😊出会いの泉😊

前のLucky numbersと異なるが似たようなニュアンスでHappy numbers(幸福数)なる名で呼ばれる数があり
nの数字を構成する各digitsを平方してすべて加えた数へ変更し
この手順を繰り返し続けていく。
<例>n=123==>1^2+2^2+3^2=1+4+9=14
さらに続けて14==>1^2+4^2=17
17==>1^2+7^2=50
5^2+0^2=25
25==>2^2+5^2=29
以下
85,69,145,42,20,4,16,37,58,89,145,42,20,4,･･･････
以下(4,16,37,58,89,145,42,20,4のサイクルが繰り返される)
つまりいくら続けても終わらず同じサイクルを回り続けてしまう。

nからの変化の様子をF(n)で少し観察すると
gp > F(2)
1;4
2;16
3;37
4;58
5;89
6;145
7;42
8;20
9;4

gp > F(3)
1;9
2;81
3;65
4;61
5;37
6;58
7;89
8;145
9;42
10;20
11;4
12;16
13;37
14;58
15;89
16;145
17;42
18;20
19;4

gp > F(4)
1;16
2;37
3;58
4;89
5;145
6;42
7;20
8;4
9;16
10;37
11;58
12;89
13;145
14;42
15;20
16;4

gp > F(5)
1;25
2;29
3;85
4;89
5;145
6;42
7;20
8;4
9;16
10;37
11;58
12;89
13;145
14;42
15;20
16;4

gp > F(6)
1;36
2;45
3;41
4;17
5;50
6;25
7;29
8;85
9;89
10;145
11;42
12;20
13;4
14;16
15;37
16;58
17;89
18;145
19;42
20;20
21;4

gp > F(7)
1;49
2;97
3;130
4;10
5;1

gp > F(8)
1;64
2;52
3;29
4;85
5;89
6;145
7;42
8;20
9;4
10;16
11;37
12;58
13;89
14;145
15;42
16;20
17;4

gp > F(9)
1;81
2;65
3;61
4;37
5;58
6;89
7;145
8;42
9;20
10;4
11;16
12;37
13;58
14;89
15;145
16;42
17;20
18;4

nが一桁なら1(明らか),７だけが１に落ち着く。(逆に4が現れれば無限地獄)
数字の「７」が西洋において、一般的に幸運な数字として認識されていることから、
７がこの定義に合致して、7 分の１の確率でハッピー数が存在する、
(確かに10^7位までの存在確率は1/7に非常に近い。)という事実から、
ある意味で自然なネーミングといえるのかもしれない。
(でもLucky 7 とは言うがHappy 7　とは言わないな～)
そこで

(1)さてnが100までにはこのHappy numbersとなれるものは何？

(2)1000までの素数pで前のLucky numbersでもあり、このHappy numbersでもある
そんな素数pって何?

(3)実験してもらうと分かるがHappy numberとなれるnは飛び飛びに出現するが
　たまに連続するnで出現してくる場所もある。
　<例>
n=31==>10==>1
n=32==>13==>10==>1
そこでこの様に連続するnでHappy number の出現が見られる最小のnを
連続数3,4,5,6,7（上の例は連続数2のもの)
の各nを探してほしい。