😊出会いの泉😊

ある本に、6n+5の素数が、無限に、存在する。証明が、載ってました。
6n+1の、素数も、無限に存在する、事実は、知られていますが、証明は、難しいですか？

6n+1型の素数が有限個(m個)と仮定し、p[1]～p[m]とする。
a=6p[1]p[2]…p[m], b=a^3+1とすると
bは2,3,6n+1型の素数で割り切れないのでbの素因数は6n+5型のみ。
bの素因数の一つをq=6k+5とするとb≡0(mod q)なのでa^3≡-1 (mod q)
よってa^(6k+3)≡(a^3)^(2k+1)≡-1 (mod q)
一方、フェルマーの小定理からa^(q-1)=a^(6k+4)≡1 (mod q)なので
a≡-1 (mod q)
つまりa^3+1の素因数はすべてa+1の素因数であることになるが、
b=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)でa^2-a+1の素因数もa+1の素因数となり矛盾。
（∵a+1とa^2-a+1は互いに素）
従って6n+1型の素数は無限個。

# もし上記の証明に誤りがありましたらご指摘下さい。

らすかるさん、いつも、有難うごさいます。
証明を、試みましたが、力不足です。

数日経ちましたんで、解答を。
「あの関係式」とは相加平均と相乗平均の大小関係でした。


(1)
左辺 - 右辺 = (a^2+b^2) - 2ab = (a-b)^2 ≧ 0

(2-1)
(1) の結果で、a^2 を (a/b)(a/c) に、b^2 を (b/c) に書き換えると、
(a/b)(a/c)*(b/c) = (a/c)^2 となることから、
(a/b)(a/c) + (b/c) ≧ 2(a/c)
すなわち
(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)

(2-2)
(2-1) の結果でaとbを入れ替えたものを並べると
(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)
(b/a)(b/c) ≧ 2(b/c) - (a/c)
これらの両辺を足すと
(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c)

(2-3)
(2-2) の結果で文字をサイクリックを入れ替えて
(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c)
(b^3+c^3)/(abc) ≧ (b/a) + (c/a)
(c^3+a^3)/(abc) ≧ (c/b) + (a/b)
これらを全て加えて
2*(a^3+b^3+c^3)/(abc) ≧ (a/b+b/a) + (b/c+c/b) + (c/a+a/c)
右辺は (1) の関係式を使えば
(a/b+b/a) + (b/c+c/b) + (c/a+a/c) ≧ 2 + 2 + 2 = 6
となるので、
2*(a^3+b^3+c^3)/(abc) ≧ 6
すなわち
a^3+b^3+c^3 ≧ 3abc

(3) も同様。


任意のn個の変数に対する証明は、双方向に進む帰納法か、解析方面の知識を頼るか、大体そのどちらかです。
純粋な四則演算と累乗だけで1つずつ前進する帰納法は書けないもんなの？と長年思っていましたが、ふと解決したので投稿した次第でした。

簡単に思いつくものですかと言われると、えーと、うん、まあ……ね。

「どのようなもの」とは、例を書けば良いのでしょうか。もしそうなら例えば
n=6: (1,6)(2,5)(3,4)
n=12: (1,2,11,12)(3,4,9,10)(5,6,7,8)
n=18: (1,2,3,16,17,18)(4,5,6,13,14,15)(7,8,9,10,11,12)
n=24: (1,2,3,4,21,22,23,24)(5,6,7,8,17,18,19,20)(9,10,11,12,13,14,15,16)
・・・
n=6m:
(1,2,…,m-1,m,5m+1,5m+2,…,6m)
(m+1,m+2,…,2m-1,2m,4m+1,4m+2,…,5m)
(2m+1,2m+2,…,3m-1,3m,3m+1,3m+2,…,4m)

(追記)
n=6m+0,2,3,5のそれぞれの場合についての分け方の一般形の例が作れましたのでまとめます。
n=6m+0の場合(m≧1): それぞれの合計は m(6m+1)
(1～m, 5m+1～6m) と (m+1～2m, 4m+1～5m) と (2m+1～4m)
n=6m+2の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+1)
(1～m,4m+1～4m+2,5m+3～6m+1) と (m+1～2m+1,4m+3～5m+2) と (2m+2～4m,6m+2)
n=6m+3の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+2)
(1～m+1, 2m+1, 5m+4～6m+3) と (m+2～2m, 4m+3～5m+3) と (2m+2～4m+2)
n=6m+5の場合(m≧0): それぞれの合計は (m+1)(6m+5)
(1～m,5m+5～6m+5) と (m+1～2m+1,4m+4～5m+4) と (2m+2～4m+3)
※mに具体値を代入してa～a-1のように終値が始値より1小さくなる場合、その範囲は削除(n=5,8,9の場合に発生)
※n=6m+1,4の場合は総計が3の倍数ではないので3分割できません。

一般の等差数列、項数＝ｎ、初項＝a、公差=d　置くとき
a,a+d,…、a+(n-1)d　折り返して、和を取ると全て等しくなるので、
項数が６の倍数であれば、３分割して、和を等しくすることが可能です。
（n,a,d）=(6k,a,ｄ)

１，２，３，４，５は、分割して和を等しくすることが可能ですが、
a倍して、a,２a，３a，４a，５a も可能です。(5,a,a)

分割可能であれば、公差a の等差数列、初項a　を自由に作ることが可能。

１，２，３，４，５，６，７，８，９　の場合
｛９，１，５｝、｛８，３，４｝、｛７，２，６｝と
｛１，２，３，９｝、｛７，８｝、｛４，５，６｝複数解もあることが分かりました。

6m+5 5,11,17,23,…
6m+3 9,15,21,27,…
6m+2 8,14,20,26,…
については、5,9,8は、分割可能なので、残り6の倍数を足した数については、6の倍数が、3つの組に等分割可能なので、振り分けて、全体が、分割可能になります。

1が左上隅のパターンが8通り、1が中央のパターンが8通りなので
8×4+8=40通りだと思います。
(参考: oeis.org/A096969)

外にある場合と全く同じ方法が使えるように思うのですが、何かダメな理由があるんでしたっけ？

ややや DD++ さん、
私のボーンヘッドでしたか……
外にある場合には、ほぼ２倍の手数がかかるとばかり思い込んでいました。

今は出先ですので、あとで確認します。

DD++さんからご指摘頂いた件は、力不足のため私にはまだまだ相当に時間がかかりそうです。しかもこちらの方が本線で本質をついていることは間違いないことと思います。

まずは早めに筋悪な愚案たる作図方法のみをご披露することといたします。添付の図をご覧ください。

① 平行線 j, k にはさまれた点 O が与えられます。O は、j の方により近いものとします。
② O を通る線分 AT, BS を作図します。
③ 直線 AS, BT の交点を Q とします。
④ Q から直線 CU を引きます。 C は j との交点、U は k との交点とします。j 上で A,B,C はこの順に並ぶものとします。
⑤ 線分 BU と線分 CT との交点を P とします。
⑥ 直線 OP に名前をつけて h とします。h は　J と平行となります。

( 今回は作図のみのご案内です )

※ O が j, k のど真ん中にある場合には、Q の作図が、できません。無限遠になります。これがこの作図の欠点です。回避策として、O とは別の O' を j, k の間の領域、しかも、ど真ん中でないようにダミーで配置し、O' を通過する j に平行な直線 j' をいったん作図します。
j' と k との組みならば、O を通過する平行線を引けます。【２倍の手順がかかります】

今日はここまでとさせてください。

どうでも良い情報ですが、さきほどの添付の図は、生成AI に作らせた HTLMに表示させたものです。canvas要素と JavaScript およびに、初めて見た描画のためのライブラリを使っているようです。

Gemini に「こんなのの図を作れ」と指示を出しました。《こんなの》は以下の英文です。生成AIに理解できるように英文を書くほうが、普通にツールで作図
するよりも時間がかかること請け合いです。

Let two parallel lines j and k be given. Consider a point Q located on the same side of both lines, such that line j is closer to Q than line k.

From point Q, draw three distinct lines a, b, and c, each intersecting both j and k, in such a way that each line intersects j before it intersects k as we move away from Q.

Specifically, let line a intersect j at point A and k at point S; line b intersect j at point B and k at point T; and line c intersect j at point C and k at point U.

Assume that the points A, B, and C appear in this order along line j, as we move along j in a fixed direction.

Let O be the point of intersection of segments AT and BS, and let P be the point of intersection of segments BU and CT.

Define line h as the line passing through points and P.

j と k とが、はなから実は平行ではなかったとします。同じ作図をすると
j, k, h は１点で交わるそうです (共点)

改めてProject Euler.netのabout部分の長い英文で書かれたものを日本語に翻訳させた上で読んでみました。
（通常電化製品等の取扱い説明書など日本語で書かれている場合でも、隅々まで読むことなどほとんどなく
ましてや英文で書かれていれば尚更の習慣から全く目にも留めませんでした。)

確かに最初の100題はそれらの問題とその解決策を他の場所で議論することを許可します。

の内容が示してありました。
と言うことは101からは他では議論するなとなるわけなのか。

その目的をDD++さんは推理小説になどらえて解説されていたので、私もその筋で説明しますと
犯人は誰なのか？
実は小説を最後まで読めば、自ずと判明され、またそれが最後まで読んでみたい強い動機ともなれます。
ところが数学的問題（特に101番以降など）では、途中まではおのれの足を一歩ずつ前に踏み出して行けば
ある地点までは辿り着けるのですが、如何せん一歩も前に進めなくなることがしばしば発生するのです。
するとサイトをいろいろ検索しだしたり、あるいはAIを頼りに質問したり、図書館に本を借りに行ったり
他人様のお知恵が利用できないかともがきます。
考えてみると自分独自で何か発見できてきたかと思うと殆んどの事項が先人の知恵や道具に頼っている
ことに改めて気付かされます。
一週間考え作業し問題のAnswer欄に自分なりの答えを入力しても×の判定を何度も受け、こうなると心が折れ
フラストレーションが溜まるばかりの状態が続きます。
逆に正解を得ると、それを解決した世界中の人たちからのアイデアや方法論を参考に見れる仕組みがされていて
苦労した後にはなんて素晴らしい方法が隠れていたんだとか、プログラムの仕方が言語によりこうも違えるんだとか
ほんとに心に染みわたります。

ところが時々この問題に非常に関連する情報が多く含まれるサイトに出会うことが起こるのです。
例のOEISにもそれが登場していることもしばしばなのです。
あるいはDD++さんには信じられないかも知れませんが、各問題の正解だけを載せている人もいるのです。
Euler 防衛軍の方には、目くじらものでしょうが何処にもこれを解決する情報もなく、手も足もでないままでは
裏に潜んでいるダイアモンドの輝きを見ることが叶いません。
こんな時、人の口には戸を立てられぬとはよく言ったもので、私のような者にはそんな情報はとても有難いのです。
私も独力で何日もかけて考え続け自分の力でこじ開けたいのですがでも限界があります。

それとは知らず、この場で色々質問していたことをお詫びします。

まあ、そもそも最初からPEの解答を求めている人しか来ないような場所で話すのであれば、ある程度やむを得ない話なのかなとも思います。
ミステリの犯人についての話でも「ミステリのネタバレありきで楽しむ場所」と各所でしつこいほど断りを入れた上でなら、まあ許されるだろうなと。

でも、ここは数学全般を扱う場所です。
ただ「階乗の数の並びに法則性ってあるのかな？」と気になっただけの人も来る場所です。
そこに解答を書くのは、本屋さんで「何か面白い本ないかな」と思ってるだけの人にいきなりネタバレするようなものではないですか？

というか、実際に私は160は未挑戦というか問題読んでもいませんでした。
たまたま160のネタバレだと言われる前に自力で解いたので私はぎりぎりセーフでしたが、私以外の人（例えば、記事を読みに来るだけの人とか）にはネタバレ被害を受けた方もいるかもしれません。

さらに重ねて、159に関しては、私は突然ネタバレのURLだけ押しつけられました。
もし私が本文を先まで読まずにOEISのURLを開いていたら100%自力正解の権利をGAIさんによって勝手に剥奪されるところでした。
まだ問題すら読んでいない段階でですよ。
これは許せません、はっきりと怒りを覚えます。

アクセスしたければ可能であることと、アクセスしようと思っていない人の目にまで入れさせることは全く違うというのを理解してください。
よろしくお願いします。

……自戒も込めて。

訂正。
押し付けられたのはURLじゃなくてOEISの番号だけでしたね、失礼しました。
文意は通じると思いますので……。

とりあえず10億まで。
合ってますかね？

f(20) = 200817664
f(30) = 5863630848
f(40) = 6115894272
f(50) = 1568960512
f(60) = 2776964096
f(70) = 8984531968
f(80) = 6728081408
f(90) = 4469978112
f(100) = 5210916864

f(200) = 389737472
f(300) = 8808170496
f(400) = 5032491008
f(500) = 5547812864
f(600) = 3891178496
f(700) = 2517264384
f(800) = 8969450496
f(900) = 2530962432
f(1000) = 27753472

f(2000) = 807339008
f(3000) = 4872042496
f(4000) = 5802602496
f(5000) = 937833472
f(6000) = 8127287296
f(7000) = 993752064
f(8000) = 4026732544
f(9000) = 9915703296
f(10000) = 8001579008

f(100000) = 4957162496
f(1000000) = 5058412544
f(10000000) = 2574194688
f(100000000) = 2840754176
f(1000000000) = 933638144

ここから先の戦略も頭の中にはありますが、ここまでを確認した後にしたいので。

完全に同じになっています。
よかったら参考にしたいのでコードを掲載しておいてくれませんか？

よかったです。
コードよりもアルゴリズムを日本語で書いといた方がいいと思いますので、そっち置いときますね。

16≦n≦数億の場合を想定します。
整数nが素因数に5をm個もつとして、g(n) = n*(4882813/5)^mとします。

階乗の代わりにg(1)からg(n)までのすべての積をとって5^10で割った余りを求めると、f(n)を5^10で割った余りが得られます。
これは、積を計算するたびに余りを求めることで限られた桁数内でで計算できます。
（実際は4882813の累乗も後からまとめて計算しています）

求めた値に1787109376を掛けて10^10で割った余りを取ると、f(n)の値がわかります。
（n≧16だとf(n)が必ず2^10の倍数であることを利用しているので、n≦15では誤った値が出ます）

DD++氏のアイデアをプログラムしてみた。

gp > f(n)={r1=4882813;r2=1787109376;}lift(Mod(lift(Mod(prod(i=1,n,i*(r1/5)^valuation(i,5)),5^10))*r2,10^10))
gp > for(n=1,9,print("10^"n";"f(10^n)))
10^1;625036288
10^2;5210916864
10^3;27753472
10^4;8001579008
10^5;4957162496
10^6;5058412544
これから先はとても時間が必要となっていきました。

確かに正確に0をトリムされた後の下10個の数が並ぶことができますね。
ところで不思議なのはr1,r2の値は何処から現れるのでしょうか？
r1,r2以外にもこのような性質を有する(r1,r2)の組は取れるのでしょうか？

C++だと10^9でもちょっと一服くらいの時間で出てきましたが、言語による速度差って意外と大きいのですね。
あるいは、(r1/5)の累乗のところでmod5^10の結果だけわかればいいのに律儀に累乗の結果を出してからmod取ってるせいで一部数値で桁数が爆発している影響かな？


r1とr2は、
r1 = (5^10+1)/2
r2 = 183*5^10+1 = 1745224*2^10
です。

つまり、
mod5^10においてr1を掛ける行為は実質2で割る操作に相当します。

また、r2は
x≡k (mod5^10)
x≡0 (mod2^10)
を連立した結果が
x≡r2*k (mod10^10)
であることに由来します。

あまり自信がありませんが、
F(10^100)=3738735616
ですか？

凄い！
ピッタリ同じ値です。
どれほどの時間がかかりましたか？
プログラムの概要を解説お願いします。

約2分です。→後に高速化して約16秒になりました
(10^100)!から素因数2と5を除いたものをmod10^10で計算し、
2^(75*10^98-87)をmod10^10で計算して掛け合わせた下位10桁です。
後者は簡単ですね。
前者は
1～10^100を2^m×5^n×N（Nは2でも5でも割り切れない数）の
m,nで24002通りに分類し、それぞれをmod10^10で計算してmod10^10で掛けます。
とりあえず10^10までを計算したら
1×3×7×9×11×13×…×9999999999≡1 (mod10^10)
ということがわかりましたので、例えば
1×3×7×9×…×3141592653589793238462643383279 (mod10^10)
を計算したいときは終値は下位10桁だけとって
1×3×7×9×…×2643383279 (mod10^10)
を計算すれば十分です。これを使って
(m,n)=(0,0): 1×3×7×9×…×(10^100-1) ≡ 1×3×7×9×…×9999999999 ≡ 1
(m,n)=(1,0): 1×3×7×9×…×(10^50-1) ≡ 同様に1
・・・
(m,n)=(191,44): 終値(10^100/2^191/5^44余り切り捨て)の下位10桁をとって 1×3×…×519385729 ≡ 9917681069
↑これは単なる例です
・・・
そしてこれら24002個の数をmod10^10で掛け合わせると5385817123で、
2^(75*10^98-87)≡6813576192を掛けて3738735616を算出しました。
1×3×7×9×…×9999999999 のmod10^10での計算が2分弱で、
24002通りの計算を高速化するために途中計算で得られた
1×3×7×9×…×9999
1×3×7×9×…×19999
1×3×7×9×…×29999
・・・
1×3×7×9×…×9999999999
（全てmod10^10）を要素数1000000の配列に保持し、
24002通りそれぞれを最大約4000回の乗算で済むようにした結果、
1×3×7×9×…×9999999999の計算以外は誤差程度の時間になりました。

(22:28追記)
1×3×7×9×11×…(mod 10^10)の計算で10^10未満の数の積を求めるのに
64ビットでは足りず128ビット演算していたのですが、
128ビットのmod演算がやたら遅かったのでmod 2^10とmod 5^10を別々に求めて
n≡a (mod 2^10), n≡b (mod 5^10) のとき
n≡8212890625a+1787109376b (mod 10^10)
で求めるようにしたところ、実行時間は約2分→約16秒になりました。

高速化により、O(n)だったのをO(logn)に改善。
10^18に対してpaiza.io環境で0.08sで求まるようになりました。
（結果自体はらすかるさんに劣るものですが、今後の自分のデバッグ用も兼ねて）

f(10^2) = 5210916864
f(10^3) = 27753472
f(10^4) = 8001579008
f(10^5) = 4957162496
f(10^6) = 5058412544
f(10^7) = 2574194688
f(10^8) = 2840754176
f(10^9) = 933638144
f(10^10) = 6441946112
f(10^11) = 1378167808
f(10^12) = 283416576
f(10^13) = 9067109376
f(10^14) = 4534834176
f(10^15) = 2576510976
f(10^16) = 9755143168
f(10^17) = 3894653952
f(10^18) = 5407435776

あとは多倍長整数を使えば10^100でも一瞬だと思いますが、
それじゃ美しくないので2^63以内の計算だけでなんとかならないか試行錯誤中。

せっかくプログラムを作ったので大きい方も。
F(10^100) = 3738735616
F(10^200) = 6923037696
F(10^300) = 9519908864
F(10^400) = 2065393664
F(10^500) = 6678018048
F(10^600) = 9989215232
F(10^700) = 6221698048
F(10^800) = 3924201472
F(10^900) = 1886432256
F(10^1000) = 1896479744
F(10^2000) = 4883249152
F(10^3000) = 6688616448
F(10^4000) = 8291796992
でも合っているかどうかはわかりません。
(10^4000)!とか、巨大すぎて想像しにくいですね。
(10^100)!でも十分大きいですが。

どうやら一致してそうです。

f(10^10) = 6441946112
f(10^20) = 8474436608
f(10^30) = 6117305344
f(10^40) = 6605049856
f(10^50) = 5791409152
f(10^60) = 1279752192
f(10^70) = 8388129792
f(10^80) = 2060969984
f(10^90) = 6590068736

f(10^100) = 3738735616
f(10^200) = 6923037696
f(10^300) = 9519908864
f(10^400) = 2065393664
f(10^500) = 6678018048
f(10^600) = 9989215232
f(10^700) = 6221698048
f(10^800) = 3924201472
f(10^900) = 1886432256

f(10^1000) = 1896479744
f(10^2000) = 4883249152
f(10^3000) = 6688616448
f(10^4000) = 8291796992
f(10^5000) = 5123908608
f(10^6000) = 2555037696
f(10^7000) = 5540568064
f(10^8000) = 9098052608
f(10^9000) = 4882372608

f(10^10000) = 4592166912
f(10^20000) = 310350848
f(10^30000) = 8320806912
f(10^40000) = 1363283968
f(10^50000) = 7217645568
f(10^60000) = 5054093312
f(10^70000) = 7207071744
f(10^80000) = 6996748288
f(10^90000) = 3016684544

f(10^100000) = 9734950912 (0.46sec)
f(10^150000) = 4346172416 (0.83sec)
f(10^200000) = 9418829824 (1.32sec)
f(10^250000) = 7569364992 (1.94sec)
この辺がpaiza.io環境（実行時間2秒制限）での限界でした。

以下、自前環境
f(10^300000) = 5518877696
f(10^400000) = 6031537152
f(10^500000) = 7823699968
f(10^600000) = 4702614528
f(10^700000) = 5214944256
f(10^800000) = 6104402944
f(10^900000) = 7742903296
f(10^1000000) = 8226093056

10^nに対して、主要部分の計算はO(n)で済んでるのに、
前計算の「2^nを五進数で求める」という部分でO(n^2)かかってる残念さ。

巨大な累乗数の基数変換をO(n*logn)くらいでやる実装が簡単なアルゴリズムないですかね？
カラツバ法を使えばO(n^1.59)くらいまでは改善するけど書くのが面倒……。

f(10^100) = 3738735616
と同じ値3738735616
を取る他の
f(s) ｓ<10^100の値は存在するのですか?

コード書いてる途中で気づいたんですが、
f(4*5^20*n) = f(4*5^19*n)
が成り立つので、
2*10^99や4*10^98、以下2^81*10^19までの81個は同じ値になりますね。
2^82*10^18が一致するかどうかは……9*10^18以上は10の累乗特化のやつしか手元にないのでわかりません。

f(s)=3738735616 となるsは
16257603, 19004367, 20867632, 21217365, 33069263,
42564599, 42631627, 45460609, 52492698, 53300341, …
のようにたくさんあるようです。
最小のsは 16257603 です。

f(n)　10≦n≦10000
の中で同じ値へ至る組合せを探してみたら
[484,8121]==>395157504
[600,3734]==>3891178496
[724,3900]==>8483543424
[1091,7460]==>608149504
[1260,5976]==>3417107456
[1899,2110]==>4827099136
[1928,2625]==>9962140672
[4152,7094]==>9036347392
[4177,9681]==>7609266176
[5051,5145]==>8307800064
[5763,8822]==>5245555712
[6674,9771]==>6639161344

の12組がいました。
[99,100],[999,1000],[9999,10000]は除いています。

何か法則が見えてこないかな～
前もって
f(10^100)=f(16257603)
を判断できればもっと短時間で手に入るのに･･･

なおこの疑問はEuler Projectでのproblem 160から発生していて
そこでは10桁ではなく5桁での問題であり(5桁の数字を探す関数をf5としています。）
解決の一つの方法として
if n%2500==0なら任意の正整数xに対し
f5(n)=f5(n*5^x)が成立することを利用し
f5(10^12)=f5(256000*5^8)
で256000%2500==0を満たすので
　　　　=f5(256000)
を調査することで
　　　　=16576
で解決できるやり方があるという。（随分桁数を節約できる)

この方法は5桁に限って成立するようで10桁ではズレてしまいます。
これに代わる方法（法則）は無いものか？

まさに私が言った
f(4*5^20*n) = f(4*5^19*n)じゃないですかね。

5桁だと
f(4*5^5*n) = f(4*5^4*n)
で成立するんですね。

ということは、10桁だと
f(4*5^10*n) = f(4*5^9*n)
で成り立つのかな？

あと、Project Eulerは問題101以降は解法言及禁止なので、
少なくとも表向きは「Project Eulerとは無関係に思いついた問題です」にしとかないとまずい気が。

f(4*5^20*n) = f(4*5^19*n)の等式は
f(4*5^19*n) = f(4*5^18*n) = f(4*5^17*n)=･･･= f(4*5^9*n)
まで伸ばせませんかね？(上方へは5^xの部分はどこまでもOK)
従って
f(10^100)=f(4*5^100*2^98)=f(4*2^98*5^9)=f(2^100*5^9)=f(2475880078570760549798248448000000000)
まで桁を下げて調査でき(101桁を37桁に縮小化)
これを計算させて
%=3738735616
が手に入る。

さあ、どうなんでしょうね。
思いつくことはありますが、Project Eulerの101以降の問題であると名言されてしまった以上、解法につながることが迂闊に言えなくなってしまいましたので。

Project Eulerの101以降の問題であると名言されてしまった以上、解法につながることが迂闊に言えなく・・・

こんな規則があったとは思ってもいませんでした。
でもOEISでは
A347105などでは
Project Euler, Digital root sums of factorisations, Problem 159.
の様にリンクと共に解決に直接結びつく結果がいろいろなコードでのプログラムとともに
数値が並び公開されています。
この様に解決するのに大いに参考になる情報はいろいろな所にアクセス可能の状態にあります。
またこのごろはAI（ChatGTPやGemminiやCopilotなどなど)にプログラムを好きなコードで作ってもらうように
頼めば難なく示していきます。
ただこれが余り頼りにはなりませんが・・・
でも考える方向性などは窺い知ることはできます。
DD++さんがためらわれているのはこの解決に参考になることは一切表には出してはいけないものだという
お考えをお持ちだからなのですか？

(1)
式を変形して (ap-10)(bp-10)=100
p=1のときの解の例は (a,b)=(20,20)
p=2のときの解の例は (a,b)=(10,10)
p=3のときの解の例は (a,b)=(5,10)
p=4のときの解の例は (a,b)=(5,5)
p=5のときの解の例は (a,b)=(4,4)
p=6のときの解の例は (a,b)=(2,10)
p=7のときの解の例は (a,b)=(2,5)
p=8のとき(4a-5)(4b-5)=25となり
(4a-5)≡(4b-5)≡3 (mod 4)だが
25は3 (mod 4)の積に分解できないので、答えはp=8

(2)
式を変形して (ap-100)(bp-100)=10000
p=1～7は(1)の(a,b)を10倍すればよい。
p=8のときの解の例は (a,b)=(25,25)
p=9のときの解の例は (a,b)=(20,25)
p=10のときの解の例は (a,b)=(20,20)
p=11のときの解の例は (a,b)=(10,100)
p=12のときの解の例は (a,b)=(10,50)
p=13のときの解の例は (a,b)=(8,200)
p=14のときの解の例は (a,b)=(10,25)
p=15のときの解の例は (a,b)=(12,15)
p=16のとき(4a-25)(4b-25)=625となり
(4a-25)≡(4b-25)≡3 (mod 4)だが
625は3 (mod 4)の積に分解できないので、答えはp=16

(3)
式を変形して (ap-1000)(bp-1000)=1000000
p=1～7は(1)の(a,b)を100倍、p=8～15は(2)の(a,b)を10倍すればよい。
p=16のときの解の例は (a,b)=(125,125)
p=17のときの解の例は (a,b)=(60,3000)
p=18のときの解の例は (a,b)=(100,125)
p=19のときの解の例は (a,b)=(56,875)
p=20のときの解の例は (a,b)=(100,100)
p=21のときの解の例は (a,b)=(50,1000)
p=22のときの解の例は (a,b)=(50,500)
p=23のとき(23a-1000)(23b-1000)=1000000となり
(23a-1000)≡(23b-1000)≡12 (mod 23)だが
1000000は12 (mod 23)の積に分解できないので、答えはp=23

# 手計算なので間違いがあるかも知れません

全て正解です。
手計算でいけるんですか！
では
1/a+1/b=p/10^9
を満たす異なる解は何通りあるかはbrute force ではとても時間がかかり無理と思われますが・・・

もし右辺の分母が10^9のとき23058通りで正しければ、
10^1: 20通り
10^2: 102通り
10^3: 356通り
10^4: 958通り
10^5: 2192通り
10^6: 4456通り
10^7: 8260通り
10^8: 14088通り
10^9: 23058通り
10^10: 35896通り
10^11: 53932通り
10^12: 79174通り
10^13: 112824通り
10^14: 156434通り
10^15: 215984通り
10^16: 290394通り
10^17: 384320通り
10^18: 502942通り
10^19: 646852通り
10^20: 820292通り
のようになるかと思います。

上記を求めるのに計算方法の工夫を重ね、最終的には
(Pari/GP形式で)
f(n)=sum(k=0,n+n,sum(m=0,floor(log(10^n/2^k)/log(5)),numdiv(gcd(2^k*5^m+10^n,2^(n+n-k)*5^(n+n-m)+10^n))))
という式で求められることがわかりました。

らすかるさんの素因数分解式を参考に、自分流でプログラムを組んでみました。
f(n)={Div=divisors(10^(2*n));X=select(i->i<=10^n,Div);Y=apply(i->10^(2*n)/i,X);
A=apply(i->i+10^n,X);B=apply(i->i+10^n,Y);}
M=[];for(n=1,#A,M=concat(M,[gcd(A[n],B[n])]));vecsum(apply(i->#divisors(i),M))

n;
20;820292(通り)
21;1038320
22;1292462
23;1590916
24;1946888
25;2359396
26;2830798
27;3393902
28;4039842
29;4775820
30;5636084
････････････
と一瞬で求まっていくのですね。（快適！）

△ABCの垂心をHとする。各辺の垂心の足をDEFとすると、
Hは、△DEFの内心になる。したがって、
△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をIとする。内接円の各辺との接点をDEFとすると、
Iは、△DEFの外心になる。したがって、
△ABC（I）＝△DEF（O）

これで、H→I→O→Hとなりましたが、
逆の、I→H→O→Iの場合、見つけていただけないでしょうか？

管理人様へ　前の記事、追加編集してます。
△ABCの、外心をO、
ベクトル　OA＝a,　OB=b,　OC=c　とするとき、
重心　OG＝（a+b+c）/3
垂心　OH＝a+b+c なので
　　　OH＝３OG　（オイラー線）

△ABCの、外心（O）垂心（H）内心（I）重心（G）
の4個のうち、いずれかの二つが、一致するとき、
△ABCが正三角形であるための
必要十分条件になります。

△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による、対称点をDEFとする。△DEFの内心が、Hに一致するので、△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をＩとする。Ｉのそれぞれの辺対称な点をＤＥＦとする。
△ＤＥＦの外心は、Ｉに一致するので、
△ＡＢＣ（Ｉ）＝△ＤＥＦ（Ｏ）

△ABCの外心をOとする。各辺による、点Oの対称点をDEFとすると、
△DEFの垂心は、Oに一致する。
△ABC（O）＝△DEF（H）
H→I→O→H　逆順の例はないでしょうか？

△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する。
したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）

逆に、△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点を
それぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致するので、
△ABC（I）＝△DEF（H）

また、△ABCの外接円をOとするとき、円周上のどの三点DEFをとっても
△ABC（O）＝△DEF（O）
証明は、簡単ですが、…

パスカルの三角形を3進付値で表したものをnCrのn=26までを9つごと(実線)と3つごと(破線)に区切ったものも描いてみました。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/p-adic/3adic-pascal_page-0001.jpg