😊出会いの泉😊

n=1 のとき g=27
n≡161 (mod 162) のとき g=1467
それ以外のとき g=9
でしょうか。
（nが大きいとき他の値をとる？）

はい。
もっと大きな所で探していたら突然これ以外が現れました。
しかしそれ以上があるのと言われたら何とも言えないのですが・・・

多分
n≡35281 (mod 37170) のとき g=334539
ですね。
この上は現在探索中です。
（しばらく見つからなければ諦めます）

その後しばらく探しましたが、見つかりませんでした。
おそらくn＜1億では他にないと思います。

下記であっていますか？

n*(n +1)*(n +2)*(n +3)*(n +4)*(n +5)
(n^4/2 +5*n^3 +16*n^2 +(35*n)/2 +2)^2 -(n^4/2 +5*n^3 +15*n^2 +(25*n)/2 -2)^2

※別解もあるのかもしれず、ずっとあれこれこねくりまわしております。

合っていますね。
((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2=abから
nが偶奇の同じa,bの積で表せれば平方数の差で表せます。
例えば

a=(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)(n+2)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+49n/2+30
(a-b)/2=9n^2/2+45n/2+30
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+49n/2+30)^2-(9n^2/2+45n/2+30)^2

a=n(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+2)(n+4)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+29n/2+4
(a-b)/2=n^2/2+n/2-4
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+29n/2+4)^2-(n^2/2+n/2-4)^2

a=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)とすれば
(a+b)/2=n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60
(a-b)/2=n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60)^2-(n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60)^2

などのようにいろいろな組み合わせが作れます。

Dengan kesaktian Indukmuさんが書かれた例は
a=n(n+2)(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+4)
のようにおいたものと一致しますね。

あっ。そういう追い方をするのでしたか。
ありがとうございます。スッキリしました。

3以上の奇数は全て2個の平方数の差で構成可能が言えますね。
その中でも最も分割可能となるものは異なる奇素数を多く含む奇数が
予想出来るので、ちなみに6個の異なる奇素数を含む
N=3*5*7*11*13*17=255255
を2つの平方数の差で表せるパターンがどれだけ可能か予測してみました。
６つの素因数を2組(a,b)に分ける方法は
どんなに分けようともa,bは共に奇数にしかならないから、a,bから作られる
A=(a+b)/2;B=(a-b)/2は共に整数となりA^2-B^2はNを作ってくれる。

さてa,bへの分け方は
6C0=1　(1 VS 255255）
6C1=6
6C2=15
6C3/2=10(大小を区別するため）
全部で32通り可能
(n+1)^2-n^2=2*n+1=255255
からn=127627までが範囲ということで

チェックしてみた。
gp > {t=0;}for(a=1,127628,for(b=1,a-1,if(a^2-b^2==255255,print(t++";"a"^2-"b"^2"))))
1;508^2-53^2
2;512^2-83^2
3;524^2-139^2
4;536^2-179^2
5;604^2-331^2
6;628^2-373^2
7;668^2-437^2
8;688^2-467^2
9;752^2-557^2
10;776^2-589^2
11;856^2-691^2
12;964^2-821^2
13;1132^2-1013^2
14;1268^2-1163^2
15;1448^2-1357^2
16;1544^2-1459^2
17;1696^2-1619^2
18;1996^2-1931^2
19;2348^2-2293^2
20;2528^2-2477^2
21;3292^2-3253^2
22;3664^2-3629^2
23;3884^2-3851^2
24;6088^2-6067^2
25;7516^2-7499^2
26;8516^2-8501^2
27;9824^2-9811^2
28;11608^2-11597^2
29;18236^2-18229^2
30;25528^2-25523^2
31;42544^2-42541^2
32;127628^2-127627^2

予想通り32のパターンで255255の数字は２個の平方数の差で作ることが出来た。

通常{2^n};1,2,4,8,16,32,････(n=0,1,2,･･･)
を示すのに二項係数を使って
∑[i=0,n]C(n,i)が多用されている。

しかし例の異なる奇素数をｋ個含む場合の2つの平方数の差で構成する方法を
考える中で何も上記の式に寄らなくてもパスカルの三角形をもう一段降りて
2C0+2C1+2C2=1+2+1=4を
3C0+3C1=1+3=4

3C0+3C1+3C2+3C3=1+3+3+1=8を
4C0+4C1+4C2/2=1+4+3=8

4C0+4C1+4C2+4C3+4C4=1+4+6+4+1=16を
5C0+5C1+5C2=1+5+10=16

5C0+5C1+5C2+5C3+5C4+5C5=1+5+10+10+5+1=32を
6C0+6C1+6C2+6C3/2=1+6+15+10=32
としても不都合は起こらない。

これから一般に
G(n)=if(n%2==1,sum(i=0,floor(n/2),C(n,i)),sum(i=0,n/2-1,C(n,i))+C(n,n/2)/2);
としてやれば
gp > for(n=1,20,print(n";"G(n)"=2^"n-1))
1;1=2^0
2;2=2^1
3;4=2^2
4;8=2^3
5;16=2^4
6;32=2^5
7;64=2^6
8;128=2^7
9;256=2^8
10;512=2^9
11;1024=2^10
12;2048=2^11
13;4096=2^12
14;8192=2^13
15;16384=2^14
16;32768=2^15
17;65536=2^16
18;131072=2^17
19;262144=2^18
20;524288=2^19

私には全く今まで気付きもしなかった視点でした。

どうぞお大事に……。

お大事に・・・

どうかお身体に気をつけて……

お大事になさってください。

「素数でないときp^2で割り切れない」も成り立ちそうですね。

とりあえずプログラムで調べてみましたが、
上と下が正反対の順番になるときに必要となる横棒が最大数となり、
そのときの横棒の数はn(n-1)/2本のようです。
例

私のプログラムでも同じ値になりました。
ついでに8桁まで調べましたので、2桁～8桁のk=1～100を書きます。
(2桁～7桁はすべて8桁から作れますので、8桁以外はあまり意味はないです)

2桁
88, 64, 72, 08, 96, 44, 88, 76, 44, 12, 08, 76, 76, 76, 76, 68, 52, 76, 88, 08,
92, 04, 92, 52, 88, 92, 36, 12, 16, 44, 64, 56, 16, 84, 32, 48, 52, 96, 64, 56,
64, 12, 44, 64, 92, 08, 88, 04, 44, 52, 96, 76, 24, 24, 08, 48, 84, 16, 12, 92,
44, 84, 52, 44, 16, 92, 04, 64, 64, 92, 72, 16, 88, 96, 76, 04, 12, 12, 84, 84,
12, 48, 48, 72, 56, 92, 96, 32, 32, 36, 32, 52, 28, 56, 32, 52, 04, 96, 36, 16,

3桁
288, 864, 472, 008, 496, 544, 688, 176, 144, 112, 808, 576, 376, 176, 976, 168, 952, 776, 688, 608,
992, 704, 392, 152, 488, 992, 536, 512, 216, 344, 664, 256, 216, 784, 032, 848, 352, 496, 664, 856,
264, 712, 144, 864, 792, 008, 088, 704, 544, 152, 696, 776, 024, 624, 408, 448, 784, 616, 712, 192,
944, 184, 152, 344, 616, 992, 104, 464, 264, 792, 872, 216, 088, 896, 976, 104, 112, 112, 784, 984,
512, 848, 648, 072, 456, 192, 896, 232, 432, 736, 032, 352, 528, 256, 032, 552, 104, 296, 536, 616,

4桁
6288, 6864, 3472, 9008, 2496, 2544, 4688, 4176, 8144, 6112,
7808, 6576, 9376, 4176, 0976, 3168, 3952, 5776, 4688, 6608,
6992, 8704, 3392, 1152, 3488, 4992, 3536, 2512, 5216, 5344,
3664, 8256, 5216, 2784, 6032, 6848, 2352, 8496, 5664, 9856,
3264, 1712, 4144, 2864, 1792, 1008, 7088, 0704, 0544, 9152,
5696, 3776, 7024, 8624, 9408, 4448, 8784, 1616, 7712, 2192,
0944, 9184, 7152, 1344, 9616, 2992, 3104, 2464, 1264, 9792,
9872, 5216, 3088, 6896, 6976, 3104, 0112, 0112, 6784, 9984,
6512, 6848, 3648, 3072, 1456, 0192, 6896, 1232, 4432, 8736,
6032, 0352, 2528, 0256, 2032, 3552, 1104, 5296, 9536, 5616,

5桁
36288, 16864, 53472, 79008, 62496, 12544, 94688, 54176, 38144, 46112,
67808, 16576, 09376, 34176, 10976, 43168, 53952, 35776, 34688, 36608,
96992, 88704, 63392, 41152, 63488, 64992, 33536, 72512, 85216, 05344,
93664, 48256, 65216, 62784, 16032, 46848, 72352, 38496, 85664, 49856,
83264, 11712, 54144, 12864, 61792, 91008, 77088, 60704, 20544, 09152,
65696, 63776, 37024, 18624, 29408, 24448, 18784, 51616, 87712, 52192,
70944, 49184, 77152, 21344, 59616, 12992, 03104, 02464, 51264, 29792,
99872, 25216, 73088, 76896, 66976, 03104, 30112, 70112, 26784, 69984,
16512, 66848, 83648, 23072, 51456, 00192, 16896, 51232, 94432, 68736,
96032, 40352, 42528, 20256, 12032, 03552, 11104, 15296, 09536, 35616,

6桁
036288, 916864, 753472, 579008, 162496, 412544, 194688, 754176, 638144, 946112,
167808, 416576, 109376, 834176, 510976, 143168, 653952, 435776, 434688, 436608,
396992, 488704, 963392, 441152, 063488, 364992, 433536, 072512, 185216, 305344,
993664, 448256, 265216, 462784, 116032, 046848, 172352, 338496, 385664, 049856,
683264, 811712, 254144, 812864, 761792, 291008, 977088, 160704, 020544, 409152,
765696, 163776, 937024, 418624, 929408, 024448, 718784, 951616, 187712, 752192,
170944, 149184, 577152, 321344, 159616, 412992, 103104, 902464, 651264, 129792,
399872, 825216, 873088, 176896, 366976, 103104, 130112, 970112, 726784, 969984,
616512, 366848, 683648, 323072, 051456, 800192, 016896, 751232, 994432, 068736,
596032, 740352, 342528, 520256, 012032, 103552, 311104, 215296, 009536, 735616,

7桁
0036288, 0916864, 7753472, 1579008, 7162496, 8412544, 4194688, 0754176, 3638144, 1946112,
8167808, 3416576, 7109376, 4834176, 6510976, 5143168, 4653952, 7435776, 2434688, 4436608,
7396992, 4488704, 7963392, 5441152, 4063488, 7364992, 6433536, 1072512, 2185216, 7305344,
8993664, 4448256, 4265216, 9462784, 7116032, 6046848, 7172352, 1338496, 0385664, 5049856,
6683264, 7811712, 5254144, 7812864, 9761792, 3291008, 5977088, 1160704, 3020544, 1409152,
4765696, 3163776, 5937024, 3418624, 2929408, 8024448, 9718784, 7951616, 9187712, 9752192,
9170944, 7149184, 2577152, 3321344, 0159616, 9412992, 9103104, 5902464, 6651264, 8129792,
4399872, 0825216, 0873088, 0176896, 0366976, 1103104, 5130112, 6970112, 4726784, 0969984,
3616512, 4366848, 0683648, 4323072, 0051456, 5800192, 2016896, 4751232, 0994432, 0068736,
3596032, 6740352, 2342528, 5520256, 0012032, 8103552, 1311104, 2215296, 9009536, 8735616,

8桁
00036288, 10916864, 27753472, 01579008, 57162496, 58412544, 74194688, 40754176, 33638144, 41946112,
78167808, 83416576, 67109376, 34834176, 76510976, 55143168, 94653952, 07435776, 92434688, 74436608,
97396992, 84488704, 87963392, 15441152, 44063488, 37364992, 06433536, 91072512, 02185216, 17305344,
18993664, 24448256, 04265216, 09462784, 07116032, 76046848, 67172352, 31338496, 50385664, 05049856,
16683264, 97811712, 25254144, 87812864, 29761792, 93291008, 05977088, 41160704, 63020544, 91409152,
04765696, 73163776, 55937024, 83418624, 82929408, 98024448, 49718784, 67951616, 59187712, 79752192,
49170944, 97149184, 02577152, 83321344, 90159616, 39412992, 29103104, 35902464, 16651264, 88129792,
04399872, 50825216, 10873088, 60176896, 50366976, 21103104, 55130112, 86970112, 64726784, 60969984,
83616512, 24366848, 30683648, 64323072, 20051456, 25800192, 12016896, 54751232, 10994432, 90068736,
03596032, 56740352, 72342528, 55520256, 40012032, 38103552, 71311104, 32215296, 99009536, 38735616,

8桁までだと何とも中途半端なので、10桁まで求めました。
10桁だとe[10000000000]が作れませんので、配列を使わないようにしました。
その代わりk=1～100を求めるのに数時間かかっています。

9桁
000036288, 210916864, 027753472, 001579008, 957162496, 058412544, 574194688, 840754176, 933638144, 441946112,
378167808, 283416576, 067109376, 534834176, 576510976, 755143168, 894653952, 407435776, 792434688, 474436608,
597396992, 284488704, 387963392, 515441152, 344063488, 337364992, 306433536, 891072512, 802185216, 117305344,
218993664, 524448256, 904265216, 409462784, 307116032, 676046848, 467172352, 631338496, 350385664, 605049856,
516683264, 397811712, 725254144, 787812864, 329761792, 293291008, 405977088, 441160704, 863020544, 791409152,
804765696, 073163776, 655937024, 283418624, 182929408, 298024448, 249718784, 667951616, 059187712, 279752192,
049170944, 397149184, 902577152, 083321344, 290159616, 939412992, 829103104, 435902464, 016651264, 388129792,
104399872, 850825216, 110873088, 260176896, 450366976, 221103104, 655130112, 986970112, 164726784, 060969984,
183616512, 724366848, 230683648, 064323072, 820051456, 025800192, 712016896, 054751232, 110994432, 590068736,
303596032, 856740352, 672342528, 255520256, 340012032, 438103552, 571311104, 932215296, 899009536, 738735616,

10桁
0000036288, 5210916864, 0027753472, 8001579008, 4957162496, 5058412544, 2574194688, 2840754176, 0933638144, 6441946112,
1378167808, 0283416576, 9067109376, 4534834176, 2576510976, 9755143168, 3894653952, 5407435776, 2792434688, 8474436608,
7597396992, 4284488704, 3387963392, 5515441152, 3344063488, 2337364992, 5306433536, 6891072512, 6802185216, 6117305344,
6218993664, 5524448256, 5904265216, 4409462784, 4307116032, 6676046848, 0467172352, 7631338496, 7350385664, 6605049856,
9516683264, 8397811712, 0725254144, 9787812864, 8329761792, 4293291008, 4405977088, 8441160704, 5863020544, 5791409152,
8804765696, 4073163776, 1655937024, 4283418624, 6182929408, 1298024448, 2249718784, 9667951616, 5059187712, 1279752192,
3049170944, 4397149184, 4902577152, 5083321344, 8290159616, 3939412992, 6829103104, 4435902464, 0016651264, 8388129792,
0104399872, 4850825216, 9110873088, 6260176896, 3450366976, 6221103104, 3655130112, 0986970112, 6164726784, 2060969984,
0183616512, 1724366848, 4230683648, 9064323072, 5820051456, 7025800192, 8712016896, 0054751232, 0110994432, 6590068736,
5303596032, 3856740352, 7672342528, 1255520256, 0340012032, 5438103552, 6571311104, 7932215296, 4899009536, 3738735616,

8桁なら膨大な次元のベクトルが必要だなと思っていたんですが、それを実行されていたんですね。
10桁はまた異なるアルゴリズムで求められていてどんな対応も自由自在にこなせる能力には
ほとほと感心します。

10^14!=10^(14!)という解釈で正しければ、0の直前は1だけです。
（Pari/GPでも10^14!=10^(14!)と解釈されます）
もし(10^14)!ならば・・・今ちょっと忙しいので後で気が向いたら計算してみます。

おー失礼しました。
N=（10^14)!でお願いします。

プログラムにバグがなければ、76だと思います。
N=(10^k)!としてk=1～36に対して以下のようになりました。
88, 64, 72, 08, 96, 44, 88, 76, 44, 12,
08, 76, 76, 76, 76, 68, 52, 76, 88, 08,
92, 04, 92, 52, 88, 92, 36, 12, 16, 44,
64, 56, 16, 84, 32, 48

おープログラムでk=36までの超巨大数まで判明可能なのですか！
N=（10^14)!に対して手動で(少し面倒な計算は計算機に任せてもよい。)
進める戦略はとれますか？

「k=36まで」は、そこらへんまでなら多倍長演算せずに簡単に計算できるから
36で終わりにしただけで、多倍長演算を行えば計算時間的にはk=1000でも可能です。

具体的には以下のように計算しています。
n=2^a[n]・5^b[n]・c[n] （c[n]は5で割り切れない奇数）として
a=Σ[n=1～N]a[n], b=Σ[n=1～N]b[n] とします。
a,bの計算は「2026!の末尾に0がいくつ続くか」などの問題で
使う方法で簡単に求められますね。
そして求めたいのは
2^(a-b)・Π[n=1～N]c[n] を100で割った余り
ですから、これをすべてmod100で計算すればOKです。
2^k % 100は先頭の2個を除き周期20でまわりますので
N≧8であれば
76 52 4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88
という配列d[20]のd[(a-b)%20]をとってくれば終わります。
Π[n=1～N]c[n]の方は
1～Nの中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2^2/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2^2/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2^x/5^y]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
のすべての積をmod100で求めればよいわけですが、
(1～100で末尾1,3,7,9の数の積)%100=1ですから、
(1～Mの中の末尾1,3,7,9の数の積)
≡(1～M%100の中の末尾1,3,7,9の数の積) (mod 100)
であり、これもさっきと同様に
1 1 1 3 3 3 3 21 21 89 89 79 79 27 27 27 27 59 59 21
21 41 41 43 43 43 43 61 61 69 69 39 39 87 87 87 87 19 19 41
41 81 81 83 83 83 83 1 1 49 49 99 99 47 47 47 47 79 79 61
61 21 21 23 23 23 23 41 41 29 29 59 59 7 7 7 7 39 39 81
81 61 61 63 63 63 63 81 81 9 9 19 19 67 67 67 67 99 99 1
という配列e[100]のe[M%100]をとってくるだけで各行の計算が終わります。
（もちろんd[20]とe[100]は固定配列でなく、プログラムで計算して作っています）
結局e[100]から各行の値をとってきたものと上の方のd[(a-b)%20]を
すべてmod100で掛ければ終わりです。
具体例としてk=4(N=10000!)の場合は
1～10000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～2000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～400の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～80の末尾1,3,7,9の数の積=e[80]=81
1～16の末尾1,3,7,9の数の積=e[16]=27
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～5000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～1000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～200の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～40の末尾1,3,7,9の数の積=e[40]=41
1～8の末尾1,3,7,9の数の積=e[8]=21
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～2500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～100の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～20の末尾1,3,7,9の数の積=e[20]=21
1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
1～1250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～50の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～10の末尾1,3,7,9の数の積=e[10]=89
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～625の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～125の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～25の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～5の末尾1,3,7,9の数の積=e[5]=3
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～312の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
1～62の末尾1,3,7,9の数の積=e[62]=21
1～12の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～156の末尾1,3,7,9の数の積=e[56]=47
1～31の末尾1,3,7,9の数の積=e[31]=39
1～6の末尾1,3,7,9の数の積=e[6]=3
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～78の末尾1,3,7,9の数の積=e[78]=39
1～15の末尾1,3,7,9の数の積=e[15]=27
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～39の末尾1,3,7,9の数の積=e[39]=41
1～7の末尾1,3,7,9の数の積=e[7]=21
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～19の末尾1,3,7,9の数の積=e[19]=21
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～9の末尾1,3,7,9の数の積=e[9]=89
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
そして
a=5000+2500+1250+625+312+156+78+39+19+9+4+2+1=9995
b=2000+400+80+16+3=2499
d[(9995-2499)%20]=d[16]=36
なので、求める2桁は
81×27×3×41×21×21×3×49×49×49×89×43×43×43×3×79
×21×79×47×39×3×39×27×3×41×21×21×3×89×3×36≡8 (mod 100)
（長くなりますので×1はすべて省略しました）
から「08」とわかります。

参考: k=1～1000の範囲の値
88 64 72 08 96 44 88 76 44 12 08 76 76 76 76 68 52 76 88 08
92 04 92 52 88 92 36 12 16 44 64 56 16 84 32 48 52 96 64 56
64 12 44 64 92 08 88 04 44 52 96 76 24 24 08 48 84 16 12 92
44 84 52 44 16 92 04 64 64 92 72 16 88 96 76 04 12 12 84 84
12 48 48 72 56 92 96 32 32 36 32 52 28 56 32 52 04 96 36 16
92 52 36 72 84 76 92 56 92 88 92 44 12 72 64 08 24 92 04 44
92 84 88 76 84 12 32 92 84 88 08 28 08 72 84 64 52 64 04 28
76 12 24 56 72 56 52 48 64 64 08 44 52 24 56 48 04 88 96 84
48 68 08 28 32 28 64 56 96 28 48 56 56 16 92 12 04 16 48 96
44 76 84 52 36 88 12 64 92 44 84 04 36 92 24 84 48 36 48 96
56 28 36 92 84 36 24 96 12 88 24 72 84 16 12 48 68 36 48 64
48 84 08 56 68 84 36 32 48 84 72 64 92 04 52 44 88 68 12 12
08 24 24 84 04 76 16 88 36 16 36 12 72 52 32 88 88 36 52 08
52 96 32 96 64 76 96 72 16 12 48 08 72 96 64 68 64 96 16 36
44 56 24 56 08 52 96 76 92 32 84 84 76 28 84 84 64 68 56 64
04 48 44 72 16 48 64 88 64 24 56 24 64 64 76 32 64 84 96 16
76 68 56 48 92 48 76 36 28 12 64 88 88 16 04 64 96 64 16 96
64 88 96 96 48 08 48 12 92 56 12 04 36 32 48 64 28 08 56 36
56 72 84 08 64 32 84 12 56 52 12 92 92 08 08 08 04 56 92 88
12 96 84 96 24 76 16 48 28 88 72 28 64 72 24 12 12 92 64 64
68 76 12 28 88 16 36 68 16 56 52 44 08 12 64 32 44 72 32 24
64 56 64 52 16 52 36 52 64 16 48 88 84 92 48 92 92 08 08 48
92 76 64 68 96 04 12 44 48 48 48 28 24 88 84 96 96 96 72 64
72 92 24 88 16 32 16 32 52 24 68 08 16 04 92 48 36 48 68 04
16 12 64 36 88 76 68 88 84 24 32 84 88 44 04 84 64 92 52 48
68 48 16 52 68 72 32 96 32 28 48 48 24 36 76 68 12 36 36 76
36 96 16 76 48 44 08 96 96 72 28 92 44 28 08 68 64 44 48 36
32 72 32 68 52 16 32 12 28 76 36 36 52 88 72 24 76 64 32 48
56 84 12 36 88 68 56 92 56 84 72 64 96 48 92 48 76 44 36 92
04 64 52 12 92 68 84 68 92 64 84 84 92 72 48 68 68 12 36 32
04 96 92 92 56 72 04 96 04 32 16 08 88 68 92 48 56 72 24 44
84 24 28 16 92 16 88 84 88 24 44 44 16 48 08 28 88 96 88 96
48 12 68 52 88 48 56 08 12 16 12 72 84 84 28 16 68 96 08 44
72 48 76 68 32 72 24 36 04 48 64 64 56 52 56 08 52 24 92 08
56 12 16 68 96 84 08 84 88 72 96 12 16 64 08 08 08 44 52 48
72 76 28 72 32 24 24 08 16 44 52 68 24 56 04 88 36 36 08 88
52 16 44 12 52 16 96 64 84 12 84 92 76 52 08 76 72 04 16 72
64 88 96 88 68 76 08 28 36 84 32 04 96 68 76 84 96 68 72 48
64 44 32 96 72 32 28 24 24 84 12 92 44 32 32 08 48 04 84 96
84 96 52 64 44 16 04 12 92 12 04 32 32 04 08 88 52 36 92 72
32 36 88 84 04 08 52 64 48 16 68 68 28 32 72 28 32 28 84 56
64 52 76 92 48 08 24 88 64 32 56 72 32 88 96 96 64 72 64 68
56 08 24 68 44 16 52 88 04 08 08 32 04 08 52 24 76 12 16 12
76 48 16 36 88 92 48 32 92 68 76 56 84 04 72 48 84 04 64 88
16 28 44 12 24 12 32 68 52 16 76 52 36 52 92 76 04 76 28 56
72 96 16 64 44 84 28 52 76 08 64 76 28 16 16 68 84 32 96 76
48 96 56 52 16 88 44 56 88 16 24 76 52 24 76 08 76 28 16 96
04 08 44 84 08 04 72 12 28 28 36 24 72 72 32 24 88 68 24 36
44 52 28 28 64 04 56 84 88 04 68 44 24 76 84 16 28 32 28 72
68 96 72 12 12 72 08 08 72 52 52 88 04 76 92 12 16 44 68 44

詳しく説明してもらいありがとうございます。

k=4でも
> 具体例としてk=4(N=10000!)の場合は
> 1～10000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～2000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～400の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～80の末尾1,3,7,9の数の積=e[80]=81
> 1～16の末尾1,3,7,9の数の積=e[16]=27
> 1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
> 1～5000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～1000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～200の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～40の末尾1,3,7,9の数の積=e[40]=41
> 1～8の末尾1,3,7,9の数の積=e[8]=21
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～2500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～100の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～20の末尾1,3,7,9の数の積=e[20]=21
> 1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
> 1～1250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
> 1～250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
> 1～50の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
> 1～10の末尾1,3,7,9の数の積=e[10]=89
> 1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
> 1～625の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
> 1～125の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
> 1～25の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
> 1～5の末尾1,3,7,9の数の積=e[5]=3
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～312の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
> 1～62の末尾1,3,7,9の数の積=e[62]=21
> 1～12の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
> 1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
> 1～156の末尾1,3,7,9の数の積=e[56]=47
> 1～31の末尾1,3,7,9の数の積=e[31]=39
> 1～6の末尾1,3,7,9の数の積=e[6]=3
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～78の末尾1,3,7,9の数の積=e[78]=39
> 1～15の末尾1,3,7,9の数の積=e[15]=27
> 1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
> 1～39の末尾1,3,7,9の数の積=e[39]=41
> 1～7の末尾1,3,7,9の数の積=e[7]=21
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～19の末尾1,3,7,9の数の積=e[19]=21
> 1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
> 1～9の末尾1,3,7,9の数の積=e[9]=89
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
> 1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> そして
> a=5000+2500+1250+625+312+156+78+39+19+9+4+2+1=9995
> b=2000+400+80+16+3=2499
> d[(9995-2499)%20]=d[16]=36
> なので、求める2桁は
> 81×27×3×41×21×21×3×49×49×49×89×43×43×43×3×79
> ×21×79×47×39×3×39×27×3×41×21×21×3×89×3×36≡8 (mod 100)****************(＊)
> （長くなりますので×1はすべて省略しました）
> から「08」とわかります。

これの行程を真似てプログラムを構成して走らせたのですが
k=7とかになると(＊)部分などの個数も膨大な場合が発生し、その積をとると
途轍もなく巨大な数に膨れ上がるので結局時間がかかってしまってk=14などはぐすっともしませんでした。

(行程を真似してみた拙いプログラムです)
gp > a(n)=n-vecsum(digits(n,2));
gp > b(n)=(n-vecsum(digits(n,5)))/4;
gp > d(n)=(a(n)-b(n))%20;
gp > powermod(r,n,k)={m=n;p=1;s=lift(Mod(r,k))};\
while(m!=0,if(lift(Mod(m,2))==1,p=lift(Mod(p*s,k)));\
s=lift(Mod(s*s,k));m=m\2);p
gp > T(n)=powermod(2,d(n),100)
gp > W(n)={t=1;}for(k=1,n,if(k%5!=0 && k%2==1,t*=k));t%100
gp > U(n)={A=[];}while(n>=1,A=concat(A,[W(n)%100]);n=floor(n/5));A
gp > V(n)={B=[];}while(n>1,B=concat(B,[(U(floor(n/2))%100)]);n=floor(n/2));B
gp > X(n)=vecprod(U(n))*vecprod(apply(i->vecprod(i),V(n)))*T(n)%100
などを準備し
gp > X(10^3); X(10^4);X(10^5);X(10^6)
から　　　72; 08; 96; 44
は算出できました。

gp > for(k=1,100,printf("%3d,",powermod(2,k-1,100)",");if(k%20==0,print))
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,

から
2^(a(n)-b(n)) が上の周期20のサイクルを繰り返すことから
S1=[76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88]
の数列を準備して置き(らすかるさんのd[20]に対応)
S1[d(n)+1]の値に対応させればよい。
(初めの1,2は無視しすべてが繰り返せる76,52へ変更させている。)

次に
Π[n=1～M](5の倍数でない奇数の積を100で割った余り)
の値は下記の数列を準備して置き
gp > for(k=1,300,printf("%3d,",W(k-1)",");if(k%20==0,print))
1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1,
1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1,
1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1,

と100個分で同じ数列を凝り返すので
S2=[1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,\
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,\
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,\
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,\
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1]
を(らすかるさんのe[100]に対応)

しかしこのS2の使い方がよく理解できなかったので
gp > vecprod(U(10^3))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^3)))
%1552 = 82278194000121
gp > vecprod(U(10^4))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^4)))
%1553 = 109786271559133741803
gp > vecprod(U(10^5))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^5)))
%1554 = 1339686270466548439750497
gp > vecprod(U(10^6))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^6)))
%1555 = 1195260938150882293323699122133
で求め

例でらすかるさんが示されていた掛け算は
gp > 81*27*3*41*21*21*3*49*49*49*89*43*43*43*3*79*21*79*47*39*3*39*27*3*41*21*21*3*89*3
%1529 = 29307609212615439766454106237028765009203
は下記のコマンドで求まりました。
gp > vecprod(U(10^4))*vecprod(apply(i->vecprod(i),V(10^4)))
%1528 = 29307609212615439766454106237028765009203

最後に上記の計算結果と2^(a-b)部分の計算を組合せ
gp > lift(Mod(S1[d(10^3)+1]*%1552,100))
%1564 = 72
gp > lift(Mod(S1[d(10^4)+1]*%1553,100))
%1560 = 8
gp > lift(Mod(S1[d(10^5)+1]*%1554,100))
%1561 = 96
gp > lift(Mod(S1[d(10^6)+1]*%1555,100))
%1562 = 44

これで(10^3)!,(10^4)!,(10^5)!,(10^6)!までは何とか我慢できる時間の範囲では求まりました。
例のd[20]での配列の方の使い方は何となくわかったのですがe[100]をどう利用したらいいのかがいまいち掴めないでいます。

e[100]の意味はわかりますよね？
1以下で5の倍数でない奇数の積は1
2以下で5の倍数でない奇数の積は1
3以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
4以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
5以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
6以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
7以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7=21
8以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7=21
9以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7×9=189なのでmod100で89
10以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7×9=189なのでmod100で89
11以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7×9×11=2079なのでmod100で79
e[0]は1として
1,1,1,3,3,3,3,21,21,89,89,79,…
それで下2桁だけ求めればよいので
81×27×3×41×21×21×3×49×49×49×89×43×43×43×3×79
×21×79×47×39×3×39×27×3×41×21×21×3×89×3×36≡8 (mod 100)
の計算は
81×27=2187→87
87×3=261→61
61×41=2501→1
1×21=21
21×21=441→41
・・・
のように順次mod100にすれば巨大な数にならずに求められますね。
このe[○]の値は順次得られますので、得られた時に掛けて100で割った余りに
しておけば簡単だと思います。
私のプログラムでは以下のような感じです。
m = d[(a - b) % 20];
for(n1 = n; n1 > 0; n1 /= 2)
for(n2 = n1; n2 > 0; n2 /= 5)
m = m * e[n2 % 100] % 100;
※すべて整数変数なのでn1/=2,n2/=5は整数除算(余り無視)です。
ついでに、e[100]を求める部分は以下のような感じです。
e[0] = e[1] = e[2] = 1;
for(i = 3; i < 100; i += 2)
if(i % 5 == 0)
e[i] = e[i + 1] = e[i - 1];
else
e[i] = e[i + 1] = e[i - 1] * i % 100;
※ループの最終回でe[99]とe[100]に値が代入されますので、配列はe[101]としています。

S2集合をどの様に使ったらいいのかが目に見えなかったが、らすかるさんの解説とプログラムの
情報で何となく分ってきました。
S１の方の情報とS2の方の情報が別々になっており、n/=2,n/5= の組合せでの変化の仕方を
上手く計算に載せるやり方がこんがらがって構成し難かった。
らすかるさんの行列の番号は初項a[0]のインデックスのようで、PARIではA[1]で処理されるので
少し混乱した。やっとS2の成分を利用して掛けるべき数字を集めvecprodでその成分全体の積
を100で割る手法で組むと10^10以上では困難であった計算も10^10～10^50までは難なく出力
してくれるようになった。mod 100　が決め手なので100個の枠内でくるくる回っている感じです。
でも(10^100)!とか(10^1000)!では手も足も出ないログラムでした。
k=1～1000の範囲の値を挙げてあったので、こんなのはどうして出すんだろうと参考にプログラムを
掲載されているのをよ～くみてみた。
探すべきnの数字をnを2で割る数字をスタートにそれを次々と5で割る数列を作っていくことを
どうしたらいいかを
for(n1 = n; n1 > 0; n1 /= 2)
for(n2 = n1; n2 > 0; n2 /= 5)
m = m * e[n2 % 100] % 100;
がどうPARIのコードに書き直せるのかに四苦八苦しました。(nをn1,n2と分割しておくと出来るんですね.)
(ソフトが違うとコードの書き方が全く異なってくるので難儀です)
特にn%100した時0になる場合があり、これをPARIでどう処理したらいいのかが混乱した
所です。
やっとのことで何とか有限の時間内で結果を出してくれるところまで改良していった。

挑戦で
k=1001～1500の範囲で調べてみました。
24, 36, 48, 16, 88, 52, 88, 96, 76, 84, 12, 88, 92, 32, 52, 64, 52, 76, 12, 88,
48, 64, 16, 44, 52, 24, 88, 92, 64, 08, 56, 92, 84, 72, 16, 08, 12, 68, 08, 76,
36, 48, 12, 36, 24, 12, 96, 48, 48, 44, 72, 52, 76, 64, 24, 84, 56, 84, 48, 48,
92, 44, 36, 92, 44, 68, 12, 88, 16, 96, 92, 52, 68, 84, 12, 64, 08, 44, 72, 72,
64, 64, 64, 28, 84, 28, 04, 68, 04, 48, 96, 36, 16, 68, 36, 92, 52, 24, 44, 36,
24, 16, 12, 08, 04, 32, 88, 04, 48, 88, 32, 76, 48, 24, 76, 28, 04, 32, 44, 68,
76, 28, 56, 12, 84, 24, 52, 56, 48, 68, 92, 48, 36, 24, 64, 48, 08, 16, 76, 52,
04, 28, 36, 04, 16, 56, 72, 48, 92, 28, 08, 88, 16, 12, 12, 44, 04, 44, 56, 52,
76, 84, 96, 36, 32, 64, 24, 92, 52, 24, 52, 32, 88, 84, 28, 32, 64, 88, 28, 28,
92, 28, 76, 68, 12, 24, 08, 88, 08, 96, 36, 76, 16, 68, 52, 92, 88, 88, 16, 36,
92, 32, 52, 16, 96, 36, 24, 72, 68, 36, 68, 92, 16, 16, 68, 44, 04, 52, 12, 88,
72, 24, 52, 32, 84, 16, 52, 96, 48, 36, 56, 96, 76, 04, 52, 52, 92, 92, 56, 76,
76, 28, 16, 52, 08, 76, 36, 92, 04, 28, 36, 48, 92, 28, 84, 72, 08, 92, 36, 36,
76, 24, 56, 68, 76, 48, 76, 64, 08, 08, 36, 24, 92, 76, 76, 72, 12, 48, 08, 92,
12, 56, 56, 28, 84, 48, 08, 36, 64, 68, 16, 04, 52, 84, 76, 28, 68, 32, 24, 48,
36, 96, 36, 32, 28, 12, 64, 56, 48, 92, 48, 72, 48, 04, 28, 88, 08, 84, 52, 48,
48, 88, 08, 72, 24, 24, 28, 24, 32, 56, 72, 84, 56, 92, 52, 08, 96, 96, 52, 32,
72, 08, 04, 36, 24, 68, 92, 52, 48, 08, 84, 04, 36, 08, 52, 24, 36, 96, 28, 52,
16, 16, 12, 48, 68, 76, 44, 24, 04, 52, 12, 16, 88, 36, 64, 52, 28, 16, 68, 84,
76, 84, 08, 48, 44, 12, 92, 56, 08, 28, 48, 84, 48, 64, 12, 12, 76, 96, 88, 04,
52, 76, 92, 16, 08, 88, 68, 04, 92, 52, 76, 92, 12, 28, 84, 48, 76, 24, 56, 48,
96, 92, 68, 24, 68, 16, 68, 56, 36, 64, 72, 68, 36, 68, 36, 92, 48, 92, 08, 52,
24, 48, 52, 04, 04, 72, 68, 32, 32, 56, 92, 84, 92, 84, 44, 44, 32, 72, 36, 84,
88, 84, 04, 92, 28, 72, 52, 32, 76, 84, 76, 68, 48, 52, 16, 72, 88, 08, 84, 88,
12, 12, 48, 04, 92, 84, 08, 72, 56, 96, 72, 92, 24, 16, 52, 52, 92, 64, 68, 44,

高速化できたようでよかったです。
1001～1500の値は私も計算してみましたが、同じ値になりました。

半径が整数で3個の格子点だけを含む円の方程式では
(x-3/5)^2+(y-4/5)^2=17^2
で3点(-13,11),(-2,-16),(16,8)のみが格子点

(x-1/5)^2+(y-3/5)^2=29^2
で3点(-23,18),(5,-28),(29,4)のみが格子点
などもありますね。

5個の格子点のみ含む円の方程式を探しているのですが中々見つかりません。

(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^0)^2 → 1個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^1)^2 → 3個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^2)^2 → 5個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^3)^2 → 7個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^4)^2 → 9個
・・・
となるようですが、証明はわかりません。
※(13^9)^2 → 19個 まで確認しただけですので、それより大きい数でも成り立つかどうかわかっていません
※半径13^nのとき2n+1個ですが、半径13^n・17^mのとき(2n+1)(2m+1)個となりそうなこともわかっています。
※同様に、半径Πp[n]^a[n]のときΠ(2a[n]+1)個になるようです。ただしp[n]は13以上の4n+1型素数です。
※よって半径を13*17*29*37*41*53にすると3^6=729個になります。

# ちなみに、左辺の(x-1/5)^2+(y-2/5)^2を(x-3/5)^2+(y-4/5)^2や(x-1/5)^2+(y-3/5)^2などにしても、
# 円を(1/2,1/2)中心に回転またはy=xに関して対称移動するだけですので、個数は変わりません。

(追記)
上記の式では奇数個しか現れませんが、
1/5と2/5を1/13と5/13とか1/17と4/17などに変えると偶数も出てきます。
しかし偶数では13^nのような規則性は見つかりません（が、おそらく任意の偶数が現れると思います）。
（x^2+y^2=r^2でr=5^nとすると8n+4個になるらしいということだけはわかっています）
(x-分数)^2+(y-分数)^2の場合、分母は4n+1型の奇数、分子は2乗和が分母の2乗になるような組または
その回転・対称移動のバリエーションにしないとおそらく解なしになります。
(1/5,2/5)≡(4/5,3/5) → 4^2+3^2=5^2
(1/13,5/13)≡(12/13,5/13) → 12^2+5^2=13^2
(1/17,4/17) → 1^2+4^2=17^2

格子点数が奇数個となる場合の半径rはr≡1 (mod 4)を満たしているものとアタリを付けて
1000までの半径について検索し続けたら
r=13^2=169 の半径では方程式
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=169^2
には(-167,25),(-135,-101),(-23,-167),(86,146),(164,42)の格子点が存在
同じく円の中心を
(1/5,3/5)==>(-167,-24),(-135,102),(-23,168),(86,-145),(164,-41)の格子点
(2/5,4/5)==>(-167,24),(-101,136),(25,168),(42,-163),(146,-85)
(3/5,4/5)==>(-145,-85),(-41,-163),(-24,168),(102,136),(168,24)
とそれぞれ5個の格子点が存在でき
らすかるさんのコメントの様にこの円の中心の(x,y)座標を交換した(y,x)の円でも
格子点の座標は違ってきますがやはりどれも格子点は5タイプ存在していきます。

次に
r=17^2=289の半径でも上記の円の中心と同じものをもつタイプがありました。
r=5^2*13=325での半径では円の中心は
(1/17,4/17)
(1/17,13/17)
(4/17,16/17)
(13/17,16/17)ととればよさそうです。
r=5^2*17=425では中心は
(1/13,5/13)
(1/13,8/13)
(2/13,3/13)
(3/13/10,13)
(4/13,6/13)
(4/13,7/13)
(5/13,12,13)
(6/13,9/13)
(7/13,9/13)
(8/13,12/13)
(10/13,11/13)で
以下中心座標は省略しますが半径
r=13*53=689
r=5^2*29=725
r=29^2=841
r=5*13^2=845
r=5^2*37=925
なる円ではどれも円周上に5個の格子点が存在できました。

偶数個もありかなと思いましたがどんな偶数でもとなると？
の感想を持ちました。

中心の分数の分子の平方和は分母の倍数でもいいみたいですね。
(1/13,5/13) → 1^2+5^2=13*2
(1/13,8/13) → 1^2+8^2=13*5
(2/13,3/13) → 2^2+3^2=13
(3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。
# (2/13,10/13) → 2^2+10^2=13*8, (3/13,11/13) → 3^2+11^2=13*10
(4/13,6/13) → 4^2+6^2=13*4
(4/13,7/13) → 4^2+7^2=13*5
(5/13,12/13) → 5^2+12^2=13*13
(6/13,9/13) → 6^2+9^2=13*9
(7/13,9/13) → 7^2+9^2=13*10
(8/13,12/13) → 8^2+12^2=13*16
(10/13,11/13) → 10^2+11^2=13*17
これらの組合せは平方和が分母の倍数になる組合せと一致していますね。

偶数は、例えば中心を(1/17,4/17)とすれば
r=13: 2個
r=650: 4個
r=1625: 6個
r=2665: 8個
r=21125: 10個
r=9425: 12個
r=17225: 14個
r=47125: 16個
r=86125: 18個
r=122525: 20個
r=99905: 22個
r=397085: 24個
r=1665625: 26個
r=612625: 28個
r=1119625: 30個
r=2911025: 32個
r=348725: 34個
r=499525: 36個
r=1298765: 38個
r=1533025: 40個
r=2566525: 42個
r=269187425: 44個
r=46191925: 46個
r=1743625: 48個
r=3531125: 50個
のようにありますので、（44個のようになかなか見つからないものもありますが）
任意の偶数個になり得る気がします。

とりあえず奇数だけ。
偶数は根底から発想を転換する必要がありそうですね。


「円周上の格子点の個数が 2k+1 個である、半径が整数の円が存在する」

自然数 n に対して、それを2つの整数の平方和で表す方法の数を f(n) と書くことにします。

r を整数とし、原点中心の半径 5r の円の上の格子点を考えます。
全部で f(25r^2) 個ある格子点のうち、x座標とy座標がともに5の倍数であるものは f(r^2) 個あります。
x座標が0のもの、y座標が0のもの、x座標とy座標の絶対値が等しいものは、すべてこの f(r^2) 個の中に含まれます。
よって、残りの f(25r^2)-f(r^2) 個は、x座標の符号反転、y座標の符号反転、x座標とy座標の交換による、8個1セットになっています。

さて、この8個1セットですが、5の倍数でない平方数を5で割った余りは1か4しかあり得ないので、x^2 と y^2 の片方は余りが1でもう片方は4です。
つまり、これら8個は5を法として (±1,±2), (±2,±1) と合同なものが1つずつです。

したがって、原点中心の半径5rの円の上の格子点に、(x,y)≡(-1,-2) (mod5)であるものは {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個あります。
これをx軸方向に1、y軸方向に2並行移動してから、原点中心で 1/5 に縮小すると、半径 r で格子点が {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個ある円になります。

あとは、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 が任意の奇数 2k+1 を取れることを証明すればよいです。
r=13^k とすると、ヤコビの二平方定理より f(25r^2) = 12(2k+1), f(r^2) = 4(2k+1) なので、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 = 2k+1 となります。

以上により示されました。

> "らすかる"さんが書かれました:

> (3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。

あ～見直したら(3/13,11/13)とタイプするべきを(3/13,10/13)と打ってしまっていました。

6個の格子点を持つものが中々見つけられずにいたので途方に暮れていたら
らすかるさんからの情報でやっと手に入りました。
(これだけ半径を大きくしないといけなかったんですね。44個では途方もない大きさなんだ！)
格子点の座標とその方程式が以下のものでした。

Points: [[-1472, -688], [-847, 1387], [-211, -1611], [521, -1539], [714, 1460], [1578, -388]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 4/17)^2 = 2640625(=1625^2)
--------------------------------------------------

Points: [[-1472, 689], [-847, -1386], [-211, 1612], [521, 1540], [714, -1459], [1578, 389]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 13/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, 815], [-1094, -1201], [-69, 1624], [425, -1568], [1073, -1220], [1606, 249]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 8/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, -814], [-1094, 1202], [-69, -1623], [425, 1569], [1073, 1221], [1606, -248]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 9/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1611, 212], [-1539, -520], [-688, 1473], [-388, -1577], [1387, 848], [1460, -713]]
Equation: (x - 4/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1568, -424], [-1220, -1072], [-1201, 1095], [249, -1605], [815, 1407], [1624, 70]]
Equation: (x - 8/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1623, 70], [-814, 1407], [-248, -1605], [1202, 1095], [1221, -1072], [1569, -424]]
Equation: (x - 9/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625

(x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。
--------------------------------------------------

Points: [[-1459, -713], [-1386, 848], [389, -1577], [689, 1473], [1540, -520], [1612, 212]]
Equation: (x - 13/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

> (x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。

6個はないですが、
(-1596,305),(-636,-1495),(-601,1510),(919,-1340),(1434,765)
の5点が解になっていますね。

いくつか証明につながりそうな法則を見つけました。
(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2でrに対する通過格子点個数は
(1) r=5^k (k=0～13)のとき 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7
(2) r=13*5^k (k=0～11)のとき 2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18
(3) r=29*5^k (k=0～11)のとき 1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18
(4) r=41*5^k (k=0～11)のとき 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17
よって
(1)または(1)の半分(kが偶数・奇数のどちらか)が証明できれば
任意の自然数に対して成り立つことになります。
また(2)は0,2(mod3)、(3)は0,1(mod3)、(4)は1,2(mod3)をカバー
しているように見えますので、(2)(3)(4)のうち二つ示すのでもOKですね。

(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2について見つけた法則(未証明)をまとめます。
上に書いたようにr=5^kのときすべての自然数が表れるため、これが正しければ
「任意の自然数が出現するか」という話については終わっているわけですが、
「あるnに対して実際にrを作って確認する」という話になると
r=5^kでは値が大きくなりすぎて現実的ではありません。
たとえばしばらく見つけられなかったn=44では5^87≒6*10^60という巨大な
値となり、単純な探索では実際に44個になっているか調べられません。
上の(2)～(4)ではn≡0,1,2(mod3)について計算できるため、こちら使うと
(2)から13*5^28≒5*10^20でよいことがわかります。(1)を使った場合より
かなり小さくなりましたが、まだ大きいです。
(1)は5^k型、(2)～(4)はp*5^k型ですが、さらに5以外の素数を増やします。
p*q*5^k型の場合
r=29*41*5^kのとき 2,7,11,16,20,25,29,34,38,43,…
r=13*29*5^kのとき 3,7,12,16,21,25,30,34,39,43,…
r=13*41*5^kのとき 3,8,12,17,21,26,30,35,39,44,…
r=13*89*5^kのとき 4,9,13,18,22,27,31,36,40,45,…
r=13*53*5^kのとき 5,9,14,18,23,27,32,36,41,45,…
いずれもk=0のときの値から+4,+5,+4,+5または+5,+4,+5,+4していった値になり
n≡0,2,3,4,5,7,8(mod9)は全て含まれています。
しかしn≡1,6(mod9)は含まれておらず、素数の範囲を拡大して調べましたが
上記の5パターン以外はどうも出現しないようです。
（そういう理由で「なかなか見つからないものがある」のだと思います）
n=44は含まれていて、13*41*5^9=1041015625で44個になることがわかります。
実際に数えると、1041015625で確かに44個になります。
しかし5以外の素数を増やすともう少し小さくなります。
以下長くなりますので詳細は省略しますが、
p^4*5^k → n≡0,2,4,7 (mod9)
p^5*5^k → n≡0,3,6,9 (mod11)
p^2*q*5^k → n≡0,4,5,7,8,11,12,13 (mod15)
p^3*q*5^k → n≡0,5,6,7,11,16,17 (mod21)
p^2*q^2*5^k → n≡0,6,7,12,19,20 (mod25)
p*q*r*5^k → n≡0,7,8,9,13,14,20,21,22,23 (mod27)
p^3*q^2*5^k → n≡0,10,11,18,28 (mod35)
p^2*q*r*5^k → n≡12,13,14,15,35,36,38 (mod45)
p^2*q^2*r*5^k → n≡20,22,23,57,58,60 (mod75)
p*q*r*s*5^k → n≡0,21,22,23,27,41,61,63,67 (mod81)
p^2*q*r*s*5^k → n≡35,37,45,103,105,112 (mod135)
ただし、上の方は広く探索して他の値が出そうにないことを確認していますが、
下半分ぐらいは(組合せが多すぎて)途中でやめていて、
たまたま出てきた値のみ書いていますので、全部の値を網羅していません。
特に上半分でn≡0が必ず含まれていることから、下半分もさらに調べれば
n≡0は含まれているものと思われます(経験的予想です)。
上記の中でn=44が含まれるものは
p^5*5^k の n≡0 (mod11) と
p^2*q^2*5^k の n≡19 (mod25)
であり
p^5*5^k型の最小は 13^5*5^7=29007265625
p^2*q^2*5^k型の最小は 29^2*37^2*5^3=143916125
となりますが、この143916125が以前見つけた値に該当しています。
つまりこれらのパターンを調べていれば、もっと早く発見できていました。

この時点でまだ発見できていなかったもの(偶数のみ)は
n=64,78,86,92,96,100,…
なので、もう少し計算してみました。
n=64はp^2*q*5^k型のn≡4 (mod15)から算出できて
最小29^2*37*5^8=12155078125となり、これは確かに64通りになっていました。
n=78はp*5^k型のn≡0 (mod3)しか該当するものがなく、値が大きくなりすぎます。
そこで「各パターンで≡0は存在するだろう」という予想のもとに
「mod39のパターンはどうすれば作れるか」を考えました。
素数の掛け方とmod値を眺めると、すべて
「(5以外の素数の指数)×2+1」の積
がmod値になっていることがわかります。
ということは、
p^6*q*5^k型にすれば(6×2+1)×(1×2+1)=39でmod39になるはずなので
これで考えてみると、13^6*53*5^(2k+1)で≡0(mod39)となることから
最小13^6*53*5^3=31977609625でn=78となることがわかります。
実際、r=31977609625で確かに78個になっていました。
（最初mod13で検討しましたが、値が235684033203125で大きすぎました）
次はn=86ですが、これはさすがに値が大きくなりすぎて(1683642578125)
計算上は出ても確認が無理でした(確認できる方法が他にあるかも知れません)。

考察
・たまたま上記パターンに合致すればrは小さな値になる
・合致するパターンのmod値が大きいほどrは小さい値になる傾向がある
・奇数の素因数が小さければ(2u+1)(2v+1)…という積に細かく
分解できるので、小さな値になりやすい
・素因数2の指数が大きい場合は、たまたまパターン中にあれば
rは小さく済むが、そうでない場合はrは大きくなる。特に2の累乗数は
1以外に奇数の約数がないためパターンに合致しにくい。例えばn=128は
p^2*q*r*5^k型のn≡38(mod45)に合致するので13^2*29*53*5^5=811728125で
済むが、n=64はよりmod値の小さいmod15にしか該当しないので
12155078125という大きな値になっている
・つまり「パターンに合致しない」「素因数2の指数が大きい」「大きい
素数を素因数に持つ」がrが大きくなる要因
・パターン中のp,q,r,…に使える有用な素数は、5より大きい4n+1型の素数
ただし17を除く（円の中心の分母が17であることと関係あると思います）
つまり13,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,…
そしてこの素数中、13,53,89,101,…を使うかどうか(いくつ使うか)により
値が大きく変わる傾向があるが、これらの素数の特徴は不明

まったく見当違いかも知れませんが
シンツェルの定理(Schinzel's thenorem)というものがあるらしく

ユークリッド平面において、任意の正整数nに対し
ちょうどn個の格子点を通る様な円が存在する。
(半径が整数であることは問うていない。)

n=2*kの時
(x-1/2)^2+y^2=5^(k-1)/4
n=2*k+1の時
(x-1･3)^2+y^2=5^(2*k)/9

これはこの問題にヒントを与えたり、利用したりは出来ない物だろうか？
半径を整数に指定することで全く異なる問題となってしまうのか？

らすかるさんがおっしゃるに。
【いくつか証明につながりそうな法則を見つけました。
(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2でrに対する通過格子点個数は
(1) r=5^k (k=0～13)のとき 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7】

この17 は奇跡の数字なのかもと思い始めましだ。
r=5^k (k=1～14 )のとき

Σ[k=0～n](nCk)^4
の値(A005260参照)とその素因数分解をn=1～100まで出力して一時眺めてみました。
様々な素数が出力されており、一見無秩序な素数が並び中には巨大な素数も
出現してきて眼も眩む状態です。
大きな素数には目もくれず、例え連続している素数に着目したとしても
特にn=3,7ではその関係は途絶えていて、とても統一的な性質を持つとは
思えない風景です。
これに対し
n<p<4/3*n+1という一見何気ない条件で示されている不等式ですが
等号が入らない不等式のためnが素数であったり4/3*n+1が素数になる場合も
当然起こる(n=3,9,12,21,27,30,39,45,54,66,72,75,81,84,･･･)訳で
これで微妙に条件を満たす素数pの値がずれていきます。
プログラムで条件を満たす素数pを抜き出そうとしましたが途中頭が混乱して
結局手作業でnに対する条件を満たす素数のグループを書き出していくと
まさしくn=3,7ではpは存在できなく他の部分では正しくその条件にしっかりと
納まっている素数が各nに対し因数として鎮座しているではないか！

あの混沌とした中にこの微妙な式で示される針の穴を通すような枠の中に見事に
得体が未だ定かになっていない素数がおとなしくいるなんておったまげ～です。
気になり一気にn=100でも調査しましたが、p=101,103,107,109,113,127,131
いずれの素数は顔を揃えていました。
これってすべてのnでも成立するんですよね？
(リーマン仮説がいるのかな？）

<作業材料の参考>
gp > primes(33)
%599 =
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137]

gp > for(n=1,100,print(n"=>",n,"<",(4/3*n+1)+0.))
1=>1<2.333333333 ;2
2=>2<3.666666667 ;3
3=>3<5.000000000 ;∅
4=>4<6.333333333 ;5
5=>5<7.666666667 ;7
6=>6<9.000000000 ;7
7=>7<10.33333333 ;∅
8=>8<11.66666667 ;11
9=>9<13.00000000 ;11
10=>10<14.33333333 ;11,13
11=>11<15.66666667 ;13
12=>12<17.00000000 ;13
13=>13<18.33333333 ;17
14=>14<19.66666667 ;17,19
15=>15<21.00000000 ;17,19
16=>16<22.33333333 ;17,19
17=>17<23.66666667 ;19,23
18=>18<25.00000000 ;19,23
19=>19<26.33333333 ;23
20=>20<27.66666667 ;23
21=>21<29.00000000 ;23
22=>22<30.33333333 ;23,29
23=>23<31.66666667 ;29,31
24=>24<33.00000000 ;29,31
25=>25<34.33333333 ;29,31
26=>26<35.66666667 ;29,31
27=>27<37.00000000 ;29,31
28=>28<38.33333333 ;29,31,37
29=>29<39.66666667 ;31,37
30=>30<41.00000000 ;31;37
31=>31<42.33333333 ;37,41
32=>32<43.66666667 ;37,41,43
33=>33<45.00000000 ;37,41,43
34=>34<46.33333333 ;37,41,43
35=>35<47.66666667 ;37,41,43,47
36=>36<49.00000000 ;37,41,43,47
37=>37<50.33333333 ;41,43,47
38=>38<51.66666667 ;41,43,47
39=>39<53.00000000 ;41,43,47
40=>40<54.33333333 ;41,43,47,53
41=>41<55.66666667 ;43,47,53
42=>42<57.00000000 ;43,47,53
43=>43<58.33333333 ;47,53
44=>44<59.66666667 ;47,53,59
45=>45<61.00000000 ;47,53,59
46=>46<62.33333333 ;47,53,59,61
47=>47<63.66666667 ;53,59,61
48=>48<65.00000000 ;53,59,61
49=>49<66.33333333 ;53,59,61
50=>50<67.66666667 ;53,59,61,67
51=>51<69.00000000 ;53,59,61,67
52=>52<70.33333333 ;53,59,61,67
53=>53<71.66666667 ;59,61,67,71
54=>54<73.00000000 ;59,61,67,71
55=>55<74.33333333 ;59,61,67,71,73
56=>56<75.66666667 ;59,61,67,71,73
57=>57<77.00000000 ;59,61,67,71,73
58=>58<78.33333333 ;59,61,67,71,73
59=>59<79.66666667 ;61,67,71,73,79
60=>60<81.00000000 ;61,67,71,73,79
61=>61<82.33333333 ;67,71,73,79
62=>62<83.66666667 ;67,71,73,79,83
63=>63<85.00000000 ;67,71,73,79,83
64=>64<86.33333333 ;67,71,73,79,83
65=>65<87.66666667 ;67,71,73,79,83
66=>66<89.00000000 ;67,71,73,79,83
67=>67<90.33333333 ;71,73,79,83,89
68=>68<91.66666667 ;71,73,79,83,89
69=>69<93.00000000 ;71,73,79,83,89
70=>70<94.33333333 ;71,73,79,83,89
71=>71<95.66666667 ;73,79,83,89
72=>72<97.00000000 ;73,79,83,89
73=>73<98.33333333 ;79,83,89,97
74=>74<99.66666667 ;79,83,89,97
75=>75<101.0000000 ;79,83,89,97
76=>76<102.3333333 ;79,83,89,97,101
77=>77<103.6666667 ;79,83,89,97,101,103
78=>78<105.0000000 ;79,83,89,97,101,103
79=>79<106.3333333 ;83,89,97,101,103
80=>80<107.6666667 ;83,89,97,101,103,107
81=>81<109.0000000 ;83,89,97,101,103,107
82=>82<110.3333333 ;83,89,97,101,103,107,109
83=>83<111.6666667 ;89,97,101,103,107,109
84=>84<113.0000000 ;89,97,101,103,107,109
85=>85<114.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
86=>86<115.6666667 ;89,97,101,103,107,109,113
87=>87<117.0000000 ;89,97,101,103,107,109,113
88=>88<118.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
89=>89<119.6666667 ;97,101,103,107,109,113
90=>90<121.0000000 ;97,101,103,107,109,113
91=>91<122.3333333 ;97,101,103,107,109,113
92=>92<123.6666667 ;97,101,103,107,109,113
93=>93<125.0000000 ;97,101,103,107,109,113
94=>94<126.3333333 ;97,101,103,107,109,113
95=>95<127.6666667 ;97,101,103,107,109,113,127
96=>96<129.0000000 ;97,101,103,107,109,113,127
97=>97<130.3333333 ;101,103,107,109,113,127
98=>98<131.6666667 ;101,103,107,109,113,127,131
99=>99<133.0000000 ;101,103,107,109,113,127,131
100=>100<134.3333333 ;101,103,107,109,113,127,131

＞これってすべてのnでも成立するんですよね？

するっぽいのですが、きちんと「定理」となっているのを見たわけではなく
似たような質問をしている人がいたことから自分で数値的に調べて
成り立っている様子が観察できました。
ちなみに100程度だと大した個数にならないので「へぇ～」ぐらいの感想なのですが、
n=10000で調べて10007,10009,10037,…,13331という354個の素因数が
すべて含まれているのを確認したときは圧巻でした。
そんなに素因数が連続している数は、素数階乗のように故意に掛けない限り
今まで見たことないですからね。
（n=100000で100003～133327の2852個の素因数がすべて含まれていることまでは確認しました）
ちなみに、n＜p＜(4/3)n+1の中の最大の素数の次の素数も素因数に含まれているものは
n=5, 2816, 5466, 15067, …のようにたまにしかないみたいです。

らすかるさんに刺激を受け
n=200000で200003～266663の5378個の素因数がすべて
S=Σ[k=0～200000](nCk)^4の数に含まれていることが確認できました。
P=[200003,200009,200017,･･････,266641,266647,266663]
に対し
gp > apply(i->valuation(S,i),P)
%=[1,1,1,･･･････,1,1,1](5378個の1が並びました)
実際画面いっぱいに1が並ぶ光景は壮観です。

もう信じるしかないですね。
でも何故4乗和なんでしょうかね？
OEISには
Sum_{k = 0..n} C(n,k)^m for m = 1..12:
A000079, A000984, A000172, A005260, A005261, A069865, A182421, A182422, A182446, A182447, A342294, A342295.
12乗までの和が載っていますから、別の累乗でも十分に調査済みなのでしょうね。

改めてn<p<4/3*n+1
の条件を良くも思い付いたなと(この範囲に効率よくも素数が集まってしまうのか！）感心してしまいます。

今まだ確認中ですが(現在n≦10000で確認済み)、素因数を眺めていたところ
n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。
n=200000の場合は
200003～266663 (k=1;5378個) だけでなく
100003～114281 (k=2;1223個)
66683～72727 (k=3;548個)
50021～53327 (k=4;307個)
40009～42101 (k=5;200個)
・・・
1667～1669 (k=120;2個) ← 複数個の最後
・・・
71 (k=2817;1個)
59 (k=3390;1個)
11 (k=18182;1個)
3 (k=66667;1個)
の範囲内の素数をすべて素因数に持っていることになります。

(5月15日追記)
n≦30000で成り立っていました。

n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。

らすかるさんすごい。
素因数を眺めていたことでこんなことに気付けるんですか？
始めの範囲に比べ存在している素数は減っては行きますが確実に素因数に含まれる素数が並んでいますね。
素数の出現と組合せ関数の目に見えぬ結びつきが見えない糸に引き寄せ合いられながら手繰り寄せられている。
n=200000での∑の莫大な数に含まれている素数を計算させていてもいくら時間をかけても一向に姿を示してくれなくて
別の手法でチェックしていただけでしたので、こんな世界が開けているとは思ってもみませんでした。
例え具体的素数が並んでいても全く気付けないと思います。
ちなみにAIに
Σ[k=0～n](nCk)^4 は
n＜p＜(4/3)n+1 を満たすすべての素数pで割り切れるは定理にできますか？
と質問してみると
主張は定理として正しく言えます（既知の結果として文献にも出てきます）。
との返事を返してきていました。

下記の URL にある PDF に証明っぽいものがあります。

https://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/pene16.pdf

私はまだ全体を読んでいません

こちらも関連するのかも？

https://artofproblemsolving.com/community/p849499

証明が長い・・・