😊出会いの泉😊

ちゃちゃっとプログラムを作って（最下段左端＜最下段右端という条件を付けて）調べたところ
（例示されたものも含めて）以下の4通りになりました。

___3
__4,7
_5,9,2
6,1,10,8

___3
__5,2
_4,9,7
6,10,1,8

___4
__2,6
_5,7,1
8,3,10,9

___4
__5,1
_2,7,6
8,10,3,9

ならば
___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4
の様に
下の隣り合う2数の和の下桁の数が上の段にあり、積み上げ終わると
0～9の数が一通り揃う。
ということになる配列は他にあるか？

全部で以下の4通りだと思います。

___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4

___0
__4,6
_9,5,1
2,7,8,3

___0
__2,8
_7,5,3
6,1,4,9

___0
__4,6
_9,5,1
7,2,3,8

では、最初の差分の方式で
1段(1のみ): 1通り
2段(1～3): 2通り
3段(1～6): 4通り
4段(1～10): 4通り
となりますが、5段(1～15)では何通りでしょう？

一通りのみでは。
_____5
____4,9
___7,11,2
__8,1,12,10
6,14,15,3,13

では6段には存在するか？
存在しないならその証明は？

5段の1通りは正解です。
証明はわかりませんが、6段・7段・8段では解はありませんでした。
「6段以上では解はない」という可能性もありますが、
さすがに6・7・8だけでは何とも言えないですね。
ちなみに8段の全探索には半日かかりました。

6段での証明が気になったので色々調べてみたら
Shichermanというこのパズルを提出した人らしい人物が
mod 2
では|a-b|≡a+b (mod 2)
から,
6個の異なる整数
a,b,c,d,e,fから
a+b,b+c,c+d,d+e,e+f
a+2*b+c,b+2*c+d,c+2*d+e,d+2*e+f
a+3*b+3*c+d,b+3*c+3*d+e,c+3*d+3*e+f
a+4*b+6*c+4*d+e,b+4*c+6*d+4*e+f
a+5*b+10*c+10*d+5*e+f
と和を作っていき、それまでのすべて現れる総和が
6*a+20*b+34*c+34*d+20*e+6*f
なのでその数字は偶数であることになる。
一方1~21(6段では全部の数は1+2+･･･+6=21)
の数の総和は21*22/2=231
で奇数である。
mod2では奇数、偶数は一致するはずなのでこれは矛盾し
如何なる6個の数でも構成は不可能となる。

で示していた。
そこで7段ではと思い
a,b,c,d,e,f,g
で生まれてくる2数の和による（mod 2での考察)構成での総和をみると
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
一方
28*29/2=406≡0 (mod 2)
より7段でも矛盾
8段では
a,b,c,d,e,f,g,h
からは総数
8*a+35*b+83*c+125*d+125*e+83*f+35*g+8*h≡0 (mod 2)
36*37/2=666≡0 (mod 2)
従って8段はこの手では証明ができないことになる。

さらに気になったのでAIを利用して尋ねると
n>5では一切存在できないことがHerbert Taylorにより証明が与えられており
かなりテクニカルなもので単純なパリティ計算だけではすまず、より精巧な
不変量や構造解析を行うとある。

なおこれが2018段においては不可能であることの証明を問う問題が
数学オリンピックに出題さているという。

やはり6段以上では解はなかったのですね。
2018段の問題をいきなり出されても解けないだろうなぁ・・・

今さらですが、7段の証明がちょっと違うような気がします。
（私の勘違いでしたらご容赦下さい）
> 7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
これはa,b,c,d,e,f,gのうち奇数が奇数個なら成り立ちますが、
奇数が偶数個の場合は
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡0 (mod 2)
となるのではないでしょうか。

a,b,c,･･･,gの奇遇によって変化してしまいますね。
単に奇数の係数が奇数個であったので1と判断してしまっておりました。
らすかるさんの指摘どうりですね。

Shichermanというと、ジッヒャーマンダイスのShichermanでしょうか。