😊出会いの泉😊

話題が一部かぶりそうなのでご紹介します。

正八面体ダイスが 2 個あります。
片方を A 、もう片方を B とします。
A の出目を {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7]}
B の出目を {b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7]}
とします。
但し
a[0]≦a[1]≦a[2]≦a[3]≦a[4]≦a[5]≦a[6]≦a[7]
b[0]≦b[1]≦b[2]≦b[3]≦b[4]≦b[5]≦b[6]≦b[7]
と約束しておきます。

【例題】
この A,B ふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が 0 から 63 まで全ての非負整数となり おのおの等確率で出現するという。

0 ≦ n ≦ 7
なる非負整数 n について
b[n] = 8*a[n]
が成立するとき
a[n] を求めよ。

【例題解答】
a[n] = n
※８進数を考えればよい。


【問題】
この A,B ふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が 0 から 63 まで全ての非負整数となり おのおの等確率で出現するという。

0 ≦ n ≦ 7
なる非負整数 n について
b[n] = 2*a[n]
が成立するとき
a[n] を求めよ。


《例題では８倍、この問題では２倍になっています。》

=======
この問題の元ネタの PDF には
ジッヒャーマンのダイスや母関数による分析の方法が紹介されていて面白かったです。
後日にこの PDF をご案内いたします。

2つのダイスの母関数を
f(x)=x^a[0]+x^a[1]+…+x^a[7]
g(x)=x^b[0]+x^b[1]+…+x^b[7]
とすると、
g(x)=x^(2*a[0])+x^(2*a[1])+…+x^(2*a[7])
=(x^2)^a[0]+(x^2)^a[1]+…+(x^2)^a[7]
=f(x^2)
f(x)g(x)=f(x)f(x^2)=1+x+x^2+…+x^63
で、1+x+x^2+…+x^63を因数分解すると
(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)
なので、
f(x)=(x+1)(x^4+1)(x^16+1)=x^21+x^20+x^17+x^16+x^5+x^4+x+1
g(x)=(x^2+1)(x^8+1)(x^32+1)=x^42+x^40+x^34+x^32+x^10+x^8+x^2+1
より、
a[0]=0,a[1]=1,a[2]=4,a[3]=5,a[4]=16,a[5]=17,a[6]=20,a[7]=21


同じようなアイデアで構成された10面ダイスのペアが3Dプリントで作られていました。

10面体ダイスが2個あります。
片方をA、もう片方をBとします。
Aの出目を{a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9]}
Bの出目を{b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7],b[8],b[9]}
とします。
但し
a[0]≦a[1]≦a[2]≦a[3]≦a[4]≦a[5]≦a[6]≦a[7]≦a[8]≦a[9]
b[0]≦b[1]≦b[2]≦b[3]≦b[4]≦b[5]≦b[6]≦b[7]≦b[8]≦b[9]
と約束しておきます。

このA,Bふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が0から99まで全ての非負整数となり おのおの等確率で出現するという。

0 ≦n≦9
なる非負整数nについて
a[n],b[n]を求めよ。

後日にこの10面ダイスペアへのリンクをご案内いたします。

kuiperbelt さん、八面体ダイスのペアの問題は、正解です。

ご出題いただいた十面体ダイス２個の問題には暗算でもわかる自明な解が一組ありますね。
ほかの組を求めよということとなりますでしょうか。

自明な解を除くというのを忘れていました。
自明でない解でお願いします。

10面ダイスのペアの問題ですが……

OEIS A273013 によれば自明な解を含めて 7 通りもあるのですね ………
OEIS へはこの投稿の Dengan の名前をクリックで行けます。


【追伸】
雑誌「数学セミナー」2018年9月号の「エレガントな解答求む」で、7通りが載っていることを確認しました。

A=[0,1,4,5,8,9,12,13,16,17]
B=[0,2,20,22,40,42,60,62,80,82]


A=[0,1,2,3,4,25,26,27,28,29]
B=[0,5,10,15,20,50,55,60,65,70]


A=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45]
B=[0,1,2,3,4,50,51,52,53,54]


A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]

の4組は何とか発見できたが、残り2組は何が考えられるんだろうか？

A=[0,5,20,25,40,45,60,65,80,85]
B=[0,1,2,3,4,10,11,12,13,14]

A=[0,1,10,11,20,21,30,31,40,41]
B=[0,2,4,6,8,50,52,54,56,58]

の２つのようです。

10面ダイスのペアは自明なものを除くと

A=[0,1,4,5,8,9,12,13,16,17]
B=[0,2,20,22,40,42,60,62,80,82]

A=[0,1,2,3,4,25,26,27,28,29]
B=[0,5,10,15,20,50,55,60,65,70]

A=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45]
B=[0,1,2,3,4,50,51,52,53,54]

A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]

A=[0,5,20,25,40,45,60,65,80,85]
B=[0,1,2,3,4,10,11,12,13,14]

A=[0,1,10,11,20,21,30,31,40,41]
B=[0,2,4,6,8,50,52,54,56,58]

の6組です。

2つの10面ダイスの母関数の積は1+x+x^2+…+x^99で、

1+x+x^2+…+x^99
=(x+1)(x^2+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^6+x^4-x^2+1)
*(x^20-x^15+x^10-x^5+1)(x^20+x^15+x^10+x^5+1)(x^40-x^30+x^20-x^10+1)

と因数分解されるので、

a=x+1
b=x^2+1
c=x^4-x^3+x^2-x+1
d=x^4+x^3+x^2+x+1
e=x^8-x^6+x^4-x^2+1
f=x^20-x^15+x^10-x^5+1
g=x^20+x^15+x^10+x^5+1
h=x^40-x^30+x^20-x^10+1

とすると、x=1を代入すると、a,b,c,d,e,f,g,hが2,2,1,5,1,1,5,1となるので、
2つの10面ダイスの母関数は、それぞれがa*d、b*gを因数にもつ場合と、a*g、b*d
を因数にもつ場合があり、それぞれについてc,e,f,hを分配して係数が負になる
場合を除外すると、自明なものを含めて7通りの組み合わせが得られます。

下記のサイトに、
A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]
の組み合わせとなる10面ダイスペアを3Dプリントで作ったものが載っていました。
https://www.shapeways.com/product/B7VEDU96X/alternative-percentile-dice-set?optionId=59862239&li=marketplace

OEIS A273013を見ると、自明なものを含めると、8面ダイスの場合は10通り、
12面体と20面体では42通りもあるのですね…

お約束していた参考文献をば。

■Extending Sicherman Dice to 100-cell Calculation Tables
Yutaka Nishiyama, Nozomi Miyanaga
https://doi.org/10.48550/arXiv.1602.03736

※上記PDFのfig13が
b[n]=2*a[n] な問題の元ネタです。


■数学セミナー:エレガントな解答求む
https://yutaka-nishiyama.sakura.ne.jp/susemi/susemi1809.pdf

今ぼんやりと
https://oeis.org/A273013/b273013.txt
を眺めていましたら次のような予想が。

p, q を素数とする。(p < q)
A273013[p^2] = 3
A273013[p*q] = 7

コレが正しければ10面ダイスのペアのあり方が 7 通りというのは所期すべきということに？
あるいは 7 通りの見つけ方には隠れたルートがある？

n=p^rのとき、母関数は、
1+x+x^2+…+x^(p^(2r)-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…x^(p^2-p))…(1+x^(p^(2r-1))+…+x^(p^(2r)-p^(2r-1)))
と2r個の因数に分解されるので、r個ずつ取り出して2個のダイスの母関数をつくる方法は、
2項係数C(p,q)=p!/q!/(p-q)!を用いると、C(2r,r)/2通りで、

n=p^2のときC(4,2)/2=3
n=p^3のときC(6,3)/2=10
n=p^4のときC(8,4)/2=35
n=p^5のときC(10,5)/2=126
n=p^6のときC(12,6)/2=462
などとなります。

他にも、p,q,rを異なる素数としたとき

a(p^2*q)=42
a(p^3*q)=230
a(p*q*r)=115

という予想もあります。

> A273013[p^2] = 3
> A273013[p*q] = 7

> コレが正しければ10面ダイスのペアのあり方が 7 通りというのは所期すべきということに？
> あるいは 7 通りの見つけ方には隠れたルートがある？

ｎの因数分解型に影響されるなら
A074206でのKalmár's [Kalmar's] problem: number of ordered factorizations of n
でのプログラムを利用すればより簡単にその数字は手に入りそうです。
n=10=2*5(=p*q型)
なら3が返されるから、これを7へ変更してやればいいような････

n=p*qのとき、母関数は、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^((p*q)-1))*(1+x^(p*q)+…+x^((p*q)^2-p*q))・・・(イ)
=(1+x+…+x^(p^2-1))*(1+x^(p^2)+…+x^((p*q)^2-p^2))・・・(ロ)
=(1+x+…+x^(q^2-1))*(1+x^(q^2)+…+x^((p*q)^2-q^2))・・・(ハ)

と表され、(イ)の場合からは、

1+x+…+x^((p*q)-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))

1+x^(p*q)+…+x^((p*q)^2-p*q)
=(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))

なので、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))

より、第1項と第2項、第3項と第4項の積が自明な場合のダイスペアの母関数で、第1項と第3項、第2項と第4項の積から別の組み合わせのダイスペアの母関数が4組得られます。

(ロ)の場合は、

1+x+…+x^(p^2-1)=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p^2-p))

1+x^(p^2)+…+x^((p*q)^2-p^2)
=(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*(q-1)))*(1+x^(p^2*q)+…+x^(p^2*q*(q-1)))

より、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p^2-p))
*(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*(q-1)))*(1+x^(p^2*q)+…+x^(p^2*q*(q-1)))

なので、第1項と第3項、第2項と第4項の積から6組目のダイスペアの母関数が得られますが、第1項と第4項、第2項と第3項の積は、

1+x^p+…+x^(p^2*q-p)
=(1+x^p+…+x^(p^2-p))*(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*q-p^2))
=(1+x^p+…+x^(p*q-p))*(1+x^(p*q)+…+x^(p^2*q-p*q))

なので、(イ)の場合と重複します。

(ハ)の場合は、

1+x+…+x^(q^2-1)=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(q^2-q))

1+x^(q^2)+…+x^((p*q)^2-q^2)
=(1+x^(q^2)+…+x^(q^2*(p-1)))*(1+x^(q^2*p)+…+x^(q^2*p*(p-1)))

より、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(q^2-q))
*(1+x^(q^2)+…+x^(q^2*(p-1)))*(1+x^(q^2*p)+…+x^(q^2*p*(p-1)))

なので、第1項と第3項、第2項と第4項の積から7組目のダイスペアの母関数が得られますが、第1項と第4項、第2項と第3項の積は、

1+x^q+…+x^(p*q^2-q)
=(1+x^q+…+x^(q^2-q))*(1+x^(q^2)+…+x^(p*q^2-q^2))
=(1+x^q+…+x^(p*q-q))*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q^2-p*q))

なので、(イ)の場合と重複します。

以上により、n=p*qのときのダイスペアは7組となります。

GAI さん、
kuiperbelt さん。
ありがとうございました。

N=2^2*3=12のときの積の分割は
12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2
の8通りありましたが、A273013を参照すると、正12面体の2つのダイスへの割り当て方に、

(12)*(12),
(2*6)*(12),(6*2)*(12),(3*4)*(12),(4*3)*(12),
(2*6)*(2*6),(2*6)*(6*2),(2*6)*(3*4),(2*6)*(4*3),
(6*2)*(2*6),(6*2)*(6*2),(6*2)*(3*4),(6*2)*(4*3),
(3*4)*(2*6),(3*4)*(6*2),(3*4)*(3*4),(3*4)*(4*3),
(4*3)*(2*6),(4*3)*(6*2),(4*3)*(3*4),(4*3)*(4*3),
(2*2*3)*(2*6),(2*2*3)*(6*2),(2*2*3)*(3*4),(2*2*3)*(4*3),
(2*3*2)*(2*6),(2*3*2)*(6*2),(2*3*2)*(3*4),(2*3*2)*(4*3),
(3*2*2)*(2*6),(3*2*2)*(6*2),(3*2*2)*(3*4),(3*2*2)*(4*3),
(2*2*3)*(2*2*3),(2*2*3)*(2*3*2),(2*2*3)*(3*2*2),
(2*3*2)*(2*2*3),(2*3*2)*(2*3*2),(2*3*2)*(3*2*2),
(3*2*2)*(2*2*3),(3*2*2)*(2*3*2),(3*2*2)*(3*2*2)

の1^2+1*4+4^2+4*3+3^2=42通りあって、正12面体のダイスペアの母関数は、

(1+x+…+x^11)と(1+x^12+…+x^132)

(1+x)(1+x^24…+x^120)と(1+x^2+…+x^22)
(1+x+…+x^5)(1+x^72)と(1+x^6+…+x^66)
(1+x+x^2)(1+x^36+^72+x^108)と(1+x^3+…+x^33)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^48+x^72)と(1+x^4+…+x^44)

(1+x)(1+x^4+…+x^20)と(1+x^2)(1+x^24+…+x^120)
(1+x)(1+x^12+…+x^60)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6+…+x^30)と(1+x^2+x^4)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x)(1+x^8+…+x^40)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^48+x^96)
(1+x+…+x^5)(1+x^12)と(1+x^6)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+…+x^5)(1+x^36)と(1+x^6+…+x^30)(1+x^72)
(1+x+…+x^5)(1+x^18)と(1+x^6+x^12)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+…+x^5)(1+x^24)と(1+x^6+x^12+x^18)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2)(1+x^6+^12+x^18)と(1+x^3)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+x^2)(1+x^18+^36+x^54)と(1+x^3+…+x^15)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^9+^18+x^27)と(1+x^3+x^6)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+x^2)(1+x^12+^24+x^36)と(1+x^3+x^6+x^9)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^8+x^16)と(1+x^4)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^24+x^48)と(1+x^4+…+x^20)(1+x^72)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^12+x^24)と(1+x^4+x^8)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^16+x^32)と(1+x^4+x^8+x^12)(1+x^48+x^96)

(1+x)(1+x^4)(1+x^48+x^96)と(1+x^2)(1+x^8+…+x^40)
(1+x)(1+x^12)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^24)
(1+x)(1+x^6)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+x^4)(1+x^12+x^24+x^36)
(1+x)(1+x^8)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^16+x^32)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^72)と(1+x^2)(1+x^12+…+x^60)
(1+x)(1+x^12+x^24)(1+x^72)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^36)
(1+x)(1+x^6+x^12)(1+x^72)と(1+x^2+x^4)(1+x^18+x^36+x^54)
(1+x)(1+x^8+x^16)(1+x^72)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^24+x^48)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^72)と(1+x^3)(1+x^12+…+x^60)
(1+x+x^2)(1+x^18)(1+x^72)と(1+x^3+…+x^15)(1+x^36)
(1+x+x^2)(1+x^9)(1+x^72)と(1+x^3+x^6)(1+x^18+x^36+x^54)
(1+x+x^2)(1+x^12)(1+x^72)と(1+x^3+x^6+x^9)(1+x^24+x^48)

(1+x)(1+x^4)(1+x^16+x^32)と(1+x^2)(1+x^8)(1+x^48+x^96)
(1+x)(1+x^4)(1+x^24+x^48)と(1+x^2)(1+x^8+x^16)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6)(1+x^24+x^48)と(1+x^2+x^4)(1+x^12)(1+x^72)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^24)と(1+x^2)(1+x^12)(1+x^48+x^96)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^36)と(1+x^2)(1+x^12+x^24)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6+x^12)(1+x^36)と(1+x^2+x^4)(1+x^18)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^24)と(1+x^3)(1+x^12)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^36)と(1+x^3)(1+x^12+x^24)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^9)(1+x^36)と(1+x^3+x^6)(1+x^18)(1+x^72)

となって、ダイスペアの出目は、

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11};{0,12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132},

{0,1,24,25,48,49,72,73,96,97,120,121};{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22},
{0,1,2,3,4,5,72,73,74,75,76,77};{0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66},
{0,1,2,36,37,38,72,73,74,108,109,110};{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33},
{0,1,2,3,48,49,50,51,72,73,74,75};{0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44},

{0,1,4,5,8,9,12,13,16,17,20,21};{0,2,24,26,48,50,72,74,96,98,120,122},
{0,1,12,13,24,25,36,37,48,49,60,61};{0,2,4,6,8,10,72,74,76,78,80,82},
{0,1,6,7,12,13,18,19,24,25,30,31};{0,2,4,36,38,40,72,74,76,108,110,112},
{0,1,8,9,16,17,24,25,32,33,40,41};{0,2,4,6,48,50,52,54,96,98,100,102},
{0,1,2,3,4,5,12,13,14,15,16,17};{0,6,24,30,48,54,72,78,96,102,120,126},
{0,1,2,3,4,5,36,37,38,39,40,41};{0,6,12,18,24,30,72,78,84,90,96,102},
{0,1,2,3,4,5,18,19,20,21,22,23};{0,6,12,36,42,48,72,78,84,108,114,120},
{0,1,2,3,4,5,24,25,26,27,28,29};{0,6,12,18,48,54,60,66,96,102,108,114},
{0,1,2,6,7,8,12,13,14,18,19,20};{0,3,24,27,48,51,72,75,96,99,120,123},
{0,1,2,18,19,20,36,37,38,54,55,56};{0,3,6,9,12,15,72,75,78,81,84,87},
{0,1,2,9,10,11,18,19,20,27,28,29};{0,3,6,36,39,42,72,75,78,108,111,114},
{0,1,2,12,13,14,24,25,26,36,37,38};{0,3,6,9,48,51,54,57,96,99,102,105},
{0,1,2,3,8,9,10,11,16,17,18,19};{0,4,24,28,48,52,72,76,96,100,120,124},
{0,1,2,3,24,25,26,27,48,49,50,51};{0,4,8,12,16,20,72,76,80,84,88,92},
{0,1,2,3,12,13,14,15,24,25,26,27};{0,4,8,36,40,44,72,76,80,108,112,116},
{0,1,2,3,16,17,18,19,32,33,34,35};{0,4,8,12,48,52,56,60,96,100,104,108},

{0,1,4,5,48,49,52,53,96,97,100,101}と{0,2,8,10,16,18,24,26,32,34,40,42},
{0,1,12,13,48,49,60,61,96,97,108,109}と{0,2,2,6,8,10,24,26,28,30,32,34},
{0,1,6,7,48,49,54,55,96,97,102,103}と{0,2,4,12,14,16,24,26,28,36,38,40},
{0,1,8,9,48,49,56,57,96,98,104,105}と{0,2,4,6,16,18,20,22,32,34,36,38},
{0,1,4,5,8,9,72,73,76,77,80,81}と{0,2,12,14,24,26,36,38,48,50,60,62},
{0,1,12,13,24,25,72,73,84,85,96,97}と{0,2,4,6,8,10,36,38,40,42,44,46},
{0,1,6,7,12,13,72,73,78,79,84,85}と{0,2,4,18,20,22,36,38,50,54,56,58},
{0,1,8,9,16,17,72,73,80,81,88,89}と{0,2,4,6,24,26,28,30,48,50,52,54},
{0,1,2,6,7,8,72,73,74,78,79,80}と{0,3,12,15,24,27,36,39,48,51,60,63},
{0,1,2,18,19,20,72,73,74,90,91,92}と{0,3,6,9,12,15,36,39,42,45,48,51},
{0,1,2,9,10,11,72,73,74,81,82,83}と{0,3,6,18,21,24,36,39,42,54,57,60},
{0,1,2,12,13,14,72,73,74,84,85,86}と{0,3,6,9,24,27,30,33,48,51,54,57},

{0,1,4,5,16,17,20,21,32,33,36,37}と{0,2,8,10,48,50,56,58,96,98,104,106},
{0,1,4,5,24,25,28,29,48,49,52,53}と{0,2,8,10,16,18,72,74,80,82,88,90},
{0,1,6,7,24,25,30,31,48,49,54,55}と{0,2,4,12,14,16,72,74,76,84,86,88},
{0,1,4,5,8,9,24,25,28,29,32,33}と{0,2,12,14,48,50,60,62,96,98,108,110},
{0,1,4,5,8,9,36,37,40,41,44,45}と{0,2,12,14,24,26,72,74,84,86,96,98},
{0,1,6,7,12,13,36,37,42,43,48,49}と{0,2,4,18,20,22,72,74,76,90,92,94},
{0,1,2,6,7,8,24,25,26,30,31,32}と{0,3,12,15,48,51,60,63,96,99,108,111},
{0,1,2,6,7,8,36,37,38,42,43,44}と{0,3,12,15,24,27,72,75,84,87,96,99},
{0,1,2,9,10,11,36,37,38,45,46,47}と{0,3,6,18,21,24,72,75,78,90,93,96}

の42通りとなります。

twitter にて、ヘカテーさん( @HKTmine ) が次のような四つ組の六面体ダイスを発表されました。４竦みとなっています。

A=(0,4,4,4,7,7)
B=(3,3,3,3,8,8)
C=(1,1,6,6,6,6)
D=(2,2,5,5,5,9)

AがBに勝つ確率は5/9で、
BがCに勝つ確率は5/9で、
CがDに勝つ確率は5/9で、
DがAに勝つ確率は5/9で、かつ、
AがCに勝つ確率が1/2で、
BがDに勝つ確率が1/2になっています。

ふと思いついたアイデアをもとに手で作成してみたら対称性の高い《非推移的ダイス》になっていました。

五つ組の、五面体ダイス (20面体で同一数を四つ✕五つの数で実現) です。

A: (0,8,11,19,22)
B: (3,6,14,17,20)
C: (1,9,12,15,23)
D: (4,7,10,18,21)
E: (2,5,13,16,24)

AはBに13/25 の確率で勝ち
BはCに13/25 の確率で勝ち
CはDに13/25 の確率で勝ち
DはEに13/25 の確率で勝ち
EはAに13/25 の確率で勝ち
かつ
AはDに14/25 の確率で勝ち
BはEに14/25 の確率で勝ち
CはAに14/25 の確率で勝ち
DはBに14/25 の確率で勝ち
EはCに14/25 の確率で勝つ。

5竦みダイスもあるのですね。

4竦みダイスでは、エフロンのダイス(Efron’s Dice)が知られていますが、
a＝(0,0,4,4,4,4)
b =(3,3,3,3,3,3)
c =(2,2,2,2,6,6)
d =(1,1,1,5,5,5)
というダイスで、
aがbに勝つ確率は2/3で、
bがcに勝つ確率は2/3で、
cがdに勝つ確率は2/3で、
dがaに勝つ確率は2/3ですが、
aがcに勝つ確率が4/9で、
bがdに勝つ確率が1/2になっていて、ヘカテーさんのダイスと違ってa,b,c,dは完全に対等とはなっていないようです。

3竦みダイスは2面ダイスでは作れませんが、3面ダイスでは
A=(1,6,8)
B=(2,4,9)
C=(3,5,7)
というダイスで、
AがBに勝つ確率は5/9で、
BがCに勝つ確率は5/9で、
CがAに勝つ確率は5/9となっていて、それぞれの数字が2面ずつあれば6面ダイスでも作ることができます。

三竦みダイスに面白いのがありまして。

一組め。
A:６１８
B:７５３
C:２９４
上は [2254]でkuiperbeltさんが提示なさったものですね。

二組め。
D:２７６
E:９５１
F:４３８
これは一組めに直交していますね。オレオレ用語ですけれども。勝率の三竦みは、ひとくみめと同じです。

３組め。
上の二組の平均？を取ります。
G:４４７ //ADの平均
H:８５２//BEの平均
Ｉ:３６６//CFの平均

この３組目が面白いんです。
三竦みは
強→弱　と→を使うことにして、
A → B→ C→ A
D → E → F → D
であるにもかかわらず
平均をとると矢印の向きが逆になります。すなわち
G ← H ← I ← G

先ほどの５竦みダイスにも「直交」するダイスの組がありますが、まだ、同じことが起きるかどうか確認していません。