平方数をつくる その２
DD++様、こんにちは。
「二項定理の不思議」より
＊＊＊＊＊＊＊＊
(4)式より、
(1+1)^n=1^n +nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
(2+1)^n=2^n +nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
(3+1)^n=3^n +nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
(4+1)^n=4^n +nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
(5+1)^n=5^n +nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
・
(r+1)^n=r^n +nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
・
+) (a+1)^n=a^n +nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
は、
(1+1)^n-1^n= nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
(2+1)^n-2^n= nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
(3+1)^n-3^n= nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
(4+1)^n-4^n= nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
(5+1)^n-5^n= nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
・
(r+1)^n-r^n= nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
・
+) (a+1)^n-a^n= nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
---------------------------------------------------------------------------------
(a+1)^n-1^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a
(a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
ところで、nが素数ならばnCsは常にnの倍数であるから
(a+1)^n=nB+(a+1)---(6)
ただし、nB=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
＊＊＊＊＊＊
ここで、
(a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
nが合成数なら、nCsは常にnの倍数にならないから(ただし0<s<n)
(a+1)^n-(a+1)≠nB---(6)'
したがって、
nが素数のときだけ
(a+1)^n=nB+(a+1)
(a+1)^n-(a+1)=nB
α^n-α=nB （ただしα=a+1 )
が成り立つ。
編集済み
「n が素数のときに成立する」は正しいですよ。
しかし、それは「n が合成数のときは不成立である」かどうかには直接関係がなく、そう主張したいなら別途証明が必要です。
反例、おいときますね。
561 = 3*11*17 は合成数です。
N^561 - N = ( N^3 - N ) * ( N^558 + N^556 + …… + 1 )
において、3 は素数なので N^3 - N は 3 の倍数、N^558 + N^556 + …… + 1 は整数です。
したがって、N^561 - N は 3 の倍数です。
N^561 - N = ( N^11 - N ) * ( N^550 + N^540 + …… + 1 )
において、11 は素数なので N^11 - N は 11 の倍数、N^550 + N^540 + …… + 1 は整数です。
したがって、N^561 - N は 11 の倍数です。
N^561 - N = ( N^17 - N ) * ( N^544 + N^527 + …… + 1 )
において、17 は素数なので N^17 - N は 17 の倍数、N^544 + N^527 + …… + 1 は整数です。
したがって、N^561 - N は 17 の倍数です。
以上より、N^561 - N は 561 の倍数です。
DD++様、おはようございます。
かんたんにN^33-Nを見てみましょう。33=3*11ですね。
(%i1) factor(N^33-N);式の因数分解せよ
(%o1)(N - 1) N (N + 1) (N^2 + 1) (N^4 + 1) (N^8 + 1) (N^16 + 1)
33もN^11はありませんね。因数分解は一通りしかできませんので、これ以外ないはずです。
ご指摘の反例は不適当だと思います。
(%i2) factor(N^561-N);式の因数分解せよ
(%o2) (N - 1) N (N + 1) (N^2 + 1) (N^4 + 1) (N4 - N^3 + N^2 - N + 1)
(N^4 + N^3 + N^2 + N + 1) (N^6 - N^5 + N^4 - N^3 + N^2 - N + 1)
(N^6 + N^5 + N^4 + N^3 + N^2 + N + 1) (N^8 + 1) (N^8 - N^6 + N^4 - N^2 + 1)
(N^12 - N^10 + N^8 - N^6 + N^4 - N^2 + 1) (N^16 - N^12 + N^8 - N^4 + 1)
(N^24 - N^20 + N^16 - N^8 + N^4 - N + 1) (N^24 - N^23 + N^19 - N^18 + N^17 - N^16 + N^14 - N^13 + N^12 - N^11 + N^10 - N^8+ N^7- N^6+ N^5 - N + 1)
(N^24 + N^23 - N^19 - N^18 - N^17 - N^16 + N^14 + N^13 + N^12 + N^11 + N^10- N^8- N^7 - N^6- N^5+ N + 1) (N^32 - N^24 + N^16 - N^8 + 1)
(N^48 - N^40 + N^32 - N^24 + N^16 - N^8 + 1)
(N^48 + N^46 - N^38 - N^36 - N^34 - N^32 + N^28 + N^26 + N^24 + N^22 + N^20- N^16 - N^14 - N^12 - N^10 + N^2 + 1)
(N^96 + N^92 - N^76 - N^72 - N^68 - N^64 + N^56 + N^52 + N^48 + N^44 + N^40 -N^32 - N^28 - N^24 - N^20 + N^4 + 1)
(N^192+ N^184- N^152- N^144- N^136- N^128+ N^112 + N^104+ N^96 + N^88 + N^80- N^64 - N^56 - N^48 - N^40 + N^8 + 1)
となり、561もありませんし、3,11,17もありません。
私は「561 の場合に例外的な現象が発生する」と言っているのになぜ無関係な 33 の話を始めたのですか？
私は 33 も例外だなんて一言も言っていませんが。
＞nが合成数なら、nCsはsにかかわらず常にnの倍数にならないから(ただし0<s<n)
(a+1)^n-(a+1)≠nB
ここで、nが合成数なら、α^n-α≠nBと右辺にはn出てきませんことは、証明済みですよ。
ああ、そんな数行が挟まってましたか。
誤り1：
「nが合成数なら、nCsはsにかかわらず常にnの倍数にならない」は偽です。
反例は、6C1 = 6 や 9C4 = 126 などいくらでも。
誤り2：
n の倍数でない数の合計が n の倍数でない数になる保証はありません。
反例は、n=4 に対し、4 の倍数でない 3 と 5 の和は 4 の倍数です。
nCsで、s=1から、s=n-1まで、すべてｎの倍数でないと、右辺はnでくくれません。
6C1は、そうかもしれませんが６C2、６C3,６C4,６C5はどうですか？
6C1=2x3
6C2=3x5
6C3=2^2x5
6C4=3x5
6C5=2x3
>(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
右辺は、n=6でくくれないでしょう？
3+5 は 4 でくくれなくても 4 の倍数です、という話をしているのですが。
＞n の倍数でない数の合計が n の倍数でない数になる保証はありません。
反例は、n=4 に対し、4 の倍数でない 3 と 5 の和は 4 の倍数です。
(a+1)^n-(a+1)=nAの話で、n合成数の場合、
>(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
にいおいて、nCsがみなnの倍数にならないので、右辺はｎでくくれないとなるわけですが、その話とどこにかかわりがあるのでしょうか？
私は、代数計算の話をしているのです。整数計算ではありません。
うんざりはちべえさん、こんにちは。
＞ここで、nが合成数なら、α^n-α≠nBと右辺にはn出てきませんことは、証明済みですよ。
ｎでくくれなくても右辺がｎの倍数になる可能性はありますよね。
壊れた扉様、こんにちは。
>(a+1)^n-(a+1)=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
において、①、②、③、・・・(n-1)は、変数なので、代数計算上不明な値です。そこでnCsに注目しているわけです。
＞ｎでくくれなくても右辺がｎの倍数になる可能性はありますよね。
それは、数値計算上否定できませんが・・・・・
（ただし、N^561-Nが因数分解できたように、因数分解できるはずです。）
でも、代数計算でそれを示すことはできますか？nCsは、中心対称な関数ですから、折り返すとnが偶数なら、2が出てきますけどnにはなりません。
＞ｎでくくれなくても右辺がｎの倍数になる可能性はありますよね。
そうか、これに対しては、ｎが合成数なら、因数分解できることを証明し、nとその約数を持たないことを示せばいい？
もともと
N^p-N=級数の和
だから、級数がなければ、ほんすじから外れる。しかも、級数の一般式のxNの係数がpでなければならなかったんだ。
そこに戻ればいい。
編集済み
n についての代数的計算だというなら、n が素数か合成数かに関係なく、常に nCs は n の倍数ですよね。
例えば s=3 の場合、nC3 = (1/6)n(n-1)(n-2) は n*整式になっているのですから。
今までのはちべえさんの主張と真っ向から矛盾する主張です。
はちべえさんは、自分の主張が正しいか誤りかという数学に最も必要な視点が全く欠けていて、自分の主張が正しいということにするため場当たり的にゴネているだけのように見えます。
発言するごとに前の自分の発言と矛盾することを言うようでは話になりません。
まずはちゃんと数学の世界に来て、きちんと議論の舞台に上がってきてください。
＞はちべえさんは、自分の主張が正しいか誤りかという数学に最も必要な視点が全く欠けていて、自分の主張が正しいということにするため場当たり的にゴネているだけのように見えます。
いや、生みの苦しみと表現してもらったらよかったです・・・
誤っていることをゴリ押しで正しいことにしようとするのは「生み」ではなくただの「妄言」ですね。
A＝BならばCである。 ｎが素数ならば a^n-a=ｎAがなりたつ。
否定｛（A＝B）}ならばCでない。 ｎが合成数ならば a^n-a=ｎAがなりたたない。
はちべえさん。
少し落ち着いて。お願いします。
投稿にあたり、下書きを用意して１日寝かしておいてから、再度自身の下書きを読みなおしてください。それだけでもだいぶ違いますよ。
「A＝B ならばCである」の否定は、「A＝B かつ Ｃでない」なので、
「ｎ が素数ならば、a^n-a=ｎA」の否定は、「ｎ が素数 かつ a^n-a≠ｎA」ですよね！
なぜここで否定を考えるのか、よく分かりませんが．．．。
HP管理者様こんばんは。
Aが真のときBも真ならば、Aが否定のときBも否定である。
そこで、
nが素数のときa^n-a=nAが成り立つならば、nが合成数のときa^n-a=nAは成り立たない。
ただし、nが素数でないとき、nは合成数である。
疑問と誤解はすんだでしょうか？
全面改訂22:11
再修正 22:53
