累乗和のバージョンアップ
3から109までには全部で28個の奇素数が存在するが
それから12個を取り出し、6個ずつの2組
A=[p1,p2,p3,p4,p5,p6]
B=[q1,q2,q3,q4,q5,q6]
に分ける。この時
p1^r+p2^r+p3^r+p4^r+p5^r+p6^r = q1^r+q2^r+q3^r+q4^r+q5^r+q6^r
が
r=1,2,3,4,5
全てで成立するという。
このような2組A,Bはどんな組合せか？
もしこれを見つけられた方は、どの様な手段をとり得られるものなのか粗筋を教えて欲しい。
（ある所でこんなものが成立できる組合わせが可能であることを知ったが、総当たり攻撃
の方法では私の残りの人生を使っても時間が無い！)
[19, 29, 53, 73, 97, 107]
[17, 37, 43, 83, 89, 109]
ってことですか？
あ、手段もでしたね。
数学感動秘話「複素世界の拡張」で私が半分まで提示した
[a+c, b+c, 2a+6b+c, 4a+4b+c, 5a+10b+c, 6a+9b+c]
[c, a+4b+c, 2a+b+c, 4a+9b+c, 5a+6b+c, 6a+10b+c]
で、a=12, b=2, c=17 を当てはめただけです。
これらを全て素数にしようとすれば、a は 6 の倍数、b は偶数、c は 7 以上の素数しかありえず、
6a+10b+c≦109 の範囲では (a,b) の取りうるパターンが 4 通りしかないので順に試しました。
プログラムで探索しました。
(17,37,43,83,89,109)
(19,29,53,73,97,107)
実行時間0.5秒
手段の粗筋
・5乗のみで一致するものを探し、一致したら4乗以下を計算
・使用する最大の要素を決めてそれをp1とし、以降q1,p2,q2,p3,q3,p4,q4,p5,q5,p6の順に
未使用素数をあてはめていく（最後のq6はあてはめず合計の差の5乗根を計算）
ただしp1＞p2＞p3＞p4＞p5＞p6, q1＞q2＞q3＞q4＞q5＞q6
例えば最大がp1=97のとき次のq1は89,83,79,…の順にあてはめる
ここで、例えばp1=97,q1=71となったとき、q2≦67かつ97^5＞71^5+67^5×5から
q1≦71では解がないことがわかりますので、中止します。
# 97^5＞73^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5のようにきちんと判定すれば73でも解がない
# ことがわかりますが、判定を粗くして5乗の回数を減らしています。
q1～p6すべてにおいてこの判定を入れます。
# 問題から考えると最大は109と予想できましたが、念のため
# 107以下を最大とした場合に解がないことも確認しました。
# ちなみに最大を109に固定するとEnterキーを離すまでに実行が終わります。
2016年に論文になったものが
DD++ さんによってとっくに一般化されていたことにビックリです。
http://eslpower.org/TarryPrb.htm#Ideal%20prime
で、
[19, 29, 53, 73, 97, 107]
[17, 37, 43, 83, 89, 109]
を探してください。
「10個の素数を5個ずつに分けて1～4乗で一致するようにする」にすると109まででは無理みたいですね。
数学感動秘話「複素世界の拡張」
を見て、こんなことを昔やっていたことを懐かしく思い出しました。
５年も経つとすっかり忘れてしまうものです。
改めて、こんな問題に深く関わるものなんだと認識を新たにします。
DD++さんが考えられていた5乗冪までのパラメータ解なら一発なんですね。
過去のノートのメモをふり返っていたら、DD++さんの他にパラメータ解として
S(a,b,c)=[6*a-3*b-8*c, 5*a-9*c, 4*a-4*b-3*c, 2*a+2*b-5*c, a-2*b+c, b]
T(a,b,c)=[6*a-2*b-9*c, 5*a-4*b-5*c, 4*a+b-8*c, 2*a-3*b, a+2*b-3*c, c]
を使うと
S(52,17,19)
%136 = [109, 89, 83, 43, 37, 17]
T(52,17,19)
%139 = [107, 97, 73, 53, 29, 19]
また
S(74,43,29)
%137= [83, 109, 37, 89, 17, 43]
T(74,43,29)
%140 = [97, 53, 107, 19, 73, 29]
など一発で求まることが出来ました。
らすかるさんのプログラムの組み方を読んで、こんな工夫をしない事には時間がいくらあっても求めることが不可能
であることが認識されました。
しかしリターンキーを離す瞬間に答えが求められるとは恐れ入ります。
様々なリンクをたどって情報を集めてみると
4乗冪までの素数組は
A=[401,521,641,881,911]
B=[431,461,701,821,941]
(2016年発表)
の様です。
さらに驚くべきは
A=[32058169621, 32367046651, 32732083141, 33883352071,
34585345321, 35680454791, 36915962911, 38011072381,
38713065631, 39864334561, 40229371051, 40538248081]
B=[32142408811, 32198568271, 32900561521, 33658714231,
34978461541, 35315418301, 37280999401, 37617956161,
38937703471, 39695856181, 40397849431, 40454008891]
の２組での12個ずつの素数では何と11乗冪までの等式が成立するという。
(2023,4,8発表)
ということで、つい最近の発見だそうです。
人間の探す執念は物凄いものですね。
4乗冪までの素数組は、もっと小さいものがあります。
A=[23,31,103,109,167]
B=[13,59,67,131,163]
自分のプログラムで見つけた結果で、これが最小解です。
GAIさんが書かれた解は和が1342になるペアが5個となっている「対称な」解ですね。
ところで、5年前の私はパラメータ解を見つけた方法自体を伏せたみたいですね。
GAI さんの楽しみを奪わないためだったのか、それとも、いろんな探し方のアイデアが出ていたので他の方に変な先入観を与えないためだったのか……。
今回は開示した方が GAI さんが楽しめるんじゃないかということで、以下に意味深なことを記載しておきます。
f1(x) = x^17*(1-x^2)
f2(x) = 1-x^12
f3(x) = 1-x^14
f4(x) = 1-x^16
f5(x) = 1-x^18
f6(x) = 1-x^30
これらは全て、fn(1) = 0 となる多項式です。
さて、これら 6 つの式を掛け合わせて展開すると何が起こるでしょうか。
無茶苦茶凄いことが起こるではないですか！
よくこんな母関数的式を思いつけますね？
DD++さんの頭の中はなんか違う。
らすかるさんが求めていた
4乗冪までの素数組は、もっと小さいものがあります。
A=[23,31,103,109,167]
B=[13,59,67,131,163]
というものを
DD++さんの手法で構成してみようと挑戦してみたら
P=x^78 - x^74 + x^68 + x^66 - x^62 + x^58 + x^56 + x^54 - x^52 + x^48 + x^46 + x^44 + 2*x^36 + x^34 + x^26 + x^24 + x^22 + x^14 + x^12 + 1
なるちょっと不細工な式を導入することにはなりましたが
x^13*(x^22-1)*(x^18-1)*(x^14-1)*(x^12-1)*(x^10-1)*P
で行けそうです。
<追伸>
最後の面倒なPを省略し、x^13を単にxで
x*(x^22-1)*(x^18-1)*(x^14-1)*(x^12-1)*(x^10-1)
を展開すると
A=[77, 53, 51, 49, 47, 45, 45, 43, 19, 15, 13, 11]
B=[67, 65, 63, 59, 35, 33, 33, 31, 29, 27, 25, 1]
のグループ分けが可能で
この12個ずつでの4乗冪までの等式が成立できることが起こせました。
そうなんですよ。
この手法、展開後の項数が少ないことが、必ずしも展開前のパーツの項数が少ないことを意味しないのが難しい点です。
結局のところ、出てきた項がどのくらい効率よく消えてくれるか勝負なので……。
