Γ(z)とγとζ(z)の三つ巴
Dengan kesaktian Indukmuさんから紹介されるサイトの関連リンク
http://www.math.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2019/sotsuron_2019_Shoda.pdf
を読んでいたら
ガンマ関数Γ(z),オイラーのガンマ数γ,ゼータ関数ζ(z)の関係式として
Γ(1)=1
Γ'(1)=-γ
Γ''(1)=π^2/6+γ^2=ζ(2)+γ^2
の延長として
Γ'''(1)=-(2*ζ(3)+3*γ*ζ(2)+γ^3)
が紹介されていたので更に続きを探っていくと
Γ''''(1)=6*ζ(4)+8*γ*ζ(3)+3*ζ(2)^2+6*γ^2*ζ(2)+γ^4
(リンク先のこの部分は計算ミスが起きていると思われます。)
更に
Γ'''''(1)=-(24*ζ(5)+20*γ*ζ(4)+20*γ^2*ζ(3)+20*ζ(2)*ζ(3)+15*γ^2*ζ(2)^2+10*γ^3*ζ(2)+γ^5)
等々の関係式が生まれてくるようです。
ここまでは一応計算機により同じ値を与えていくことを確認しました。（最後の部分の確認が下記)
gp > gamma'''''(1)
%80 = -117.83940826837742425256416965496496106
一方
gp > -(24*zeta(5)+30*Euler*zeta(4)+20*Euler^2*zeta(3)+20*Euler^2*zeta(3)\
+20*zeta(2)*zeta(3)+15*Euler*zeta(2)^2+10*Euler^3*zeta(2)+Euler^5)
%81 = -117.83940826837742425256416965496496106
残念ながらζ(3),ζ(5)にはπが含まれていないのでΓ''(1)が最も結びつける接着力が強いようです。
また
γ=1/2*(ζ(2)-1)+2/3*(ζ(3)-1)+3/4*(ζ(4)-1)+4/5*(ζ(5)-1)+･････
なる式にも引き付けられます。
(参考)
gp > sumpos(n=2,(n-1)/n*(zeta(n)-1))
%83 = 0.57721566490153286060651209008240243103
gp > Euler
%84 = 0.57721566490153286060651209008240243104
