😊出会いの泉😊

こんな解き方が思いついた場合どうすればいいんでしょうね。

任意の自然数 k に対し 1+a[k]>0 なので、相加平均と相乗平均の大小関係により
Π[k=1→n] (1+a[k]) ≦ (1+s[n]/n)^n = Σ[k=0→n] nCk/n^k*s[n]^k
ここで、nCk/n^k * k! = nPk/n^k ≦ 1 なので、nCk/n^k > 1/k!
したがって、Π[k=1→n] (1+a[k]) ≧ Σ[k=0→n] 1/k!*s[n]^k

数学的帰納法を使うよりも本質を捉えた証明ではないかと思いますが、帰納法を使ってないので 0 点になるんでしょうか？
証明法の探究の場合はさておき、入試で証明方法に制限をつけるのは、ナンセンスと感じますね。