行列に関するある予想
次の命題が成り立ちそうなのですが、いい証明方法（成立しないなら反例）があるでしょうか。
n=3,4,5のときの数値計算から予想しました。
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Mを正方行列とするとき、Mの逆行列をinv(M)，Mの余因子行列をadj(M)と表す。
n次の正則行列Pが与えられているとき、sim(・)を次のように定める。
n次正方行列Mに対して sim(M) = inv(P)MP とする。
n次元の行ベクトルxに対して sim(x) = xP とする。
n次元の列ベクトルyに対して sim(y) = inv(P)y とする。
n次正方行列Mから第i行と第j列を取り除いて得られる小行列をM[i,j]と書くことにする。
n次元行ベクトルxからk番目の成分を取り除いて得られるn-1次元行ベクトルをx'[k]と書くことにする。
n次元列ベクトルyからk番目の成分を取り除いて得られるn-1次元列ベクトルをy'[k]と書くことにする。
n≧3とする。
n次元行ベクトルx，n次正方行列M，n次元列ベクトルy が与えられたときに定まる行列R(x,M,y)を次のように定義する。
R(x,M,y)の(i,j)成分をr[i,j]とするとき、
r[i,j] = x'[i]((-1)^(i+j)*adj(M[j,i]))y'[j]
とする。
このとき、
R(sim(x),sim(M),sim(y)) = sim(R(x,M,y))
が成り立つ。
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という予想です。
命題の中身を言葉で表すと、行列R(x,M,y)に対して変換行列Pによる基底の変換が矛盾なく適用されるかという感じになるかと思います。
実行してない思いつきですが……
i行目の削除を「単位行列からi行目を消した行列S[i]を左から掛ける演算」として書き、j列目の削除も同様に、というのがとりあえず自然な発想に見えますよね。
adjの中に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな？
n=3 の場合をごり押しで計算しました。
https://mathlog.info/articles/0kO5cJBKcTqurCc5NyzK
私はこの予想のきっかけとなった別の計算に戻りたいので、
この問題について多分これ以上考えないと思います。
この予想のきっかけとなった別の計算をやり直していたところ、新たな発見がありました。
どうやら次式が成り立ちそうな感じです。（いくつかの数値の計算からの予想です。）
det(M)*R(x,M,y) = (x adj(M)y)adj(M) - adj(M)yx adj(M)
この式を示すことができれば、(Mが正則の場合に限りますが)最初の予想が証明できますね。
ただ、この式も簡単にはいかなそうです。
また、この式が成り立てば、
xR(x,M,y) = (行ベクトルの)0
と
R(x,M,y)y = (列ベクトルの)0
も簡単に示せます。
