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スレッドNo.243

数の表現

数の表現について
2≡1,9999…(無限)≡4/2≡√4など、
log3(4)、√3は、無理数、
無理数^無理数=√3^log3(4)(底が3)

=3^log3(2)≡2
異なるタイプの表現募集。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月23日 15:16)

最近、 -1=・・・999 という表記に触れ、不思議さを感じました。

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表現というのは、違和感ありますね。まだ計算の途中みたいな、
同等になるということですか。
4sin(pai/4)cos(pai/4) も同等ですね。

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0.999…=1は、厳密には、極限の問題ですが、
x =0.9999…とおいて、10倍して
10x=9.999…=9+0.999…=9+x より
9x=9 つまり、x=1が気に入ってます。

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ちょっとKS様の計算に疑問ですが、

x=aとする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

さて、ここで、a=0.9999・・・・,n=10を代入すると、 

 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9 ✕ 0.9999・・・ なお右辺の✕は掛け算のかけるという記号です。
両辺を10-1でわると、
x=0.999・・・・

となりませんか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月24日 08:17)

管理人さんのコメントに対してですが、、代数学的に、x=aは、10倍して、引いても、x=aなのです。

ですから、よく説明される
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1
なんて、真っ赤な嘘です。
代数学的結論を否定するこの計算はおかしいのです。

別のはなしで説明すると、
x=1-0.1=0.9 とする。
 10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9

x=1-0.01=0.99とする。
 10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99

x=1-0.001=0.999とする。
 10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999

同 様にして、x=1-10^(-n)とすると、{ x=0.9999・・・・であるが}
 10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)
9x= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)

よって、10^(-n)>0であるから、{ 10^(-n)においてnは無限大であるから、10^(-n) は無限小である。}
x<1
つまり、
x≠1

ここで、もし、10^(-n)=0とすると、{もし、10^(-n)=0 つまり、無限小は0であるなら}
x= 1-10^(-n)=1 つまり、x=1であり、x=0.9999・・・・とはならない。

無限小を使ってもだめである。

私は、0.999・・・=1は、間違いだと思います。

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1/3は、0.333・・・・となるということをよく考えると、1÷3はあ まりが出てきて、0.333・・・・・と、あまり0.0・・・・1ですね。無限に3が続くということは、あまりが無限に続くということです。あまりが、な くなったら、3は終わりです。ところが、0.333・・・・は、あまりがいらない、なくなると言っているのです。

したがって、1/3≠0.333・・・です。両辺を3倍するにしても、左辺は1ですが、小数計算は末位からするのが、規則ですが、そこを無理やり、3倍しても0.999・・・ですが、1/3✕3=1≠0.999・・・となり、1≠0.999・・・です。


また、ε-δ法は、実数なら、使えるかもしれないが、10進数では使えないのである。

数直線で考えると、ε-δ法でできたとなるが、10進数で、0.999・・・をいくら1に近づけようと9を増やしても、0.999・・・でしかない のです。

なぜなら、0.999・・・・の9を使い果たしたら、桁上がりして1になるのであるからです。

9を使い果たすということは、0.0・・・・1がなければありえないのです。したがって、ε-δ法では、どこまで行っても0.999・・・に過ぎ ないのです。

0.999・・・=1の問題は10進数の問題であるから、明らかに、0.999・・・<1なのです。

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極限なら、0.999・・・はほぼ1でしょう。
しかし、等号で、結ぶことは、できません。

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100歩譲りましょう。

NHK のBSPでみた「コ ズミック フロント「相対論vs.量子論 事象の地平線と“異次元のダンス”」から思いました。

車いすの天才・ホーキング博士が提示した「ブラックホール情報パラドックス」で、ブラックホールは熱を出して、縮み消滅し、すべての情報は失われるといったの に、量子力学者たちは、情報は無くならないといい、論争になり、何年もかかって、超弦理論で、情報は無くならないと結論が出たのです。

さ て、自然数、1,2,3,・・・・と無限までゆくとします。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、無限大は、偶数ですか、奇数ですか?ととわれると、無限大は、どちらかわからないので、偶数でも、奇数でもないという説明では間 違っていると思います。

無限では、バーゼル問題でも、有理数(分数)は、四則演算で、有理数で閉じているのに、π^2/6という無理数になっているのです。

有理数で閉じているものが、無限で、無理数になるということは、有理数という情報が無限でなくなっているのです。

無限では、情報はなくなるのです。

ですから、自然数から派生した無限大も自然数もそういう情報なので、無限大は、情報がなくなって、自然数というこ ともありませんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、複素数かもしれないし、これまでの概念を超えたものかもしれなくなるということです。そうなると、大小関係(情報)もなくなるということです。

ということにすれば、1/3=0.333・・・・となるのです。

(でも、これには根拠がありません。無理数、あるいは複素数かもしれませんから・・・・)

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10進数について、注意書きをします。
10進数は、10個の記号をつかいます。0,1,2,3,4,5,6,7,8,9です。
記号を使い果たしたら、桁上がりします。つまり、9の次が必要にならないと、桁上がりしません。

0.999・・・と9を無限に並べても、9の次の記号が必要にならない限り、桁上がりは起きず、1にはなりません。

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もし、超弦理論ででた結論で、無限でも情報が無くならないとすると、

√2は、
√2=1.414213562373095・・・
なので、桁ごとに表すと、次のようになります。
=1+4/10+1/10^2-+4/10^3-+2/10^4-+1/10^5-+3/10^6-+5/10^7-+6/10^8-+2/10^9-+・・・・
さて、右辺は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。
したがって、10進小数はすべて、有理数となるはずです。
つまり、10進小数は、無理数を含まない、すなわち、10進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?
当然、2進数でも、桁ごとに表せば、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。したがって、2進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?
同様にして、自然数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?
同様にして、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?

結論として、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月25日 17:01)

うんざりはちべえさん、ご投稿ありがとうございます。うんざりはちべえさんの計算で
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
 9x= 9×0.9999・・・
がよく分かりません。9.999・・・から0.999・・・を引いたら、9になると思うのですが、なぜ、
「9×0.999・・・」という書き方になるのでしょうか?

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管理人さん、ご迷惑おかけします。連投しましたことをお許しください。

管理人さんの質問ですが、それは、次の代数式の計算に当てはめているからです。
x=aとする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

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仮定が「x=aとする。」で、結論が「x=a」では、何も計算していないことにならないで
しょうか?うんざりはちべえさんの計算の真意は?

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Komornik-Loreti 定数 というのがありまして、定義や、どんな数値になるのかについてを OEISの
「A055060」で参照できます。
今回はこの定数を q で表すこととします。
さて『1 の q進表現』を考えますと、1 = 0.11010011001011010010110011010011…
となりまして、この数は Thue-Morse 列 となります。

Thue-Morse 列につきましては、http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1053.html
に色々な関連事項が記載されています。

引用して返信編集・削除(未編集)

そも管理人さんが見たのは「……999=-1」なんですよね?
これは「0.999……=1」とは全く別の等式なわけですが議論が明後日の方向にすっ飛んでませんかね。
(前者は解析接続の話、後者は極限の話)

引用して返信編集・削除(未編集)

また、はちべえさんの論理に対して指摘を1つ。
はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。
で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人さん、私は、
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1

この計算の、10倍したものから引いて、0.999・・・が消えるという計算に疑問があったのです。
0.999・・・を桁移動しても、無限だから、小数部が、変わらないということを代数計算で、否定したのです。

少なくとも、小数計算は、原則として末位から行うもので、無限だから、末位はありえないので、この計算はできないと指摘しているWebもあります。

それもあったので、代数計算でやってみたら、x=aは、n倍して引いても、x=aであり、aの小数計算が不要であることが、示されました。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、はじめまして。

>はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。

これは、どこの話でしょうか?たくさん連投したもので、すみません。
バーゼル問題でしょうか?

>で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう?

これも、どこの話でしょうか?ひらめきが悪くてすみません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月25日 20:17)

上はバーゼル問題のところの話ですね。
単なるはちべえさんの理解の確認程度です。

下はNo253の話です。

引用して返信編集・削除(未編集)

1 の値についての十進表現として自明な 1 と非自明な 0.99999… とがあることについて話題になっているようですね。
実のところ、1 の値について 2 通りの十進表現を許容することが標準的なモデルとなっていますのでなんら問題なしとしたいところではあります。

十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえます。

黄金比を q で表すこととします。
ここで『1 の q進表現』についてさまざまな表現を列挙したく存じます。

いま、表現の循環部を()で囲むことといたします。
注:10進表現で()の使い方わ例示しますと、
1/3=0.(3)
ですし、
1/7=0.(142857)
とします。
本当は循環部の始めと終わりの桁の数字の上に「・」を書きたいのですが、今回は諦めることとし、()で代用します。

話を戻します。1の黄金比進表現をいくつか並べます。

1
1.(0) →無限小数
0.(10) →無限小数
0.11
0.1011
0.101011

この他にも多数あります。(上の例では可算無限個の表現がありますね)

以上、十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえる、というお話をしました。

なお、前回に投稿した Komornik-Loreti 定数を基数とした表現を取りますと、1 の値の表現として非自明なものは、投稿済みのあの表現のたったの1個しかないそうです。

もっと驚くべきは、 基数を上手に選べば、1の値の表現が【非】可算無限個存在することもある、という……

以上は
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を参考にしております。

引用して返信編集・削除(未編集)

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