相乗平均と整数
整数 a, b, c (ただし 0 < a < b < c) に対し、a の平方と c の平方の相乗平均が b の平方となる、すなわち
√(a² · c²) = b²
または同じことですが
a² · c² = b⁴
を満たす整数解は、たとえば a, b, c が等比数列の場合などから容易に見出すことができ、無数に存在します。
これを踏まえ、次の問題について検討してください。
整数 a, b, c (0 < a < b < c) において、a の平方から 1 を引いた数と c の平方から 1 を引いた数の相乗平均が、b の平方から 1 を引いた数となる、すなわち
√((a² – 1)(c² – 1)) = b² – 1
または同じことですが
(a² – 1)(c² – 1) = (b² – 1)²
を満たす整数解は、無数に存在するのでしょうか？
※ひとつの例として、
(577² – 1)(3363² – 1) = (1393² – 1)²
を挙げておきます。
GAI さん風の出題を志向しております。
a[1]=3, a[2]=7, a[n+2]=2a[n+1]+a[n] という漸化式により
3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, … (A001333)
という数列が生成されますが、このとき
(a[2n-1]^2-1)(a[2n+1]^2-1)=(a[2n]^2-1)^2
が成り立ちます。
# これは (a[2n])^2=a[2n-1]a[2n+1]-2 と a[n+2]=2a[n+1]+a[n] から示せます。
従って解は無数にあります。
なお、上記に含まれない
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2
など存在しますので、上記は全解ではありません。
らすかるさん 瞬殺、お見事です。
こいつら、興味深いですが難物そうですね。
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2
