😊出会いの泉😊

直接関係は無いかもしれませんが以前から気になっていることがあり
曲率がどこも正である閉じた曲線C上で(曲率の値は一定でなくても構わない。)
任意の5点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、中にダビデの星状の図形が構成される。
その星形の内部を塗り潰すと、5個の頂点を持つ図形ができる。
この時5つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
同じく
C上に任意の6点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形ができる。
続いて隣の点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形が再びできる。
そこで上の様に中を塗り潰せば今度は6つの角をもつ星状の図形ができる。
この時6つの頂点の内角をすべて足すと360°となる。
以下同様に
C上に
任意の7点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、7個の頂点を持つ星型図形ができる。
この時7つの頂点の内角をすべて足すと540°となる。
なお、2つ飛ばしで結んでいくと、その星形図形では7つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
C上に
任意の8点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくとを2度繰り返すと、8個の頂点を持つ星型図形ができる。
この時8つの頂点の内角をすべて足すと720°となる。

この様に一般に1つ飛ばしに結んでいくn角を持つ星状図形で、そのすべての内角の和をとれば
180*(n-4)°となる。(n>=5)

は成立すると思われるんですがどうでしょうか？

これ、本当ですか？

六角形の内角をAからFとして
A = 0.5 * (arc BF)
E = 0.5 * (arc FD)
C = 0.5 * (arc DB)
A + C + E = 0.5*(720°)
A+ C + E = 360°

> 六角形の内角をAからFとして
> A = 0.5 * (arc BF)
> E = 0.5 * (arc FD)
> C = 0.5 * (arc DB)
> A + C + E = 0.5*(720°)
> A+ C + E = 360°

B,D,Fも結んでください。
Aの内角は∠CAEの部分となります。

三角形ACEからA+C+E=180°
同じく
三角形BDFからB+D+F=180°
よって
A+B+C+D+E+F=360°
の意味となります。

まじめに書いてみます。

『ある弧に対する中心角は、同一の弧の円周角の2倍である』
という定理において、中心角が180°を超えていても成り立つ、とします。（これ本当ですか？）

まず六角形 ABCDEF についてこれが円に内接することを要請しておきます。この円の中心をOとします。
∠FAB を、弧BFの円周角とみなします。このとき弧は長い方、すなわち、C,D,E,を通過するほうの弧とします。
∠FOB を、弧BFの中心角とします。弧の定義は先程と同じです。中心角は 180 °を超えることもあります。
同様にして ∠BCD, ∠DEF を円周角とみなします。また、∠BOD, ∠DOF を中心角とみなします。

３つの中心角の総和、∠FOB+∠BOD+∠DOF は、（円を２周しているので）720° となります。『ある弧に対する中心角は、同一の弧の円周角の2倍である』ので対応する円周角の総和である∠FAB+∠BCD+∠DEFは、720°の半分、すなわち360°となります。

《円に内接する六角形の内角を 1 つおきに足すと 360°》と言えることになるのではと。

2n角形についても同様ではないかと？

中心角を使えばそうなんですけど、「10 角形のときには 4 周しますよね」といわれても、一瞬「うーんどうなんですかね」ってなりません？
もっと直感的にそりゃそうだわってなる証明がないものかなあ、と。

こっちのほうが直接的ですかね。

2n角形が、円に内接しているので、各頂点と円の中心との間に線分を補助線として引いてあげると2n個の二等辺三角形があることになります。二等辺三角形ではふたつの底角が等しいことに注意し、2n個ある頂角の角度の和は360°であることにも留意します。もちろん各二等辺三角形の内角の和は180°です。

上からダイレクトに求める公式が得られると思います。

イメージがつきやすいと思うので六角形のケースを。

先の投稿に従い6つの二等辺三角形を作図します。すなわち。
頂角がA,底角がaの二等辺三角形。
頂角がB,底角がbの二等辺三角形。
頂角がC,底角がcの二等辺三角形。
頂角がE,底角がdの二等辺三角形。
頂角がE,底角がeの二等辺三角形。
頂角がF,底角がfの二等辺三角形。

求めたい《ひとつおきの内角の和》は
（f+a）+（b+c）+（d+e）
です。

すぐにわかることを並べると
A+a+a=180°
B+b+b=180°
C+c+c=180°
D+d+d=180°
E+e+e=180°
F+f+f=180°
A+B+C+……+F=360°

上を整理すれば
（f+a）+（b+c）+（d+e）=360°
が得られます。

ああ、なるほど、二等辺三角形を作る方法がありましたか。
これは確かに簡明。

二等辺三角形を作った後、「だから全内角の総和のピッタリ半分」という方向に行けばもっとストレートですかね？

1946にて。

> "GAI"さんが書かれました:
> 直接関係は無いかもしれませんが以前から気になっていることがあり
> 曲率がどこも正である閉じた曲線C上で(曲率の値は一定でなくても構わない。)
> 任意の5点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、中にダビデの星状の図形が構成される。
> その星形の内部を塗り潰すと、5個の頂点を持つ図形ができる。
> この時5つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
> 同じく
> C上に任意の6点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形ができる。
> 続いて隣の点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形が再びできる。
> そこで上の様に中を塗り潰せば今度は6つの角をもつ星状の図形ができる。
> この時6つの頂点の内角をすべて足すと360°となる。
> 以下同様に
> C上に
> 任意の7点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、7個の頂点を持つ星型図形ができる。
> この時7つの頂点の内角をすべて足すと540°となる。
> なお、2つ飛ばしで結んでいくと、その星形図形では7つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
> C上に
> 任意の8点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくとを2度繰り返すと、8個の頂点を持つ星型図形ができる。
> この時8つの頂点の内角をすべて足すと720°となる。

> この様に一般に1つ飛ばしに結んでいくn角を持つ星状図形で、そのすべての内角の和をとれば
> 180*(n-4)°となる。(n>=5)

> は成立すると思われるんですがどうでしょうか？


↓↓↓↓
以下では n が奇数のときのみを考えます。(n>=5)
一つおきに点を結ぶ作図により星型 n 角形が生まれたものとします。すなわち、この星型 n 角形の内部に凸 n 角形が作図されたものとします。(必ず凸になるかどうか…わたしにはわかりませんでした。多分大丈夫？)
このときのみについて以下のように考えます。
・中にある凸 n 角形の外角の和は n によらず 360° です。
・凸 n 角形の各辺に三角形が n 個ぶん作図されています。これらの三角形の内角の総和は n*180° です。
・求めたい角の総和は後者から前者の２倍を引いたものです。
すなわち、 n*180 -720
よって GAI さんによる予想
180*(n-4)° (n>=5)
は上記のように私が設定した強い条件のもとでは正しそうです。
内部に凸 n 角形ができない場合は私にはとてもとても手がつけられませんでした。

n が偶数でも同じ理屈でしょっ、と知人に即座に言われて愕然としました。

外角を使わない別解を教えてもらいました。

n角形の内角の和をS(n) とします。
S(n) = 180°*(n-2)
(n>=5) のときに求める星型の頂角の角度の和 T(n) は
T(n) = 2*S(n) -n*S(3) = 180°*(2*n -4) -n*180° = 180°*(n -4)

なるほど……

GAI さんがおっしゃるに。
> C上に 任意の7点をとりある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、7個の頂点を持つ星型図形ができる。
> その星形図形では7つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。


一般的に証明するにはどうしたらよいのか検討がつきません。内部に7角形ができていればラッキーなのですけれどもそうとも限りません。

なお、添付した参考図はいい加減なので……ご了承ください。一点で3直線が交わると嫌だなあという意味でしかありません。

証明らしきものを明日付でアップ予定です。