素数にこだわって
5*31*x+11*31*y+5*11*z=1
を満たす整数(x,y,z)は多数存在するが、いずれも -100<x,y,z<100
で素数となっている組(x,y,z)は如何なるものがあるか？(マイナスの符号をとれば素数の意)
コンピュータによる検索ではなく、あくまで理詰めの作業により追いつめて下さい。
5x+11y=Aとおくと31A+55z=1
31×2=62≡7(mod55), 7×8=56=1(mod55)なので31×16≡1(mod55)とわかり、
(31×16-1)÷55=9なので(A,z)=(16,-9)が解の一つ
|z|＜100の範囲で(55,-31)を足し引きしていくと
(126,-71),(71,-40),(16,-9),(-39,22),(-94,53),(-149,84)となるので
|z|が素数という条件を満たすものは(A,z)=(126,-71),(-94,53)の二つ
A=126のとき5x+11y=126
(x,y)=(1,11)が解の一つなので|x|,|y|＜100の範囲で(11,-5)を足し引きすると
(-98,56),(-87,51),(-76,46),(-65,41),(-54,36),(-43,31),(-32,26),(-21,21),(-10,16),
(1,11),(12,6),(23,1),(34,-4),(45,-9),(56,-14),(67,-19),(78,-24),(89,-29)となるので
|x|,|y|が素数という条件を満たすものは(x,y)=(-43,31),(67,-19),(89,-29)
よって解は(x,y,z)=(-43,31,-71),(67,-19,-71),(89,-29,-71)
A=-94のとき5x+11y=-94
(x,y)=(1,-9)が解の一つなので|x|,|y|＜100の範囲で(11,-5)を足し引きすると
(-98,36),(-87,31),(-76,26),(-65,21),(-54,16),(-43,11),(-32,6),(-21,1),(-10,-4),
(1,-9),(12,-14),(23,-19),(34,-24),(45,-29),(56,-34),(67,-39),(78,-44),(89,-49)
|x|,|y|が素数という条件を満たすものは(x,y)=(-43,11),(23,-19)
よって解は(x,y,z)=(-43,11,53),(23,-19,53)
従ってまとめると、条件を満たす解は
(x,y,z)=(-43,11,53),(-43,31,-71),(23,-19,53),(67,-19,-71),(89,-29,-71)の5組。
