「面積計算 21」
雑な議論でよければこんなこともできますね。
点 P を反時計回りにほんのちょっと動かして点 P’ にしたとき、点 Q もほんのちょっと動いて Q’ になったとします。
動かしたのがほんのちょっとなので、弧 PP’ や弧 QQ’ は非常に短い線分とみなせます。
黄色部分の面積は、四角形 PP’Q’Q 分だけ増えて、三角形 OQQ’ 分だけ減ります。
四角形 PP’Q’Q は三角形 OPP’ から三角形 OQQ’ を切り落としたものであること、
三角形 OPP’ と三角形 OQQ’ の面積比 OP*OP’ : OQ*OQ’ は OP^2 : OQ^2 とみなせること、
この 2 つを考えると、
OQ/OP が 1/√2 より大きければ黄色部分は減少、小さければ黄色部分は増加することがわかります。
よって黄色部分の面積が最小となるのは cos(π/2-θ)=1/√2 すなわち θ=π/4 のとき。
そのときの値は、黄色部分をうまく移動して考えれば、扇型 OPB から三角形 OQB を引けばいいので、π/2-1
