極限値５
次の極限値を求めよ。
ｌｉｍ(ｘ→0){(ｔａｎ(３x))^２/(１－ｃｏｓ(２ｘ))}
出典：２０２６年 学習院大学理学部
tan(x)=tと置くと
tan(3*x)=tan(x+2*x)=(tax(x)+tan(2*x))/(1-tan(x)*tan(2*x))
tan(2*x)=2*tan(x)/(1 - tan(x)^2)
と組合わせると
tan(3*x)=(3*t - t^3)/(1 - 3*t^2)
また
cos(2*x)=cos(x)^2-sin(x)^2=(cos(x)^2-sin(x)^2)/(cos(x)^2+sin(x)^2)=(1 - t^2)/(1 + t^2)
これから
(ｔａｎ(3*x))^2/(１－ｃｏｓ(2*x))=((3*t - t^3)^2/(1 - 3*t^2)^2)/(1 - (1 - t^2)/(1 + t^2))
=(t^6 - 5*t^4 + 3*t^2 + 9)/(18*t^4 - 12*t^2 + 2)
ここにx-->0ならt-->0より
(t^6 - 5*t^4 + 3*t^2 + 9)/(18*t^4 - 12*t^2 + 2)-->9/2
以上から
lim(x->0){(ｔａｎ(3x))^２/(１－ｃｏｓ(2x))}=9/2
分子は
9*(x^2)*(tan(3*x)/(3*x))^2
と変形。
分母は
2*(x^2)*(sin(x)/x)^2
と変形。
約分すると
(9*(tan(3*x)/(3*x))^2) / (2*(sin(x)/x)^2)
x→0 のとき、
(sin(x)/x)→1,
tan(3*x)/(3*x))^2→1
となるので
全体→9/2
とするのは乱暴なのですかね？
