平面と直線のなす角
ちょっと確認したいことがあるので、空間図形に詳しい方、回答お願いします。
xyz 空間内に
直線 l : y = √3*x, z = 0
平面 P : xz 平面
があるとき、直線 l と平面 P がなす角はどれですか？
(1) π/3 (60°)
(2) π/6 (30°)
(3) π/3 (60°) と定義する場合もあるし、π/6 (30°) と定義する場合もある
(4) そもそも「平面と直線のなす角」に一般的に浸透している定義が存在しない
質問の意味としては「直線と平面のなす角」とは定義上どこを指すのでしょうか、という話です。
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(12:28) 追記
2 択じゃない方がいい気がしたので選択肢に (3)(4) を増やしました。
(1)だと思います。
平面と垂直な直線が「法線」と定義されていますので、法線と平面のなす角は90°であり、
それから考えるとlとPのなす角は60°と考えないと矛盾が生じてしまうと思います。
（これ以外の定義は見たことがありません）
30°は「平面Pの法線と直線lのなす角度」のように言うと思います。
ありがとうございます。
やっぱり (1) でいいですよね。
ところが、先日ある場所で出会った問題に、以下のように書いてあったんです。
「ただし直線が平面に含まれるとき、両者のなす角は π/2 とします。」
実際に解く上では無関係な注釈だったので、誤植かと思って (1) の定義に従って私は解きました。
が、模範解答もどうやら (2) の方を採用している様子。
私が定義を勘違いしているのか、それとも「0 を自然数に含むか問題」のように定義が何種類かあるのか、と思って質問した次第でした。
しかし、うーん、結局どういうことだったんだろう。
> 「ただし直線が平面に含まれるとき、両者のなす角は π/2 とします。」
この文だけだと何とも言えないですね。例えば
平面Pの法線nと平面Pとの交点をOとし、Oを通るある直線と法線のなす角度をθとします。
「ただし直線が平面に含まれるとき、両者のなす角は π/2 とします。」
だとしたら「両者」が「直線と法線」を指している可能性が高いです。
もしそうであれば(1)と矛盾しませんね。
管理人さんも、調べてくださってありがとうございます。
問題文全体がないと判断しかねる感じのようなので、議論の資料とする目的で、著作権法第32条に基づいて公表された著作物の引用をします。
記事の方に転載するかどうかは管理人さんの判断に委ねます。
なお、掲示板に書く都合上、
・分数の表記方法
・全角と半角（印刷では区別がつかないため）
・アルファベットの書体
がやむを得ず変更されています。
-----引用ここから-----
問題3. xyz 空間において 2 点 ( 3, -6, 2 ), ( -11, -4, 6 ) を通る直線を l, 方程式 5x-3y+4z-11=0 で表される平面を P とします。
l と P のなす角をθ ( 0≦θ≦π/2 ) とするとき, cosθ の値を求めなさい。ただし, 直線が平面に含まれるとき, 両者のなす角は π/2 とします。
-----引用ここまで-----
（第406回 実用数学技能検定 1級 1次:計算技能検定 (c) 日本数学検定協会 より引用）
模範解答は 1/√3 だそうです。
答えが間違っているとしか言いようがないですね！
どちらかというと「問題が間違っている」ような気がします。
「直線が平面に含まれるとき, 両者のなす角は π/2 」って、どこの角度のことを言っているのか意味不明です。
（直線と「平面の法線」の角度のことを言っているのかな？と予想はできますが。）
「平面とその法線のなす角度がπ/2」が多くの人の共通認識だと思います。
問題も答えもおかしいと思うのが私だけでなくてよかったです。
数検ってこういう場合採点どうなるんだろう。
数検の結果の詳細が届きました。
√6/3 は不正解になっていました。
合格者正答率がこの問題だけ異様に低いので、私と同じように戸惑いながらも通常の定義に従って解いた人が多かったんでしょうね。
これのせいで 1 点とか 0.5 点足らなかった人がいたらかわいそう……。
