😊出会いの泉😊

[DD++さんの提示された関係式]
gp > for(n=1,10,print(n";",\
sum(k=0,n,binomial(n,k)*(k+1)^(k)*(n-k+1)^(n-k-1)), " VS ",(n+2)^(n)))
1;3 VS 3
2;16 VS 16
3;125 VS 125
4;1296 VS 1296
5;16807 VS 16807
6;262144 VS 262144
7;4782969 VS 4782969
8;100000000 VS 100000000
9;2357947691 VS 2357947691
10;61917364224 VS 61917364224

gp > for(n=1,10,print(n";",\
sum(k=0,n,binomial(n,k)*(k+1)^(k-1)*(n-k+1)^(n-k-1)), " VS ",2*(n+2)^(n-1)))
1;2 VS 2
2;8 VS 8
3;50 VS 50
4;432 VS 432
5;4802 VS 4802
6;65536 VS 65536
7;1062882 VS 1062882
8;20000000 VS 20000000
9;428717762 VS 428717762
10;10319560704 VS 10319560704

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[りらひいさんが提示された針刺し総数漸化式]
をメモ化して出力したもの
gp > F(n)=if(n<2,1,\
sum(i=0,n-1,binomial(n-1,i)*memorize(F,i)*(i+1)*memorize(F,n-i-1)));
gp > for(n=0,10,print(n+1";",F(n)," VS ",(n+1)^(n-1)))
1;1 VS 1
2;1 VS 1
3;3 VS 3
4;16 VS 16
5;125 VS 125
6;1296 VS 1296
7;16807 VS 16807
8;262144 VS 262144
9;4782969 VS 4782969
10;100000000 VS 100000000
11;2357947691 VS 2357947691

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その他で似た等式を構成させたものを集めてみた。
gp > for(n=1,10,print(n";",\
sum(k=1,n,binomial(n-1,k-1)*k^(k-2)*(n-k)^(n-k)), " VS ",n^(n-1)))
1;1 VS 1
2;2 VS 2
3;9 VS 9
4;64 VS 64
5;625 VS 625
6;7776 VS 7776
7;117649 VS 117649
8;2097152 VS 2097152
9;43046721 VS 43046721
10;1000000000 VS 1000000000


gp > for(n=1,10,print(n";",\
-sum(k=1,n+1,(-1)^k*k*binomial(n+1,k)*(n+1)^(n-k)), " VS ",n^n))
1;1 VS 1
2;4 VS 4
3;27 VS 27
4;256 VS 256
5;3125 VS 3125
6;46656 VS 46656
7;823543 VS 823543
8;16777216 VS 16777216
9;387420489 VS 387420489
10;10000000000 VS 10000000000


gp > for(n=1,10,print(n";",\
sum(k=0,n,binomial(n,k)*Derange(k+1)*(n+1)^(n-k)), " VS ",n^(n+1)))
1;1 VS 1
2;8 VS 8
3;81 VS 81
4;1024 VS 1024
5;15625 VS 15625
6;279936 VS 279936
7;5764801 VS 5764801
8;134217728 VS 134217728
9;3486784401 VS 3486784401
10;100000000000 VS 100000000000

ここにDerange(n)；1～nの数字での完全順列の個数を示す。(derangement)
こんなにも似ても似つかぬものが同じ数列を構成するとは驚きです。