😊出会いの泉😊

111111111÷9=12345679は既知
(12345679-17)÷2=6172831 ← 111111111になる初項
これ以降は222222222÷18=12345679を順次足せばよいので
6172831+12345679=18518510 ← 333333333になる初項
18518510+12345679=30864189 ← 555555555になる初項
30864189+12345679=43209868 ← 777777777になる初項
43209868+12345679=55555547 ← 999999999になる初項

(追記)
最後の値が55555555に近いことから逆に考えると、以下の手順の方が
計算が簡単かも知れません。
18個の和が999999999になる自然数列を2個ずつ足して9個にすると
公差4の奇数列になる。
999999999÷9=111111111なので
999999999=111111095+111111099+111111103+111111107+111111111
+111111115+111111119+111111123+111111127
それぞれの奇数を隣接自然数の和にすると
55555555×2=111111110であることから
111111111=55555555+55555556、よって
111111107=55555553+55555554
111111103=55555551+55555552
111111099=55555549+55555550
111111095=55555547+55555548
111111115=55555557+55555558
111111119=55555559+55555560
111111123=55555561+55555562
111111127=55555563+55555564
のようになり、
999999999=55555547+55555548+55555549+…+55555564
となることがわかる。
他の数は222222222÷18=12345679を順次引けば求まる。

そこで今度は等差数列にある連続する18個の整数を並べてその合計を
222222222, 444444444, 666666666, 888888888
となるようにしたい。
なるだけ小さい整数の公差で目的を遂げるにはそれぞれの初項と公差を何に設定しておけばよいか？

更に
初項を最も小さい正の整数で設定する場合、18個の整数でそれぞれの等式を成り立たせる各公差(整数とする。)との組合せはどの様なものになるか？

222222222:
222222222÷18=12345679だから中心(9個目と10個目の平均)を12345679にする必要がある。
ということは最小公差は2で初項は12345679-17=12345662
また最小初項は12345679-17[(12345679-1)÷17]=7、公差2[(12345679-1)÷17]=1452432

他も中心が整数だから最小公差はどれも2で、そのときの初項は
444444444: 12345679×2-17=24691341
666666666: 12345679×3-17=37037020
888888888: 12345679×4-17=49382699
最小初項とそのときの公差は
444444444: (12345679×2)-17[(12345679×2-1)÷17]=14、2[(12345679×2-1)÷17]=2904864
666666666: (12345679×3)-17[(12345679×3-1)÷17]=4、2[(12345679×3-1)÷17]=4357298
888888888: (12345679×4)-17[(12345679×4-1)÷17]=11、2[(12345679×4-1)÷17]=5809730

初項を最小にした場合の[初項,公差]は
111111111 ; [12,726215]
222222222 ; [7,1452432]
333333333 ; [2,2178649]
444444444 ; [14,2904864]
555555555 ; [9,3631081]
666666666 ; [4,4357298]
777777777 ; [16,5083513]
888888888 ; [11,5809730]
999999999 ; [6,6535947]
となり初項は全部相異なることになりました。
この初項の並びに何か法則性は無いのか探っていたら
17-5=12
17-(5+5)=7
17-(5+5*2)=2
17-3=14
17-(3+5)=9
17-(3+5*2)=4
17-1=16
17-(1+5)=11
17-(1+5*2)=6
(苦しい)
他に何か規則はあるのか？

111111111を17で割った余りは 12
222222222を17で割った余りは 7
333333333を17で割った余りは 2
444444444を17で割った余りは 14
555555555を17で割った余りは 9
666666666を17で割った余りは 4
777777777を17で割った余りは 16
888888888を17で割った余りは 11
999999999を17で割った余りは 6
のようになっていますので
n=11111111,222222222,333333333,…として
f(n)=n-17[n/17]
とか
f(n)=17arctan(tan((n+9)π/17))/π+8
などのようには表せますが、そういうことでしょうか。

111111111を17で割った余りは 12
222222222を17で割った余りは 7
333333333を17で割った余りは 2
444444444を17で割った余りは 14
555555555を17で割った余りは 9
666666666を17で割った余りは 4
777777777を17で割った余りは 16
888888888を17で割った余りは 11
999999999を17で割った余りは 6

何か17が関係しているなと思っていたんですが、は～これなんだ！
疑問は誰かに聞いてみるもんだ。
18個の整数は等間隔で17個開いているんですものね。

問題をよく読んでなくて実数全体で解いてしまいましたが、負の解を出すのに苦労しましたのでそのまま書きます。
x+√(x(x+2))+√(x(x+3))+√((x+2)(x+3))=6
この式からx≦-3またはx≧0
√(x(x+2))+√(x(x+3))=6-x-√((x+2)(x+3))
x(x+2)+x(x+3)+2√(x^2(x+2)(x+3))=(x-6)^2+(x+2)(x+3)+2(x-6)√((x+2)(x+3))
12x-42=2(x-6)√((x+2)(x+3))-2√(x^2(x+2)(x+3))
6x-21=(x-6)√((x+2)(x+3))-√(x^2(x+2)(x+3))
36x^2-252x+441=(x-6)^2(x+2)(x+3)+x^2(x+2)(x+3)-2(x-6)√((x(x+2)(x+3))^2)
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=2(x-6)|x(x+2)(x+3)|
x≦-3の場合
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=-2(x-6)x(x+2)(x+3)
4x^4-4x^3-96x^2+288x-225=0
適解は
x={1-√(65+(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6))-
√(130-(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6)+
2√(4017-(8√76414)cos((1/3)arctan(159846337√6343/4366032789)+π/6)))}/4
(=-5.7113523237167609662912199429866925479…)
x≧0の場合
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=2(x-6)x(x+2)(x+3)
48x-25=0
∴x=25/48
従って解は
x=25/48,
{1-√(65+(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6))-
√(130-(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6)+
2√(4017-(8√76414)cos((1/3)arctan(159846337√6343/4366032789)+π/6)))}/4
の二つ

解く前に様子を見るためにグラフソフトで与式を見てみると
正、負に一個ずつ実数解を持つことは見えたのですが
これが何かを求めようにもあまりに根号が邪魔をして、途中
変形をし続ける気力を失っていました。
正の解だけを求められていたのですが、仕方なくsolveコマンド
に頼って
gp > solve(x=0,1,x+sqrt(x*(x+2))+sqrt(x*(x+3))+sqrt((x+2)*(x+3))-6)
%42 = 0.52083333333333333333333333333333333334
gp > bestappr(%42)
%43 = 25/48
gp > solve(x=-6,-5,x+sqrt(x*(x+2))+sqrt(x*(x+3))+sqrt((x+2)*(x+3))-6)
%44 = -5.7113523237167609662912199429866925479
gp > algdep(%44,4)
%45 = 4*x^4 - 4*x^3 - 96*x^2 + 288*x - 225
でこの4次関数は既約でとてもじゃないが解を求める手段はフェラーリの公式
以外になく、求められたとしても想像を絶する式となるだろうと思っていました。
なんとらすかるさんはこれを正確に求めているのですね。

我慢できなく解法を見てみると何と正の解を出すための超絶技巧として
次の手段を示されていました。

a=√x,b=√(x+2),c=√(x+3)と置くと
与式=a^2+a*b+a*c+b*c=6
a^2+a*(b+c)+b*c=6
(a+b)*(a+c)=6･････････①

与式の両辺に2を足して
x+2+a*b+a*c+b*c=8
b^2+b*(a+c)+a*c=8
(b+a)*(b+c)=8･････････②

与式の両辺に3を足して
x+3+a*b+a*c+b*c=9
c^2+c*(a+b)+a*b=9
(c+a)*(c+b)=9･････････③

①②③を辺々かけて
((a+b)*(b+c)*(c+a))^2=6*8*9=2^4*3^3
これより
(a+b)*(b+c)*(c+a)=2^2*3*√3=12√3････④
④/①から
b+c=2√3･････････････④
④/②から
a+c=3√3/2･･･････････⑤
④/③から
a+b=4√3/3･･･････････⑥

④+⑤+⑥から
2*(a+b+c)=29√3/6
これより
a+b+c=29√3/12･･･････⑦

⑦-④から
a=29√3/12-2√3=5√3/12

従って求めるx=a^2=25/48
（あ～こんな発想思い付くわけないぞ!!）

私の解釈が正しいかどうかの確認のために聞きたいのですが、
n=6のときの最大の長方形の面積は8ですか？

n=6では4通り配置が可能ですが位相的にはどれも同型となり中に取れる長方形の面積
は2*4=8の大きさを持ちます。

合っているかどうかわかりませんが、こんな値になりました。
n=6: 2*4=8
n=7: 2*5=10
n=8: 4*4=16
n=9: 4*5=20
n=10: 4*6=24
n=11: 5*6=30
n=12: 5*7=35
n=13: 6*7=42
n=14: 6*8=48
n=15: 7*8=56

手作業ではとても手に負えなかったので、Copilot(人工知能)と何度もやり取りを繰り返し
PARI/GPで走らせるプログラムをやっとの思いで完成させ調査してみました。
(位相的に同じものを探し出す手続きがとても面倒でした。でもこれをしないと対象のものが
莫大な数に膨れて調べる気力を奪われてしまいます。)
n=6,7,8,9,10での結果が以下の様になるようです。

なお
S:異なる配置総数、S0:位相的異なる配置総数とし
配置した中に生まれる公園(長方形)を最も広くできる配置図が以下のもので可能となります。
(最大面積は位相的に異なるパターンをすべて出力し、目で見て探しているのでひょっとして
見落としているものがあるかもしれませんが、一応何度も点検した積りです。)

6X6board (S=4;S0=1); 最大8
Solution
･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ Q ･ ･ ･


7X7board (S=40;S0=6); 最大10
Solution
･ ･ Q ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ Q ･ ･ ･


8X8board (S=92;S0=12); 最大16(正方形となる)
Solution
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･


9X9board (S=352;S0=46); 最大20(２パターン存在)
Solution 1
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

Solution 2
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･


10X10board (S=724;S0=92); 最大20(５パターン存在)
Solution 1
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 2
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･

Solution 3
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･

Solution 4
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 5
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

n=10での24の配置図はどの様なものなのですか？

パターンはいろいろあるみたいですが、例えば
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･

(追記)
パターンは全部で4パターンのようです。
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　
最後のパターンは点対称できれいですね。

でもこれらは斜めが重複しませんか？

「すべての石について、縦横斜めの8方向に他の石が存在しない」
が成り立てば良いものと思っていましたが、違いますか？
もしこれが正しければ重複していないつもりですが、
重複しているようでしたら具体的にどのパターンのどの石とどの石が
重複しているかを教えて頂ければと思います。
また、私の解釈が間違いでしたら正しい解釈を教えて頂ければと思います。

# 上の書き込みでn=10のパターン数を「5」と書いてしまいましたが、「4」の間違いですので訂正しました。

すみませんでした。
投稿してすぐに間違いであることに気付いて削除しようと操作するもサイトの状態が固まった状態がしばらく続いて
いたので訂正できずにいました。
92パターンを再び画面を拡大して眺めていたら
92個を一覧にするため、出力されていたのをエクセルに並べて
(一文字が小さくなっていた)印刷してたので眺めていたので
. Q . . . . . . . . が
.Q.........

とQ.が重なった状態でしか見えなくてつい見落としていました。
(年とともに小さい字が見えずらい!）

･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　

これらは
Solution 73
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 76
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 87
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

Solution 92
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
として実際に出力していた。

24の広さが取れることを確認できました。

高速化のアルゴリズムを考えていて気付いた点など書きます。

(1) 長方形は最大でも縦横2辺の合計がn
n≧6では最大の長方形の縦横2辺の合計がn未満になることはなさそうです。
n=2mの場合の最大面積は高々m^2、n=2m+1の場合の最大面積は高々m(m+1)となります。
nが大きい場合は自由度が増すためm^2またはm(m+1)となりそう(15≦n≦50で確認済み)ですが、
nが小さい(n=6,7,10,12,14)場合は制約が多くなり、それより小さい値になることがあります。

(2) 最大がm^2(n=2m)またはm(m+1)(n=2m+1)となる場合、石は長方形の上下左右にしか置けない
長方形の辺を延長して井の形にしたとき、角の4区画には置けません。
これは上辺の上と下辺の下を合わせてちょうど上下辺の長さ分の個数、
左辺の左と右辺の右を合わせてちょうど左右辺の長さ分の個数になる必要が
あることから言えます。

(3) 上記を踏まえて考えると、「条件を満たすパターンを生成して内部の最大長方形を調べる」よりも
「長方形の大きさと位置を先に固定し、石は置ける範囲だけ試す」の方が高速に探索できます。
（もちろん長方形の位置は全通り試す必要があります）
このように高速化すると、「条件に合うパターンを一つ見つける」だけならばn=50程度まで可能となります。
「パターンが何通りあるか」の場合はn=25程度までです。

(4) パターン数は、n=18程度まではあまり多くないですが、それを超えると爆発的に増えます。
n=6: 2*4=8 (1通り)
n=7: 2*5=10 (1通り)
n=8: 4*4=16 (1通り)
n=9: 4*5=20 (2通り)
n=10: 4*6=24 (4通り)
n=11: 5*6=30 (2通り)
n=12: 5*7=35 (2通り)
n=13: 6*7=42 (4通り)
n=14: 6*8=48 (26通り)
n=15: 7*8=56 (16通り)
n=16: 8*8=64 (44通り)
n=17: 8*9=72 (23通り)
n=18: 9*9=81 (77通り)
n=19: 9*10=90 (333通り)
n=20: 10*10=100 (1027通り)
n=21: 10*11=110 (1705通り)
n=22: 11*11=121 (2337通り)
n=23: 11*12=132 (18464通り)
n=24: 12*12=144 (27553通り)
n=25: 12*13=156 (188172通り)
n=26: 13*13=169 (247527通り)
n=27: 13*14=182 (2069383通り)

n=11で位相的に異なる341通りの配置方法から
最大面積が30となる配置図が2通りということだったので
その配置方法を何とか探しだすことを試みてみました。
(長方形を任意の位置に設定し空席のカウントを自動で行うプログラムなんて
とても組めるものではないので、探す方法は目が頼りです。)

Solution 237
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

Solution 312
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

牛乳を入れると側面中央がそれぞれ約2mm膨らむそうです(AIの回答)。
この曲線を円弧として計算すると、断面積が49→52.7となり、
19.5を掛けると1000を超えます。

はい牛乳を入れると側面が僅かに膨らみ、ピッタリ1ℓを注ぐことになるそうです。
工業デザインとはよく考えられているものですね。
そういえば缶コーヒーのプルトップも引っ張って切れやすいように非対称的な円形構造をしていますね。

多分
[1] n=32325229*k-3411452 のとき 32325229
[2] n=174878089*k-97513454 のとき 174878089

(追記)
ところで
gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)は n=41*k-12 だけではないですね。
n=6311*k-2501のときに6311になると思います。
つまり、gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)は
n=258751*k-236008 … (1) のとき 258751
（41k-12と6311k-2501の共通部分）
(1)以外でn=6311*k-2501 のとき 6311
(1)以外でn=41*k-12 のとき 41
上記以外のとき 1
となるのではないでしょうか。

同様に、
[1]は 32325229 の他に 3185062281087740571181
[2]は 174878089 の他に 833544852825037
があると思います。

わ～他の最大公約数もあるんですね。
こんな大きなものは全く予想外でした。

では
gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)の1以外の値は見つかりますか？

> gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)の1以外の値は見つかりますか？

1658074432246579665377027434627058627273061920217757410397795384493223
352114972939771130346840082354341978716844306415221012933487999
の素因数であることまではわかったのですが、この133桁の数が素因数分解できていないため、具体値は今のところわかりません（しばらくかかりそうですが、現在計算中です）。

[8936582237915716659950962253358945635793453256935559 1]
[13621228647205028136235902561643175420131 2]
の分解になるようです。

なるほど、それでしたら1以外の値は
8936582237915716659950962253358945635793453256935559
だけだと思います。（経験的にp^2のpにはならないようなので）
おそらく
n=8936582237915716659950962253358945635793453256935559*k-○ のときだけ
最大公約数が 8936582237915716659950962253358945635793453256935559
になると思いますが、○を特定する方法はわかりません。

gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)
において
n=29(その後41の開きの部分) で41
n=3810(その後6311の開きの部分) で6311
n=22743(その後258751の開きの部分) で258751
その他のnではすべて　1

これを発見するのに終結式が上手く使えることになっていました。
終結式はシルベスター行列Sが使えて
[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0]

[0 1 0 0 0 5 1 0 0 0]

[0 0 1 0 0 10 5 1 0 0]

[0 0 0 1 0 10 10 5 1 0]

[0 0 0 0 1 5 10 10 5 1]

[3 0 0 0 0 4 5 10 10 5]

[0 3 0 0 0 0 4 5 10 10]

[0 0 3 0 0 0 0 4 5 10]

[0 0 0 3 0 0 0 0 4 5]

[0 0 0 0 3 0 0 0 0 4]

この行列式が
gp > matdet(S)
%4 = 258751
これを因数分解して
gp > factor(%)
%5 =
[ 41 1]

[6311 1]
から
gcd=41,6311,258751（その他は1すべて)が見れる。

そこでこれをgcd(n^17+9,(n+1)^17+9)に使うと
[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1]

[9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17]

[0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136]

[0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680]

[0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380]

[0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188]

[0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376]

[0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448]

[0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310]

[0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10]

これから
gp > matdet(%)
%13 = 8936582237915716659950962253358945635793453256935559
gp > factor(%)
%14 =
[8936582237915716659950962253358945635793453256935559 1]
即ち素数

これって
gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)
の値は
n=1,2,3,･････････,8424432925592889329288197322308900672459420460792432 まですべて　1
n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433 でいきなり8936582237915716659950962253358945635793453256935559
また次からは　1が続いていき
つぎの8936582237915716659950962253358945635793453256935559だけ離れた
n=17361015163508605989239159575667846308252873717727992 で再び　8936582237915716659950962253358945635793453256935559
以下同様

という物凄い現象が起こることを示しているのですよね。
だれがこれだけ1が続いていて、いきなりビックリするような値が対応してくると想像できるだろうか！
いくら既成の事実が示されていても、数学的帰納法の様な魔法の証明で示さない限り真実ではないと心しておかないといけないんだと
いう警告を与えてくれます。

n=1 のとき g=27
n≡161 (mod 162) のとき g=1467
それ以外のとき g=9
でしょうか。
（nが大きいとき他の値をとる？）

はい。
もっと大きな所で探していたら突然これ以外が現れました。
しかしそれ以上があるのと言われたら何とも言えないのですが・・・

多分
n≡35281 (mod 37170) のとき g=334539
ですね。
この上は現在探索中です。
（しばらく見つからなければ諦めます）

その後しばらく探しましたが、見つかりませんでした。
おそらくn＜1億では他にないと思います。

10^5までで3時間30分ほど
10^6で9時間30分ほどの時間がかかるので
オーダーが一桁上がると指数関数的に所要時間が延びる
従って10^9ともなると243時間以上(10日以上)の時間がかかりそうです。

(裏話)
所で2024年度イギリスで開催された国際数学オリンピック大会で
問題2（全部で6題の問題が出される)に
正の整数の組(a,b)であって、次を満たす正の整数gとNが存在するようなものをすべて求めよ。
　任意の整数Nについてgcd(a^n+b,b^n+a)=g が成り立つ。
(ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数をgcd(x,y)で表す。)

この解答が
求める正の整数組は(a,b)=(1,1)に限る
であるという。（全問正解者がいるというのだからそれはすごい)

ということは必ずやあるN以上の自然数nすべてで一定のgの値で固定してしまうことは起こらないわけで
gcd(9^n+18,18^n+9)の値は9が圧倒的に出現回数が起こるが、ここで調査したように
n≡-1 (mod 162)ではg=1467
n≡-1889 (mod 37170)ではg=334539
（今のところ他は不明)
がずっと続くのだからこの反例とはならない。
この問題を知って(a,b)をいろいろ変えて調査していた時
(a,b)=(6,18)==>６が続くもn=49で366へ移る
(a,b)=(10,15)==>5が続くもn=71で5045となり
(a,b)=(9,18)==>9が続くもn=161で1467が出現
ということで(9,18)の場合を出題しておりました。

この問題の正解への導き方が想像にも及ばない。

どうぞお大事に……。

お大事に・・・

どうかお身体に気をつけて……

お大事になさってください。

ＨＰの更新を明日より再開したいと思います。ただ、まだ体調が万全ではないので、しばらくは不定期での更新とさせていただきます。皆様にはご迷惑をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

お帰りなさい。
自分事で恐縮ですが私も偶然にも大腸検査なるものをひょんな事から受けて、とても大きなポリープがあり
とても当病院では取れないので紹介状を書きますからここで手術を早めに受けて下さいとの宣言を頂いた。
日頃全く自覚症状は無く、他の検査も同時に受けた自分の心臓や肺、胃、大腸の映像を見せられ、これが自分の
中に有るのだ！　と改めて「自分の身体は自分が全く知らない」のだの認識を強く持ちました。
考えてみたら心臓なんて生まれてこの方　1秒間に1回70年間も生きておれば
60*60*24*365*70 = 2207520000（回)
もの拍動を一時も休まず動き続けていると思うとほんとにお疲れ様と言いたいです。

お互い身体を労わりながら、これからも付き合っていきましょう。

ＧＡＩさんもお身体を大切に！

管理人様

本日の更新を見て、ほっとしました。
ご退院、おめでとうございます。

早速ですが
角の大きさ（４９）を見て、

中心角が２７０度なので
円周角は１３５度
と解きました。

下記であっていますか？

n*(n +1)*(n +2)*(n +3)*(n +4)*(n +5)
(n^4/2 +5*n^3 +16*n^2 +(35*n)/2 +2)^2 -(n^4/2 +5*n^3 +15*n^2 +(25*n)/2 -2)^2

※別解もあるのかもしれず、ずっとあれこれこねくりまわしております。

合っていますね。
((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2=abから
nが偶奇の同じa,bの積で表せれば平方数の差で表せます。
例えば

a=(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)(n+2)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+49n/2+30
(a-b)/2=9n^2/2+45n/2+30
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+49n/2+30)^2-(9n^2/2+45n/2+30)^2

a=n(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+2)(n+4)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+29n/2+4
(a-b)/2=n^2/2+n/2-4
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+29n/2+4)^2-(n^2/2+n/2-4)^2

a=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)とすれば
(a+b)/2=n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60
(a-b)/2=n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60)^2-(n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60)^2

などのようにいろいろな組み合わせが作れます。

Dengan kesaktian Indukmuさんが書かれた例は
a=n(n+2)(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+4)
のようにおいたものと一致しますね。

あっ。そういう追い方をするのでしたか。
ありがとうございます。スッキリしました。

3以上の奇数は全て2個の平方数の差で構成可能が言えますね。
その中でも最も分割可能となるものは異なる奇素数を多く含む奇数が
予想出来るので、ちなみに6個の異なる奇素数を含む
N=3*5*7*11*13*17=255255
を2つの平方数の差で表せるパターンがどれだけ可能か予測してみました。
６つの素因数を2組(a,b)に分ける方法は
どんなに分けようともa,bは共に奇数にしかならないから、a,bから作られる
A=(a+b)/2;B=(a-b)/2は共に整数となりA^2-B^2はNを作ってくれる。

さてa,bへの分け方は
6C0=1　(1 VS 255255）
6C1=6
6C2=15
6C3/2=10(大小を区別するため）
全部で32通り可能
(n+1)^2-n^2=2*n+1=255255
からn=127627までが範囲ということで

チェックしてみた。
gp > {t=0;}for(a=1,127628,for(b=1,a-1,if(a^2-b^2==255255,print(t++";"a"^2-"b"^2"))))
1;508^2-53^2
2;512^2-83^2
3;524^2-139^2
4;536^2-179^2
5;604^2-331^2
6;628^2-373^2
7;668^2-437^2
8;688^2-467^2
9;752^2-557^2
10;776^2-589^2
11;856^2-691^2
12;964^2-821^2
13;1132^2-1013^2
14;1268^2-1163^2
15;1448^2-1357^2
16;1544^2-1459^2
17;1696^2-1619^2
18;1996^2-1931^2
19;2348^2-2293^2
20;2528^2-2477^2
21;3292^2-3253^2
22;3664^2-3629^2
23;3884^2-3851^2
24;6088^2-6067^2
25;7516^2-7499^2
26;8516^2-8501^2
27;9824^2-9811^2
28;11608^2-11597^2
29;18236^2-18229^2
30;25528^2-25523^2
31;42544^2-42541^2
32;127628^2-127627^2

予想通り32のパターンで255255の数字は２個の平方数の差で作ることが出来た。

通常{2^n};1,2,4,8,16,32,････(n=0,1,2,･･･)
を示すのに二項係数を使って
∑[i=0,n]C(n,i)が多用されている。

しかし例の異なる奇素数をｋ個含む場合の2つの平方数の差で構成する方法を
考える中で何も上記の式に寄らなくてもパスカルの三角形をもう一段降りて
2C0+2C1+2C2=1+2+1=4を
3C0+3C1=1+3=4

3C0+3C1+3C2+3C3=1+3+3+1=8を
4C0+4C1+4C2/2=1+4+3=8

4C0+4C1+4C2+4C3+4C4=1+4+6+4+1=16を
5C0+5C1+5C2=1+5+10=16

5C0+5C1+5C2+5C3+5C4+5C5=1+5+10+10+5+1=32を
6C0+6C1+6C2+6C3/2=1+6+15+10=32
としても不都合は起こらない。

これから一般に
G(n)=if(n%2==1,sum(i=0,floor(n/2),C(n,i)),sum(i=0,n/2-1,C(n,i))+C(n,n/2)/2);
としてやれば
gp > for(n=1,20,print(n";"G(n)"=2^"n-1))
1;1=2^0
2;2=2^1
3;4=2^2
4;8=2^3
5;16=2^4
6;32=2^5
7;64=2^6
8;128=2^7
9;256=2^8
10;512=2^9
11;1024=2^10
12;2048=2^11
13;4096=2^12
14;8192=2^13
15;16384=2^14
16;32768=2^15
17;65536=2^16
18;131072=2^17
19;262144=2^18
20;524288=2^19

私には全く今まで気付きもしなかった視点でした。

「素数でないときp^2で割り切れない」も成り立ちそうですね。