角の大きさ(52)
次の等式が成り立つ整数ａ、ｂの組(ａ、ｂ)を求めよ。
ただし、０＜ａ＜ｂとする。
ａｒｃｔａｎ((√３)/ａ)＋ ａｒｃｔａｎ((√３)/ｂ)＝π/６
A=arctan(√3/a)
B=arctan(√3/b)
と置くと
A+B=π/6
よって
tan(A+B)=tan(π/6)から
(tan(A)+tan(B))/(1-tan(A)*tan(B))=1/√3
(√3/a+√3/b)/(1-3/(a*b))=1/√3
3*(1/a+1/b)=1-3/(a*b)
3/(a*b)+3*(1/a+1/b)=1
3+3*(a+b)=a*b
12=(a-3)*(b-3)
0<a<bより
a-3＝1, 2, 3
b-3=12, 6, 4
これより求める(a,b)は
(a,b)=(4,15),(5,9),(6,7)
の3組
