x^4+n*y^4=z^4+n*w^4(n<20000)の自明でない整数解
n=19531のときの最小解は、max{x,y,z,w}<=200000の範囲の検索で、Seiji Tomitaのリストの通り、
428556^4+19531*173795^4=1837040^4+19531*134877^4
であることを確認しました。
[dqde4によるBrute-force-searchの実行ログ]
-bash-3.1$ time ./dqde4 19531 -m 2000000
--- Diophantine Equation A^4 + h*B^4 = C^4 + h*D^4 Search Started ---
Settings: h = 19531, N = 2000000, FILTER_MOD = 1360, HASH_MOD = 9999991, Verbose = OFF
[2/4] Computing and filtering (z^4 - x^4) / h...
Total nodes collected after filter: 56048688
[3/4] Creating hash index table...
[4/4] Generating y^4 - w^4 and performing main search...
428556^4+19531*173795^4=1837040^4+19531*134877^4
Found 1 solutions.
Search finished successfully.
real 202m16.883s
user 202m11.729s
sys 0m4.763s
私も少し前に19531の同じ解を確認していました。
No.3289追記群の続き
(追記 9月15日昼) 11354,17495,17977,19531が見つかりました。???の残りは以下の6個です。
9562, 15427, 15815, 18311, 18471, 19219
(追記 9月15日夜) 15815が見つかりました。???の残りは以下の5個です。
9562, 15427, 18311, 18471, 19219
(追記 9月16日未明) 18471が見つかりました。???の残りは以下の4個です。
9562, 15427, 18311, 19219
最小解の定義について、Seiji Tomitaの表
http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph222e.html
の先頭あたりをよく見ると、
Smallest: Min(A^4 + hB^4)
Search range: 19000<=h<20000, (A,B,C,D)<100000
When h is fourth power, it is excluded from searching.
???: Temporary smallest solution(found by using elliptic curve theory.
For details, see A^4 + hB^4 = C^4 + hD^4 Part 2.)
と明記してあります。
つまり、Seiji Tomitaは整数解(A,B,C,D)の大小を{A^4+h*B^4}の大小で定義しています。
Seiji Tomitaに報告するときは、max{A,B,C,D}による最小解□に加えて、(可能であれば){A^4+h*B^4}による最小解○も報告した方(検索範囲をぎりぎりではなく、少し広げる必要がある)が良いでしょう。
また、Mathematics Stack Exchange(MSE)サイトに、 A^4+n*B^4=C^4+n*D^4の整数解に関する質問の回答に、Seiji Tomitaの表よりも新しい最小解の情報(ただし、n<5000)が公開されています。MSEでは、最小解□と最小解○は区別されています。
今回確認できた最小解□も既知のものが多数あるようですが、n>=5000のデータは掲載されていません。最初に、MSEのデータを参照した方が良かったかもしれません。
参考URL(MSE)
https://math.stackexchange.com/questions/482523/is-the-quartic-diophantine-equation-a4nb4-c4nd4-solvable-for-any-integ/5147475#5147475
9月17日朝現在の進捗状況
「???付き」の中の未解決は9562,15427,18311,19219の4個まで減った後変わっていません。
9562は670万以上、15427は750万以上、18311と19219は650万以上で、引き続き調査しています。
その他、「???なし」の中で現在zの値が最大の12391(z=9262933)も調査していますが、
これも535万以上というところまで進んでいます。9262933が最小値の可能性も出てきました。
#「???なし」でz＞9262933であったものはすべて最小値を更新し、
# 最大でもn=12786のときの2316843となっています。
最小と判明しているものでz＞200万であるものは、現在のところ以下の5個です。
z=2316843(n=12786), z=2415743(n=16329), z=2634409(n=15815), z=3458429(n=18471),
z=4456855(n=9719)
今晩から2日間外出しますので進捗が確認できなくなりますが、調査は継続します。
また進捗があればここに追記します。
