2nCnと2nCn/4^nとの繋がり
2nCnと2nCn/4^nの分子部分がとても面白い関係性が成立していることがわかりました。
それが
2nCnの整数を素因数分解で2^r0*p1^r1*p2^r2*p3^r3･･･(p1,p2,p3,･･･は2以外の奇素数)
となっているとき
2nCn/4^nの分子部分はp1^r1*p2^r2*p3^r3･･･とすっかり上の素因数2^r0の部分が抜け落ちた
ものが現れることになる。
しかも2での指数r0はｎを2進法で表した時の1の使用回数(=hammingweight(n))が対応している。
(確認)
{2nCn/4^n}の数列の様子
gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)/4^n","))
1/2,3/8,5/16,35/128,63/256,231/1024,429/2048,6435/32768,12155/65536,46189/262144,
88179/524288,676039/4194304,1300075/8388608,5014575/33554432,9694845/67108864,
300540195/2147483648,583401555/4294967296,2268783825/17179869184,
4418157975/34359738368,34461632205/274877906944,
したがってその分子部分は
1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,
88179,676039,1300075,5014575,9694845,
300540195,583401555,2268783825,
4418157975,34461632205,
そこで2nCnの値から2^r0=2^hammingweight(n)を取り除く操作で
2nCnの値(バイナリー表示を右にhammingweight(n)だけシフトさせる)
gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)>>hammingweight(n)","))
1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,
88179,676039,1300075,5014575,9694845,
300540195,583401555,2268783825,
4418157975,34461632205,
ことで一致させられることになる。
更に驚いたことは、この数字が1/√(1-x)でのテイラー展開式
gp > taylor(1/sqrt(1-x),x)
%84 = 1 + 1/2*x + 3/8*x^2 + 5/16*x^3 + 35/128*x^4 + 63/256*x^5
+ 231/1024*x^6 + 429/2048*x^7 + 6435/32768*x^8 + 12155/65536*x^9 + 46189/262144*x^10 + 88179/524288*x^11 + 676039/4194304*x^12 + 1300075/8388608*x^13 + 5014575/33554432*x^14 + 9694845/67108864*x^15 + 300540195/2147483648*x^16 + 583401555/4294967296*x^17 + 2268783825/17179869184*x^18 + 4418157975/34359738368*x^19 + 34461632205/274877906944*x^20 +
O(x^21)
での各係数の分子に出現してしまうという思ってもいない繋がりを持つことでした。
