図形問題 part2
1つのスレッドの返信数が上限に達したため、続き用のスレッドを作ります。
なつさん
ありがとうございます。
直角二等辺三角形を作る解答の方も面白い解答にできたと思いますが、
おそらくなつさんの意図していた解答は No.1717 に書いたものではないか思っています。
いかがでしょう？
スレッド作成ありがとうございます！
すみません、見事に見落としておりました、想定解答を新しいスレッドに書いていたら先に作っていただいたので、こちらで続けます。
実は想定解答とは違いましたが、うまく求められる図形に変形していくいい解き方ですね！じつはこの最初の△ACDを反転する方法でも二等辺三角形に持っていく方法はいくつかありそうでした。
簡略な紹介となりますが、例えば図のように変形しても解けそうです。（本質は一緒でした！）
想定解法はこのようなものでした。ご紹介させていただきますm(_ _)m
【問題】
等脚台形ABCDがあり、AD//BCである
∠ABC＝∠DCB＝45°
∠ACB＝15°
∠ACD＝30°
AD＝10cm
四角形ABCDの面積は？
【想定解法】（少し省略して書きます）
四角形ABCDに外接する円の中心をOと置く（円がおけることの議論は割愛）
中心角の定理より、∠AOB＝15°×2＝30°、同様に∠DOC＝30°、∠AOD＝30°×2＝60°。
よって、△AOBと△DOCは30°を頂角とする二等辺三角形、△AODは正三角形。
ここで、△AODと△BOCをそれぞれ真ん中の縦線で半分にすると、それぞれ同じ大きさの30°、60°、90°の直角三角形ができるため、△AODと△BOCの面積は等しい。（厳密な議論は省略）
それにより、四角形ABCDの面積は△AOBと△DOCの面積の合計と等しくなる。（五角形ABOCDの面積から△AODの面積を引いたものと五角形ABOCDの面積から△BOCの面積を引いたものが等しいため）
△AOBと△DOCはおなじみの面積が求められる二等辺三角形（30°、75°、75°）であるため、10cm×5cm÷2×2＝50cm^2（答え）
雑に作った図も載せておきます汗
DD++さんのこの解法は、いまの模範解答を思いつくまでは模範解答としておりました。作問時にはここから問題を作ったので、私としては意図を組んでくださったと大変うれしく思っております。
その他の皆様も、様々に解いてくださりありがとうございました！
> "なつ"さんが書かれました:
> スレッド作成ありがとうございます！
> すみません、見事に見落としておりました、想定解答を新しいスレッドに書いていたら先に作っていただいたので、こちらで続けます。
> 実は想定解答とは違いましたが、うまく求められる図形に変形していくいい解き方ですね！じつはこの最初の△ACDを反転する方法でも二等辺三角形に持っていく方法はいくつかありそうでした。
> 簡略な紹介となりますが、例えば図のように変形しても解けそうです。（本質は一緒でした！）
なつさんの方法では、面積は求まらない？答えが、５０√３となるのでは？
> "ＨＰ管理者"さんが書かれました:
> なつさんの方法では、面積は求まらない？答えが、５０√３となるのでは？
メッセージありがとうございます。大変申し訳ございません、「△AOBと△DOC」と表記すべき部分が2か所「△AODと△BOC」と誤植していたようです、そのためでしょうか・・・？（元の投稿は修正しました）
【元】
それにより、四角形ABCDの面積は△AODと△BOCの面積の合計と等しくなる。（五角形ABOCDの面積から△AODの面積を引いたものと五角形ABOCDの面積から△BOCの面積を引いたものが等しいため）
△AODと△BOCはおなじみの面積が求められる二等辺三角形であるため、10cm×5cm÷2×2＝50cm^2（答え）
【修正後】
それにより、四角形ABCDの面積は△AOBと△DOCの面積の合計と等しくなる。（五角形ABOCDの面積から△AODの面積を引いたものと五角形ABOCDの面積から△BOCの面積を引いたものが等しいため）
△AOBと△DOCはおなじみの面積が求められる二等辺三角形（30°、75°、75°）であるため、10cm×5cm÷2×2＝50cm^2（答え）
私は逆に外接円を使う方を先に思いつきました。
ただ、「流石に中心角の定理は算数外か？」と思って却下しちゃったんですよね。
どうやら中心角もアリみたいなので、それを私の第三の解答として投稿します。
四角形 ABCD の外接円を書き、中心を O とします。
中心角の定理より ∠AOD = 60° なので △AOD は正三角形で、この外接円の半径は 10 cm です。
また、中心角の定理より、∠AOC = 90°, ∠COD = 30° です。
さて、ここで △CAB を、点 O を中心に 90° 回転移動して点 C を点 A に重ね、△AEF とします。
台形の面積は △ACD + △AEF で求まります。
そしてこれを等積変形（※）して △OCD + △OEF とします。
これら 2 つは合同な二等辺三角形で、もはや言うまでもない方法で 1 つ 25 cm^2 と出るので、元の台形の面積は倍の 50 cm^2 です。
※ 2 つの三角形について、底辺同士が平行で長さが等しく、頂点が同一点かつそれが底辺を延長した平行線の間にある場合、その共通頂点を平行線の間のどこへ移動しても 2 つの三角形の面積の和は一定
>流石に中心角の定理は算数外か？
DD++さん、ご指摘ありがとうございます。たしかに中心角の定理は算数外みたいですね、うっかり説明なしに使ってしまっておりました申し訳ございません。。。
円を使わずにやるとどうしても逆説的な手法になってしまいそうですね。
高さの合計がちょうど二等辺三角形2つ分になる発想は思いつきませんでした、面白い解法をありがとうございます！
