ♠J
♠K ♥J ♣A ♦Q
♣J ♦K ♠Q ♥A
♥Q ♠A ♦J ♣K

一つ目と二つ目はクラブとダイヤを入れ替えただけに見えますが、
このようなマークの入れ替えを別物とみなすなら他にもたくさん作れますね。
三つ目と四つ目がJとQの入れ替えになっているのも同様です。
上二つと下二つはパッと見で本質的に異なるようにも見えますが、
三つ目を90°右回転してJ→A,Q→J,K→Q,A→Kのように入れ替えれば
一つ目と一致しますので、やはり本質的には同じです。

(追記)
「回転・反転・マークや数字の入れ替えを同一視すると、本質的に一通りしかない」
ということが確認できました。
回転・反転・マークや数字の入れ替えをすべて区別した場合は、
まず基本パターンとして
a b c d
d c b a ※1行目と2行目が左右反転、3行目と4行目が左右反転
b a d c
c d a b
とそれを90°回転した形である
a b c d
c d a b ※1列目と2列目が上下反転、3列目と4列目が上下反転
d c b a
b a d c
の2通りがあり、どちらかをマーク、どちらかを数字に使う必要があります。
そしてマークと数字の当てはめ方はそれぞれ4!通りなので、
すべて区別した場合は2×4!×4!=1152通りとなります。

* * 1 2 、 * * * 1
* * 3 4 、 * * * 2
* * * * 、 * * * 3
* * * * 、 * * * 4
のように、四つの数字から、始めると
複数解、１２通り表われました。
初見で、不可能な場合、唯一解、複数解
を、簡明に、判別する方法が、ないかどうか、
ですが、上記の場合、４つの不可能な場合が
ありました。

4ヶ所から、初めて、完成型が、１通り、２通りのものがあります。
＊　＊　＊　１
２　＊　＊　＊
＊　３　＊　＊
＊　＊　４　＊

＊　＊　＊　１
＊　２　＊　＊
＊　＊　３　＊
４　＊　＊　＊
完成型が、３通りのものがあるでしょうか？

2通りのもの
＊　＊　1　＊
＊　＊　＊　2
3　＊　＊　＊
＊　4　＊　＊
３通り、4通りのものも見つかりました。

3通りパターン
3　＊　＊　1
＊　＊　2　＊
＊　＊　＊　＊
＊　＊　＊　4

4通りのパターン
1　2　＊　＊
＊　＊　＊　＊
＊　＊　＊　＊
＊　＊　3　4
有限なのにやって見ないと分からない！

ここのホームページで
数学感動秘話中
正方形から正三角形
をクリックしたら解説されています。

https://jp.pinterest.com/pin/609815605826764777/
が参考になるかな？

ありがとうございました。

ChatGPT (free ユーザ)に聞いてみました。
割合は 1 だそうで。

Gemini(pro)に聞いたら
割合は 8/9 だそうで。

どちらのAIもミンコフスキー和を使っていますが拘束条件について意見の対立がありました。

そして、私には、どちらも、なんか痒いところに手が届かないのでして(論理の飛躍があるのか私が論理を追えないのか……後者かも)

chatGPT5.2proの最初の解答は8/9でした。
これは、正方形の内部まで動けるという場合には正解になります。
しかし、正方形の外周しか動けない場合はそのうち一部は実現不可能な領域となり、正解は8/9より小さい値となります。

ひょっとしてちょうど1/2でしょうか？
3/2×1/3=1/2　の様なイメージ

流石にそこまで小さくはないですね。

一辺が2の立方体に内接する正八面体の中心を原点と
して、以下の3つの正方形を考える：
𝑆𝑥𝑦：𝑥𝑦 平面上  
頂点：(1,0,0),(0,1,0),(−1,0,0),(0,−1,0)
𝑆𝑦𝑧：𝑦𝑧 平面上
頂点：(0,1,0),(0,0,1),(0,−1,0),(0,0,−1)
𝑆𝑧𝑥：𝑧𝑥 平面上
頂点：(0,0,1),(1,0,0),(0,0,−1),(−1,0,0)
各正方形の周上を点 P,Q,R が動く。

各正方形の周上は、4辺の直線の集合。たとえば
𝑆𝑥𝑦 の周上は：
辺1：(1−𝑠,1), 0≤𝑠≤2
辺2：(−1,1−𝑠),0≤𝑠≤2
辺3：(−1+𝑠,−1),0≤𝑠≤2
辺4：(1,−1+𝑠),0≤𝑠≤2

同様に、他の2つの正方形もそれぞれの平面上で同じ構造を持っている。
つまり、各正方形の周上の点は、対応する2軸の成分が
[−1,1] の範囲で動き、残りの軸は0。

各点は次のように動く：
P∈𝑆𝑥𝑦：(𝑥1,𝑦1,0)
Q∈𝑆𝑦𝑧：(0,𝑦2,𝑧2)
R∈𝑆𝑧𝑥：(𝑥3,0,𝑧3)

したがって、重心G の座標は：
G=1/3(𝑥1+𝑥3,𝑦1+𝑦2,𝑧2+z3)
つまり：
𝑥=1/3(𝑥1+𝑥3)
𝑦=1/3(𝑦1+𝑦2)
𝑧=1/3(z2+𝑧3)

ここで、
𝑥1,𝑦1 は𝑆𝑥𝑦 の周上の点から、
𝑦2,𝑧2 は𝑆𝑦𝑧 の周上の点から、
𝑥3,𝑧3 はs𝑧𝑥 の周上の点から取られる。

この構造からわかるのは：
x1,𝑥3∈[−1,1] → 𝑥∈[−2/3,2/3]
𝑦1,𝑦2∈[−1,1] → 𝑦∈[−2/3,2/3]
𝑧2,𝑧3∈[−1,1] → 𝑧∈[−2/3,2/3]

ただし、これらの範囲すべてを独立に取れるわけではなく、
各点が正方形の周上にあるという制約がある。
でも、3つの正方形が互いに直交していて、
各点が独立に動けるので、重心Gの動く範囲は原点中心・辺長
4/3
の立方体に内接する正八面体になる。

正八面体の体積は、辺長a=sqrt(2) のとき：
𝑉=sqrt(2)/3*𝑎^3=sqrt(2)/3*(sqrt(2))^3=4/3
重心Gの動く範囲は、各軸方向に
2/3
に縮小された正八面体なので、体積は：
(2/3)^3*4/3=8/27*4/3=32/81
⋅
よって、割合は：
32/81÷4/3
=8/27

と更に小さくなってしまいましたが、どこに論理的ミスが発生するのか教えて下さい。

> 𝑆𝑥𝑦 の周上は：

のところですね。
これでは立方体を真っ二つにした断面です。
Sxyは、その正方形の中点を順に結んだ、45°傾いた正方形ですよ。

また、各座標の絶対値が2/3以下であればよいかというとそうでもなく、(0,0,1/2)などはGの動ける領域外になります。

全くお門違いの設定をしておりました。
3つの正方形の辺を動かすことを改めて考えていたら、全くでたらめなことを設定していました。
改めて調査してみると重心Gの座標での取り得る値が±を含め
2√2/3,√2/3,1,1/3,2/3,0
がたびたび出現します。
今数値だけ眺めているのでどんな領域が形成されるのかな？
三次元でのイメージが中々作り難い。

7/9(=77.7778%)でしょうか？

正解です、お見事！

領域はどんな形になるでしょうか？

元の正八面体の1/3サイズ(体積では1/27)
のものが６か所の各頂点から抜け落ちたような
正八面体版メンガーのスポンジの様なイメージ
(コンピュータを使った大量の計算結果をもとに、手書きによる
見取り図の地道な手作業の末、やっと浮かび上がった姿であり、決して
直感や霊感は伴っていないことを本人が保証します。)

1-6*(1/3)^3=1-2/9=7/9

で求めました。

その通りです。
3Dの見取り図を手作業で書けるの、すごい。

3Dの中でこの立体を回転させて見てみたく、Geogebraのソフトを利用して例の情報の数値を入れて立体を回して見てみると
立体と言うよりも、平べったい紙を貼り合わせた様な不思議な構造物となり、見る方向から色々な形に千変万化していく
立体万華鏡とも言いたくなる不思議なものです。（特に6か所に窪んでいる部分を色分けして見ていたのでその変化はまるで
夜空に打ちあがる花火の様でした。)
求めていた比は体積比と言うよりは体積　vs 　面積
と見えてしまうような感覚をもつ構造物となっていました。
さらに線を引くことを増やしていくと、中に元の正八面体の1/3の大きさの正八面体が潜んでいるようだ。
しかしこれでも体積比が7:9という結果が見た目ではどうしても理解できない。
目で見たこの構造物は全く不思議な形状をしています。

そうか！
今骨組みだけで見ているので理解できないんだ。
各4点で作れる平面の部分を作ることを追加していけば全体の姿が見えるはずだ。
しかしこの作業は手間が大いにかかりそう！

やっと見たかった立体の形状を完成出来ました。
頭の中では一つの頂点でのイメージはできるんですが、これが6つの頂点で同時に
起きた時の全体の形状およびこれらが回転したり、上から下から見たときの様子は
とても頭の中では構築できません。
見てみたら正六角形と正方形の表面で囲まれた球状のものとなっており、
正方形の部分は穴が開いていて覗くと底が四角錐状に窪んでいる。

最初ソフトを利用していくとき、頂点の座標や2点を繋いでいく辺の様子や小正八面体
が折り返される部分座標等をやり終えた時点で、すべての頂点が同時に凹んでいると
こんな奇妙な立体となるんだと勘違いしてしまっていた。(でも構造上この形状は面白い)
後に
これは折り畳み傘の骨組みだとやっと気づいて結構多数に渡る面貼り作業をやっと済ます
ことが出来ました。(途中失敗することもあるので、削除という機能を使ってやり直すのですが
マウスのボタンを押す位置がちょっと違っていたりすると、今まで積み上げてきた壊さなく
でもいい部分までもが全部消えてしまう場面も何度か起きました。アンドゥ機能を付けて
おいて欲しい。)

Geogebraをこんなに長時間使うことは今までに無かったので慣れてくると中々機能が充実
しておりhttps://www.geogebra.org/3d?lang=ja
にアクセスすればクラウド上で無料で結構複雑な形状でも組み立てていけて、さらに自由な
角度から見たり回転させたりしながら色も部分的に変えていけたりできる。
遊びに面白いのでお勧めです。(よくこんなソフトが作れるな～)

ちなみに
P,Q,Rが正方形の内部で動くときの体積比が8/9は
1-6*(1/2*(1/3)^2)=1-1/9=8/9
で求めることになるのですか？

はい。
ヘコみのない切頂八面体になります。

xyz座標で
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1/2,sqrt(3)/2,0)
D(0,0,sqrt(2)),E(1,0,sqrt(2)),F(1/2,sqrt(3)/2,sqrt(2))
に配置すれば
s,t,uをそれぞれ0以上1以下の実数として
P(s,0,sqrt(2)*s),
Q(1-t/2,sqrt(3)/2*t,sqrt(2)+t),
R(u/2,sqrt(3)*u,(1-u)*sqrt(2))
にとれ
従ってP,Q,Rでの重心GをG(Fx(a,t,u),Fy(s,t,u),Fz(s,t,u))
a=sqrt(3);b=sqrt(2)と置くと
Fx(s,t,u)=1/6*(2*s-t+u+2)
Fy(s,t,u)=a/6*(t+u)
Fz(s,t,u)=b/3*(s+t-u+1)
で
パラメータ(s,t,u)に対して
(0,0,0)=> G1(1/3,0,1/3*b)
(0,0,1)=> G2(1/2,1/6*a,0)
(0,1,0)=> G3(1/6,1/6*a,2/3*b)
(0,1,1)=> G4(1/3,1/3*a,1/3*b)
(1,0,0)=> G5(2/3,0,2/3*b)
(1,0,1)=> G6(5/6,1/6*a,1/3*b)
(1,1,0)=> G7(1/2,1/6*a,b)
(1,1,1)=> G8(2/3,1/3*a,2/3*b)
と各点に移る。
これらを3D用アニメーションソフトで眺めるとG1,G2,G3,G4は∠G1G2G4=60°である
等辺平行四辺形(各辺は1/sqrt(3))となり
G5,G6,G7,G8はこの平行四辺形に平行となる同じ合同の等辺平行四辺形
となっている。
全体としてDは平行6面体をなす。

またG1,G2,G4を通る平面を求めると
4*x+sqrt(2)*z=2となるので
これに点G5より下した垂線の長さは
|4*2/3+sqrt(2)*2/3*sqrt(2)-2|/sqrt(4^2+2)=sqrt(2)/3

従って求めたい領域Dの体積は
(1/sqrt(3))^2*sin(60°)*sqrt(2)/3=sqrt(6)/18

お見事、正解です。
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

合っていて良かった。

コメントの
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

とは何なのかを確かめてみました。
a=sqrt(3);
b=sqrt(2);
G1=[1/3,0,1/3*b];
G2=[1/2,1/6*a,0];
G3=[1/6,1/6*a,2/3*b];
G4=[1/3,1/3*a,1/3*b];
G5=[2/3,0,2/3*b];
G6=[5/6,1/6*a,1/3*b];
G7=[1/2,1/6*a,b];
G8=[2/3,1/3*a,2/3*b];
K(P,Q)=norml2(P-Q)

各2点間の距離を調べてみました。
gp > K(G1,G2)
%83 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G3)
%84 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G4)
%85 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G5)
%61 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G6)
%62 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G7)
%63 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G1,G8)
%64 = 0.66666666666666666666666666666666666667

gp > K(G2,G3)
%86 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G4)
%87 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G5)
%65 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G6)
%66 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G7)
%67 = 2.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G8)
%68 = 1.0000000000000000000000000000000000000

gp > K(G3,G4)
%88 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G3,G5)
%69 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G6)
%70 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G3,G7)
%71 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G8)
%72 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G4,G5)
%73 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G4,G6)
%74 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G4,G7)
%75 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G4,G8)
%76 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G5,G6)
%77 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G7)
%78 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G8)
%79 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G6,G7)
%80 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G6,G8)
%81 = 0.33333333333333333333333333333333333334

gp > K(G7,G8)
%82 = 0.33333333333333333333333333333333333334

これから
(G1,G2,G4,G6)
(G3,G5,G7,G8)
(G1,G2,G3,G4)
(G1,G3,G5,G7)
(G2,G4,G6,G8)
(G5,G6,G7,G8)
の6組での正4面体は一辺が1/sqrt(3)の合同な立体になり
各頂点は3回ずつ登場しています。

これを計算の裏づけ無しに認識することはとても私には無理です。

平行六面体を作る3つのベクトルは、各点が動くAE、BF、CDの1/3になっています。
このAE、BF、CDは、どの2つをとっても、始点をそろえると正三角形を作ります。
このことから、平行六面体の体積は正四面体の2倍（底面を正三角形から菱形にする）の3倍（錐体の1/3を消す）であることがわかるのです。

正三角形から菱形への2と
錐体から平行六面体への3
から６が生まれるのですか！
ヘェ～
こんなことを見通して即問題を思い付くDD++さんて何者？

(1) y=log(x)(1≦x≦e)の曲線
(2) (1,0)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=log(2x-1)/2(1≦x≦(1+e)/2)
(3) (e,1)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=(log(2x-e)+1)/2((1+e)/2≦x≦e)
の3つで囲まれた領域であり
(1)とx軸とx=eで囲まれた部分の面積は∫[1～e]logxdx=1
(2)とx軸とx=(1+e)/2で囲まれた部分の面積は1/2倍に縮小したので1/4
(3)とy=1/2とx=eで囲まれた部分の面積も同じく1/4
x=(1+e)/2とx=eとx軸とy=1/2で囲まれた部分の面積は(e-1)/4
なので、求める面積は1-1/4-1/4-(e-1)/4=(3-e)/4

どれを探してもたちどころに跳ね返されてしまう。
しかも最短のコースでゴールに向かっている。
身近にテーマが無くなってしまったのでしばらくお暇を頂きます。