微分
例えば「定義域が有理数全体である関数f(x)=x^2」は微分不可能とされていると思いますが、
これはxを有理数上で動かして極限をとることで微分可能と定義しても問題ないように思います。
（一般には、有理数でなくても稠密であればよい）
なぜ微分不可能と定義されたのでしょう？
# どこかのサイトに「無理数のときに別の値を定義すると微分不可能になるから」と
# 書かれていましたが、これは「tan(π/2)=0と定義するとtanが微分不可能になる」と同じなので
# あまり理由にならないと思います。
少し考えてみましたが、そもそもの問題は「有理数のみとる変数で極限を考えてよいかどうか」なのではないでしょうか。
そして、それが NO であるため、「極限が定義できない→連続性の判定ができない→連続関数でないのだから当然微分不可能」という理屈になっているのではないかと思います。
というのも、仮に有理数のみとる変数の極限を考えてよいことにすると、中間値の定理やら最大値最小値の定理やらその他諸々の定理がゴッソリ不成立になってしまうんですよね。
きちんと断った上で有理数変数の極限を導入すれば何かそういう理論体系もできそうですが、失うものの大きさのわりにメリットはほとんどなさそう。
回答ありがとうございます。なるほど、確かにいろいろ問題がありそうですね。
すると、もしやるとしたら別の名前で異なる理論として体系を作らなければならなそうですが、そういうものを見たことがないことから、体系を作っても使いようがない、ということなのでしょうね。
