一般化されたグラスマン数
一般化されたグラスマン数について、英語版のWikipedia(https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number)のGeneralisationsの項で記載があります。
グラスマン数には、反可換性といって、2つのグラスマン数θ1,θ2についてθ1θ2+θ2θ1=0が成り立ち、特にグラスマン数にはθ^2＝0という冪零性があります。n個のグラスマン数から成るグラスマン代数では2^n個の基底が含まれ、2^n×2^n行列で表現されます。
一般化されたグラスマン数は、θ^N＝0(N>2)で、θ_{i1},θ_{i2},...,θ_{iN}の積の全ての順列の総和についてθ_{i1}θ_{i2}...θ_{iN}＋θ_{iN}θ_{i1}θ_{i2}＋...＝0が成り立ちます。
Wikipediaでは特にθ^3＝0の場合が取り上げられていて、θ1,θ2の2つの一般化グラスマン数を含む代数は10×10行列で表現されるそうですが、θi^3＝0(i=1,2)の場合は、Wikipediaにあるθ1θ2^2+θ2θ1θ2+θ2^2θ1＝0という条件、および、θ2θ1^2+θ1θ2θ1+θ1^2θ2＝0という条件を課すだけでは基底が無限個になってしまい、(θ1θ2)^3＝(θ2θ1)^3＝0という条件をさらに課しても基底は23個となります。基底が10個となるには、Wikipediaにあるθ1θ2^2＝-(1/2)θ2θ1θ2＝θ2^2θ1という条件、および、θ2θ1^2＝-(1/2)θ1θ2θ1＝θ1^2θ2という条件をさらに課す必要があり、このとき、10個の基底は1,θ1,θ2,θ1^2,θ1θ2,θ2θ1,θ2^2,θ1^2θ2,θ2^2θ1,θ1^2θ2^2で表されます。
θ1θ2^2＝-(1/2)θ2θ1θ2＝θ2^2θ1という条件、および、θ2θ1^2＝-(1/2)θ1θ2θ1＝θ1^2θ2という条件はどのように導き出されたのでしょうか。
θi^3＝0(i=1,2)の場合の一般化グラスマン代数は10個の基底をもちますが、θi^3＝0(i=1,2,3)の場合、および、θi^4＝0(i=1,2)の場合は何個の基底があるのでしょうか。
