二項係数の中央値と円周率の関係
二項係数の中央値である
Central binomial coefficients: binomial(2*n,n) = (2*n)!/(n!)^2 (;A000984)
がとても円周率πと密接な関係を保持していることが起こっていることに
なっている模様です。
次の無限級数和が起こりそうです。
2^2/(1*2C1)+2^3/(2*4C2)+2^4/(3*6C3)+･･･+2^(n+1)/(n*2nCn)+･･･=π
これを具体的な数値で示すと
2+2/3+4/15+4/35+16/315+16/693+32/3003+32/6435+256/109395+256/230945+･･･=π
が計算上成立するようです。
また少し形を変えて
2^4/(1*2C1^2), 2^8/(2*4C2^2), 2^12/(3*6C3^2),･･･, 2^(4n)/(n*2nCn^2),･･･
の一般項はn->ooでは
lim[n->oo]2^(4n)/(n*2nCn^2)=π
で成立の模様。
普通πとは
1-1/3+1/5-1/7+1/9-･･･=π/4
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+･･･=π^2/6
等で顏を表すことでしか親しんでいなかったので、新鮮な感覚に包まれました。
更に定積分とも繋がれて
π*2nCn=∫[x=-1->1](2*x)^(2n)/√(1-x^2)dx
も起こりそうです。
