gcd演算で起こる現象
a(1),a(2),a(3),･････を1より大きい整数の無限数列とし
任意の正の整数nに対して
a(n+1)はgcd(a(n+1),a(i))>1 が各i=1,2,･･･,nに対し成立し
a(n)より大きい正の整数としてありうる最小のものとする。
このとき正の整数T,Lがあって、任意の正の整数nに対し
a(n+T)=a(n) + L
が成立するものが存在する。
例えば
a(1)=15とすると
a(2)=gcd(a(2),a(1))>1を満たせるa(2)>15での最小数よりa(2)=18が決まる。
次に
a(3)はgcd(a(3),a(1))>1 かつ gcd(a(3),a(2))>1 を満たすa(3)>a(2)での最小数
つまり
gcd(a(3),15)>1 かつ gcd(a(3),18)>1 かつ a(3)>18での最小数で a(3)=20
こうして各項の数列が決まっていくので
以下並べて見ると
{a(n)};15,18,20,24,30,36,40,42,45,48,50,54,60,66,70,72,75,78,80,･･･
隣接項差;3 2 4 6 6 4 2 3| 3 2 4 6 6 4 2 3| 3 2
するとT=8;L=30(45-15または周期内の項差の和<3+2+4+6+6+4+2+3>)をとっておけば
a(n+8)=a(n)+30 で
a(1+8)=a(9)=45 一方 a(1)+30=15+30=45
a(2+8)=a(10)=48 一方 a(2)+30=18+30=48
a(3+8)=a(11)=50 一方 a(3)+30=20+30=50
･････････････････
a(n+8)=a(n)+30の関係式がすべての正の整数nで成立していくことが起こる。
そこで各初項a(1)の値で決まっていく{a(n)}の数列で
a(n+T)=a(n) + L
が成立するT,Lの値はそれぞれ何になるか？
(調べてて双子素数の積の値が面白かったのでそれを採用します。)
[1]a(1)=35
[2]a(1)=143
[3]a(1)=323
[4]a(1)=899
