😊出会いの泉😊

sucは1増やす関数でしょうか。それならば
suc(n) = exp(cot(atan(log(sqrt(exp(cot(atan(log(sec(atan(sqrt(n))))))))))))
でOKです（nは正整数）。

らふかるさん。ありがとうございます！！！

それにしても物凄い絵面です……ビビりまくりです。

なっ……なるほど。
sec(arctan(sqrt( n ))))
を二乗するのに手間がかかっているのでしたか。

このサイトで63を64にする問題という形で出題され、私も参加していた記憶があるのですが、記事を探しても見当たらない……。
どこにあるんだろう？
人力検索に立ちはだかる、24年間の記事数という壁。

数学感動秘話の"合成関数の合成" (3列並びの左端を見て行くと、中行辺りにあります。)

あれ？
63から64を作るの、違う問題だったかな……！

初等関数のうち代数関数でないものを初等超越関数ということとします。
いくつかの１変数の初等超越関数から合成関数 f を構成して次のような性質をもつようにすることはできますか？
f(1) = 3

※ 【代数関数 sqrt(・) を使わないで任意の正整数を表すことができそうだ】ゲームです。

ガウス記号は使っていいですか？
[exp(tan(sin(1)))]=3

ガウス記号は無しの方向性でお願いいたします。
ペコリ。🙇

では
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
でどうでしょう。

らすかるさん、チョベリグ(死語)ですね。

私が用意していたのは以下です。
①
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(1))))))))))))))))
②
cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(1))))))))))))))))

最初に気づいたのはsec(atan(x))の方だったのですが、少しでも見慣れている関数の方が良いかと思ってsin(atan(x))の方を採用しました。

No.2466に書いた解は最後に「cot(atan(○))」で逆数にしているわけですが、
よく考えたら最後のsinをcosecに変えるだけで逆数になりますので
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
は
cosec(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))=3
とした方が良かったですね。

らすかるさんの 2470 こちらは良い感じですねえ。

ところで古典の４つの４問題にかこつけますと。

0 = acos(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 )))))))))))))))))))))))))))))))

1 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))

2 =
tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))

3 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))

4 = sec(atan(tan(asec( 4 ))))
【だめじゃん】

5 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan( 4 ))))))))))))))))))

6 以上はよきにはからえ……
というあたりで許してもらえますかね？

※任意の正の有理数も 1 つの 4 でとか可能なものなのでしょうか？
試す気力はありませんけれども。

任意の有理数も作れますね。
例えば3/5を作る場合、最初に2乗して
2乗 → 9/25
逆数 → 25/9
1引く → 16/9
1引く → 7/9
逆数 → 9/7
1引く → 2/7
逆数 → 7/2
1引く → 5/2
1引く → 3/2
1引く → 1/2
逆数 → 2
のようになりますので、簡単のため1から始めるとして
cos atan 1 → √(1/2)
sec atan √(1/2) → √(3/2)
sec atan √(3/2) → √(5/2)
cos atan √(5/2) → √(2/7)
cos atan √(2/7) → √(7/9)
sec atan √(7/9) → √(16/9)
cos atan √(16/9) → √(9/25) = 3/5
の順に作ればよく、一気に書くと
cos atan sec atan cos atan cos atan sec atan sec atan cos atan 1 = 3/5
のようになります。
なお、負の有理数は
log cot atan exp x = -x
を使えば作れますね。

らすかるさん、凄い！！

P.S.

真似をしてみました。

22/7 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

sec(x)=1/cos(x)
asec(x)=1/acos(x)
としてPARI/GPのソフトで下記の計算をさせたら
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
%63 = 3.1439957705696095373721028193842780037 + 0.00093791769925741310431658346259798553071*I
と22/7とはならなかったのですが、どうしてなんでしょうね？

sec(x) は sec(x)=1/cos(x) でOKですが
asec(x) は asec(x)=1/acos(x) ではなく asec(x)=acos(1/x) です。

追記(そうなることの説明)
x=sec(y) (0≦y≦π,y≠π/2)とおくと
asec(x)
=asec(sec(y))
=y
x=sec(y)=1/cos(y)なので
cos(y)=1/x
y=acos(1/x)
∴asec(x)=acos(1/x)

あ～なるほど！
意味を考えずに形式に溺れていた。
定義し直して計算させたら、ピタリ22/7(=3.142757142757･･･)
となれました。

[2474] のらすかるさんによる投稿へのコメントです。

【任意の正の有理数は、有限項の正則連分数展開の形で表記できる】ということなのだといまさらながらに気が付きました。

#往年の蛍光灯のように点くのが遅い私です。