フェルマーを越えて
フェルマーの大定理から
自然数では
x^n+y^n=z^n (n=3,4,5,･･･)
を満たす自然数の組(x,y,z)は全く存在できないことを教えてくれる。
しかし数学の世界では複素数なるものの存在抜きには考えられなくなっており
目をその世界まで広げてみてみれば
(9 + √23*i)^3 + (9 - √23*i)^3 = 6^3
(16 + √2*i)^3 + (16 - √2*i)^3 = 20^3
或いは複素数まで広げないまでも
(9 + √5)^3 + (9 - √5)^3 = 12^3
(378 + 357*√2)^3 + 127^3 = (451 + 306*√2)^3
など平気で成立させていく。
そこで今z1,z2を複素数とすれば
(1)z1^3 + z2^3 = 2^3
(2)z1^4 + z2^4 = 2^4
(3)z1^5 + z2^5 = 2^5
(4)z1^7 + z2^7 = 2^7
の関係式が成立するものはそれぞれ何かを探してほしい。
(1) 2^3+0^3=2^3 などという自明な解を除いて、１つ解を見つけました。
一つの例として、（２＋√（２/３）ｉ）^3＋（２－√（２/３）ｉ）^3＝２^3
解は無数にあると思われます。
何でもありなら
(1)z1=z2=[3]√4
(2)z1=z2=[4]√8
(3)z1=z2=[5]√16
(4)z1=z2=[7]√64
などの全く面白くない解がありますね。
(追記)
これも面白くないですが、一般解も書けますね。
(1)(z1,z2)=(t,[3]√(8-t^3))
(2)(z1,z2)=(t,[4]√(16-t^4))
(3)(z1,z2)=(t,[5]√(32-t^5))
(4)(z1,z2)=(t,[7]√(128-t^7))
皆さん勿論正解なんですが、意外性を考慮して一応次のようなものが成り立つことが起きました。
(4 + √5*i)^3 + (4 - √5*i)^3 = 2^3
(1 + √7*i)^4 + (1 - √7*i)^4 = 2^4
(1 + √3*i)^5 + (1 - √3*i)^5 = 2^5
(√(9 + √5)/√3)^6 + (√(9 -√5)/√3)^6 = 2^6
(1 + √3*i)^7 + (1 - √3*i)^7 = 2^7
他にも
(4 + √109)^3 + (4 - √109)^3 = 14^3
(1 + √457)^3 + (1 - √457)^3 = 14^3
(36 + √89*i)^3 + (36 - √89*i)^3 = 42^3
((-1 + √3*i)/2)^p + ((-1 - √3*i)/2)^p = (-1)^p (ｐ≡0 (mod 3)でない任意の自然数)
etc
なお平方では
(9 + √17)^2 + (9 - √17)^2=
(5 + √73)^2 + (5 - √73)^2=
(3 + √89)^2 + (3 - √89)^2=
(1 + √97)^2 + (1 - √97)^2= 14^2
などが成立していく。
もっと意外性を感じるものを見つけられたらお教え下さい。
