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要素n個をグループk個に分割する方法には、
要素(n-1)個をグループ(k-1)個に分割し、n番目の要素をk番目のグループとして追加する場合と、
要素(n-1)個をグループk個に分割し、n番目の要素をk個のグループのどれかに追加する場合とがあり、
要素n個をグループk個に分割する方法の数をS(n,k)とすると、
S(n+1,k)=k*S(n,k)+S(n,k-1)
という漸化式で表すことができて、S(n,k)は、第2種スターリング数として知られています。
第2種スターリング数は、S(n,1)=1(n≧1),S(n,n)=1(n≧0),S(n,0)=0(n≧1)で、以下
S(3,2)=3,S(4,2)=7,S(5,2)=15,S(6,2)=31,...
S(4,3)=6,S(5,3)=25,S(6,3)=90,...
S(5,4)=10,S(6,4)=65,...
S(6,5)=15,...
...
と続きます。

源氏香の香図の総数は5個の要素を5個以下のグループに分割する方法の数なので、
S(5,1)+S(5,2)+S(5,3)+S(5,4)+S(5,5)=52となります。

香木の種類が3種類だと、香図の総数は
S(3,1)+S(3,2)+S(3,3)=5で

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となります。

香木の種類が4種類だと、香図の総数は
S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=15で

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となります。

香木の種類が4種類のものは系図香といって、香木の種類が3種類のものは三炷香というそうです。
系図香の香図にも、源氏香と同様に銘が付されていて、上の図では、志野流の場合は、

小笹、野中の蔀、落葉、春日野、篝火
鳴子、住吉、苅田、龍田、八橋
関屋、武蔵鐙、花筐、葎の宿、初冠

という銘が付されていて、その多くが伊勢物語から引かれているそうです。

昔は香木の種類が6種類以上のものもあったそうです。香木の種類が6種類だと、香図の総数は
S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)=203となります。

なお、この香図の総数はベル数といって、
https://oeis.org/A000110
にも載っています。