素数の砂の中からの探し物
全て素数を対象として[p1,p2,p3],[q1,q2,q3]の2組で
p1^k+p2^k+p3^k=q1^k+q2^k+q3^k (k=1,2)
が成り立つ組合せを100までの素数の範囲で探すと
結構多くの組合わせが存在し
1;[5, 31, 41] VS [13, 17, 47]
2;[5, 41, 71] VS [7, 37, 73]
3;[5, 43, 53] VS [11, 29, 61]
4;[5, 53, 83] VS [11, 41, 89]
5;[5, 59, 79] VS [7, 53, 83]
6;[5, 59, 89] VS [13, 43, 97]
7;[7, 19, 29] VS [11, 13, 31]
8;[7, 23, 41] VS [11, 17, 43]
9;[7, 29, 31] VS [11, 19, 37]
10;[7, 29, 43] VS [13, 19, 47]
･･････････････
91;[31, 67, 73] VS [41, 47, 83]
92;[37, 53, 71] VS [41, 47, 73]
93;[37, 67, 71] VS [43, 53, 79]
94;[37, 73, 79] VS [47, 53, 89]
95;[41, 71, 83] VS [47, 59, 89]
96;[41, 79, 83] VS [43, 71, 89]
97;[43, 61, 67] VS [47, 53, 71]
98;[43, 67, 79] VS [47, 59, 83]
99;[43, 83, 89] VS [47, 71, 97]
100;[53, 71, 79] VS [59, 61, 83]
101;[53, 83, 89] VS [61, 67, 97]
が見つかった。
なおこの中で和を最小とする組合わせは
[7,19,29] VS [11,13,31]
が当てはまる。
同じく
[p1,p2,p3,p4],[q1,q2,q3,q4]の2組で
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k (k=1,2,3)
を100までの素数の範囲で調べたら
1;[7, 31, 59, 83] VS [11, 23, 67, 79]
2;[11, 29, 47, 73] VS [17, 19, 53, 71]
3;[11, 37, 47, 73] VS [17, 23, 61, 67]
4;[11, 41, 43, 73] VS [13, 31, 53, 71]
5;[11, 43, 47, 79] VS [19, 23, 67, 71]
6;[11, 47, 53, 89] VS [17, 29, 71, 83]
7;[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
8;[13, 29, 67, 83] VS [17, 23, 73, 79]
9;[13, 43, 59, 89] VS [19, 29, 73, 83]
10;[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
11;[17, 43, 53, 79] VS [23, 29, 67, 73]
12;[17, 43, 61, 79] VS [19, 37, 71, 73]
13;[19, 37, 53, 71] VS [23, 29, 61, 67]
14;[19, 43, 47, 71] VS [23, 31, 59, 67]
15;[23, 41, 61, 79] VS [29, 31, 71, 73]
16;[23, 59, 61, 97] VS [31, 37, 83, 89]
17;[29, 43, 47, 61] VS [31, 37, 53, 59]
18;[31, 53, 67, 89] VS [37, 41, 79, 83]
19;[37, 59, 61, 83] VS [41, 47, 73, 79]
が見つかった。
なお最小値の和を構成するのは
[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
の2パターンが当てはまる。(2,3乗までを考えると下の方が最適)
そこで次はと思い
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k (k=1,2,3,4)
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k+p6^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k+q6^k (k=1,2,3,4,5)
を満たせる組合せはどうなるだろうかと検索を始めたが今度は余りにも範囲が広がり過ぎて
丸一日コンピュータを走らせても一つもヒットしてこない。
なお和の最小値を与える2組のものは
[13,59,67,131,163] VS [23,31,103,109,167]
[17,37,43,83,89,109] VS [19,29,53,73,97,107]
であるとの情報はネットから入手できた。
従って検索範囲を200までの素数に限定してもこれ以外にも発見できそうと思われる。
如何せん全検索の方法で探し回っているので今のところ一つも見つけられずにいます。
何方か効率よい検索プログラムから他のパターンを探し出されたら教えて下さい。
こちらのオハナシの続編ですか？
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1164.html
200までの素数での全解(上にある解も含む)
5個組
[13,59,67,131,163] と [23,31,103,109,167]
[11,59,71,149,173] と [23,29,101,131,179]
[19,79,101,173,191] と [23,61,131,149,199]
[31,67,103,149,197] と [37,53,127,131,199]
6個組
[19,29,53,73,97,107] と [17,37,43,83,89,109]
[19,29,83,103,157,167] と [13,47,59,127,139,173]
[43,47,101,109,163,167] と [37,59,83,127,151,173]
[29,31,103,107,179,181] と [19,53,71,139,157,191]
[43,53,107,127,181,191] と [37,71,83,151,163,197]
ちなみに200を超えた次の解は
5個組
[61,79,151,197,227] と [67,71,157,191,229]
6個組
[19,53,89,157,193,227] と [17,67,73,173,179,229]
# 昔作ったプログラムがまだ残っていました。
過去この話題についての投稿があっていましたね。
一般にProuhet-Tarry-Escott problem と呼ばれることもあり、特に使う数を素数に限定するものが
何か特別に見えて面白いと思っていました。
と言うのも一般での整数では公式が存在できるので、幾つも組合せが発見できるが素数ではそうはいかなくなる。
ふと過去のノートを整理していたら、この素数に関する2組の解を見ていたら、他の解は有るんのか？
の疑問がわき実際にパソコンで探してみたら思ったものより多くの組合せが存在していることに驚いたのでした。
本に紹介されているのは、特にその中にある最小数での組合せとなっていることにしかないのかと認識でき
では探せるだけ探してみようと挑戦を始めてみたのが投稿の動機でした。
なにせ冪数が高まれば高まるだけ探索範囲が指数関数的に増大していき、ちょっとやそっとでは有限時間では
探し出せなくなって壁に突き当たってしまった状態になっております。
らすかるさんありがとうございます。
３乗までの発見できるプログラム（一分位での計算時間では終了した。)
の延長の意味での4乗での検索では3日計算し続けても一つも発見できずにいました。
200までの素数での結果を知るまでの時間はどれほどなんですか？
結果を点検していたら
5乗までの和を等しく6個組の最小組
S1=[19,29,53,73,97,107] と
S2=[17,37,43,83,89,109]
に対し
M1=[-22,-17,-5,5,17,22]
M2=[-23,-13,-10,10,13,23]
なる対照的配列と
q=2,r=63
の定数を選べば
S1[n]=q*M1[n]+r
S2[n]=q*M2[n]+r
(n=1,2,3,4,5,6)
の関係で結ばれるようです。
また
S1=[19,53,89,157,193,227]
S2=[17,67,73,173,179,229]
なら
M1=[-52,-35,-17,17,35,52]
M2=[-53,-28,-25,25,28,53]
q=2,r=123
となるようです。
時間測ってなかったので再度実行して確かめたところ、
5個組で20秒、6個組で3分半でした。
