😊出会いの泉😊

しばしば話題に上がる de Bruijn 数列の B(2,6) ですか？

たぶん結果的に凄く関係していると思います。

一般式は
(x+9(4n^2-25)/(4n^2+15))^2+(y-180n/(4n^2+15))^2=(90/(4n^2+15))^2
なので、続きは
(x+1539/211)^2+(y-1260/211)^2=(90/211)^2
(x+2079/271)^2+(y-1440/271)^2=(90/271)^2
(x+897/113)^2+(y-540/113)^2=(90/339)^2
(x+675/83)^2+(y-360/83)^2=(90/415)^2
(x+4131/499)^2+(y-1980/499)^2=(90/499)^2
(x+1653/197)^2+(y-720/197)^2=(90/591)^2
(x+5859/691)^2+(y-2340/691)^2=(90/691)^2
(x+6831/799)^2+(y-2520/799)^2=(90/799)^2
(x+525/61)^2+(y-180/61)^2=(90/915)^2
(x+8991/1039)^2+(y-2880/1039)^2=(90/1039)^2
(x+10179/1171)^2+(y-3060/1171)^2=(90/1171)^2
(x+3813/437)^2+(y-1080/437)^2=(90/1311)^2
・・・
のようになりますね。

一般の場合について考えてみました。
まず今回の設定は最初の2円を右に9移動して
中心(15,0)半径15の円((x-15)^2+y^2=15^2 ⇔ x^2-30x+y^2=0) と
中心(9,0)半径9の円((x-9)^2+y^2=9^2 ⇔ x^2-18x+y^2=0) にすると、一般式は
((4n^2+15)x-360)^2+((4n^2+15)y-180n)^2=90^2
という綺麗な形になります。

そしてさらに半径も一般化すると
原点で接する2円
中心(a,0)半径aの円(x^2-2ax+y^2=0)
中心(b,0)半径bの円(x^2-2bx+y^2=0)
に挟まれる円は
((((a-b)n)^2+ab)x-ab(a+b))^2+((((a-b)n)^2+ab)y-2ab(a-b)n)^2=(ab(a-b))^2
n=0が最大円、n=±1が最大円の隣、n=±2がその隣、・・・
のようになりました。
aとbの大小関係はどちらでもOKですし、負でもOKです。
aもbも負ならばx＜0の範囲で同じことが起こり、
aとbの符号が異なる場合(最初の2円が原点で外接する場合)は外接円で同様のことが起こります。
（つまりn=0のとき2円を包む円、n=±1のときその円と元の2円に接する外接円、・・・）

一般化された式で早速実験してみました。
a=-9,b=6
で２円を描き
n=0で大円が
n=1で３つの円に接する円が作れてくるのですが
n=2,3,4,･･･では下方に向かって円が連なっていく行くのですが
これをa=-9の円と大円に接する様に左に進行するようなもの（絵柄的にこちらがかっこいいので･･･)
にするのはどうしたらいいのでしょうか？

a=15,b=9としたときの図を左に18移動したものですから、
((((a-b)n)^2+ab)x-ab(a+b))^2+((((a-b)n)^2+ab)y-2ab(a-b)n)^2=(ab(a-b))^2
のxを(x+18)にして
a=15,b=9とすればいいですね。
またxを(x-12)にしてa=-15,b=-6にすれば反対側の円も描けます。
一般形の式があるとこんな図も簡単に描けますが、なかったら大変ですね。

またxを(x-12)にしてa=-15,b=-6にすれば反対側の円も描けます。

うわー！
このアイデアは思ってもいませんでした。
一般化することで応用の道が広がりますね～

(1) (t^2+3*t+1)*(8*t^2－t－5)＝41　なので、Ｐ＝(8*t^2－t－5)/41
(2) t^3+3*t+1=3*t+3　なので、 (3*t+3)*(t^2－t＋1)＝9　より、Q=(t^2－t＋1)/9　ですか？

あっけなく解決されちゃいまいた。

Grapesで描画しました。そのグラフは明日付でアップ予定です。

答えは管理人さんが書いてくれてるとして、1つツッコミどころが。

客が3つの数を作る前にやらないと「予言」にならないのでは。

確かに9マス目の数が
5 1 3
3 6 9
4 2 8
なら客が計算で出す数は
(5+1+3)*100+(3+6+9)*10+(4+2+8)
なので、これは上の行列を90°左回転させ
3 9 8
1 6 2
5 3 4
と眺めて、これを計算しとけばいいことになります。

DD++さんのツッコミがありましたが、客が作る数を見ていないのだから予言とは行かなくても
予知パフォーマンスとはなるんではないかな？

4つだと簡単なので「ちょうど3つの因数」ということですよね？
それならば例えば
A=X^3+1, B=Y^3-1 とすれば
A^7+B^7=(X^3+1)^7+(Y^3-1)^7
=(X+Y)(X^2-XY+Y^2)
{(X^18-X^15Y^3+X^12Y^6-X^9Y^9+X^6Y^12-X^3Y^15+Y^18)
+7(X^15-X^12Y^3+X^9Y^6-X^6Y^9+X^3Y^12-Y^15)
+21(X^12-X^9Y^3+X^6Y^6-X^3Y^9+Y^12)+35(X^9-X^6Y^3+X^3Y^6-Y^9)
+35(X^6-X^3Y^3+Y^6)+21(X^3-Y^3)+7}

なるほど！
この発想でもいけるのか。
全く関係ありませんが上の第３項目を書き直すと
(X^18+Y^18) - X^3*Y^3*(X^12+Y^12)+X^6*Y^6*(X^6+Y^6)-X^9*Y^9 +
7*{ (X^15-Y^15) -X^3*Y^3*(X^9-Y^9) +X^6*Y^6*(X^3-Y^3)} +
21*{(X^12+Y^12) -X^3*Y^3*(X^6+Y^6) +(X^3-Y^3)+X^6*Y^6} +
35*{ (X^9-Y^9) -X^3*Y^3*(X^3-Y^3) +(X^6+Y^6)-X^3*Y^3} +
7

なおこちらが用意していたのが
A=7*X^2,B=Y^2と置いて出来る
823543*X^14+Y^14=(7*X^2+Y^2)*(117649*X^12 - 16807*Y^2*X^10 + 2401*Y^4*X^8 - 343*Y^6*X^6 + 49*Y^8*X^4 - 7*Y^10*X^2 + Y^12)
=(7*X^2+Y^2)
* (343*X^6 - 343*Y*X^5 + 147*Y^2*X^4 - 49*Y^3*X^3 + 21*Y^4*X^2 - 7*Y^5*X + Y^6)
　　　　　　　　　* (343*X^6 + 343*Y*X^5 + 147*Y^2*X^4 + 49*Y^3*X^3 + 21*Y^4*X^2 + 7*Y^5*X + Y^6)
なる式でした。



となんかきれい。

正1000角形
1000=2^3×5^3、180÷(2^2×5)=9と2×5^2=50は互いに素なので
整数角になるためには頂点を50n個(円周角9n°)単位で使用しなければならない。
∴(1000÷50)C3×50=57000通り

正2024角形
2024=2^3×11×23、180÷2^2=45と2×11×23=506は互いに素なので
整数角になるためには頂点を506n個(円周角45n°)単位で使用しなければならない。
∴(2024÷506)C3×506=2024通り

正2345角形
2345=5×7×67、180÷5=36と7×67=469は互いに素なので
整数角になるためには頂点を469n個(円周角36n°)単位で使用しなければならない。
∴(2345÷469)C3×469=4690通り

つまり正N角形の場合は
g=gcd(N,180)としてgC3×(N/g)通り（ただしg＜3のとき0通り）
ということですね。

正１０００角形について、１辺に対する円周角は、９/５０なので、５０個のまとまりごとに整数角となる。
よって、自然数ｋ、ｌ、ｍに対して、９ｋ＋９ｌ＋９ｍ＝１８０　から、　ｋ＋ｌ＋ｍ＝２０
回転させて重なる解（ｋ，ｌ，ｍ）は同一視して、手作業で解を求めると、５７通り
よって、三角形の選び方は、５７×１０００＝５７０００（通り）となる。
＃らすかるさんの結果と一致して、安心しました！

(2)は
正15角形のどの3頂点を選んでも、その3点で作られる三角形のすべての内角は整数度になるから
15C3=455通り
となるような気がしますが、
もし私の勘違いでしたらご指摘下さい。

（２）（３）を計算してみました。３点の選び方が問題なので、合同や裏返しで重なる三角形も異なると見なしてよい。

（２）　正１５角形の１辺に対する円周角は、１２°で、これらを組み合わせて三角形を作ることになる。
よって、１５個の頂点から３つの頂点を選ぶ場合の数は、15Ｃ3＝４５５（通り）。
＃当初、考え違いをしていることに気づき、修正しました。

（３）　正１６角形の１辺に対する円周角は、１１．２５°で、これらを組み合わせて三角形を作るには、
（４，４，８）、（４，８，４）、（８，４，４）の組み分けで三角形が作られる。
　よって、求める場合の数は、１６×３＝４８（通り）

(2)は455(通り)の組合せで、お二人とも正解です。
(3)は私の解と管理人さんとは異なっています。
できたらその48通りは具体的に頂点の部分を{1,2,3,･･･,16}
とするとき、どの頂点の3つを選んでいるのかを示してくれませんか。

全く自信はありませんが．．．。
頂点を１、２、・・・、１６とした場合、（４，４，８）が表す三角形として
１５９とか２６10とか、・・・で、∠５１９＝∠５９１＝４５°、∠１５９＝９０°
となります。

外接円を考えたときに、任意の 2 頂点間にできる中心角が偶数度になればいいと考えます。

(1)
360/14 を整数倍して偶数を作るには 7 の倍数を掛けるしかなく、正の 7 の倍数 3 つ合計で 14 にはできません。
よって 0 通り。

(2)
360/15 を整数倍して偶数を作るには任意の整数でよく、結局 A,B,C を重複しないように任意に選べばいいです。
よって 15P3 = 2730 通り。

(3)
360/16 を整数倍して偶数を作るには 4 の倍数を掛けるしかなく、正の 4 の倍数 3 つ合計で 16 になるのは 4,4,8 という組み合わせのみ。
つまり直角二等辺三角形を作るしかありません。
A が直角なものが 16*2 = 32 通り、B と C についても同じ個数あるので、全部で 32*3 = 96 通り


##「3頂点を選んで三角形をつくる」のではなく、「3頂点A,B,Cを選んで三角形ABCをつくる」問題ですから、点の名前が入れ替われば別物とすべきだと思います。

(1)は90°の角度は作れるが（1,2,9の頂点など)他の内角は整数になれなく、結局0(通り)
(2)は出題の時3点を何気にA,B,Cと言ってしまったのでDD++さんの解釈が起こったが(こう質問するとDD++さんが正しい。)
こちらが思っていたのは、15個の頂点の3つの組合せが幾つ取れるか？
のつもりで考えていたので15C3=455(通り)でお願いしておきます。
(3)は直角二等辺三角形なら、条件を満たすので、これも頂点1,2,3,･･･,16
からの3つの頂点の選び方は各頂点に90°の部分がくる場合の16（通り)
という予定でした。

正n多角形と、その頂点の任意の3点を結んで作る三角形の3つの内角がどれも整数角となれるのが
n=5 -->各内角は36°の整数倍
n=6 -->各内角は30°の整数倍
n=9 -->各内角は20°の整数倍
n=10 -->各内角は18°の整数倍
n=12 -->各内角は15°の整数倍
n=15 -->各内角は12°の整数倍
n=18 -->各内角は10°の整数倍
n=20 -->各内角は9°の整数倍
n=30 -->各内角は6°の整数倍
n=36 -->各内角は5°の整数倍
が起こせるんですね。
計算をして初めて気付けました。

勘違いだったらすみませんが、これ分母が 0 になりませんか？

(1)は、８通りとなりました。

ある本を読んでいるとき、この写像と結合法則の組合せについての記述を読んで
実際どんな写像（演算)が条件を満たすのかを知りたくなり、Mの要素が2つの場合に
全部(16通り)を全てチェックしたら、管理人さんと同様に8通りであることを実験から
見つけられました。
でもこれを前もってわかることはどうしても見つけられなく、次のMの要素が3個の場合は
全部で19683通りもあるので、何とかコンピュータを利用してカウントしない限り分からない
と感じそのプログラムをどう設計すれば可能なのかと、あれこれ試行錯誤を繰り返して組み上げて
いきました。（何日も組み方が分からず悪戦苦闘の連続でした。）
やっとこれで求まるのではないかと思われるプログラムで計算した結果が113通りでした。
Mの要素が4なら3492通りになりました。(結果が出るまで随分時間がかかりました。）
Mの要素が2の場合に較べ、その比率が極端に小さくなったのでこの結果は自信がありませんでした。
この僅かの8,113,3492を例のOEISで検索すると
A023814がヒットしました。
でもこのサイトでの説明文では何も結合法則なる記述はなく、数は一致するもこれが求める数を
示すものかいまいち自信がありません。
何方かこの数を示す正しい数値を見つけて貰いたいのですが･･･

もしこの数値が正しいなら結合法則が成り立つとはとても珍しい現象であると認識しないと
いけないものだと思える。

GAIさん

>この僅かの8,113,3492を例のOEISで検索すると
>A023814がヒットしました。
>でもこのサイトでの説明文では何も結合法則なる記述はなく、数は一致するもこれが求める数を
>示すものかいまいち自信がありません。


英語の意味を検索すると、

associative : 〔演算などが〕結合的な、結合律［法則］を満たす

binary operation : 二項演算

らしいので、

" Number of associative binary operations on an n-set "

は

「要素数nの集合における結合法則を満たす二項演算の数」

となってGAIさんが知りたいものそのものではないでしょうか？