２累乗和の証明
０～２＾ｋ―1の２＾ｋ個の数を、二進数表現で、各桁の数の和を偶数と奇数に分けて、
偶数のＡ０と奇数のＡ１の組に分けることができます。
Ａ０＝｛０，３、５，６、…、２＾ｋ―２｝
Ａ１＝｛１，２，４，７、…、２＾ｋ―１｝（ｋの値による）
このとき、二つの組の累乗和の総和は等しくなる。
Σa＾r = Σb＾r (r=0～ｋ－１) 2≦ｋ ａ∊Ａ０、 ｂ∊Ａ１
証明 ｋによる数学的帰納法によって示します。
ｋ＝２のとき、Ａ０＝｛０，３｝、Ａ１＝｛１，２｝
０＋３＝１＋２ Σa=Σb が、成り立つ。
ｋ＝ｎのとき、成り立つと仮定して、ｋ＝ｎ＋１でも成り立つことを示す。
Ａ０＝｛０，３、５，６、…、２＾ｎ―２｝
Ａ１＝｛１，２，４，７、…、２＾ｎ―１｝
２ｎ個について、それぞれの組の累乗和が成つと仮定して
０～２＾（ｎ＋１）―１は、２倍に増えるが、
基本的な分け方をすると、
B０＝｛A０の数と、２ｎにＡ１の数を足したもの｝
＝｛０，３、…、２＾ｎ―２、２＾ｎ＋１，２＾ｎ＋２、…、２＾ｎ＋２＾ｎ―１｝
B１＝｛A１の数と、２ｎにＡ０の数を足したもの｝
＝｛１，２、…、２＾ｎ―１、２＾ｎ＋０，２＾ｎ＋３、…、
２＾ｎ、２＾ｎ＋２＾ｎ―２｝
Ｂ０とＢ１の数の総和が等しいことが分かります。何故なら、Ａ０とＡ１が等しいので。
Σ（Ｂ０の数）＾ｒ―Σ（Ｂ１の数）＾ｒ
Σ｛（Ａ０）＾ｒ＋（Ｂ０からＡ１を除いた数）＾ｒ｝―Σ｛（Ａ１）＾ｒ＋（Ｂ１からＡ０を除いた数）＾ｒ｝
＝ΣＡ０＾ｒ―ΣＡ１＾ｒ＋Σ（Ｂ０からＡ１を除いた数）＾ｒ―Σ（Ｂ１からＡ０を除いた数）＾ｒ
＝ΣＡ０＾ｒ―ΣＡ１＾ｒ＋Σ（２ｎ＋i）＾ｒ―Σ（2n+i）＾ｒ
（）を展開して
＝ΣＡ０＾ｒ―ΣＡ１＾ｒ＋Σ（2n＾ｒ+―…＋i＾r）―Σ（2n＾ｒ+―…＋i＾r）
（）内の、２ｎ＾ｒ部分が相殺され、ｉ＾ｒの部分の和は、ΣＡ０＾ｒとΣＡ１＾ｒで相殺され,
残りの同じ二項係数の部分が、ｒ－１次以下になるので、仮定から等しくなります。
よって、ｒ＝１～ｎまで成り立ち、帰納法により、示された
一般の場合
１～A＾ｎー1についても、Ａ個の組に、Ａ進法で、
その桁数の総和をＡで割った剰余で分けると、
それぞれの組の数の累乗和が等しくなることが
同様の方法で示すことが、できます。
1～A^n-1
をA=3; n=4で確認したら(N=1～80で調査)
Nを3進法で表し、各桁の数の和を3で割った余りで分類
M0=[5,7,11,13,15,19,21,26,29,31,33,37,39,44,45,50,52,55,57,62,63,68,70,74,76,78]
M1=[1,3,8,9,14,16,20,22,24,27,32,34,38,40,42,46,48,53,56,58,60,64,66,71,72,77,79]
M2=[2,4,6,10,12,17,18,23,25,28,30,35,36,41,43,47,49,51,54,59,61,65,67,69,73,75,80]
となりますので
gp > for(r=1,5,print(r";"\
sum(i=1,26,M0[i]^r)" VS "sum(i=1,27,M1[i]^r)" VS "sum(i=1,27,M2[i]^r)))
で計算すると
1;1080 VS 1080 VS 1080
2;57960 VS 57960 VS 57960
3;3499200 VS 3499200 VS 3499200
4;225284400 VS 225441864 VS 225284400
5;15099631200 VS 15136372800 VS 15110128800
となりr=3乗までは3つのグループは同一の和を作りましたが
4乗以上では不成立になりました。
（ksさんの記述では4乗まで一致するように感じてしまいました。)
もし勘違いしていたら教えて下さい。
4乗まで一致させるにはどんな工夫をすればいいのだろうか？
GAIさん、すいません。言葉足らずでしたので、加筆修正しました。
kに対して、ｒの範囲は、ｋ－１までです。
A＾ｋを、組み分けしたとき、ｋ－１乗和まで、成り立ちます。
従いまして、４乗の場合、３乗和まで成立します。
４乗和でも、成り立つためには、
５乗以上に個数を広げる必要がありますね。
只今、累乗和の問題に取り組んでいますが、前にも載せましたが、
同様のことが、ｎ個の場合、ｎー１乗和までしか、等しく作れない。
勿論、同じ数ではなくて。８個の累乗和まで、見つかりました。
