😊出会いの泉😊

同じ不定方程式 x^4+y^4+z^4=4418*w^4 の別の自然数解も見つけました。

839990066^4+10754417721^4+25232397949^4=4418*3120163151^4
139725878854678372058371^4+665867942359528116571674^4+1271597488901889913049231^4=4418*158828760986524532820581^4
152225944905867415902156376625783^4+270819182019128571674398824263238^4+876128187714445505030017880090917^4=4418*107732306964835629315765660587467^4
27976976606216771059969867199249783114828840295678863020736113224455472178^4+66935168501509522550508168943393326707191758808523265480393414548117535867^4+112243133090369611154103870833729902480342772885524997500179682338364779503^4=4418*14195620786961928858799910212095048686523439299180433325439012228248461297^4
9451233251494891395594729120327332438777390080635592116901480829211499184868111795647690643^4+16256316640632516748539518110555177665986374835874970545218326698723516928876809336940343918^4+53204232132725472171175713731932661107108471546847593400545707395100057547319048301800992247^4=4418*6541676750724214902274348291755731900597459532178521212691899738140121428088891896741144753^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=6962*w^4 の自然数解も見つけました。
ここで、6962=2*59^2です。

1650491964322344197661637^4+2210459688733716347240518^4+2522209689895845066951435^4=6962*318635150189388184290193^4
93177695405116955725906543306^4+120159094306411156271972202859^4+137232837767140861187446877355^4=6962*17402416693032814594130832809^4
18635360829508264456813367732628530619732784982010615709898332168170890100032696658512390018^4+25954235861390922629029267994681849624597402494619435964701867925372802035285509816072133827^4+29642395734940022385962381459100840675045800904514108194139226307434897818286657536982267115^4=6962*3729173599939411340481583972662609709886866954641511654789865321599637391424178203913295877^4
3353675991245937089972801427337150227124831981507924570879634145203784115506728145104369866396185688328621^4+4168943077784619233586679645934443278899918324589601506790797980792334308092520908185584605570749131561294^4+4774742873345170829809522580439921369322156981118217124764482004973202778608187436973478632377632658231755^4=6962*607512851131275960333710048169595633626507202547290277752220702736197638026984754881378735525584942978669^4
....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=9522*w^4 の自然数解を見つけました。
ここで、9522=2*69^2です。

2512^4+9347^4+13145^4=9522*1409^4

29751025^4+48409877^4+51287812^4=9522*6101239^4

27548336363411536^4+34270815509506607^4+68174472657383795^4=9522*7052581162829763^4

11823042468517115^4+50508246654083497^4+70133352524735084^4=9522*7536625918270763^4

33026687330598727812747167005964177^4+62432139911280175466986681251797680^4+117027379848984072424296041593776179^4=9522*12097539872487720401887933792635843^4

16668964367511606070000107947188525^4+403817984264708210303012055939463241^4+408528958786237539013162810999427696^4=9522*48900023734371091413337668220276337^4

7857813923727783460289455468336392004632762319464690815^4+44773494505256497874307516135998555699935853122801575736^4+69083073244961919265926290206122078196418264281984787563^4=9522*7283623857611629812445160099682024032650304606247483439^4

5921391222829080458489303558942572921772401693352013836762624888137770137^4+15134142203912840409602718239150719760428991997266363030402628623284520020^4+29061443533668540659148651097336534635787387115859424432198703507585223253^4=9522*2995811856620162037513674208540282018500835620119559415938338666363950059^4

5308559011229155732833101968240101414695270097624316683425844182658716013230306466901376120982113^4+10425328663982448532136409679793736814786833636654741975160832194372162769661122178060769555946800^4+19251223863217473453686598481463501000511409327692944898093959760170551339148892142446266370585251^4=9522*1992098513938400192305206699958342772409132227231650069377622285306794293563751639182909666530867^4

864083715873319593014625022718944166970770575579708666524518447263410725606641514638386956511597271^4+1379205063912508887292145506940912200494787294245478834532650015815001945123391016062684562349386256^4+2329190685678187594707887712881844161106790452869713865552825760738473107362662954314792069651112845^4=9522*243740819150877227274155331573161844446697082664447568086486408893477109380203757190052650727502673^4

33011050386443917838369733140161742641314403627844303068984800547906556332880410098944675882764044064232441586515888344913215055290689700206234101104^4+38945167175449108972921631548399455637440282351491721190951154413474820954032954529466757499469350661029005091527635010515639669080883456429403576027^4+68331927249552943938917357011610861070982630964752114643647627435429430676521982573075877614223380186157462852441789575161613939311191593984737139895^4=9522*7178846537524643198840664780633067472240139205124485304698220488581581788470690116460346470564879546308499858564072888130891025419012011522273572907^4

46257859641696580352050784887029320880258462714855913072675397878771719771215119366221034578171891263706274865490849550038824824480477779160387286268875020^4+54923053106078026957189890717823069941524318260527631700282584998745093199094536251775917278331582383615542080124724232328891995060368568152774678439649591^4+287978887101904407886657997954890775420823671382675915912746446167905568737573944630815665407922622564382886046345754371384543582099469839019035922259551187^4=9522*29167171788159986787570295749023239589154324612275230264189936181125139800063510245873641157918719889172772223615287758324601950923562919409225197433697199^4

24676532430669941021015378407743141306573495778734909306670883346701462406802303104086540964123155012334205707544102103903655626871523206308213611733119167503253828471682019227854216147713027560600609070954753116718147746139849302529273956810164488457703098325163184085603563062715721574064698699829389229879856622685698642142988977719082546390190690888919359018483070080912968043079768765113290547056835304729584^4+34421785702408994482373544809396158580847882542374762652804805341296516731859453736516223128498995943509412760070294021214639911227736535248287570350387333900919497069322938198214760138805124629581691225640692376254309259635152378229382492410959406547342293244540721661972983014389910958337224497019493136295769199554043668393311973620341107501349310507627867676440028307841673515752146223176256957643363300377067^4+76771812552492178442679706307088852785208183512062014635733010749446914777933343320914006832145054345618591394038027336495957626941874050762223790224346728771230790877883148902256390289079861565890329475768739155099312077995867680890062639989101304121233344908675967103437086270932785736162950397406435503763920528658251860911224192459371848647940385700206225916407682407591260241771024491734107569240611236767495^4=9522*7869179877366160533385662099763216512007011481979345533774248060362058449291802341259948499431564045719420213133127261180160042590456271220740506714264496597660280126523481231918791092756856740399234735689250850789079848392927911802791002599896929309582864346232034734355639539793912150464597521991308668090106203071621800735758999629593263633457118670413403951945842902590876131185787289218568023083397421305147^4 　 (2025.10.27訂正済)

1559233963354001182400342451899992753594387694070851598157670660086651893010695727747892455446615057978676169719458083416012882145017900881725874305869320745359900702237281048939538910065191298944232280870996682600169647874314709033747405750187976800169689174163644446317835273815025323661378080553765230594155810830235136495741329544461459782878437383779271687743760612496337570806167035619739468807556243528569536943234505545875203^4+1865629648969519944576380703168728634661030449711571830266051058633181634532214779867475998753476009348981196612610362112233500044433919372195142753129508688709878539129567708235968651219341009182077903280435712246186518289047201046538247727968354786659374610118277980040719057996099206691591804927219512525245888806552051769453378428847808157882973794600168281355518141145843638083808917917579929011126569522470086562616487267716740^4+2412302102768116576465244648500379288561378518801531963690940395093932080971571524665062532267197186962407047591687636381644743727192492378659647416319666386488722471912624721415762802121758183711040613298641892574975667693735433776092817385290040341859709148089173197249228858793940263926068671851623642283445499188853395948140672342780931263155015433337506040945085183519276954365127918591643125859560517770233649606593775204854519^4=9522*271697276883781307028487216768647708328386470328246579904792459590276423739729480345969976606048555616365769377707947372962866624432939621901706553780034788340018757555215802285700065257841390418462929905074214229961495853706961540921012083895442761567678534601798835027791557171758576247471768810013533635517664125853176207258508073160932437730253245321488408778396311090462928647776732979652174914066954866202161256044705859118311^4　　(2025.10.27訂正済)

11767091186909546141306169841720764756130444581206934865435083326718186324558032608360845647478118583213628785572518971058718422181882712499617785288401417546280548454067201602382103280178197^4+21830051836600793275033248123722803872566312685135028554921401475396149139345332250554230224173776843744934332759975080155681076955306345037806994633220063180282871232738534276976629049180560^4+41229378323930948856829177159874273962428511393208645570261693325109828803037587956062416932399612278014005199730734822308303592797510243811009351894727135488662160708486571266798479733343111^4=9522*4259956343074635959865480010451083687147833306946387015352430199526451079902678000416316135792892817600235836811103635222334388696035323579616330654919659124607468630291690038541280227664251^4

48588612696681706539332284880881678066394966951409422641375909276376181764665606914777584727816870546192475066326086587946096959218544100914286141825869923120464565480947472744796829728423082672^4+703474795914013590515101720131600424575386512802901910158455769280283652901529564247237148888193358612654414645180396876766922543609586829454955196918992346633084665273789025089558822056051509255^4+910264039748608729490591252447333086695055227112491202152364539881422757106668742204584809957587510731968719121180476110840796406976726904134259221816237420235676621658712840373827228716396175517^4=9522*99450818535724476838272547619679909733982746157950419736649826908121469691574206136603631699958202228829878415193815996725581998166032273158949702115166379267718973527715079151228590791495100961^4

.....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=6962*w^4 の別の自然数解も見つけました。
ここで、6962=2*59^2です。

228599^4+398665^4+545334^4=6962*63949^4

2100025742028550565317034540707738058045456505545843^4+45421086823208472056892867402399364963564512694486330^4+86814184869655136511659601486250622020198579283437163^4=6962*9677261339139326855835271964461652181768811191847443^4

249298444659946216580102823233061001362855903557953088233344226765750315904321202782503678245420711109072619072504886026525839122137544129754288169^4+426731012331015557050156264319686969010691327978193190239981400598734951250398782346270386307026178732207757240763857868410222584908435162639864929^4+549744075897987365966780251715142723959110464825326685272977437616813792819203052065304918264721987845990443381772406556770932668513763173959270590^4=6962*65527397430050936899944588671541300142348971721754922717799825151542525706306491654476066089155900185262315918276450284734653838306746804941639569^4

......

不定方程式 x^4+y^4+z^4=13778*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、
いくつか見つけました。ここで、13778=2*83^2 です。

119495384902^4+710769404341^4+1863324838933^4=13778*172889470611^4

10858539351671^4+18812592313607^4+43672407082658^4=13778*4068988742601^4

899845672612156501940358798814179175950237961^4+2848880022885609948243685649965165968885824642^4+7290073773006129542485909078008929822010591911^4=13778*676804286491662129399515488528046774580078393^4

631687913623090903089667595831516784423047195476678^4+804951234902616487477212258124739811143472775708273^4+1497481886471447136650176791050619619045018374649561^4=13778*142036082302511592325069503522034652734943191396869^4

2971337102647465424269573409708455481200899933261669359728768414874498419129249^4+4011199880783500963728708761603033071641575266616442977129661802609886773279346^4+8062733767433340968458452582531736015678372203642659814371975481500150833535567^4=13778*758598401363612632870759533310638407976843212900858728190950967627188033395057^4

873786834988008868696443175663211964259325858586525240931193489221266456502947193898^4+1060251999075905785372738302168971788742701144576846921286946060025427258289657464977^4+1648268022632209611192655312063266625599226865666229850181180387231230372202488348969^4=13778*160869996358558772208960121115545311703448325466783526581638187496320626966808499901^4

10979889977766935135998839677842650807330424708721917905534431330218084038922964691047146255548660436731662762^4+23508014031133890210387772586643270786054308663705336895601160513214009567615666021443377005879456785991744301^4+57501462330226830569777675723990800075709414853451977617014446661815884709526834664326277935799796214930780429^4=13778*5345816976019897114409380834901803972621947594164467640976217199806559574936094073912813226027746344457608347^4

12762978579416288948274047213686540612997077401703678289451355774814761349841028157650347333657023250742894568883002^4+19175127697903284298076633715737574428421107634051190570370162526371895207870830664205476558828620990370607562677561^4+41822697629138236879060751579889390282947759417663120149153521418412600184123411841997535426354955519332755846815249^4=13778*3910283479791508203608477079309482797217831638150421678415464528487157371588166912035724119460105716568095594869637^4

2695115167384878828303663796900058486602503956102894967783118815259275332062603521871141141315187737405432338183339819705719^4+3277511096465092385810862801759487319005076619237301576777153384435283948666371402128020126565570075326631417122156284302314^4+4670344358249726444524300809484758872660870005076317838837215785542577959037452860367213019256241096391284583726907336227263^4=13778*464955769924017994358119574740254579722891889992674597404775296440430496399124080420252408014189525077221863018404685832773^4

20433281997143442191584049013355057316919740878176726771779692380633668348505702232916748150853116933579516139638387001099681^4+25928741445418524253105516849566255255722052178012940042845474243433772912963701503906756338803169070307959280862452988311303^4+30528943902617961780990340250697877775287935434920319657136842862064685469226991000647696949485862687521636748250225939808442^4=13778*3227461749111690709343271426402367727740600381899203951992767632876728710050214473774126355749037881744106784821110349543789^4

169406191608333654643982459483321319581782030620476715388016250136784315193192954552784578137078013988631131005218857534074948144156770706104210198405554225817021837019739681^4+14192690607254497183623183266587279411399304691389160460910975754005331394770933967840252889603465782266630060518175897568736597145477863656774164188286332374225989973252454447^4+37543167959902925567032213884742769528805583022464576843907565248618959011289398328828648770986229673710157476734866111670516127405172943362576883319436732923082052985154550546^4=13778*3482807811034607672642738382540045994053704136995258408477512742530117263675974852805157218150706646018605670627960140533690753486744325423121511025221126477247529222744366913^4

633320975134102469452597696493275514532931455144844539761187913193686870497808396541739566362863104598803434532770657578110802307502423995747639418045292014124352875804065195123969262578279421205953962^4+816570097106661905155512256442524336737296939077375400304130457602190382302062845420999378153870281246197469380652718601324181923527550534276817806229383289864189488211818682789241635196185258692668757^4+919647796632978213899685401402326870790353819515638199806920089686635828973120524293857143365515225116859169321843234975299884044918272413993002092314277054535207489008614929233389101533415908605908709^4=13778*98948898976804196126388391453143455602517737524423806995366322253576205489046088144520245560017734025833179730452017706453167666465599818665368876243840344183869709080541952532431676181704454187642939^4

....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=2178*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、2178=2*33^2 です。

528988010581^4+673826751736^4+822834434251^4=2178*135897934731^4

49844029091^4+228952579861^4+1483468981664^4=2178*217182947871^4

32000460716164506351472809244649584^4+47670989989820702500353956628214259^4+248746349899636462497589048073689931^4=2178*36426571922982851947285034444085879^4

219507746553061630073271959990039029^4+345799864919744525022431412950223784^4+383012923799155444962051137895497861^4=2178*64689472522977490497944967135575859^4

4247886730314556740559893326524060211336868814818638384626485985765650696187476424^4+10276555182927856478355052939728893360596697277975658519978982451476784714475954661^4+11670167990098221359860153445747647406368220274887453239745226775105907256291873589^4=2178*1926920096314721144089794707945575272003854088607782609121105457889769940074085859^4

5858372351350412823673613297285142518340249300692964162714681467684315231755113424^4+14262474492421509278535085470527587418637596237419314316151868872102242430440306861^4+54925930702219486645766400849682227997502008388224615170311743961352200421225868811^4=2178*8049510025988136395443832599296811923735586716748306680901984507964215704941577159^4

92523331016124834130983179128468220533345013638229617283672079900912630324404776905949^4+107415245590344077376373651500955307943432343200277172373640004965192143323512211297416^4+745834333180667881833496221561802310937841467955581781234539473812937895131771826249299^4=2178*109194384044826231478679211916895729083271158503438215979597599114906534283557270434731^4

832427785185544741813593446827186459117169965399347964141424998644371511005574282804781^4+862367075819385373310904061759463110080590260291258079049719577752932557771914735704576^4+1163818864297235231518227302727154265527700171153252102382494775886894044265251042684629^4=2178*190490522024141222541614293067769538748705899187170720734526921786328580765163638372951^4

32343646465540020374405054055012194446924556801456454499655399676892132780074396996875979153316607130011137264^4+67184580239958680530404754236190055978477199388350134531875907050458060068646175994811638370491284398555776539^4+69113812343097840881117209010485969598404902804572272496438545006364398625303692167704049531455388192033827149^4=2178*11941280630785677256212008642389605437278007519638491706228928068860632759703064522895297873091747316950194559^4

99086885102907091061133518464840897386417249726456863897498001514314009657822751461773575114680391673548598221^4+145178142518767170057600202998310929638564021753689799020991512191226466544956322490393648081071332820174645709^4+982336358486864965126579910723286009745544979377303211068120433389363544898914219624517002077686214467880968616^4=2178*143816516790840064839285863215486629714430455475808440193875885910190257215178679747243718586950696742653140099^4

7402828404243984605569799596857761083188684616198899318755520325606359325625917142527732833764716150443457464061005069398106543690098472786747725675221^4+109055448219187496167163626666386467122013443971397273156203172334131052157913533533454936408548813157838175427666029864912728911866765220155464114624189^4+258439059976348300495211273805152256067481791706429947947366101179547901609399253574500670190605862845281786989373703299413968571717051166152257178704384^4=2178*38127019987677768106569877907114822365419575293625935664896704268769769922561670479105948209163293163966484983200774207663565968040885077734973580176591^4

355657056903591370904998529196634010697455729211248036984778872809470194701195670163566260518941637617270289629376806990375843499773311149045671575225816^4+1033173151718523130300340072786928835269370800071190810291035789170693076317388211734916205885127282991327309587254570286630363786911745778491872247106091^4+1299605409373936588177403406063494969633460167811906230670001713642013242776853383999384856884364984983069401868806509342735642070321417894879285572904981^4=2178*207118807767775390906579420896511429963360403449209655479902292677845852164520611490200519698442822932393637083514781634913813656388527691304965245386971^4

不定方程式 x^4+y^4+z^4=578*w^4およびx^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4の自然数解


不定方程式

x^4+y^4+z^4=578*w^4 --------(*)

の自然数解(ただし、gcd(x,y,z)=1)で、既知でないもの(大きい解)を見つける方法を紹介する。

ここで、578=2*17^2である。


6個の小さい自然数解(x,y,z,w)は、簡単なプログラムにより、比較的、簡単に見つかる。

( 257, 336, 527, 113 ),
( 201, 521, 748, 161 ),
( 223, 404, 1513, 309 ),
( 2617, 3689, 6768, 1417 ),
( 169, 1919, 7548, 1541 ),
( 2959, 7223, 15572, 3213 )

一般化するため、n=17として、

x^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4 --------(1)

を考察する。

(1)を解くためには、(1)の両辺をz^4で割って、x/z,y/z,w/zを改めてx,y,tとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 --------(2)
の有理数解(x,y,t)を求めれば、十分である。


ここで、ある有理数uに対して、
(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(2)が成立するので、
適当な整数を掛けることにより、(1)の自然数解を得ることができる。

今回は、n=17に対する最小の自然数解( 257, 336, 527, 113 )から計算した有理数
u=42/5, 1818/397, 4242/1945
の1つである
u=42/5
を使って、より大きい自然数解(x,y,z,w)を無数に得ることができた。

n=17, u=43/5のとき、(3a)は、以下のようになる、

(857*y)^2=-417359*x^2 + 1194658*x - 417359 ----------- (4a)

(22/9,1/9)は、2次曲線(4a)の有理点の1つである。
(22/9,1/9)を通る傾きkの直線
y=k*(x-22/9)+1/9 --------------------- (5)
と2次曲線(4a)の交点(高々2個)のx座標は、22/9と
xk(k)=(-18854*k^2 + 1714*k - 1832)/(-7713*k^2 - 4383) ------ (6)
である。
(6)を(3b±)のxに代入すると、(u=42/5に注意)
±t^2=(-254853803*k^4 + 45052490*k^3 - 58573092*k^2 + 838574*k - 13790777)/(-1011336273*k^4 - 1149406686*k^2 - 326581713)
つまり、

±(3*(857*k^2 + 487)*t)^2=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209 -------------------- (7±)

±□=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209 -------------------- (8±)
となる。


よって、楕円曲線
E+: y^2=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209
または
E-: y^2=-(4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209)
の有理点を求めれば良い。

MAGMAで計算すると、E-は4-descentに失敗する[計算結果1]ので、有理点を持たない。

MAGMAで計算すると、E+は4-descentに成功して、有理点を求めることができた[計算結果2]。

E+のroot noは-1なので、rank E+は奇数である。
楕円曲線 y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 の有理点で一次独立なものは、
P1=[-210928092371/204304, 61985243766606785/92345408]
P2=[-3314741716184/2785561, 2446782281228982520/4649101309]
P3=[-27132923883491/32126224, 123273126454748335363/182091437632]
の3個である。よって、E+をsyzygyで変換した楕円曲線 y^2=x^3 - 354982278072666952368*x - 1814602859398845682809197438592 の有理点で一次独立なものは、
Q1=[-153766566926991/12769, 1219117269390998072337/1442897]
Q2=[-38663144670004884/2785561, 3078756446230973138552064/4649101309]
Q3=[-19779899559396831/2007889, 2424871429504987817947527/2845178713]
の3個である。syzygyにより、楕円曲線E+の有理点のx座標をいくつか求めると。
1, -3/11, -52/53, 257/191, 284/857, -659/883, -773/1021, 467/1157, 1213/1195, -373/2571, -2549/4285, 1123/4285, -2549/4285, -893/4285, 2885/7067, 8867/11141, -7885/22613, -7193/35137, 30443/61949, -32537/117559, -71960/122551, 52328/264779, -134731/283667, 97333/297379, 776627/106997, 1138909/1449187, 2286655/1130383, -2528399/237025, 2045795/3178613, -328385/3875329, -6335275/6348323, -6739867/2263379, -10925201/1229257, -23341669/2292613, -45479135/3614599, 61957519/45165817, 7448561/67942103, 8305675/72825877, 2699/95097005, -177861821/129253597, 255287533/98166779, 14464696/262703923, 54749693/322057115, -1642709/382566763, 23063195/454707917, -85438423/603347711, -773428580/274731061, -57077759/976968343, -1144187749/1185939725, 1484183104/225255475, -667450009/1757352641, 915021392/1841673521, -168931109/1917633421, 623391085/2413191163, -1149618439/2628486703, -904616264/2628794215, 1933785709/3039131965, 3572162513/557810159, 3742652407/2834781361, 202219351/3743061481, 236149021/4045879003, 2526439303/4783332289, -3351021161/9484704169, -1803142273/12137342201, 3341489149/16609992187, -19464137383/6823737191, 17130342527/26312129057, -27148117817/16368502033, 15908779613/32730387299, -37675467433/27979947041, -128146003/39276525107, 16154164141/40480477885, 55846600333/28386132475, 12475278532/71465353411, -1121207891/147807031867, 89847489356/168249611633, 23753490359/202299430049, 159638212799/267197161145, 115988670719/436305364889, 612696603979/246797683339, -480250421407/652719474599, -335529248005/872164892741, 535665669475/906667684387, -26475050089/1020376747143, -65393920157/1041488724445, -321152161853/1195172351581, 1084350164384/1345201603217, -658977544913/1370134048831, -1392943937519/515414827495, 276920885204/1662849519539, 237258368071/1740850971481, 205174626317/1815804446621, -1184647511119/2525673234863, -122805276167/4199129250319, -521812196137/4556626929623, -5351430342561/3335616257857, 6807406959995/6908757154301, -420418353529/7629665580473, -12219630158744/3923639454883, 12771966364111/2173024393753,
.....
のようになる。kをこれらの有理数の1つとすると、(7+),(6),(5)により、(2)を満たす有理数t,x,yが順に求まる。
よって、(1)を満たす自然数解を求めることができて、数式で表現すると、以下のようになる。


257^4+336^4+527^4=578*113^4
2617^4+3689^4+6768^4=578*1417^4
4304^4+5599^4+7497^4=578*1669^4
360368^4+472107^4+747341^4=578*159967^4
31616483^4+41179627^4+54609368^4=578*12191319^4
65381968^4+88720433^4+99969847^4=578*23626701^4
32193074203^4+55137925928^4+115838763997^4=578*23956381071^4
137719266224^4+518327846617^4+1240115318079^4=578*254835621149^4
37748011899184^4+53594235797981^4+99149554742299^4=578*20738861139087^4
911962469072^4+47697882831047^4+117088521489553^4=578*24042624900021^4
132040660931^4+50981397800904^4+125164601220757^4=578*25700857668551^4
183172606825601^4+641724245129489^4+1528921737849616^4=578*314226890651457^4
3992834180231888^4+7947888557831901^4+17553209227881707^4=578*3619290521182967^4
424026664488682768^4+590367110261952177^4+623604801055104311^4=578*151567028070931213^4
426782348370995248^4+597519030989210843^4+1087059872673685869^4=578*227821281673890983^4
511871981592360784^4+863111044562217231^4+1800903433700001673^4=578*372616286771678861^4
1650021572438995681^4+2247043212746366664^4+2507220270902205367^4=578*594958299500558309^4
1612453217410171421^4+5743271933345698939^4+13697534912126403912^4=578*2815046894250490591^4
7936594276895418859^4+10732374603788513592^4+12212467136669907859^4=578*2874813599676665071^4
622958770626821931152^4+2074655592165152706017^4+4926169783694173430391^4=578*1012552004365558762373^4
1962917948926610413363^4+3796383477507785726544^4+8319462310438050509213^4=578*1716105413379319233203^4
5384567221639123662971^4+6997214332605763269997^4+9459926037921191604024^4=578*2100247549156328095031^4
14979387953953074356329^4+20946524056435695442864^4+21909160248870089122631^4=578*5349267423129536330697^4
144091019256093688591481^4+379718005409783626524001^4+882017123297849127717048^4=578*181441554542368090763581^4
431181146058955199121584^4+562696779778915419572749^4+874427646138745348611131^4=578*187832554359228114323463^4
312434022614016528013847^4+636432985842491242386672^4+1413721289183998561918361^4=578*291407432306288627926393^4
676667754188561721721808^4+1721774108602917055112737^4+3981501314758365708216503^4=578*819189754610213423150469^4

[MAGMA program RP4()]

function RP4(fd,M)
T0:=Realtime();
for J:=1 to #fd do
FD:=fd[J];
printf "J="; J;
pts:=PointsQI(FD,M);
F,m:=AssociatedEllipticCurve(FD); F;
printf "rootno="; RootNumber(F);
for K:=1 to #pts do
P:=m(pts[K]); P; printf "height "; Height(P);
IsPoint(F,P[1]);
end for; //K
end for; //J
T1:=Realtime(T0);
printf "realtime="; T1;
return #fd;
end function;

SetClassGroupBounds("GRH");
P<x> := PolynomialRing(Rationals());

function FD(p)
C := HyperellipticCurve((p));
fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
#fd;
return fd;
end function;



[計算結果1]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P<x> := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve(-(4332514651*x^4 - 765892330*x^3 + 995742564*x^2 - 14255758*x + 234443209));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
> #fd;
0
>

[計算結果2]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P<k> := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve((4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
>
> #fd;
4
> RP4(fd,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 over Rational Field
rootno=-1
(-687086638337334779045842115/1020281233811497079184 : 18103831760074552611829394499506339519185/3258966138237103174658\
0487634752 : 1)
height 51.4128814258091804198557312981
true (-687086638337334779045842115/1020281233811497079184 : 18103831760074552611829394499506339519185/32589661382371031\
746580487634752 : 1)
(-40637304303752392152614297840987955910345164038228571569315/79933440530789674858170567405117976705700848776979344 :
5139118464428488166133859096171055664264351136063113292474700355023705635813140102239425/225991840811874984342996246241\
91742285136157289233708804627094575247359543147328 : 1)
height 124.817988080703879880727284149
true (-40637304303752392152614297840987955910345164038228571569315/7993344053078967485817056740511797670570084877697934\
4 : 5139118464428488166133859096171055664264351136063113292474700355023705635813140102239425/22599184081187498434299624\
624191742285136157289233708804627094575247359543147328 : 1)
J=2
...省略...
J=4
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 over Rational Field
rootno=-1
(-27132923883491/32126224 : 123273126454748335363/182091437632 : 1)
height 18.8919679210704994202720646483
true (-27132923883491/32126224 : 123273126454748335363/182091437632 : 1)
...省略...
(-66996741059455025828624583526036284283332075909035/50870510158497617558758424228679897856899216 :
-33225075956333521771598929318378893719039539417616286028133995342322288215/3628266170517752686090606297680923266273325\
17791450461902368044736 : 1)
height 103.793113698916990650060057862
true (-66996741059455025828624583526036284283332075909035/50870510158497617558758424228679897856899216 :
33702920602207105488671174531601698730150323030925233820529762361855818075/36282661705177526860906062976809232662733251\
7791450461902368044736 : 1)
realtime=151.878
4
>

この方法により、n=17の他にも、小さい自然数解が知られていない場合(例えば、n=33,41,47,51,59,77,83)についても、
x^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4 ----------------- (1)
の自然数解を求めることができた。

詳細は、公開Webページ
(n=41のとき)
http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-41.html
(n=83のとき)
http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-83.html
などを参照ください。

不定方程式 x^4+y^4+z^4=15842*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、15842=2*89^2 です。

126215805930147^4+485935830351899^4+2973546615480140^4=15842*265094067731333^4

236158429530448531692009863365098768151663151306576841341335723161415719322908976909991812733873357804925231937889826578804525145469101^4+283293964486964464224516447743899035752285897905685403979835833551666003081655906734176753972087965135564876383588161764282993650626435^4+1852381311834935750237261357803228034624125438244795658444100893385105070692805640862236353930093123995101725029863982842093106693337828^4=15842*165145190641921456766957238595760956513692563001125795696726264084587742066655585830135564897579894923526426130066675581025906991381169^4

94823813032644294721428142735054976174667569817339773629143976228070377333187258536302661538030391671503457646043591508300786904833534234084228686248527446510366425940299229284526972156382258200399538998018901718438574700901791635618277814147221510613493606615096627561110986694661701093871685803157481094816818576979953144623652532567128865860074301749474128517219199941075^4+153097756625465939556045833403960274117140702350818003444472732149494028689897864324963641003768624086993202932538448345490226852356797360744796764813668391470909344672028521198482456990332131598787404805009496460519727718604757380034106376914745018264797612462891528649838718454792285821491382320896630811947623109923578957561420092628872710381072695315972510963716392652211^4+718774163774293278320456835430159440537292109613301528548042843598855373971446023656684641402486766293572077506927471633729920002051962120213825401103196150319341095297419546730906733765481455935020334928399154362932200907846984156498665296169281088511281140356014254755100079056535262673973591112237138234797223896961226104828202913884475791043039076487530102866845098333332^4=15842*64105606897885694763667337375598445903952289837320872231122540950405608831207927732278818236816903710313823211845200258817794047025782946231184497166645061741607711982926663347042464546703710215352691763812940004206993207773742292506039243573577669006540212995381804932233093161684724288023946221917816631541122665914223389898411643839275939682518894539274200532613165843801^4

...



1741159879^4+278196472772^4+415156380825^4=15842*38743789163^4

264969655489272996898855304594180249126633464732806856821540706873750633897448848867267578935283437044^4+361682073306942838435651958694629042177131586063663165825648437842499979589004431802393339855767906825^4+382994674028578746783341775177187661309563054315698368742944007344090996679206639224538606230584240367^4=15842*40720638661305420612722155615314259167296330704627036040345118311584880879301979511492594531167168799^4

262014099938308381985789711386138418198678777871559642020065434070405615735419134217152068281282415848356685461599383924471427299226050862542567058468103262504795844378504683226359535077671648183429966726200141073800758306787816313444126128840862422420816974606141439555437054007324^4+328465036966340813444499799979927465247255104253577852843816460473958624961113059281817890897236245271737317614083469267807388755595453313473741611091354057450119015130599518974361280968600308432342395397926910030690516752842339357250374670398355684802431892446877901436996794907625^4+350566271860209455275895848718172790449574392001648100566117681567842628749040153735811210525021293959674122370848037958619931032133328212347310594573005081565834785985813173229258895829077214656716739804805315993133666363674375961662857148634323523913304805934163267150428218510657^4=15842*37538406057560437332189763255167425808113387106512247265130392580828833334849199096712423953705956545213214458284721377474304490277283334005693833168750335160943021905127461921764174005124623446959427994919247509003527954342019842018909189262752726808882087133071092614889919574071^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=77618*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、77618=2*197^2 です。

4860673528^4+24006575631^4+38338524973^4=77618*2380651549^4

24829196449573^4+1125998409188616^4+2120615229563201^4=77618*129501786045767^4

1097790804037280567687738576400844184126589713250556259136^4+1173620728779527005833214303945431237181941396875789192879^4+1533397617848974155982614788999322095159116561720164784427^4=77618*103416731029441083350006266645433640553151312838113448377^4

...

3023^4+87563^4+113196^4=77618*7321^4

852131016296158031966426452892590082858366047^4+4697961519207353930555942026558841547355688388^4+11958860975905697097872020068000815141065119157^4=77618*720704898034267382193870892542804787729061743^4

12851783456714179158619727941207619911877209537008760902973809833207490271793826603328361512418257347531045334590929829704049901^4+47735022789602108430152186001743860399641736998355926337136056451872196869592492439012972758155794724557841577486910190675230348^4+48455971139095208951302757743424201266155076850699178533926254768535774330860087438508158231185657011282838771174677524800650327^4=77618*3429132166229808853245343365423534100060752970626190637329664469676686886570620754062288072516073873012221171642363257308035871^4

...

35154403561^4+146558018957^4+417622337384^4=77618*25114981617^4

1076470079426759602595256484156492870585772110712680355495853147798682525345725958055928459337085851^4+2825086203938083017227497848126582029049770397786190385531807873280956192656416316261914831261786529^4+5259489172286407810339592707800613135015971798149403929514527986966499103510209008884929712637115144^4=77618*321595721937016086765094864121584161435701497679197114463279076497094173980458103460410716307385481^4

377122426518836459144264160966815679417961992784375214365475080862993836410260361408388504281631976586545417903769521352505741330880117140576494013083556468570189006635608066895364623026725282116591532105300473464339127456743097907582498507844496526698149817400504284392203823^4+500702678602101419258083286407725871501336203060486609647231419557031501648202924038180961682259176222086002207510080401767355195939920995040074781237206144940394222255026624029002077837314905021046366151992856669548415043892047971448106669189058498338574499002574201093397461^4+840420759019377793064590447757336616611112988912435477257320160174882548375830941497662203204070820376617234413416695476523723190804246818794313369708498824492800625688140155818504183350973946094054955041367861688595747035877222764596967726410109843204519101743110649070675144^4=77618*523275681500538214753369893527484570906141564052941484818847105743934992316507377711095384001385290055990023416785219136969852611028304266872482302473866865923728550079512614898321067027759417386652416027430647285737511490888809965910094907110891419454255336850346165897514

...

24399746886559617659768249731254457^4+36192317331430645913378165231706891^4+39989299859618333617045727348964464^4=77618*2778727179597458396268768861002581^4

13137945213194224349900915151933507529064451676064484342725203200724064006597379387672168183903424094069850090868516331945409581234537519283487921045660745045042271131307036485189146409915178008659444246305599007884752606541606432275968041855935857444455790405862861979593363731149343310840720177937498463187969833^4+17381645336693369570978245043342837090873050706980885408802027465514768469370396707248333538740440834808302787123446421140866423633079669409253167664980604127432066418823289743709698863130993074348162311807018258727303417761427473020371302173541216012908649339284778513870269887026469510079474367866566419523214792^4+40947547119039688085714962287038412315923225426753460764392754616840110422812864771686433330583032129396739211900377139454443218272791631027315520571292873699964561797943882310030701370947670570440066522791198927395629447107075289473014220610534540459266212051832527424486641479472784527451108990051324827719953571^4=77618*2479220382006238209098614722375269019851660892905174587152029908925407065145141499020762353060828719691971143925594076707066272231864958244464039208159679744407312562159267077327229482509273196753257945096500865629967714653532928063037166827457094552719808580139515253082414634030535823511962860899329460567379513^4

...

119522180733957213038997^4+182950362081371688453601^4+186303932449286322802264^4=77618*13435407886702380004159^4

6571617430754375803694417^4+86682826729908619184872376^4+257157492294074959777832581^4=77618*15456151287272505939431151^4

35417305917314159649133293189979012855498045827351^4+91112947443061534660598394400956722315555334413576^4+135187120101279497120825502560714592897003831522587^4=77618*8496403643993648400685395639938832059048097209861^4

43928220929113849481784158348472486252453767813031653549^4+14464356266689502717825747915453503555468016771381660673032^4+51614891884303944603786735521679303742713328372002836257497^4=77618*3097076705213009193024538576631890711767604511444889456103^4

2505513424190567916237619407025657688377596015938626320209332609007073557834971795393596704991264452710504^4+3005503608350806966402446610297810118057879594161800102935399633202334056147496436635006409567203387238669^4+56411397349062020545253581099925566868977475487746139746484007036363299802296342899070408731946115517622287^4=77618*3379695262748419996995385524716573046370732095966746467880038076505678959168726250279467680077462497086989^4

2518300794775259843228825832121895891161611739444642054802326310952739564301653380032747696208525138440019128940536192043^4+4259350946501526688334366445783510074283196342290022596358785689922046856516895074466110127030079269167514377560628643256^4+4502728830365662773041693535490022166886244521416078173559352903137932675498612913903281650974852848068377588477517136359^4=77618*316657903244139193852997049159405054712297313671203125649542999175835541430716921534357944398373680268225723331158978229^4

...

50704^4+298617^4+3012059^4=77618*180461^4

4228639227871331419998005135169518542809789613340399558477381^4+8949540730362524474919930925110422225944889540497380314591576^4+59698729612254485501606048750122783279688948829180484357055449^4=77618*3577107826659936355129770368627268051240397515484019546150163^4

1062958918505961660985643853103538440628465119898997018105262019443513740443579557568284920503300281718946430995829811262427285839489227391639325680471804288407179155443464^4+1195993185974240773937755629972333061755878640300532567260543103085825746180899366215720974593941833433511624582367499657884994301032142988026551514694574045727958511542737^4+7817621246001328643781605992866550282708814159877632388875065607672453741050307899480361252142478344318700321316182585837342355503471075694428923942672924909576505709989243^4=77618*468468675268231839500311929098641901445415124061360875166755983454015876841992969562442637245486597788715671212724906860184186989295959585856490065896426878758516652449617^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=69938*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、66938=2*187^2 です。

17122^4+69383^4+120513^4=69938*7607^4

2711220453295925570526675638446069564598822^4+3293453271810958654031762892184673672315713^4+4739804872579084282084095696581006247113697^4=69938*313597131124813092507065857179838684344683^4

1352269174692743975391667770518410195476296250777320459940410763961909367159900111778602881602442559071109477783103313^4+2744450865202797375238045432112948179299943916702667659080309273628479053875942526716052023801852355476588675595198538^4+7958413782859965906819246641341219832726939905191766247067398215498270165449238069255980334415605709584253129181034017^4=69938*491204264930186091492639119031791885589528665519561481961603808282522463709775955593869934423087087934764152137671363^4

...

6086^4+9507^4+10861^4=69938*761^4

5923394966698561728962^4+15301293989247251073953^4+50176446083987978811471^4=69938*3092269961057201636083^4

1325365115393947891569013908422151^4+12585605149268636076631952580962753^4+21134041854104996350824134809098118^4=69938*1338652538719170937776437333686423^4

655528569063873331031607033961701815529^4+2443573905863403083943222897796025776943^4+3241475154389533379306077606059941463866^4=69938*213839131809240429256676332212942364759^4

894795953692228385413635330688177515303004939^4+5424408360320508127914350119119513703249651323^4+29378451022357335512811612436251701254644699178^4=69938*1807077588658221727476125087568492499927139057^4

836690988154992453050439422943340568412108612807908885648662961122545926476726258^4+2002688896898489898367259660418498655855727777528688897206678516840880880087869739^4+2144387915910739749699452019165279827597185095648086228863427411345684724200506557^4=69938*152394444609010519247517787322284022597074847745036842623981696733612154617960357^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=3362*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか紹介します。ここで、3362=2*41^2 です。

35401855^4+40865628^4+53562031^4=3362*7822733^4

76298339723306940^4+144376098024837517^4+392097054273222611^4=3362*51745745604910607^4
22630934278564908444565^4+218426009168410193424516^4+383430470008039234123883^4=3362*51630869931062938919159^4

66362246478987836342552992091201664685210465639474020^4+96903091845971137820040019904874448516482466179139001^4+124994312898188111523490811243725150204657332635449303^4=3362*17983883123274685049847136904533151182677188556511541^4

...

9377628687576699475323058281586350049259392^4+13430014704589910030158850979173000596100895^4+20303281756471950430958532134416354382384369^4=3362*2811934334922047505814776216556178874202477^4

5498135392732925109261162626045794617464152080091839387103372305851152229903666639962520936113509171281354765231778434745070259238059683768731206138031530833430136633925114995915223961102596877147376745966204204393468930202122747736838826795539763595584143874361361918275093434836947859640605106999487054002327254341284083440808532495298591842672676909064094063402418024635052955468672^4+24940513535189389030529566509801237470961153265354221374125724292068210237872087111415747394055853371796373901462298894705072441701443235131181627539301057011369486001465021207875378258215874668104815593850647795888114700596531565017047458328356294852306717689220855441617939832252220615603203138780890612485850655377124323954887308124631495932327816617068905914838628592700471154950595^4+55078638415850795899791350264428770560603317816461041979796025199706616886061875163156519121879430323910757142397112981516611073906775731715740511089434102035560246710297818449737406235328023593010904184717260190291214363551839446059380839597129056175228033047106427126917267493934677467894570269153046217671517296321259962963025924990501738376541285165575666706403561924260809276963181^4=3362*7308284986627379579332022122964838807852389744222258183890331294454494351767728339596233117673559020755632036947105480383615556324880207135376912478464743751208921623736441407850526373128938074179401998211489486692630547381704037265320444787522683601666046213511820331024349760134708931327048643606620152517441352648239564650685560952851953865025201871646188150396688426655978867400567^4

...

54318237397623078704946633764115090845241645585865885^4+93113187549013491119042852742115837188648985970151568^4+242144728952257624811403672033502422839232202982146629^4=3362*31992092958798009058793665158911374511571697229115187^4

98577770990587235223653260849164159651172019106954910560839418012517279790559028482384371535733501237842258389891386455546311054594579174380642001413759937448028213273003143965919783396850952231422232335120446383420297625631698655619100490212944972039540463552890972426900069697475266069472882522599378940182038521272478745571955874589610721203331994998186941872571497060332988146203600429698151096742026196946993556487895701857596968465884246081139594034438287380502886862377378440^4+968941274762430694626075922597708879481183011323272512946494226262714560459063119174775825349497329043762452477363370797270678696473468593130079369120777366813448095269441596575781423146721111731864911344303569095428477981040045742693869264415229658799788487898333331246283420570890044720452999144112525741052912694091105593700511785491895165958016204512593107505828307397431115703336186843528414499940848223050124125047412495856013826235812311106350190958982304741436754386455633389^4+1827653372173316845773220027298461416343441991116904414990714669086573285886310115151550444718356723420148260638593979102225989103852894850331535801047263347149773438007465401311292746495831951318093238857536641364115556478248254436642452714226363883877364148961574538017121809206994744864448325012414682489801692132784049290559436984301577306917237139079521645186097247872553959121728206212668610397154632515751013771746338709367329357051836922124358285011997394443184156230812307213^4=3362*244624745627503330700155973275890959948090836256307986964320485130760851705477885557269221288235552166709882508797452649303439671627415170623749464136884711896796481167107006252861309281880484941767257672021346242437895579539511813234100620025465151542211914035699118029551237417868174195708464516801717178849006074131584748167384698829818521622787058655745436865992537546996602784461659729903788640405160556665775832679695543981768504485009247218137828420669597213535043445042633231^4

...

92988^4+185585^4+200711^4=3362*30433^4

314623956181553354273249972099755645960593522094013^4+33830232913875010523309417936289725557988600411726621^4+58958393745878311529280931462685062088878588503601020^4=3362*7944572692937605931217541696712135904520977308433727^4

...

5441389686377966197^4+59528816491569463381^4+73706071122362481980^4=3362*10576637809123172967^4

12788129289418538656583110859149342881081725946497676756279218591709343976318805050940242573876825536847176353211152286161397952348043234634370145364853638919678696544346514963^4+716559558924251455353208701782266074138668537291926748688641765143833461766976011371621765035027140446476487381115016123661811272479490282286041624293752313484017174970984228044^4+1888460599208585942858244659257474151615773818815166388418263655807142597873999078220643520127170317005797831162288172419830594435085255482824279282505267049770629540028433324565^4=3362*249279238905356521011479619948062442521716553688857364548923932635274950240004172952467410899781043121209143798189531692147938521021977510914437859306150336204908736606071329091^4

45784551598875767948014045363298492662625521122697343237303640454839831644865770733258109073031142594020166622627438491576184294267452650859334358633349508479850492994309473493490605474657420482585395445126644159471554188420510898411396685649956209879188695042281856955058280527357977813348228151358920361614388009966831440549513405972668822633451024547585967938578022978325397786398319738151878575324425298257085037209855318625120377437672011487328547620352760787906699255235688309487793685^4+403505872454441123030324276417955609072203785009046841074530574488275795920298332679891220901257137202195520998761832370449482982435759372433010465464302425432054927571631896321680680283496790769154426300319759418946123390971576657080215020475081321139057501437176102001025085675910206076425902644120614617366371553995622772595326374115297339961237641746732341489036604108170910786221146258352058011075731191378672479767502418508370387395532149561479089778251264412204399930458004770895093027^4+487029457994476951863844520632748626963468422120187906449645750643892033310061107797282427302392744057159636914240203479438638017786419674598437295773580082915731775928959718313080668855571117580380519880103051978305267213396001429669013749337063737049554927476071755480154279983383573960627973989208379677501643126976790435010242307981333412535224436541498616015191960006360377522618392145341845848615446186463001325928275350766537217298566480100150926634460050679413786020885639847640786724^4=3362*70441298464498829141374205601882646198599818295917781823406966397581677067689906746358020491662403374555435846358579025004461397087565979577738061693469903299859857066866037749213488868751482117520637192769918294340994693368711938633474959556500683710880161684319786313604482006801728776356414730468404648157569409707079488727414620745879905694014011304447186952537637097362610458126033644865594496578772393585950274805375037774111262562455100476315432586195698205688502302458418696304053739^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=64082*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、64082=2*179^2 です。

4458803169104689069822434682090^4+7945715715665061208795528967507^4+14738000323174715042781369545851^4=64082*947100144500472880024381059063^4

351869068579950834307334925313357891879640123595139994913673828140456944342444710470875483520521483570472311630769518067976624264214803626940155553821702047458076169526899738444748066119247075836638274716431018372873930584708840824246189870178964526718708696917510973361467675899^4+369400766366717565446086070971314191652746938296872287657240098209191401918789342460178856144433515150829453003862340725304428462882714610249488945283058196159479458422268121200943655801200514610636286513263448207380344997504189586739352690197478188956599491354044438900754585357^4+678357662825149801983019767710800708343752899183210606651191323866802339161572612517256069220681834556956681298927928184012981097545477662535501953107242205470652568457028371069837741538048572795422020102290466095706471160736540977605444116065394472507524542641734886357797858230^4=64082*44250654377956654086321493748474258114877474272732789403204895389162349821908323043787851979618079537475382975931567129282797602694774131561214144790474867652096371365091070203377506238675714547053390796969965982389021171040595715731633043894045861661547594457015087626312444487^4

...

14903569185521164040330^4+126910697431999536321289^4+176061730686227662152879^4=64082*11747207496659243430019^4

27110221542712944435736429835971346065798331754796090279514198348618884736364091152442123163463048503204405652585314938824719997234553211850401598926692103381284480128472535063208544713973598496718638287330^4+94082244561760669429529280352996612983245239322948523916860315785808877132907995647023837301106012052008875472900812131180473948693923430661990168261145523154997789967661613884354258259477941112227007145099^4+116012408772720935566784184259726455321229171621380282425593550459918505469460128140195357694646912683506651954346226154968343179315826655403250779017855941945488080476954853888539497176978940579211134234109^4=64082*7981267909942974444498023896136708188643733856814450636605077215562142191442453620185582048966240261789561826052587021359272885484155684700800925403885029694630950532755092647593555228514798626714844222089^4

...

204435412070026^4+818976253406815^4+2621584723264119^4=64082*165163107938533^4

17537137653148550^4+89277051858664349^4+296019323791884621^4=64082*18643692946777843^4

59097058255223912105^4+115934795785905848678^4+323171332455293862417^4=64082*20401011204988180909^4

164954939599125192598361045^4+698454134784823341383038762^4+3132369151768440596011468347^4=64082*196996189934761375649599579^4

9924236845528436469390218629^4+10501141431616917207669841750^4+29710313111576864086011060309^4=64082*1880301422461315862177017147^4

63117562170109887278374083067^4+134263362118001111420777859850^4+380259050946934772090468309643^4=64082*23996680004860712174344042219^4

...

586876415^4+2789777249^4+4823616902^4=64082*311333271^4

29092425519825072553393^4+30531669588515263454575^4+44316257411869674667046^4=64082*3035723354029701765543^4

407370734864891145587177101754663144183^4+2963785246024699774186933541348160596585^4+5397962991288404098964161689416273459894^4=64082*346731533724132664586987195625049482447^4

181266693233202519435250972494120385014015914875993887523587949526203345653881^4+2407493961254366669342364811320768019991823253375522447424087288190250408391015^4+4587168243500093565210063992416297582336417990175083160387155554302664584238998^4=64082*293630431161562205164371671131209136460396012854686523514538683658399939130239^4

180084348089356398418225537407451471711788504977339606392373194230425178455583053^4+13146449590023293987890009280532441527846158036909560733337165840807962167872521965^4+26727942363759226644333709292354737318887521739773563855349213698753766279741559154^4=64082*1703951432426190437276402223278047757496075949676941382073928311874714130891315573^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=59858*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、59858=2*173^2 です。

63816^4+94031^4+110677^4=59858*7997^4

5388144438504674231249554973448058468584^4+8275683459256952944445220225869364435037^4+13273842809256076095402271223494810419623^4=59858*884146721749939486316554097823243964709^4

...


2905988407102387755099198750089142477^4+3333579448763531432754324740276781752^4+3586561478163250690110642498743867161^4=59858*278533855217532121314514770260741347^4

51053818208180849747292421467253024367483419429257863839223928463460806952815455437394082345858133280347596142018929295090886277021773453599718940036914034561871784226141635040319180181289823851300438548592962974643646686546899239053354780304800068641164744673544107840942913639549384617183130031272969127412253073307127645836377429^4+51330327024125768209488159570288715046628273362459358637955316688126907540573760039947244851826315514798804354449791338734853566969673212121177946322100126903464930756510188404170576128997481332901328349578228481024277552308315565527551831867513646963696977604477681904473951776265037302265092370096000734629562778533751426519658729^4+64331155164994845357082183963602821838613788874306719232292744439446228660902434347507670792123368953391834249744566812893990509982173679075111763065335028044359461119877185524176449288413325302878539065182289361485906404269612446127064852605033417281600415672606251822645707871877651230443711006998796330758152698055498482312650816^4=59858*4765182143181237626968985786787809130736424153949208564410608268690573859313000966528962846566913685941228558330439049276322311101304057283480899452734698200536388922120572016264679453885492997492456599604437013932124927567421094981336901775794042985037536592559913636305262722222672446989818970239919589442302995541164556441467647^4

...


34027731244176857693424923689^4+49679350265336908412421547867^4+93664253000779810569232111096^4=59858*6127757850984675358794326967^4

13449919765191686834049551750298655606589212219984169492562345585059909425328509432224546133064709932169274263386737948928879241557726381945355544539299358389603136414211546171730274127349703082791121853808433572160965030652284903632974849597453328720243136034439^4+17609688093782665980913649103562878084911179150398468931353733436224354012937984077531726564932020151712776552196036252540345772213492818644372902317972995544575672397794893472842142993861531865338197731860869444788849864914838517429822879276368836817710632375008^4+26980676005332347633704981858700263228740510968468302753057667456965737118354385089045492645840108432033357999985302103546261473758235376950777510536974845814055738585204160168068362896470062410335651210745896182024351282243177766682238681820343276898148194586307^4=59858*1821416664865557996823786892986863786025324690579989703506117894611440050605006640501117892245512820182267049621555247554519904157160966979729278915358729911679580133588043168573056431703585326894331083403468784145827039424896414963066312109654940961905604674459^4

...


679791440013^4+2128975834321^4+3996861353648^4=59858*260572739551^4

8298254366067887527151625680512601429944071967978369270659534926654636419571825890985028752187144998867894434977^4+12550205084903691318311628065348028423423620286391758464662201589157360805908670516171172841237374160230411491957^4+20499075555037986305743626465214896649897048705369024753753329472209530201586107846221645930003282603603096008272^4=59858*1362241383795746802067203423248066909360791257709250553451798174346021464190506490637500936884158662588125803397^4

51449340302885958111501799391069587098702986464589855890520800432290043952527546741065232831122784109977227658229130193708664707611787628240015207798346211755451756202617841780393442834052631379049527663118316098223602665142099136956008066023702347624201453804875496265845007593152777602078040007592709465414279^4+199188241224050372688619835920686069838962515951376892017900777539078151220486118104938752851986804269230099088506382241685419979709738565569448226357836294610865893539814566024948809006571041327691971130313871983912957459940864175288081317756956118653117639685641334100954435309128159353025096322062236141385773^4+559256496754052494377371241800407984761534238163040816600805209870126832065304388899283317408585748345289307594341800406081859919992238204580649928259271742822425964499992740292592894118436497282015529881369354703255520461664487506498871476190797784592293937177084711105012388341498526185909856956275152042865232^4=59858*35898094889039419381595403389556989655965810462502354260204688026554116987543451734935579178291679615771947621090432101967971804026069303427291250943832946208182978042481445040975493448404429106343273374753326982654883485630254811086111362201015677401201578695652428547563404532880063525811306027160050371716029^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=51842*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、51842=2*161^2 です。

18012285839^4+160993697295^4+304142156648^4=51842*20540619617^4

3196120809491994199987^4+10144284254198726496565^4+18184981538985852348816^4=51842*1233593881662660701911^4

950327580098864897110513805183573^4+2044196037777235605022373204865229^4+3328961491779438726210096954139200^4=51842*228403089705836140439106452999239^4

....

262692^4+641495^4+842767^4=51842*60149^4

331913320561044^4+928880285751419^4+1311823766263315^4=51842*92025390542207^4

9019433662370909748^4+20557474549673188723^4+24891537678758974955^4=51842*1820237411441634919^4

17653727348589111547927870214379521052274348164^4+62644383152379178883632204528590112934485579615^4+93890652156849113944474873186907838387919307639^4=51842*6511705885652024469708520376876117888422865533^4

1694423352205575416652605860837988376636338008476^4+8952535554683911287690609036667926517467822991295^4+13990854273557889327846557445522236283540683879911^4=51842*963878078592829086523288005424811167520200812757^4

....

84031440653299^4+124447038425085^4+126853114541444^4=51842*10142715081589^4

35109894616790255534395050078209830921838852618280854650895713503428480151397389415274799630275277117992584671997366704155196849^4+139471698235049135073133296263696314264980436561286682270103937282131410710389701201145206263566491131354002604291426089821015745^4+262589887630574334929138785130726278899101701667886416533486798717315177890937270682246480428943217822051509417612167313032345324^4=51842*17740012816288593663549554202808625028894695745362436051535201190634158422668382183435106012032821195541556098943131081527358871^4

....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=50562*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、50562=2*159^2 です。

337729^4+353654^4+622355^4=50562*43357^4

884233^4+3485981^4+5140450^4=50562*359711^4

742883648726397991398166^4+2554706198909780236288117^4+3888936361307686532836615^4=50562*270731288091866226576787^4

8298920035372733220732143875^4+21729517221296406810377784674^4+42762233083493591872602324521^4=50562*2899055786920506712544808737^4

670248981135495348225359291132702^4+3080472062301966002002857654179429^4+4401274900955935807654043848022495^4=50562*309757778707973926894400733091679^4

....

63895100339895903870866433885496460698291^4+102870669902682539257387337490126679190305^4+147228542780410834428276085196632401082462^4=50562*10430676141012993029431337812742259084579^4

8244006691931109436400780116261839972022798891697287912177196207549789033340844933749160128307112812898006504582137481142354684753001074050185093168306184651425021269088364358947908230595596324822307097166824410023918202045660026677506699716700187521810330075643662806479811632150793883938148253801675778452073160950347344341063655709639904008585039417992520667937152185^4+9742930957001129045109946902565280973630083612778013125076304380723263867170345290190808654732416605492769870761446947164089480905598233571562736219598435180830995493264620159354931409654724954403443027619977717214614082433545729696230706358444342634389530788646803790877426785417489501521926103769046693160201909786576356791581764685631342384126361242246437902435702349^4+15144984310464909487315025163572812282713514198868797031863337388703218502508665009848375110999049058576754852331350608477720581126353217558714855263022060534024476886044592312615769273906828147438947858962789497754727286084464988398971888821552602394103199874436346266803366907118419354069204068740458160713191822697683760099587514863117560942510661408674943090824447418^4=50562*1069855226456883519861762988494199232084885727444854357398099372105122433784586132120366274087741318772278595209915884527653489356948399186878464953805440447213014965094492489697293393154364414656212725716857248716541828822581655855116180372025191464753207174875896109758224335166057123591469628734636102371156497567204183688810576851092128901425718376444796325447441519^4

....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=50562*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、追加しました。ここで、50562=2*159^2 です。

2385615476550139572205^4+3415396128861355429097^4+4888027499437979748478^4=50562*347738676504223369799^4

13234717789541574542377558675^4+22807097970157185063684442369^4+41979121241903358238053558086^4=50562*2865031763270811629442013507^4

62610144760349822288835851715292537^4+89430449649480847896241835619008245^4+113515839565595274082508343338975318^4=50562*8346457817609721376364594806721299^4

4255283010752268434251317343878483004526514014087^4+6400945698213367254946693332055422206615595094310^4+6734221408674815406384098437181270416675924712677^4=50562*532427841629591899407834490470947614048497829819^4

854576324304827855123794323691013755547601888773619291333725^4+2173583958178677880089014183427012584847519431299266965933366^4+4514447066435586059983545263157796726382698787899026240628129^4=50562*305115285022743656639747411113703394175272641979224481990427^4

842906762494942907136308199837814404218551608761591060348564476445467306039806755^4+1310829288159954837791683356289736361692577438042263472930127466306784379763999758^4+2224481718040996820806252263704097691632677060917207638208479369324144673146490217^4=50562*153324893459914590417691689843572530083742571568451727350978314519159874029919439^4

.....

cotと同じで、π/2から引いた値ですね。

とりあえず
P = 2a^2/(1+(√2)sin(θ+π/4))
　＝2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
で合ってますかね？

# 何か記憶にあるな～と思ったのですが、ちょっと前に計算したのは正三角形の場合で、
# 一辺がaの正三角形のときは (√3/2)a^2/(1+2sin(θ+π/6)) ＝(√3/2)a^2/(1+2cos(θ-π/3))でした。
# 式が似てるので「正n角形」でもいけそうですね。
(追記)
# 2式から推測すると、正n角形の場合は
# (一辺がaの正n角形の面積)×2÷(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
# （ただし0≦θ≦2π/n）
# ぐらいになるのかな？

ピタリ一致します。
最初座標に載せてがむしゃら結構複雑な計算を進めて手に入れたのが
P=a^2*(sinθ+cosθ-1)/(sinθ*cosθ)
でした。
この分子、分母にsinθ+cosθ+1を掛けて変形していくと
P1=2*a^2/(sinθ+cosθ+1)
の形となり、分母を合成することでらすかるさんの式となります。

なおsin,cosに使う角度をθに拘れば
P2=2*a^2*(sinθ-2*sin^2(θ/2))/sin(2*θ)
P3=a^2/cosθ*(1-sqrt((1-cosθ)/(1+cosθ)))
またtanだけを使って
P4=a^2*(1+tan^2(θ/2))/(1+tan(θ/2))
なども同じ数値を与えてくれました。

これから正n角形の場合を考察できるとは思ってもいませんでした。
ただこれを確認する手段が私には無理です。

正n角形の場合は上の式で正しかったようです。
sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume27.html
↑こちらのページ(の例題3の下の方)に一辺が1の正n角形の場合の式が
n(sin(α/2))^2/(sinθ+sin(α+θ)+sinα)
（ただしαは内角すなわちπ-2π/n）
であると書かれており、これを変形すると
(n/2)cot(π/n)/(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
となります。一方私の書いた式の「一辺がaの正n角形の面積」は
a=1とすると(n/4)cot(π/n)となりますので、ピタリ一致しました。

ちなみに私が正方形の場合の式を出した方法は
正方形の一辺を2として重なる部分の八角形の1/8の三角形の形を図形的に考察すると、
これはxy平面において
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 と y=x で作られる三角形
と同じであることがわかり、
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 との交点は (1/cos(θ/2),0)
→ 原点からの距離は 1/cos(θ/2)
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=x との交点は (1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)),1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)))
→ 原点からの距離は √2/(cos(θ/2)+sin(θ/2))=1/cos(θ/2-π/4)
よって求める面積は
8・1/cos(θ/2)・1/cos(θ/2-π/4)・sin(π/4)・(1/2)
=2√2/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
これは正方形の一辺が2の場合なので、一辺がaならば
a^2/√2・1/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
=a^2/√2・1/(cos(θ-π/4)+cos(π/4))
=2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
のように導出しました。

60°を元にするより90°を元にした方が綺麗に書けますよね。
sinθ°=(i^(θ/90)-i^(-θ/90))/(2i)
cosθ°=(i^(θ/90)+i^(-θ/90))/2
60°や45°にしてわざと複雑にしてるのかな？

実行してない思いつきですが……

i行目の削除を「単位行列からi行目を消した行列S[i]を左から掛ける演算」として書き、j列目の削除も同様に、というのがとりあえず自然な発想に見えますよね。
adjの中に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな？

n=3 の場合をごり押しで計算しました。
https://mathlog.info/articles/0kO5cJBKcTqurCc5NyzK

私はこの予想のきっかけとなった別の計算に戻りたいので、
この問題について多分これ以上考えないと思います。

境界線上が厳密には含まれないことは気にしないということでいいんですかね？

(1)
S = (25/2)π - (25/2)√3
鋭角三角形の場合、各辺を直径とする3つの円全ての内部になります。
よって、半径5、中心角π/3の扇形を3つ足して、1辺5の正三角形を2回引けばよいです。

(2)
手段は何を使ってもいいそうなので、計算方法を教えてchatGPTに計算してもらった結果、
S = (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*pi) - 3*sqrt(26)
= 11.0678
だそうで。（あまり信頼はしていない）

共に正解です。
(1)は何度も紙を折って実験していてやっとのことで気付けました。
特に(2)は自分で適当に数値を指定して、座標で三角形を配置しシコシコと計算を繰り返して
結構面倒な作業を組み合わせていきました。
てっきりこんな面倒な値を一つの式で表せるとは思ってもみなかったのですが、chatGTPでは
こんな返事も返してくるんですか？
まさにこの式を計算させてみたらあれだけ時間をかけてやっと辿り着いた値に小数第何位までも
ピタリと一致するではないですか！
恐るべしGTP
だれかこの公式を説明してくれませんか？

お、合ってましたか、chatGPTもなかなかやりますね。


折った後が六角形になるということは、元々の3つの辺それぞれ、一部が外周として残らねばなりません。

辺ABの一部が六角形でも辺として残る
⇔線分PAとPBの垂直二等分線が辺ABの外で交わる
⇔△PABの外心が辺ABの外にある
⇔∠APBが鈍角
⇔点Pが辺ABを直径とする円の内部にある
ということなので、各辺を直径とする円を3つ描いて、それら全ての内部かつ三角形の内部である領域が点Pの存在範囲です。

それらの3円すべての内部にある範囲は、辺が膨らんだ三角形モドキDEFみたいな形をしており、その3頂点D,E,Fは△ABCの各頂点から向かいの辺に引いた垂線の足の位置にあります。
△ABCが鋭角三角形の場合は、図形的に考えれば、三角形モドキDEFは膨らみ分まで△ABCの中に完全に収まります。

ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
これは
(i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
(ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
(iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
(iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
(v) これら4つを合計する
で可能です。

(1)は自分でやり、(2)はこの手順をchatGPTに指示してやってもらいました。

> ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
> これは
> (i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
> (ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
> (iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
> (iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
> (v) これら4つを合計する
> で可能です。

このやり方で自分なりに求めた時、あえて一つの式で表すと

gp > 748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))
%577 = 11.0677912894652773427086973960
但し
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);
とします。
なおGTPからの式
gp > (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)
%578 = 11.0677912894652773427086973960
で全く同じ値が出ます。

膨らんだ部分を出す時に角度が公式に使われている∠A,∠B,∠C
の部分だけで済まされているのが不思議でなりません。

まず、sin(c1)などは、cos(c1)がわかっているのだから求められますね。

acosの中身の違いは、1-2*(5/21)^2 = 391/441などの関係が成り立つことから、おそらく「扇形の中心角を半分にして直角三角形で求める」か「余弦定理で求める」かの違いが出ているのかなと思います。

あとは、c1+c2+c3=πになる関係を使って、chatGPTは謎の変形を最後にしたようですね。
π消すとかすればいいのに。

748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))･･･････････(*)
ただし
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);

(1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)･････(**)



(*)から(**)を導く
{*)式での
c1=acos(-17/225)=acos(1-2*(11/15)^2)=acos(-(2*(11/15)^2-1))=Pi-acos(2*(11/15)^2-1)･･･①
ここで△ABCでからcos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)=(10^2+9^2-7^2)/(2*10*9)=11/15
よって C=acos(11/15)
ここに2倍角の公式で
cos(2*θ)=(cos(θ))^2-1 より①は
c1=Pi-acos(cos(2*C))=Pi-2*C
また
sin(c1)=sin(Pi-2*C)=sin(2*C)
これから
c1-sin(c1)=Pi-2*C-sin(2*C)
同様にして
c2-sin(c2)=Pi-2*B-sin(2*B)
c3-sin(c3)=Pi-2*A-sin(2*A)

以上から
(*)=748/735*sqrt(26)+1/8*(49*(Pi-2*C-sin(2*C))+81*(Pi-2*B-sin(2*B))+100*(Pi-2*A-sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+1/8*(230*Pi-49*(2*C+sin(2*C))-81*(2*B+sin(2*B))-100*(2*A+sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+230/4*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+460/8*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26) -115/4*Pi+460/8*(A+B+C)+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*((460-98)*C+(460-162)*B+(460-200)*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*(362*C+298*B+260*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/4*(181*C+149*B+130*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
さていよいよ最後の( )の部分は
49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A)
=98*sin(C)*cos(C)+162*sin(B)*cos(B)+200*sin(A)*cos(A)
=98*sqrt(1-(11/15)^2)*11/15+162*sqrt(1-(17/35)^2)*17/35+200*sqrt(1-(5/21)^2)*(5/21)
=98*2/15*sqrt(26)*11/15+162*6/35*sqrt(26)*17/35+200*4/21*sqrt(26)*5/21
=(98*2*11/(15*15)+162*6*17/(35*35)+200*4*5/(21*21))*sqrt(26)
=23624/735*sqrt(26)
従ってsqrt(26)の部分を整理すると
(748/735-1/8*23624/735)*sqrt(26)=-3*sqrt(26)
これを改めて整理すれば
(*)=1/4*(130*A+149*B+181*C-115*Pi)-3*sqrt(26)
=1/4*(130*acos(5/21)+149*acos(17/35)+181*acos(11/15)-115*Pi)-3*sqrt(26)=(**)

やっと理解できました。

多分うまい解き方があるのだろうと思いますが、
全く思いつかなかったのでゴリゴリ計算しました。

BE：ED=a：bのときt=a/(a+b)とすると
AE：EC=7t^2-4t+1：7t(1-t)
これより
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABD

ある角がθ、対辺がa、残る2辺の比がb：cである三角形の面積は
S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
であることから△ABD=3√3/14

よって四角形ABCDの面積は
(3√3)(3t+1)/{14(7t^2-4t+1)}
なので
(1)t=3/7を代入して6√3/7
(2)t=2/5を代入して165√3/182

解答ありがとうございます。
2つとも同じ値になっていました。
自分のやり方に較べ、遥かに簡略な方法でらすかるさんは求められています。

「簡略な方法」に見えるのは、おそらく「途中計算の大半を省略」したためかと思います。
公式っぽいものを出すだけで大変手間がかかっています。

△ABCにおいてAB：ACがb：cであるとし、∠A=θ、BC=aとする。
AB=bk、AC=ckとすると余弦定理により
a^2=b^2k^2+c^2k^2-2bck^2cosθ
これをkについて解くと
k=a/√(b^2+c^2-2bccosθ)
本問の場合はa=√3、b=1、c=2、θ=120°なので代入してkを求めると
k=√3/√(1+4+2)=√(3/7)=√21/7
∴AB=bk=√21/7、AC=ck=2√21/7
また
各辺の2乗は
a^2
(bk)^2=a^2b^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
(ck)^2=a^2c^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
簡略化のためt^2=b^2+c^2-2bccosθとすると
(bk)^2=a^2b^2/t^2
(ck)^2=a^2c^2/t^2
これを
# 各辺の長さの2乗をp,q,rとすると
# 三角形の面積はS=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
という変形ヘロンの公式に代入して整理すると
S=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
(途中計算省略)
=a^2/(4t^2)*√{(2b^2+2c^2-t^2)t^2-(b^2-c^2)^2}
=a^2/(4(b^2+c^2-2bccosθ))*√{(2b^2+2c^2-(b^2+c^2-2bccosθ))(b^2+c^2-2bccosθ)-(b^2-c^2)^2}
(途中計算省略)
=(a^2bcsinθ)/{2(b^2+c^2-2bccosθ)}
=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}

ここまでで
AB=√21/7、AC=2√21/7、S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
が得られました。

次にこれを座標に当てはめます。
円をx^2+y^2=1とし、
B(-√3/2,1/2)
D(√3/2,1/2)
Bを中心として半径が√(3/7)である円
(x+√3/2)^2+(y-1/2)^2=3/7
とx^2+y^2=1の交点を求めると
A(-3√3/14,13/14)
Eはt=0のときBに一致、t=1のときDに一致するように
E=B+t(D-B)=((t-1/2)√3,1/2)
とします。

Aを通る直線の式を
y=m(x+3√3/14)+13/14
とおくとy軸に平行な直線を表せず問題があるので
x=m(y-13/14)-3√3/14
とします。
これにE((t-1/2)√3,1/2)を代入してmを求めると
m=-(7t-2)/√3
よって直線の式は
x=-{(7t-2)/√3}(y-13/14)-3√3/14
=-(√3/42){9+(7t-2)(14y-13)}
これをx^2+y^2=1に代入してxを消去し、yの式を導出すると
(1/588){9+(7t-2)(14y-13)}^2+y^2=1
(途中計算省略)
28(7t^2-4t+1)y^2-4(7t-2)(13t-5)y+13(13t^2-10t+1)=0
∴y=13/14, (13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}
AEのy座標の差は13/14-1/2=3/7
ECのy座標の差は1/2-(13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}=3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
よって
AE：EC=3/7：3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
=(7t^2-4t+1)：7t(1-t)
なので
AE：AC=(7t^2-4t+1)：(7t^2-4t+1)+7t(1-t)
=7t^2-4t+1：3t+1
となり
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABC
が言えました。

これ、そんなにややこしいですかね？

円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
が成り立ちます。
（証明は三角形の相似で一瞬）

BC*BA/BE = DA*DC/DE
の部分を使います。

事前に正弦定理で BD = √3 は出しておきます。

(1)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 3y とすると、CD = 2y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 7y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 3y^2) * √3/2 = 6√3/7

(2)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 4y とすると、CD = 3y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 13y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 6y^2) * √3/2 = 165√3/182

やはり簡単な解き方があったのですね。
全く思いつきませんでした。

> 円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
> AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
> が成り立ちます。
> （証明は三角形の相似で一瞬）

が面白く、この値が一体どんな値を取るのかを
(1)EはBDを3:4に内分する。
(2)EはBDを2:3に内分する。
の場合について調べると
(1)なら√3
(2)なら10*√(3/91)
が対応した。

そこでこの円に内接する四角形での設定を一般化して
半径Rの円に内接する四角形ABCDで
AD=k*AB,　∠BAD=θ
対角線AC,BDの交点をEとするとき
BE:ED=1:t
である時の
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
はどんな値を取るのかを求めることをしてみた。
その結果
2*k*(t+1)*R*sin(θ)/√(k^2+t^2+2*k*t*cos(θ))*(k^2-2*k*cos(θ)+1))
が上記の各比が一定の値となるものとなるようだ。

円に内接する四角形にトレミーの定理や、DD++氏が指摘した4つの各組での比の相等
などある意味美しい関係にバランスが保たれている姿が見れました。