副産物
マチンの公式として
π/4=4*atan(1/5)-atan(1/239)
が有名であるが
一般にtanの4倍角の公式が
tan(θ)=Tの時
tan(4*θ)=(4*T-4*T^3)/(1-6*T^2+T^4)
なので
今tan(θ)=1/5 <=> θ=atan(1/5)
とすれば
tan(4*θ)=(4/5-4/5^2)/(1-6/5^2+1/5^4)=120/119
これから
4*θ=atan(120/119)
即ち
4*atan(1/5)=atan(120/119)
また一般に
-atan(θ)=atan(-θ) から
マチンの公式を
atan(120/119)+atan(-1/239)=π/4
と表記することも可能
更にDegan さんから提示された
atan(a/b)+atan(s/t)=atan((a*y+b*x)/(b*y-a*x))+atan((s*y-t*x)/(t*y+s*x))
を条件を無視して
H(a,b,s,t,x,y)=[(a*y+b*x)/(b*y-a*x),(s*y-t*x)/(t*y+s*x)]
での計算をx,yを勝手に選んでやってみたら
gp > atan(120/119)+atan(-1/239)
%2817 = 0.78539816339744830961566084581987572105
gp > Pi/4
%2818 = 0.78539816339744830961566084581987572105
ここで自由にx,yを選んで変換してやると
gp > H(120,119,-1,239,1,2)
%2819 = [359/118, -241/477]
gp > atan(359/118)+atan(-241/477)
%2823 = 0.78539816339744830961566084581987572105
gp > H(120,119,-1,239,1,3)
%2820 = [479/237, -121/358]
gp > atan(479/237)+atan(-121/358)
%2824 = 0.78539816339744830961566084581987572105
gp > H(120,119,-1,239,1,4)
%2821 = [599/356, -243/955]
gp > atan(599/356)+atan(-243/955)
%2825 = 0.78539816339744830961566084581987572105
gp > H(120,119,-1,239,11,17)
%2822 = [3349/703, -1323/2026]
gp > atan(3349/703)+atan(-1323/2026)
%2826 = 0.78539816339744830961566084581987572105
x>yとしても
gp > H(120,119,-1,239,7,3)
%2828 = [-1193/483, -838/355]
gp > atan(-1193/483)+atan(-838/355)
%2829 = -2.3561944901923449288469825374596271632
この時はPiを補い
gp > Pi+%2829としてやれば
%2831 = 0.78539816339744830961566084581987572106
gp > H(120,119,-1,239,1/7,1/3)
%2833 = [1197/473, -362/835]
gp > atan(1197/473)+atan(-362/835)
%2834 = 0.78539816339744830961566084581987572105
でどれでもπ/4が構成されました。
(追伸)
16次のarctan系魔方陣は結局arctanでの値は魔方陣ができるが、それを与える各既約分数は
同じ数字を含んでしまうものしか作れませんでした。（どなたか解明して下さい。)
