記事は正しいのか?
{1,2,3,4,5}の数を繰り返して使ってよいものとして
これを一列に並べた状態を
a1,a2,a3,a4,a5,a6,･･････,a10
とした時(a10の次にはa1,a2,a3,が再び続くものとする。)
これを左から3個ずつ取り、ずらしながら区切っていくと
{a1,a2,a3},{a2,a3,a4},{a3,a4,a5},{a4,a5,a6},･･･
なる組が出来て行く。
この時、これで出来て行く各組の状態がどれも重複することなく
5C3=5*4*3/(3*2*1)=10(通り)のすべての組合せ
123,124,125,134,135,145,234,235,245,345
の状態が構成できるのかどうか？
結構惜しいところまでは進めれるのですが、完全な当初の配列を見つけられずにいます。
ある書物に
{1,2,3,･･･,n}
の数字を繰り返し並べk個ずつの組を構成していくとき
kが(n-1)C(k-1)を割り切る条件が必要でk=3ならそのすべてのｎでは
nCkのすべての組合せを作り出す配列は構成可能(証明された。)との記事を読む。
例えばn=8なら7C2=7*6/2=21
なので条件を満たし、確かに56個の数を次の配列で並べておくと
{8, 2, 4, 5, 6, 1, 4, 5, 7, 1, 2, 3, 6, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 3, 6, 7, 1, 3, 4, 5, 8, 3, 4, 6, 8, 1, 2, 5, 8, 1, 3, 5, 6, 7, 2, 5, 6, 8, 2, 3, 4, 7, 2, 3, 5, 7, 8, 1, 4, 7}
この配列からは
8C3=8*7*6/(3*2*1)=56(通り)の組合せが重複することなく全て産み出されていく。
そこで
n=5なら4C2=4*3/2=6なので条件は揃っているので5C3=10(通り)のものを産み出すものと
何とか挑戦はしているのですが・・・
はてこの記事は正しいのか間違っているのか？
不可能ですね。比較的簡単に証明できます。
・3つ組の中に「aとbを含むもの」は3個なので、1周の中に同じ隣接ペアが複数個あってはいけない
・連続4つの中に同じ数字を二つ含めることはできない
ということがわかっていれば
最初の4つは何を置いても同じなので1,2,3,4とする
1,2,3,4,a,b,c,d,e,f
aは1か5、fは4か5しかない
1,2,3,4,1,b,c,d,e,4 は1と4の隣接が2組となり不適
1,2,3,4,1,b,c,d,e,5 とするとbに置けるものがなく不適
（b=2だと1と2の隣接が2組、b=5だと1と5の隣接が2組になってしまう）
1,2,3,4,5,b,c,d,e,4 とするとeに置けるものがなく不適
（e=3だと3と4の隣接が2組、e=5だと4と5の隣接が2組になってしまう）
1,2,3,4,5,b,c,d,e,5 とするとb=2,e=3と決まるが145が作れず不適
