x^4+12391*y^4=z^4+12391*w^4の自明でない整数解
x^4+12391*y^4=z^4+12391*w^4の自明でない整数解(0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。
90466648937086391259059297185193084050091312946125980758704088910495297251777975323207851434680776^4+12391*8142602303635299962102717733961825694546100150529741621468343508902157308723178436648590894259533^4=104847674163638723818116867505582489359999482936978006401213439568796106420388534546506448362394944^4+12391*2643166616278949457190460006330228287885027342609277610413669484823449567734740980825356801526093^4
48709213559441616604177832531061350990424761284046932274260633167526635198021653193116994383091494342312004535694446552^4+12391*3498707535113764288211321963110936228047984733207001052873372057595022578150643941483996807827368655879164976277722759^4=52297864943679398666795322527575334555612784422891020047422072156019995676344080608429963434126964532270733124308177216^4+12391*807218996935427741248204465725448554156967379073935223002292816225002219408823379999270019550766013410118534817424761^4
1072483274658779339159219501625994593863060277184942113679227135365900371281739518798914841006741848121479146178162523328338303298069701914330026871024639427868^4+12391*110158329813297834828431912686370865577693323761890086108919606450171842366153969732570352253099922305334754485702711384979648453391771595623136507566319493653^4=1306909860989638117220177836617351825025334463411720454522089171831657567064008960417695759635894540581513113144709000512352396739862032534271222807390123631956^4+12391*65661609934846248717286838557147057794012315908193669523226920899146054470548111481515336718764597039690720739207146503030921627952476369332760444707793659413^4
394545744594163206770983343561515266601539306530887318757592769804220900387197051914293832587905828247406260719029187181846056629905009018342211214594873063353676299413558709886499087078089656236152426267165664564572070797201796861137538254724777576964875181119167757236938556^4+12391*107622667586757326726237985650168672568839326727926285296646366786362988007268838822858605101173217201907586665111480947813323771930968180092507144991278652126914668645628781711985608464366073171231497403272788466388020359892020154302989840310074456540688973047902639726652467^4=677339207208802974114909645448512066898241997588011135416690813114765926200573749855119143564790654568203965584487719656380562171006059181471243606966533680687466679579874149744191171801213292921114739476114806609662904324424650072324077067650357584816188609679665300808255428^4+12391*104472429374222498781706740765078927653687691564916577197677165696545781352763684632760378131490402538690691983982418408087555383894819442254267149287466810873428116479107798181283455077976654342490237503439068067430104785525119754086914269384110549347796098372470517951835187^4
1858981671113633074403132526022287419317728885892604912472036915392479430293761734216898658717371894623240600078834076863380000572642642179329488563604029475842942810166060522663563735635470759021216601932355386639178775952355477928075915077238017906613382952393273159688659709237588471029423046539388501295315185374077875698517604288951613961286801692758618579314597322628290109520070648880398928^4+12391*994490633652297793056750386989415160018647528417808980827550309233705172055174115755746036260398732235565453600789698824970397816815941888211443143006145947005826895792899941676302291673169138025860395335878862020273320926463210449803610771042643060433953061411161703398670345564564278247619624923762637011912034590431533680418986102852272527376779213273258808784435859193511449648948187470525661^4=4499931731083024662737205791886181622683494202100132685958965741990127014822301500182570263467973477351743974807714686211077276205494182957161116805061599855114343426005744027257534865225386725964919411751356375981831461794341551436928697589828938603098040367414174884211545648391710526405069871931621223492202011299594202514305298951307768558827269225104284004685168315155467349061300554962403144^4+12391*986221911324745898193804562408505492505676458737836849287646310714530516341230708718507667302552454810812077445870758185802558907822713695162278038087031837447723566086862686769176055519267837181916712028371879986716193455026344681835976113400547461929539999854514589993494108801027263284115494120411904635753084853705711431421784893914843420778571435985990260243492385201871480006974242090977501^4
4434651598123377580922255080970004854475922917906937301416402290677489204701295536517228291540593391865819173552516253178120440955873001671832100168907798747642748526971808373230717382613737362926693975211985702341493934968695317281657516200750832405967418198196191280315387863143931011154492367567130950532000732592228905999908235802570072264270055216645259898131812836211145453369706710344218764^4+12391*373155940910275085297180988815336268369682125657163378760292279850403063794402113542795814571498855691297606297555420074068145776428857815319247576608117644317994095015612579348845301764081419113072615464106169788089896410713754430516031124243936030988420699719489565219981618147959496681437687675671496844370641881548501336504362568034329766583072047302383247238934128069372387146313024985862857^4=5003807980306143902121743046656172391765560647201698260608680130850462109164472207818561668007958111222193277560594274240876624932990538918540037552792747752301498938802229660776934924574821250253707625983240907962659453689188646866984669641812022344048383880654813329370033839585641730290721056796884022971110267466056559382771995960462321361699678243179247786261596780011068333343939255627930276^4+12391*53711345726799655602434985449289384597546171313907340633916100279326614552980389933204217779024683825982971708503095722998992206409295119711705461305594109176068713857203386310817854706731496382187622614335234427784242629656242758479333956551956422572303562124476971571002864183323542670733829246643307484961509273822238700643457550384857056489145222598107668858403829780569772834361383976920777^4
....
12391は、先程(x,y,z,w)=(8456197,681359,9262933,429569)が
最小解であることが確定しました。
これで「???」の残り4個の9562,15427,18311,19219を除き
他の最小解(max(x,y,z,w)が最小)(n≦20077)がすべて確定しました。
現在「式の値(=x^4+ny^4)が最小」である最小解を調べて
いるところなので、上記4個以外の最小解が確定したら
まとめて公表する予定です。
(追記)
9562は、今しがた
9868696^4 + 9562 * 410163^4 = 9938304^4 + 9562 * 65587^4
を発見しましたので、これが最小解であることを確認すれば確定です。
(確認には数日かかります)
らすかるさん
こちらも、20001<=h<=20077の範囲の小さい整数解は、"dqde4.c"によって既に計算済みです。
今、h=20078のときは、max{x,y,z,w}<=2000000では整数解が見つからなくて、現在、max{x,y,z,w}<=3000000で計算中です。とりあえず、h<=20100まで計算してみようと思っています。
もし、らすかるさんが、h>20000の範囲で、整数解を見つけることができなかったhがあれば、楕円曲線の有理点を使って、整数解を探してみるので、ぜひ、教えてください。
20100までは計算しました(除20078)。
20078は並行してゆっくり(∵他の探索を優先するため)探索中ですが、
5700000までにはなさそうでした。
※バグで見逃がしている可能性もありますので、引き続き計算して頂けるとありがたいです。
20100でやめたのは、20111で若干面倒なことがあるためです。
このことは後で書くつもりだったのですが、せっかくですので今書きます。
「面倒なこと」というのは「0を含めるかどうかの問題」です。
私は1≦x＜z, 1≦w＜yで計算していましたが(0は後で計算しても簡単なので)、
Seiji Tomita氏の計算結果には0が含まれているものが79個含まれていますよね。
しかしきちんと計算すると、0が含まれるものは195個になるはずです。
（うち11個は4乗数で最初から除外されていますので、実際は184個です）
どうも、2～5000は0を含めて計算していて、それ以上はほぼ0を含めずに
計算されているようです(5335,12595,12935の3個だけ0を含んでいます)。
というわけで、計算結果は(いずれも20100までで)
(1)「1≦x＜z,1≦w＜yでmax(x,y,z,w)=max(y,z)が最小である解」（複数ある場合はx^4+ny^4が最小のものを採用）
(2)「1≦x＜z,1≦w＜yでx^4+ny^4=z^4+nw^4が最小である解」（複数ある場合はmax(y,z)が最小のものを採用）
(3)「0≦x＜z,0≦w＜yでmax(x,y,z,w)=max(y,z)が最小である解」（複数ある場合はx^4+ny^4が最小のものを採用）
(4)「0≦x＜z,0≦w＜yでx^4+ny^4=z^4+nw^4が最小である解」（複数ある場合はmax(y,z)が最小のものを採用）
の4通りの表を別々に出そうと思っています。
20111の場合は
(1)(2)では (x,y,z,w)=(54,12,107,11)
(3)(4)では (x,y,z,w)=(5,1,12,0)
になると思います。
他の例では
84の場合は
(1)では (x,y,z,w)=(13,11,29,9) (13^4+84*11^4=1258405)
(2)(3)は(1)と同じ
(4)では (x,y,z,w)=(17,10,31,0) (17^4+84*10^4=923521)
260の場合は
(1)では (x,y,z,w)=(236,151,536,121) (236^4+260*151^4=138272300676)
(2)では (x,y,z,w)=(126,141,566,35) (126^4+260*141^4=103018129236)
(3)では (x,y,z,w)=(7,2,9,0) (7^4+260*2^4=6561)
(4)は(3)と同じ
のようになります。
現在、9562,15427,18311,19219について全力で探索中、
20078は「ゆっくり」探索中
(1)→(2)の変更点も「ゆっくり」探索中
なのですが、(1)→(2)の変更点が出揃った時点で
(15427,18311,19219,20078の解が見つかっていなくても暫定版として)公表する予定です。
らすかるさん
注意すべき情報を提供いただき、ありがとうございます。
最小値□と最小値〇の違いは認識しましたが、Seiji Tomitaの表に、0の扱いで、そのように微妙な仕様(条件)の差が含まれているとは全く気づいていませんでした。
もともとの目標は、Seiji Tomitaの表で、???付きの暫定最小解を参考にして、真の最小解を求めようということだったので、少なくとも、楕円曲線の有理点を使って求めた整数解では、0を含む整数解は除いて(実質的には除かれて)います。
そこ(0の扱いと更新データのまとめ)は、らすかるさんに全権委任します。
らすかるさんの貢献度が圧倒的に大きいので、Seiji Tomita氏への最終報告は、らすかるさんからしていただくのが妥当だと思います。
h=20078のき、 max{x,y,z,w}<=3000000の範囲では、自明でない整数解は見つからないことが確認できました。
-bash-3.1$ time ./dqde4 20078 -m 3000000
--- Diophantine Equation A^4 + h*B^4 = C^4 + h*D^4 Search Started ---
Settings: h = 20078, N = 3000000, FILTER_MOD = 1360, HASH_MOD = 9999991, Verbose = OFF
[2/4] Computing and filtering (z^4 - x^4) / h...
Total nodes collected after filter: 150901824
[3/4] Creating hash index table...
[4/4] Generating y^4 - w^4 and performing main search...
Found 0 solutions.
Search finished successfully.
real 425m0.549s
user 424m46.821s
sys 0m13.369s
x^4+12391*y^4=z^4+12391*w^4の別の自明でない整数解(0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。
718901034532286548723430458587047903777397151289239^4+12391*57451008357573276494993444645137467164876367078809^4=727061994739772229807032044735698076441939872261067^4+12391*56090848322992329647726513620362438387452580250171^4
108507614053875066581083493712865633588461755190996343969269992471395^4+12391*133293342027510367029707317699590327283678432380364538379760440212518^4=1366728374859625343076619603953901090348685131819110157497526007643823^4+12391*76410118106781345719548700673915582176358797057654430541615562316220^4
1411625406536963531039295242821235124570647918283769376516744024055405341729039751277217310778107^4+12391*821755213999580265894610795269375518179995503951438151227966443982501329922251102622005451153374^4=8578366234005402994696689513856698823995566655446340998771949100918482581479281230516287141036263^4+12391*372701590578492978048288249903201765057490952242323785814567735494678210036122477251172853889652^4
156256736172629294620718121293199569268388106111239903656479836534361231719816052997347706369482462611479479978867602908124643459422544438157367^4+12391*96000392843172828828056377093941687935667216833527089953012451806485158061320169106476477610106854092841122218015239685309435898843416557669578^4=1000823887766598033540929425648619669485246495307590087491155694930086502788250452727183840171158698525117713245512339885865994051471756872780371^4+12391*44760799089155294325312173631961662100475848032531274019433524592802387116752230848496211356839185226098583326425549810980789199831452181434256^4
2062618299573624232658125245931015178923662518713948160344452257439223673293298204867901732057353473700815584907901282375010793680585041140446165305009632051261163527263302114218919418056065869733168979732^4+12391*350317150619006443840590502313762078485205050933902626332517037230861457672760653994117521390785336993634026115619624464578430975583077821316570775583871832495365017906968709917263966965975555397100492151^4=2133746002232724025069100838931024232135874457434982630109194080922316674826476060466454598760390085942795192540961136927633610183491976674785193879595558248310794794134539308878551962511822393414758061056^4+12391*349076899682051599113947178496577823358051111757585838743090685829395267013868390228275200412171922946967770125857445419195636335096425147888655755183659884099961368992671527265647929795339155127554014647^4
289914283469733560115164798311638199604763182604163874105488246336603646746184040071350777878201176306979497164282835044557927893465784911964966865450575242073432120859040017778849825965811424502017141129698966709447831652199^4+12391*401509801702304538187848500651738992694851062707385540404367881860408145124919014910167226454322233307845996560958069641767103703035864469219870531320728913560811895172620294689259745616965647427829353168841723780259106370114^4=4106852152108904135714832702427422169676331402910278590132247816522293965205735203255188100423543029118313524515919531245538675094531881355580718737137928447628967071400138306979330539870318217477475543676102854142016717017219^4+12391*234646509737557224412096150034225002317076974010300245600092046503873574618339512287138993969901408827376341330981379725063020830475151604716088113960496620698443929917562753510820373367118818068080380588892257458502374524056^4
16234335126153905708410689831063421604403951305063445916514157281460011455770450773977433977444982795487653051355292362630133832365381986822344369661900424218931124117270939644832561028338051203512889774174902395042851819020492286714900705152874979732514902370924484153237693074067^4+12391*1730136839304938321396159962200371805581510458359327099393687616086911230467606821708596600894616229503601469174502003223875492552961762620304255839391859366128586499506169639223000478735245624248622650540594754794752333269172657885184241148048170560398155446362844991722968481495^4=20101674015145462955403683949785781293548242224305187933177072515079071559365558715923031337761922080173217527493486573529112092824258180436183896846552690419435474526976167627687846208007793627036074363313279631334158922880237765433847251260783694670095303217490801469261071081455^4+12391*1085580357806345446897327609079978524057461971819036763283201743817067879868422164717663707508459682056007389818136301407379115809815730351331001308616481666044528097888631642080452948790288553661425219017531882079534482625881744765359816796730051404134755305268458772385738813597^4
15874375355783090673656668327163242130253209346987708696186243275442427769808265260424939088299695508597698341092854544314945893412528273119328585429643068419120131314098633198398306975885370330760769870926271987995387319938268965729193075520014110369361106349765436811246300439952714^4+12391*3240987771633554020647641323061665755078769543272630672206517428897510064782816946990587723643782493291881864469005507040360001099270388252902262816375486251313015545135980986726570418434082832105940458221769133120253604833047340095334589232520645330848674838783165326225907530754929^4=22323906240307374289317521344634347161084862910209572160032884397559229498463831451745074530941449873797380116755319198420221970719837990356513180023555382082914154439852981912861836753667970686057299442580477627764406902808927934984710463512442694693297835264773209900462337965736322^4+12391*3125392494381523473181390288904599126810909166260249470496670516602766146595865838371081212896408403773964545172356783415501309589457322326404698092490922165692698747189288198483453536491474004030404427362689136173045432291485476690316000606222155512927815430306609125725532203526577^4
....
