二平方和分解について
初めまして、inazumaと申します
趣味で素因数分解法を考え楽しんでいる数学の素人です。
その中で、ある数Pが下記①の性質を持つとき
Pのみからaとbを求める方法を思い付きました。
①P＝a^2+b^2
※ただしaは3以上の奇数、bは(2×(aの桁数)＋1)桁以上の偶数
例えばaが10桁ならbは21桁以上
自分で計算している分にはうまく算出出来ているのですが
１人で考えている為、なにか勘違いがあるかもしれず不安があります。
つきましては、どなたか試しに問題を出して頂けませんでしょうか
うまくいけば翌日までには解答出来ると思います
(自宅の安いノートPCで計算している為、解答出来なかったらゴメンナサイ)
Pはとりあえず1000桁以下で、どうぞ宜しくお願いいたします。
例
下記のPを二平方和で表せ（①の性質を持つものとする）
P=
79300000037195311469172088857218716366006504413694
67498094008133486079015170644844470927388048966664
71364084114224459809838073427764684299991893020117
87456020152022982982334498187590674933322035197451
04138548852323106359705380406209799321075786700748
97251075824794270095130531665785303520499625246843
70719102407952977609918264565309676875315113912408
70267500957407099187560193071952151611248261841935
69337549765652585924269731770243974032307256739067
91188751144938670681822892207721337339864143140179
90528196878053630706148037821924972860860994861603
49098958042925035090429124946155124465500090226636
49467540005250471043364183315967627035324264859599
67141415803012592347134057555165265478404500762265
44199380968805924457560332031071504504197590397342
71810321003237239447831652868964102212153370316814
06796846409047670450150851793080134210157112772689
58519839847317362637053099816619843793064691538365
63139531004179897193286960125022553379570957235139
114494973770246343671593770077506746282454373742765
解答
P=a^2＋b^2として
a=971850087035976191464617231403297972574042219987
37604269099307011774498957130732413787709812587433
59436158490894589690601193310837963651081208892631
60509147749602073918962661325153912810181096212403
04342638679979807519201662423980308668745308379247
49
b=281602556872616679494401001682286851751858783815
69338551112252743400193260172387120135518294422427
78838310590521946063454706138104382199264928161756
74092487130258413580634521135685378302594171044661
48079337014481304132621133013307367835289583866914
10360524815089534203712403396836912245502098199475
20868911981852164328164894139907121661474629654027
63051608555640043109432063403957953650490954108565
20533856524433967448235687012774426104809360200738
20583425159772741360209507101982427257315634250395
458
Dengan kesaktian Indukmuさん
ご返信ありがとうございます。
>P を 4 で割ったときの余りが 3 のときは大丈夫ですか？
Pを４で割った余りが１でないと、今のところ計算出来ません。
あっすみません、
勘違いして自明な質問をしてしまっていたため削除したところなのでした。
お詫びいたします。
Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしました
また、ご質問等あればお待ちしております。^v^
お試しですが。
条件【※ただしaは3以上の奇数、bは(2×(aの桁数)＋1)桁以上の偶数】での、桁数の縛りについては確かめておりませんけれども、奇数^2 +偶数^2 であることを個人的には確かめた気持ちになっている以下のPをお願いします。下記のPについては素因数分解の結果を知っております。
P = 10^110 +1
桁数のオーダーが甘くてすみません。
Dengan kesaktian Indukmuさん
>P = 10^110 +1
P=(10^55)^2+1^2
= 89 × 101 × 661 × 3541 × 18041 × 27961 × 148721 × 1052788969 × 1056689261 × 1121407321 × 1395900370 916327245555441901 × 36380545029953205956377406702261
ですかね（素因数分解は他力で行いましたw）
aがn桁、bが2n+1桁以上ならば
10^(n-1)≦a＜10^n, b≧10^(2n)
となり
(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^2＞2・10^(2n)+1-10^(2n)=10^(2n)+1＞0
から
(b+1)^2＞a^2+b^2＞b^2
なので
b=[√P] （[ ]はガウス記号）
でbが求まりますね。
上記はa,bの偶奇と関係ありませんので、
「bが(2×(aの桁数)+1)桁以上」という条件さえあれば、
a,bの偶奇にかかわらず求められると思います。
らすかるさん
ご返信ありがとうございます
さすらすです！
（流石らすかるさんの略w）
私の場合aから求める方法を試していたので
ご指摘には目から鱗です
ありがとうございます。
[2114] で私が依拠したのは以下の定理なのでした。
合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。
素因数分解して上を確認できる大きな数を探したのです。
そうしたら自明なものになってしまっていました。申し訳ないことです。
Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしました。
らすかるさんの方法を応用して
桁数差を減らす事は可能でしょうか
例えば
「bが(2×(aの桁数))桁以上」
「bが(2×(aの桁数)-1)桁以上」
等a,bの桁数差を減らす事は可能でしょうか。
なぜ十進数で桁数を？
と初見で感じました。
私も期待しています。
上に書いた方法は要は(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^2＞0であれば良いので
a^2＜2b+1すなわちa^2≦2bであればb=[√P]が成り立ちます。
bが2n桁でも良いようにするためには、例えばb+1をb+5に変えると
(b+5)^2-(b^2+a^2)=10b+25-a^2＞0すなわちa^2＜10b+25
→b＜√P＜b+5すなわち[√P]-5＜b≦[√P]
つまりbは[√P],[√P]-1,[√P]-2,[√P]-3,[√P]-4のどれかなので
この5個で計算してみればbが2n桁の場合も対応できるようになります。
同様に[√P]～[√P]-49の50個で計算すればbが2n-1桁でもOK、
[√P]～[√P]-499の500個で計算すればbが2n-2桁でもOKのようになりますが、
巨大数でbを(定数)桁縮めたところであまり意味はないような気がします。
らすかるさん
詳しい解説有難うございます
やはり難しい事を再確認いたしました
自分なりにまた考えてみたいと思います
ありがとうございました。
