有限と無限
無限というものの凄さを感じさせるものに
S1=1+1/2+1/3+1/4+･･･+1/n+･･･
はS1→∞
であり
S2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-･････+(-1)^(n+1)*1/n+･･･
はS2→log(2)(=0.693147･･･)
S3=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+･･･(2と素であるものの交代級数)
はS3→π/4(=0.785398･･･)
S4=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11-1/13-1/15+1/17+1/19-1/21-1/23+･･･
=∑[n=1,∞]kronecker(n,8)/n
はS4→sqrt(2)*π/4(=1.110720･･･)
S5=1-1/3-1/5+1/7+1/9-1/11-1/13+1/15+1/17-1/19-1/21+1/23+･･･
=∑[n=1,∞]kronecker(n,2)/n
はS5→log(1+sqrt(2))/sqrt(2)(=0.623225･･･)
S6=1-/1/2+1/4-1/5+1/7-1/8+1/10-1/11+･･･(3と素であるものの交代級数）
はS6→π/(3*sqrt(3))(=0.604599･･･)
S7=1+1/2-1/4-1/5+1/7+1/8-1/10-1/11+1/13+1/14-1/16-1/17+･･･(上記の符号を変更したもの）
=∑[n=1,∞]kronecker(n,3)/n
はS7→2*π/(3*sqrt(3))(=1.209199･･･)
S8=1-1/2-1/3+1/4+1/6-1/7-1/8+1/9+1/11-1/12-1/13+1/14+1/16-･･･(5と素なもので構成）
=∑[n=1,∞]kronecker(n,5)/n
はS8→log((3+sqrt(5))/2)/sqrt(5)(=0.43041･･･)
S9=1-1/5+1/7-1/11+1/13-1/17+1/19-1/23+･･･(6と素であるものの交代級数）
=∑[n=1,∞]kronecker(n,12)/n
はS9→π/(2*sqrt(3))(= 0.906899･･･)
S10=1 +1/2 -1/3 +1/4 -1/5 -1/6
+1/8 +1/9 -1/10+1/11-1/12-1/13
+1/15+1/16-1/17+1/18-1/19-1/20
+1/22+･･･ (7と素なもので構成）
=∑[n=1,∞]kronecker(n,7)/n
はS10→π/sqrt(7)(=1.187410･･･)
･････････････････････
などなど使う数字と符号を微妙に変えると、無限に繰り返す操作でこんなにも変化に富む
世界と通じて行くことを見つけ出したオイラーやライプニッツやディリクレなどの先人が
如何に無限という世界の扉をこじ開けてきたのかを驚愕をもって感じられます。
＊取り急ぎまとめたものなので、どこかしら例により勘違い部分があるかと思いますが、
その時はご指摘宜しくお願い致します。
GAI様、こんばんは。
はじめまして。
この構造は、バーゼル問題と同じですね。
有理数の無限和が、無理数になる。
うんざりはちべえさんは、バーゼル問題について誤解していませんか？
有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？
例えば、 １/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１ ですよね．．．。
管理人様、こんばんは。
ああ、そうなんですか？
オイラーがどうやったかは、詳しくなると、
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1583-12.pdf
に書いてありますが、よく理解できてません。
管理人様、
＞有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？
＞例えば、 １/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１ ですよね．．．。
管理人様のおかげで、有理数は四則演算で有理数で閉じていることと無限和が無理数になるという矛盾の手がかりが見えて来ました。
ありがとうございます。
これで、数学に対する不信感が幾分和らいだのです。
調和級数
Σ（ｎ＾ｓの逆数）＜ｓ/(s-1)… ＊
s＞１のとき、収束し、ｓ＝１のとき、発散することがよく知られています。
ところが、素数の逆数和が発散するのには、びっくりです。
流石に、双子素数の逆数和では、収束する。
収束と発散の境目は、難しいですね。
