グラフソフトをお持ちの方へ(2)
次の9個のグラフを同時に描いてみよう。
C1:x^2+y^2=9^2
C2:(x-15)^2+y^2=6^2
C3:(x-6)^2+y^2=15^2
C4:(x-189/19)^2+(y-180/19)^2=(90/19)^2
C5:(x-81/31)^2+(y-360/31)^2=(90/31)^2
C6:(x+33/17)^2+(y-180/17)^2=(30/17)^2
C7:(x+351/79)^2+(y-720/79)^2=(90/79)^2
C8:(x+135/23)^2+(y-180/23)^2=(18/23)^2
C9:(x+357/53)^2+(y-360/53)^2=(30/53)^2
なお
これに続く3個の円の方程式は？
一般式は
(x+9(4n^2-25)/(4n^2+15))^2+(y-180n/(4n^2+15))^2=(90/(4n^2+15))^2
なので、続きは
(x+1539/211)^2+(y-1260/211)^2=(90/211)^2
(x+2079/271)^2+(y-1440/271)^2=(90/271)^2
(x+897/113)^2+(y-540/113)^2=(90/339)^2
(x+675/83)^2+(y-360/83)^2=(90/415)^2
(x+4131/499)^2+(y-1980/499)^2=(90/499)^2
(x+1653/197)^2+(y-720/197)^2=(90/591)^2
(x+5859/691)^2+(y-2340/691)^2=(90/691)^2
(x+6831/799)^2+(y-2520/799)^2=(90/799)^2
(x+525/61)^2+(y-180/61)^2=(90/915)^2
(x+8991/1039)^2+(y-2880/1039)^2=(90/1039)^2
(x+10179/1171)^2+(y-3060/1171)^2=(90/1171)^2
(x+3813/437)^2+(y-1080/437)^2=(90/1311)^2
・・・
のようになりますね。
一般の場合について考えてみました。
まず今回の設定は最初の2円を右に9移動して
中心(15,0)半径15の円((x-15)^2+y^2=15^2 ⇔ x^2-30x+y^2=0) と
中心(9,0)半径9の円((x-9)^2+y^2=9^2 ⇔ x^2-18x+y^2=0) にすると、一般式は
((4n^2+15)x-360)^2+((4n^2+15)y-180n)^2=90^2
という綺麗な形になります。
そしてさらに半径も一般化すると
原点で接する2円
中心(a,0)半径aの円(x^2-2ax+y^2=0)
中心(b,0)半径bの円(x^2-2bx+y^2=0)
に挟まれる円は
((((a-b)n)^2+ab)x-ab(a+b))^2+((((a-b)n)^2+ab)y-2ab(a-b)n)^2=(ab(a-b))^2
n=0が最大円、n=±1が最大円の隣、n=±2がその隣、・・・
のようになりました。
aとbの大小関係はどちらでもOKですし、負でもOKです。
aもbも負ならばx＜0の範囲で同じことが起こり、
aとbの符号が異なる場合(最初の2円が原点で外接する場合)は外接円で同様のことが起こります。
（つまりn=0のとき2円を包む円、n=±1のときその円と元の2円に接する外接円、・・・）
一般化された式で早速実験してみました。
a=-9,b=6
で２円を描き
n=0で大円が
n=1で３つの円に接する円が作れてくるのですが
n=2,3,4,･･･では下方に向かって円が連なっていく行くのですが
これをa=-9の円と大円に接する様に左に進行するようなもの（絵柄的にこちらがかっこいいので･･･)
にするのはどうしたらいいのでしょうか？
a=15,b=9としたときの図を左に18移動したものですから、
((((a-b)n)^2+ab)x-ab(a+b))^2+((((a-b)n)^2+ab)y-2ab(a-b)n)^2=(ab(a-b))^2
のxを(x+18)にして
a=15,b=9とすればいいですね。
またxを(x-12)にしてa=-15,b=-6にすれば反対側の円も描けます。
一般形の式があるとこんな図も簡単に描けますが、なかったら大変ですね。
またxを(x-12)にしてa=-15,b=-6にすれば反対側の円も描けます。
うわー！
このアイデアは思ってもいませんでした。
一般化することで応用の道が広がりますね～
