😊出会いの泉😊

周期5と10の場合については、
Sl_3(π/5)=√(3-φ)/2+√(φ+2)/2/2^3+√(φ+2)/2/3^3+√(3-φ)/2/4^3
-√(3-φ)/2/6^3-√(φ+2)/2/7^3-√(φ+2)/2/8^3-√(3-φ)/2/9^2+...
Sl_3(2*π/5)=√(φ+2)/2+√(3-φ)/2/2^3-√(3-φ)/2/3^3-√(φ+2)/2/4^3+...
Sl_3(3*π/5)=√(φ+2)/2-√(3-φ)/2/2^3-√(3-φ)/2/3^3+√(φ+2)/2/4^3
-√(φ+2)/2/6^3+√(3-φ)/2/7^3+√(3-φ)/2/8^3-√(φ+2)/2/9^3+...
Sl_3(4*π/5)=√(3-φ)/2-√(φ+2)/2/2^3+√(φ+2)/2/3^3-√(3-φ)/2/4^3+...
φ=(1+√5)/2
Sl_3(π/5)=(2/3)*π^3*B_3(1/10)=3/125*π^3
Sl_3(2π/5)=(2/3)*π^3*B_3(1/5)=4/125*π^3
Sl_3(3π/5)=(2/3)*π^3*B_3(3/10)=7/250*π^3
Sl_3(4π/5)=(2/3)*π^3*B_3(2/5)=2/125*π^3
より、

√(φ+2)Sl_3(2π/5)+√(3-φ)Sl_3(4π/5)
=5/2-5/2/4^3+5/2/6^3-5/2/9^3+...
=(√(φ+2)*4/125+√(3-φ)*2/125)*π^3
なので、
1-1/4^3+1/6^3-1/9^3+...=(√(φ+2)*8/625+√(3-φ)*4/625)π^3
となります。

√(3-φ)Sl_3(2π/5)-√(φ+2)Sl_3(4π/5)
=5/2*(1/2^3-1/3^3+1/7^3-1/8^3+...)
=(√(3-φ)*4/125-√(φ+2)*2/125)*π^3
なので、
1/2^3-1/3^3+1/7^3-1/8^3+...=(√(3-φ)*8/625-√(φ+2)*4/625)*π^3
となります。

√(3-φ)Sl_3(π/5)+√(φ+2)Sl_3(3π/5)
=5/2+5/2/4^3-5/2/6^3-5/2/9^3+...
=(√(3-φ)*3/125+√(φ+2)*7/250)*π^3
なので、
1+1/4^3-1/6^3-1/9^3+...=(√(3-φ)*6/625+√(φ+2)*7/625)*π^3
となります。

√(φ+2)Sl_3(π/5)-√(3-φ)Sl_3(3π/5)
=5/2/2^3+5/2/3^3-5/2/7^3-5/2/8^3+...
=(√(φ+2)*3/125-√(3-φ)*7/250)*π^3
なので、
1/2^3+1/3^3-1/7^3-1/8^3+...=(√(3-φ)*6/625-√(φ+2)*7/625)*π^3
となります。

周期7の場合については、
Sl_3(2π/7)=sin(2*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(4π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(6π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(4π/7)=sin(4*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(8π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(12π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(6π/7)=sin(6*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(12π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(18π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(2π/7)=(2/3)π^3*B_3(1/7)=10/343*π^3
Sl_3(4π/7)=(2/3)π^3*B_3(2/7)=10/343*π^3
Sl_3(6π/7)=(2/3)π^3*B_3(3/7)=4/343*π^3
より、

sin(2π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(4π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(8π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=10/343*π^3
sin(4π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(8π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(2π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=10/343*π^3
sin(8π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(2π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(4π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=-4/343*π^3
と書き換えて、zを1の原始7乗根とすると、
sin(2π/7)=(z-z^-1)/2i,sin(4π/7)=(z^2-z^-2)/2i,sin(8π/7)=(z^4-z^-4)/2i
であり、

1-1/6^3+1/8^3-1/13^3+...=(2i/2401)*(10*z^6+10*z^5+4*z^4-4*z^3-10*z^2-10*z)
1/2^3-1/5^3+1/9^3-1/12^3+...=(2i/2401)*(-4*z^6+10*z^5-10*z^4+10*z^3-10*z^2+4*z)
-1/3^3+1/4^3-1/10^3+1/11^3-...=(2i/2401)*(10*z^6-4*z^5-10*z^4+10*z^3+4*z^2-10*z)
より、

1+1/2^3-1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3+...=(32i/2401)*π^3*(z^6+z^5-z^4+z^3-z^2-z)
であり、
z^6+z^5-z^4+z^3-z^2-z=-i√7
なので、

1+1/2^3-1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3+...=32/(343√7)*π^3
となります。


周期11の場合については、
Sl_3(2π/11)=sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(4π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(4π/11)=sin(4π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(12π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(16π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(20π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(6π/11)=sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(12π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(24π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(30π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(8π/11)=sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(16π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(24π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(32π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(40π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(10π/11)=sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(20π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(30π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(40π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(50π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(2π/11)=(2/3)*π^3*B_3(1/11)=30/1331*π^3
Sl_3(4π/11)=(2/3)*π^3*B_3(2/11)=42/1331*π^3
Sl_3(6π/11)=(2/3)*π^3*B_3(3/11)=40/1331*π^3
Sl_3(8π/11)=(2/3)*π^3*B_3(4/11)=28/1331*π^3
Sl_3(10π/11)=(2/3)*π^3*B_3(5/11)=10/1331*π^3
より、

Sl_3(2π/11)=sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(18π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(6π/11)=sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(10π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(8π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(2π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
-Sl_3(4π/11)=sin(18π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(10π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(8π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(2π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(6π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(10π/11)=sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(2π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(6π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(18π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(8π/11)=sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(2π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(6π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(18π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(10π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
と書き換えて、

sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(18π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=30/1331*π^3
sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(10π/1*1)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(8π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(2π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=40/1331π^3
sin(18π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(10π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(8π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(2π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(6π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=-42/1331*π^3
sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(2π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(6π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(18π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=10/1331*π^3
sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(2π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(6π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(18π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(10π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=28/1331*π^3
であり、zを1の原始11乗根とすると、
sin(2π/11)=(z-z^-1)/2i,sin(6π/11)=(z^3-z^-3)/2i,sin(8π/11)=(z^4-z^-4)/2i,
sin(10π/11)=(z^5-z^-5)/2i,sin(18π/11)=(z^9-z^-9)/2i
なので、

1-1/10^3+...=(2i/11^4)*π^3*(30*z^10+42*z^9+40*z^8+28*z^7+10*z^6-10*z^5-28*z^4-40*z^3-42*z^2-30*z)
1/3^3-1/8^3+...=(2i/11^4)*π^3*(28*z^10-40*z^9+30*z^8+10*z^7-42*z^6+42*z^5-10*z^4-30*z^3+40*z^2-28*z)
-1/2^3+1/9^3+...=(2i/11^4)*π^3*(10*z^10-30*z^9+28*z^8-42*z^7+40*z^6-40*z^5+42*z^4-28*z^3+30*z^2-10*z)
1/5^3-1/6^3+...=(2i/11^4)*π^3*(-42*z^10-28*z^9+10*z^8+40*z^7+30*z^6-30*z^5-40*z^4-10*z^3+28*z^2+42*z)
1/4^3-1/7^3+...=(2i/11^4)*π^3*(40*z^10-10*z^9-42*z^8+30*z^7+28*z^6-28*z^5-30*z^4+42*z^3+10*z^2-40*z)
より、

1-1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3-1/10^3+...
=(2i/11^3)*π^3*(-12*z^9- 12*z^5-12*z^4-12*z^3-12*z-6)
=(12i/11^3)*π^3*(z^10-z^9+z^8+z^7+z^6-z^5-z^4-z^3+z^2-z)
なので、

z^10-z^9+z^8+z^7+z^6-z^5-z^4-z^3+z^2-z=-i√11
から、

1-1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3-1/10^3+...=12/(121√11)*π^3
となります。

紹介してもらって初めて知ることに成りましたこのクラウゼン関数
何とベルヌーイ多項式と組み合わさることでディリクレのベータ関数や
ディリクレL関数を引き起こす働きができるんですね。
もう何年も前に計算上偶然見つけていた等式がこんなにも理路騒然と
他の概念から導き出せるものなのだと感動しています。
ディリクレはドイツ(1805～1859)
クラウゼンはデンマーク(1801～1885）
でほぼ同じ世代をお互い刺激し合いながら生きていたんでしょうね。
世の中色々な人で満ち溢れていますね。
改めてこの人を読んでこんなにも立派な発見をやっておきながら、余り
名を知られていないのは不公平に感じる。
私だけが知らないだけなのか？
kuiperbeltさんは何時この繋がりを御知りになったのですか？

私もクラウゼン関数を知ったのはつい最近のことでした。

1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+･･･
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+1/13^3-1/14^3+･･･
を見て、多重対数関数を用いて
Li_3(i)=i-1/2^3-i/3^3+1/4^3+i/5^3-1/6^3-i/7^3+1/8^3+･･･
Li_3(ω)=ω+ω^2/2^3+1/3^3+ω/4^3+ω^2/5^3+1/6^3+･･･
の虚部で表せるのではないかと考え、英語版の多重対数関数のWikipedeia(https://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm)に

The polylogarithm with pure imaginary μ may be expressed in terms of the Clausen functions Ci_s(θ) and Si_s(θ), and vice versa (Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8):

Li_s(e^±iθ)=Ci_s(θ)±iSi_s(θ)

という記載を見つけてクラウゼン関数にたどりついたのでした。