😊出会いの泉😊

外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
……のうち最小のもの？（自信なし）

設問を読んだ瞬間に
「きっと対角線の長さがすべて整数なんだろうな」
と思って確認したらその通りでした。
見事ですね。

私の予定回答はりらひいさんの通りですが、
DD++さんが書かれたことも気になって調べました。
その結果、
「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
……のうち最小のもの」
は「外接円の半径8、辺の長さ9,9,8,8,8,2,2,2の八角形(辺は順不同)」
でした。
# これは半径が最小のもののうち、最長辺が最小であるものです。
# 半径8の解は3つあり、半径が最小のもののうち、面積が最小ならば別の解になると思います。

ただし、「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が自然数で、
対辺がそれぞれ平行であるもののうち最小のもの」であれば
最初に書いた半径65の八角形になります。

なるほど、「平行八角形」なら正解でしたか……。

ところで、辺の長さが 33,25,16 ではなく全て2倍してあるのはどういう意図だったのでしょう？
私はそこに違和感を覚えて、奇数の長さになっている線分すなわち半径が整数となっていることが何か重要なんだろうなと思っていたのですが……単にそういう八角形を探す方法上での都合でしたか？

単なる探す時の都合です。
x^2+y^2=65^2上の点として
(63,16),(33,56),(-33,56),(-63,16),(-63,-16),(-33,-56),(33,-56),(63,-16)
の8点をとり、それぞれの点間の距離を計算していたので
結果的に偶数になりました。
半径を除けば、対角線の長さも含めてすべて偶数だったので
1/2にすることもできるな、と後で思いましたが、
1/2にしてしまうと座標で書くときとか外接円の方程式とかで
少し不便になりますので、そのままにしました。

「どの3点も一直線上にないn点があり、どの2点間の距離も整数」のnに上限があるか？
というのを考えている途中経過なのですが、こういう八角形があることを考えると
上限はなさそうな気がしています。
（ただし点が増えると爆発的に長さの値が大きくなる気はしますが…）

なるほど、そういう研究の過程でしたか。
半径に制限をつけなければそのような点を同一円周上に無限に取れると思います。
任意の隣り合う頂点の間の中心角が「その半角の sin も cos も有理数になるような角度」になるように点をとっておけば、どの頂点間の中心角も「その半角の sin も cos も有理数になる角度」なわけですから、単位円周上で任意の2点間の距離が有理数になるような点を好きなだけ取れます。
ぐるっと回って戻ってきた最後の1個の中心角も条件を満たすのか、という点に関しても、全ての中心角の合計が 2π であることから問題なし。

理論的な裏付けをありがとうございます。
とりあえず、半径243061325の円に内接する192角形で
すべての辺と対角線が整数になる具体値（192個の座標）までは出しました。
裏が取れたことでこれ以上進めても無意味なので、終了することにします。

> 「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
> ……のうち最小のもの」
> は「外接円の半径8、辺の長さ9,9,8,8,8,2,2,2の八角形(辺は順不同)」
> でした。
> # これは半径が最小のもののうち、最長辺が最小であるものです。
> # 半径8の解は3つあり、半径が最小のもののうち、面積が最小ならば別の解になると思います。

八角形にこだわらなければ
半径をいろいろ変化させると、それに内接するものがいろいろ作れていくのが面白いですね。（対角線の長さは無視です。）
例えば半径を8としたら
8が等しい2辺に対し残る一辺の長さが4,11,14の二等辺三角形をそれぞれ1,1,2個で埋めると8の円に内接する四角形が納まる。
また残る一辺の長さが4,8,14の二等辺三角形なら2,3,1個で内接する六角形が納まる。(8を6個使えばこれも内接しているが･･･)

半径を9とするとこれに内接する六角形を
残る一辺長(2,9,12)->(1,3,2)個
(3,9,17)->(2,3,1)個
(6,9,14)->(2,3,1)個
当然　　　(9) ->6個

以下同様
円の半径=>残り一辺：個数
12=> 6;12;21 :2;3;1 (内接六角形)
13=> 1;22;23 :1;2;1 (内接四角形)
13=> 10;13;24 :1;3;1 (内接五角形)
13=> 1;13;22 :2;2;2
14=> 4;22;26 :1;2;1
14=> 14;22;26 :2;1;1
16=> 8;22;28 :1;1;2
16=> 4;24;31 :1;2;1
16=> 17;22;28 :1;2;1
16=> 7;16;20 :1;3;2
16=> 4;16;31 :2;3;1
16=> 8;16;28 :2;3;1
16=> 12;16;23 :2;3;1
16=> 4;16;18 :3;3;2
16=> 4;18;31 :5;2;1
17=> 16;17;30 :1;3;1
18=> 4;18;24 :1;3;2
18=> 6;18;34 :2;3;1
18=> 12;18;28 :2;3;1
19=> 11;26;37 :1;2;1
19=> 11;19;26 :1;4;1
19=> 19;26;37 :2;1;1
19=> 11;19;26 :2;2;2
20=> 10;20;35 :2;3;1
･････････････････
3タイプの二等辺三角形に限っての調査しかしなかったので、もっとタイプを増やして
いけばまた違った埋め方が出てくるのでしょうね。

なお半径10,11では適当なものが見つからなかったのですが,見落としですかね？






　　　　　　

10=> 10;12;16 :3;1;1
13=> 1;13;22 :1;4;1
13=> 13;22;23 :2;1;1
14=> 4;14;22 :2;2;2
15=> 15;18;24 :3;1;1
15=> 3;14;25 :2;2;2
15=> 14;19;25 :1;1;2
とかあるのでは？

# 11は3タイプには分けられないようです。