衝突実験
半径rの円柱同士が直角にぶつかったときの共通部分の体積という
Steinmetz Solid というドイツ生まれの技術者の名を付けられた
ものがあり（このサイトでも取り上げられていたと思う。)
積分を使ってその体積が16/3*r^3 で算出されることを教える。
従って直径1(半径r=1/2)の円柱が直角にぶつかり合えば
2/3の体積が作られる。
そこでぶつけるものを円柱から一辺が1の正三角形の三角柱同士
とすればどうなるか？
と思った。
ぶつかる条件を次のようにしたい。
xyz座標軸で
xy平面上にy軸上に一つの頂点を置き、原点に重心がある様に
一辺が1の長さを持つ正三角形ABCをとる。
これをz軸に沿って積み上げて出来る三角柱を立体Kとする。
一方
yz平面上でz軸上に一つの頂点を置き、原点に重心がある様に
一辺が1の長さを持つ正三角形PQRをとる。
これをx軸に沿って積み上げて出来る三角柱を立体Lとする。
さて立体KとLがぶつかっている共通部分の体積Vを算出してほしい。
共通部分の形を考えずに断面だけを考えて・・・
※立体Kのy軸上の頂点はy＞0にあるものとしました
立体Kをy=t(-√3/6＜t＜√3/3)で切るとz軸方向にのびる幅(2/3)(1-t√3)の帯
立体Lをy=t(-1/2＜t＜1/2)で切るとx軸方向にのびる幅(√3/2)(1-2|t|)の帯
よって共通部分をy=t(yの共通部分は-√3/6＜t＜1/2)で切ると
2辺が(2/3)(1-t√3)と(√3/2)(1-2|t|)の長方形
面積は(2/3)(1-t√3)×(√3/2)(1-2|t|)
=(1-t√3)(1-2|t|)/√3
なので、求める体積は
∫[-√3/6～1/2](1-t√3)(1-2|t|)/√3 dt
=1/6+5/(36√3)≒0.2468542
自分も挑戦していたが値が同じになっていたので安心しました。
らすかるさんは核心の部分しか記述されていませんが、この結果を
得るまでは結構ややこしい手続きと積分での面倒な計算を経過せねば
なりませんでした。
ではこの共通部分の形状は？
といくら頭の中で像を結ぼうと努力しても人の脳（私の脳みそだけかも)
は上手く対応できない。
2つの直円柱どうしのあの形状も皆さん見えてきますか？
さらに3つの互いに直交する直円柱の共通部分など全く想像できません。
しかしこの幾何学的には認識し難いものでも、
代数的手法でその実態を認識できる手段を人類が手に入れることが可能
ならしめたデカルトのアイデアとニュートンやライプニッツなどの寄与
には全く称賛の感謝しかありません。
人が理解するという営みやそのアプローチの手段などは哲学的問題も含め
大いに興味あるテーマに感じます。
