x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない整数解
不定方程式 x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4 の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか計算した。
ここで、整数解(x,y,z,w)が自明であるとは、x=±z, y=±wを満たすことである。
1751644480712358022764610996849836207083^4+20018*2836129120602314244716197776197608652748^4=33243366941390782106221945784520622608077^4+20018*1386041370951376207830363394185229070526^4
15367057244614666558224860350174017451909172271746086680747743919490773596016910615730695495321308476791755354060638799636675911262278590232548181847377358057976078498217178358084373597254560536633502625152006659852526638677208412953662569616533076832082559887788107489251842179548490179324688246061022874018808491202447431369405898383881361998765375673351^4+20018*8180387748026547334342747144445783184821381371747939300439203724914617559465887366679925048688706793581247347412408059940943869630926512511157712079283704492399425509890751757779073211333030244973795310724523350841748837924220032265231699904336460892350164492608798541359228199768319967091748858259460526981570897914961042241566691435350240855292940457332^4=95625704196203883611468729137271898431950887288333762384063303458106961414202426405367541849325718819511342577899070245920031423161460490873504235658753424714996713958462697072546913478399575600534617246014236909284915479272330693668319267277277329550093807108698915915806649372706613296077750562477747896346043181989668812167029118554140809895002982116079^4+20018*4174822027338205680611658780660614508762615041108055951052489544846882104122863606709135299101235596913986835494685106590059258716609268127986266979511489031365014235260835013630042867655881037325354287706455721121383958391513209731642569483396646170966162385807527966245143892726332751230894280832994969880614652590031696024707004273650690516227570582986^4
...
先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。また、max{|x|,|y|,|z|,|w|}<=100000を満たす自明でない整数解(x,y,z,w)は存在しない。
x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない整数解を求める方法については、以下のURLにまとめているので、もし興味があれば、参考にしてください。
https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de50-20018.html
[2026.08.21]A^4+20018*B^4=C^4+20018*D^4の整点
Nakaoさんは以前から途轍もない大きな数を相手にいろいろ計算をされている様子ですが、
私は日頃数の世界から見ればほんの一部、海で言えば海岸に打ち寄せる浅瀬の水に対する
物だけを相手に遊んでいる程度です。
ですからこんな想像を超えてくる数字をみると恐怖さえ感じる感覚なのです。
ですからこれらが正しいのやら、どうなのかの余裕は全く湧いてこないのです。
所でこの頃想像を超える数の話でゲーベル数列というものをたまたま知ることになったのですが
a(0)=a(1)=1;
a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
の漸化式で{a(n)}を作り出していくのですが
1,1,2,3,5,10,28,154,3520,1551880,･･･････(A003504参照)
と定義式がnで割るようにはなっているのですが、それにも拘わらずこの様に整数が並んでいきます。
この先どうなるかと言えばたとえ計算機を使ったとしても、急激に数が巨大化していき、ものの15番目ぐらいでは
恐ろしく大きな値がしかしちゃんと整数できまってきます。
ついどこまでも巨大になっていくが整数であろうと勝手に想像してしまいます。
しかし現実a(43)までは整数だが、a(44)ではＮ/43 (Nは何と178485291570桁のある整数)
つまり分母に43が残る有理数となるという。
もちろんこれを具体的に計算の王様コンピュータで見ることは私たちには出来ないと思われます。
面に見えぬ大きさの数まで視野がとれれば、
日常では考えられぬ思わぬ出来事が起こってもおかしくない世界観起こるのでしょうが・・・
ところでいつも大きな数を相手にされているNakaoさんにぜひこのa(43)までは整数でa(44)は有理数にしかならないよ！
ということをPARIコード(楕円曲線の技を使いこなしてあるので多分熟知と思い)で作って貰えませんか？
> a(0)=a(1)=1;
> a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
この式だとa(3)=1/3*(1+1+4)=2になってしまいます。
（計算が合わないのでA003504を見たのですが）A003504では
a(n+1)=1/n*sum(k=0,n,a(k)^2) なので、a(n)=にするなら
a(n)=1/(n-1)*sum(k=0,n-1,a(k)^2) ですね。
x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の整数解が、本当に正しいのか、あるいは、間違っているのかは、Pari/GPやGoogle AIモードを使えば、一瞬で分かるはずだ。
あえて、間違った数式をここに投稿する意味は無いだろう。
異なる方法で、x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない(前回よりも小さい)整数解を求めた。
6024952034408244154677^4+20018*327901407351075242811^4=6272822028564689110027^4+20018*80031413194630287461^4
10715394633278845240166368299565623244683015152919602007935845671946915231352945064632481^4+20018*1221663305617509907342313057092900917274609429661104216378283154779464720512768231800319^4=13033368220045982546914929580674735403270983881336482128830631976385072961835340081450719^4+20018*1096310281149627399406248224016211241313359298755775904516503149658693009969626785017919^4
10105261490479126602185601826179263253592237573573096758520683843784768255097945985429679200055679560867795210829208505117160374975688954975195215770744844532831070658076832076933547577464757971147^4+20018*752292917296716478558237276241338986336740738222910458649406524355247625213321491339587360666114354800397210248924778567176914074385826394678689818580932296840911051910463055852624518882749992421^4=11281036167985289372629809177393625710003414925192367504282644050644655973177662958724292304671469783810739309099616027092215213533801010019784411766322192902572242473309529351629313524222050830197^4+20018*423481760209446291885970074973023470074436613396360287112553682504640092866395481955025743949675868142546888021482743407877924483726228649910506176996416072900260763322234218843141427874542866629^4
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....
先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。
