😊出会いの泉😊

以前zeta(6)がH(n)=1/1+1/2+1/3+･････+1/n
の調和級数と深く関連していることを見て
これは素数と深く関連しているのではないかと思っていたところ、次のようなことが
成り立つというものを見つけました。

pを5以上の素数とするとき

分子(∑[n=1,p-1]1/n)≡0 (mod p^2)

gp > H(p)=sum(n=1,p-1,1/n);
gp > forprime(p=5,97,print(p";"H(p)" =>"factor(numerator(H(p)))))
5;25/12 =>Mat([5, 2])
7;49/20 =>Mat([7, 2])
11;7381/2520 =>[11, 2; 61, 1]
13;86021/27720 =>[13, 2; 509, 1]
17;2436559/720720 =>[17, 2; 8431, 1]
19;14274301/4084080 =>[19, 2; 39541, 1]
23;19093197/5173168 =>[3, 1; 23, 2; 53, 1; 227, 1]
29;315404588903/80313433200 =>[29, 2; 375035183, 1]
31;9304682830147/2329089562800 =>[31, 2; 53, 1; 10273, 1; 17783, 1]
37;54801925434709/13127595717600 =>[37, 2; 1297, 1; 3407, 1; 9059, 1]
41;2078178381193813/485721041551200 =>[41, 2; 114407, 1; 10805939, 1]
43;12309312989335019/2844937529085600 =>[7, 1; 43, 2; 951040175333, 1]
47;5943339269060627227/1345655451257488800 =>[47, 2; 4201, 1; 640445420803, 1]
53;14063600165435720745359/3099044504245996706400 =>
[53, 2; 6833, 1; 878089, 1; 834439423, 1]
59;254381445831833111660789/54749786241679275146400 =>
[59, 2; 271, 1; 6793, 1; 39696343287323, 1]
61;15117092380124150817026911/3230237388259077233637600 =>
[61, 2; 2207, 1; 1840798551252069113, 1]
67;209060999005535159677640233/43787662374178602500420800 =>
[67, 2; 257, 1; 30497, 1; 702257, 1; 8461300049, 1]
71;42535343474848157886823113473/8801320137209899102584580800 =>
[71, 2; 1143656115619, 1; 7377985374587, 1]
73;9112469359293533278712889630349/1874681189225708508850515710400 =>
[73, 2; 12889, 1; 132669513653016905839429, 1]
79;61462860623241058403302042280303/12441066073952429195098876987200 =>
[79, 2; 79244112331, 1; 124277234919095693, 1]
83;44139711531918267321142140457772773/8845597978580177157715301537899200 =>
[83, 2; 6407274137308501570785620620957, 1]
89;40866521918642154860585199122889549709/8076030954443701744994070304101969600 =>
[89, 2; 42363379, 1; 223006207, 1; 546109988172181393, 1]
97;3699322246041458103739317199996707235031/718766754945489455304472257065075294400 =>
[97, 2; 393168481883458189365428547135371159, 1]

見事に分子はp^2の素因数を含んでいく。
これが5以上のどんな素数でも成り立つとはよくも発見したものだと思ったところです。
こんな事はまずそんな現象が起こることに気付いて、ならば証明は？
という道筋だと思われる。
素数という性質がこの様に調和級数に見事に現れてくることに素数の本質の染み出し方を見る思いです。