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二重魔方陣といって、各格の数の縦・横・対角線の和が定和になるだけでなく、各格の数の縦・横・対角線の二乗和が定和になる魔方陣があります。

9次の二重魔方陣の作り方で、0～8の自然配列からなる3×3行列Aと、0～8からなる縦・横・対角線の和が定和12の3次の魔方陣となる行列Bがあるとします。
A=
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]

B=
[7 2 3]
[0 4 8]
[5 6 1]

このような3×3行列A,Bと、

S=
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 0 0]

という3×3行列Sを用いて、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように9×9行列α,βをつくると9α+β+E(Eは全要素が1の行列)は9次の二重魔方陣となります。

α=
[S^2*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2]
[ S^2*A, A, S*A]
[ S^2*A*S, A*S, S*A*S]

β=
[ S*B*S, B*S, S^2*B*S]
[ S*B, B, S^2*B]
[S*B*S^2, B*S^2, S^2*B*S^2]

9α+β+E=
[72 73 59 13 26 3 38 51 34]
[11 24 7 45 46 32 67 80 57]
[40 53 30 65 78 61 18 19 5]
[55 68 81 8 12 22 33 43 47]
[ 6 16 20 28 41 54 62 66 76]
[35 39 49 60 70 74 1 14 27]
[77 63 64 21 4 17 52 29 42]
[25 2 15 50 36 37 75 58 71]
[48 31 44 79 56 69 23 9 10]

同様に、次のような0～24の自然配列からなる5×5行列Aと、0～24からなる縦・横・対角線の和が定和60の5次の魔方陣となる行列Bと、5×5行列Sを用いて、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように25×25行列α,βをつくると25α+β+E(Eは全要素が1の行列)は25次の二重魔方陣となります。

A=
[ 0 1 2 3 4]
[ 5 6 7 8 9]
[10 11 12 13 14]
[15 16 17 18 19]
[20 21 22 23 24]

B=
[16 22 3 9 10]
[23 4 5 11 17]
[ 0 6 12 18 24]
[ 7 13 19 20 1]
[14 15 21 2 8]

S=
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0]

α=
[S^3*A*S^3, S^4*A*S^3, A*S^3, S*A*S^3, S^2*A*S^3]
[S^3*A*S^4, S^4*A*S^4, A*S^4, S*A*S^4, S^2*A*S^4]
[ S^3*A, S^4*A, A, S*A, S^2*A]
[ S^3*A*S, S^4*A*S, A*S, S*A*S, S^2*A*S]
[S^3*A*S^2, S^4*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2, S^2*A*S^2]

β=
[S^2*B*S^2, S*B*S^2, B*S^2, S^4*B*S^2, S^3*B*S^2]
[ S^2*B*S, S*B*S, B*S, S^4*B*S, S^3*B*S]
[ S^2*B, S*B, B, S^4*B, S^3*B]
[S^2*B*S^4, S*B*S^4, B*S^4, S^4*B*S^4, S^3*B*S^4]
[S^2*B*S^3, S*B*S^3, B*S^3, S^4*B*S^3, S^3*B*S^3]

25次の二重魔方陣については
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/magicsquare/bimagic/bimagic-25.html
を参照。

同様に、次のような0～48の自然配列からなる7×7行列Aと、0～48からなる縦・横・対角線の和が定和168の7次の魔方陣となる行列Bと、7×7行列Sを用いて、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように49×49行列α,βをつくると49α+β+E(Eは全要素が1の行列)は49次の二重魔方陣となります。

A=
[ 0 1 2 3 4 5 6]
[ 7 8 9 0 11 12 13]
[14 15 16 17 18 19 20]
[21 22 23 24 25 26 27]
[28 29 30 31 32 33 34]
[35 36 37 38 39 40 41]
[42 43 44 45 46 47 48]

B=
[29 37 45 4 12 20 21]
[38 46 5 13 14 22 30]
[47 6 7 15 23 31 39]
[ 0 8 16 24 32 40 48]
[ 9 17 25 33 41 42 1]
[18 26 34 35 43 2 10]
[27 28 36 44 3 11 19]

S=
[0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0 0 0]

α=
[S^4*A*S^4, S^5*A*S^4, S^6*A*S^4, A*S^4, S*A*S^4, S^2*A*S^4, S^3*A*S^4]
[S^4*A*S^5, S^5*A*S^5, S^6*A*S^5, A*S^5, S*A*S^5, S^2*A*S^5, S^3*A*S^5]
[S^4*A*S^6, S^5*A*S^6, S^6*A*S^6, A*S^6, S*A*S^6, S^2*A*S^6, S^3*A*S^6]
[ S^4*A, S^5*A, S^6*A, A, S*A, S^2*A, S^3*A]
[ S^4*A*S, S^5*A*S, S^6*A*S, A*S, S*A*S, S^2*A*S, S^3*A*S]
[S^4*A*S^2, S^5*A*S^2, S^6*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2, S^2*A*S^2, S^3*A*S^2]
[S^4*A*S^3, S^5*A*S^3, S^6*A*S^3, A*S^3, S*A*S^3, S^2*A*S^3, S^3*A*S^3]

β=
[S^3*B*S^3, S^2*B*S^3, S*B*S^3, B*S^3, S^6*B*S^3, S^5*B*S^3, S^4*B*S^3]
[S^3*B*S^2, S^2*B*S^2, S*B*S^2, B*S^2, S^6*B*S^2, S^5*B*S^2, S^4*B*S^2]
[ S^3*B*S, S^2*B*S, S*B*S, B*S, S^6*B*S, S^5*B*S, S^4*B*S]
[ S^3*B, S^2*B, S*B, B, S^6*B, S^5*B, S^4*B]
[S^3*B*S^6, S^2*B*S^6, S*B*S^6, B*S^6, S^6*B*S^6, S^5*B*S^6, S^4*B*S^6]
[S^3*B*S^5, S^2*B*S^5, S*B*S^5, B*S^5, S^6*B*S^5, S^5*B*S^5, S^4*B*S^5]
[S^3*B*S^4, S^2*B*S^4, S*B*S^4, B*S^4, S^6*B*S^4, S^5*B*S^4, S^4*B*S^4]

49次の二重魔方陣については
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/magicsquare/bimagic/bimagic-49.html
を参照。