5乗の威力
mod 10 で
a^5≡a
を満たすaは{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
だったので、5乗は元に戻す力が特別と感じたので
ではmod 100,mod 1000,･･･,mod 10^nではどんな数字が対応できるか
調べてみることにした。
a^5≡a(mod 100)
を満たす整数aは
{1,7,24,25,32,43,49,51,57,68,75,76,93,99}
a^5≡a(mod 1000)
を満たす整数aは
{1,57,125,193,249,251,307,375,376,432,443,499,501,557,568,624,625,693,749,751,807,875,943,999}
そこで、これを系統別に
1->51->251
･････ ->751
･->01->501
2->32->432
3->43->443
･････->943
･->93->193
･････->693
4->24->624
5->25->125
･････->625
･->75->375
･････->875
6->76->376
7->57->557
･->07->307
･････->807
8->68->568
9->49->249
･････->749
･->99->499
･････->999
という風に前に満足している整数の頭に、新たな数字を付け加えることで
繋げていけるものを探してみることにする。
次の候補は
{1,443,624,625,807,1249,1251,1693,1875,2057,2499,2501,2943, 3125,3307,3568,3749,3751, 4193,4375,4557,4999,5001,5443,5625,5807, 6249,6251,6432,6693,6875,7057,7499,7501,7943,8125,8307,8749,8751, 9193,9375,9376,9557,9999}
となるので,これにつなげていく。
こうして次々と繋がっていける列が、次のものが見つかった。
あとはこれをOEISで検索しヒットしたものの掲載分を参考につけています。
A063006(A224474)より
M1=[1, 5, 7, 8, 1, 2, 4, 7, 5, 3, 6, 1, 0, 8, 4, 7, 8, 4, 5, 1,･･･];
1,51,751,8751,18751,218751,4218751,74218751,574218751,3574218751,
つまり
[51^5≡51(mod 10^2),751^5≡751(mod 10^3),8751^5≡8751(mod 10^4),･･･が成立する。]
A120817より
M2=[2, 3, 4, 6, 8, 1, 9, 7, 8, 9, 9, 4, 3, 6, 2, 3, 0, 1, 4, 0,･･･];
2,32,432,6432,86432,186432,9186432,79186432,879186432,9879186432,
A290373より
M31=[3, 4, 9, 2, 2, 9, 7, 0, 9, 1, 8, 5, 6, 7, 4, 0, 4, 6, 3, 0,･･･];
3,43,943,2943,22943,922943,7922943,7922943,907922943,1907922943,
A290375より
M32=[3, 9, 1, 4, 0, 7, 3, 3, 3, 8, 1, 4, 6, 9, 9, 2, 5, 1, 8, 8,･･･];
3,93,193,4193,4193,704193,3704193,33704193,333704193,8333704193,
A091664(A216092)より
M4=[4, 2, 6, 0, 9, 8, 2, 1, 2, 8, 1, 9, 9, 5, 2, 6, 5, 2, 2, 9,･･･];
4,24,624,624,90624,890624,2890624,12890624,212890624,8212890624,
A091663(A216093)より
M51=[5, 7, 3, 9, 0, 1, 7, 8, 7, 1, 8, 0, 0, 4, 7, 3, 4, 7, 7, 0,･･･];
5,75,375,9375,9375,109375,7109375,87109375,787109375,1787109375,
A018247(A007185)より
M52=[5, 2, 6, 0, 9, 8, 2, 1, 2, 8, 1, 9, 9, 5, 2, 6, 5, 2, 2, 9,･･･];
5,25,625,625,90625,890625,2890625,12890625,212890625,8212890625,
（ただしこれは5乗に限らず、何乗でも成立していく。）
A018248(A016090)より
M6=[6, 7, 3, 9, 0, 1, 7, 8, 7, 1, 8, 0, 0, 4, 7, 3, 4, 7, 7, 0,･･･];
6,76,376,9376,9376,109376,7109376,87109376,787109376,1787109376,
（ただしこれは5乗に限らず、何乗でも成立していく。）
A290372より
M71=[7, 0, 8, 5, 9, 2, 6, 6, 6, 1, 8, 5, 3, 0, 0, 7, 4, 8, 1, 1,･･･];
7,7,807,5807,95807,295807,6295807,66295807,666295807,1666295807,
A290374より
M72=[7, 5, 0, 7, 7, 0, 2, 9, 0, 8, 1, 4, 3, 2, 5, 9, 5, 3, 6, 9,･･･];
7,57,57,7057,77057,77057,2077057,92077057,92077057,8092077057,
A120818より
M8=[8, 6, 5, 3, 1, 8, 0, 2, 1, 0, 0, 5, 6, 3, 7, 6, 9, 8, 5, 9,･･･];
8,68,568,3568,13568,813568,813568,20813568,120813568,120813568,
A091661(A224473)より
M9=[9, 4, 2, 1, 8, 7, 5, 2, 4, 6, 3, 8, 9, 1, 5, 2, 1, 5, 4, 8,･･･];
9,49,249,1249,81249,781249,5781249,25781249,425781249,6425781249,
確かに5乗はmod 10 に限らず他のmod 10^n での世界でも元の数に引き戻すことが
出来る役割を担い続けることが出来そうです。(各1～9に続く系統が存在する。)
