😊出会いの泉😊

何とか手作業で見つけました。
(236/7777)^2+(37/707)^2+(8/77)^2+(97976/1111)^2=7777
a^2+b^2+c^2+d^2=7777^3となるa,b,c,dの組み合わせで
7777で割って約分したときに全部分母が異なるものを探しました。

手作業で見つけました。
これが凄いですね。
確かに分母が[77,707,1111,7777]で分子を上記の数値で分数を作っておくと
7777がつくれる。
私も何とかコンピュータの力をお借りして
分母が[3,15,25,75]で固定して置いて、分子を色々動かしてみると
(100/3)^2+(454/15)^2+(974/25)^2+(4879/75)^2
(100/3)^2+(461/15)^2+(994/25)^2+(4826/75)^2
(100/3)^2+(464/15)^2+(967/25)^2+(4868/75)^2
(100/3)^2+(496/15)^2+(997/25)^2+(4738/75)^2
(100/3)^2+(508/15)^2+(913/25)^2+(4852/75)^2
･････････････････････
と周辺にいくつも条件を満たす集団が発見できました。

同じく分母を[3,21,35,105]固定したら
(140/3)^2+(1301/21)^2+(1464/35)^2+(356/105)^2
(140/3)^2+(1306/21)^2+(1418/35)^2+(997/105)^2
(140/3)^2+(1318/21)^2+(1417/35)^2+(482/105)^2
(140/3)^2+(1325/21)^2+(1404/35)^2+(316/105)^2
(140/3)^2+(1363/21)^2+(1276/35)^2+(796/105)^2
･････････････････

[7,15,21,105]の分母では
(404/7)^2+(653/15)^2+(898/21)^2+(2822/105)^2
(404/7)^2+(692/15)^2+(844/21)^2+(2783/105)^2
(405/7)^2+(676/15)^2+(866/21)^2+(2774/105)^2
(405/7)^2+(716/15)^2+(806/21)^2+(2734/105)^2
(409/7)^2+(692/15)^2+(832/21)^2+(2708/105)^2
･･････････････
が浮かび上がってきます。

整数だけに限定すると有限個でおさまるところ
有理数へ探索を拡張すると世界が全く異なってくる感覚になります。
しかも探す苦労は一筋縄ではいかなくなる。
任意の整数Nを4つの有理数の平方和で作るアルゴリズムは有りや無しや？

「最も簡単な式」すなわち分子分母に登場する自然数の最大値が最も小さいものは
(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2=7777
（最大値173）
でした。最大値が173になる式は全部で5つあり、
173を除いた数の最大値（この式では161）が最も小さくなるのがこの式です。
（172以下の自然数では7777は作れないということになります。）

最大値が173になる式は全部で5つあり、

(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2
(173/2)^2+(167/10)^2+(103/26)^2+(53/130)^2
(173/2)^2+(169/10)^2+(77/26)^2+(79/130)^2
(173/2)^2+(171/10)^2+(33/26)^2+(111/130)^2
以外何があるのですか？

あと一つは
(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
です。

(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
を探し出すためには他にも前3つの最小公倍数が173を越えない組合せ(1541通り)
が山ほど考えられるので、それから見つけ出すって凄くないですか？

(173/3)^2+(173/4)^2+(173/5)^2+(173/6)^2＜7777から
一つ目の分母は2に固定できますので、探索する組み合わせは減らせると思います。
同様に
(173/2)^2+(173/17)^2+(173/18)^2+(173/19)^2＜7777から
二つ目の分母は3～16（一つ目の分子が小さければさらに絞られます）に限られるなど、
常に「この値（以上）にした場合に合計が7777になる可能性がなければパス」という
処理を入れて短縮すれば、実行時間が結構短くなるのではないかと思います。
※一つ目の「2のみ」もそういう固定値にしているわけではなく、
「3にした場合に残りが最大として7777に達するか」を計算しています。
(補足)
上記のチェックは巨大整数演算や分数演算では多分遅いので、
最大値をdoubleで計算して7776.9より小さければパス、としています。