😊出会いの泉😊

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。

これは、自明だと思うのですが。

その「自明であること」の証明のつもりですが、論理は真偽の2値しかありません。
しかし、管理人さんはx>0　とかx≦0とか真偽の中身を問題にして違うことを言ってます。

わたしは、その「自明であること」の証明は、どうすれば良いのでしょうか？
と逆に、質問したいのです。

なお、Dengan kesaktian Indukmu様の指摘はおっしゃるとおりで私は正しいと思います。

はちべえさん。

とりいそぎ。
1286 の私の投稿は、昨夜、
Bing の生成AIに、
間違いを含む議論の作成を依頼した結果を
コピペしたものです。

※一週間ほど所要があり投稿は難しいですが
必ずみております。それでは。

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。
これは、自明だと思うのですが。

これは決して自明ではありません。ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3となる自然数が存在しない事が自明ではない事と同じレベルだと思います。
自明とは１＋１＝２と同じレベルです。

＞わたしは、その「自明であること」の証明は、どうすれば良いのでしょうか？
と逆に、質問したいのです。

例えば、三平方の定理の逆が成り立つ事はほぼ自明なような気がしますが、厳密に証明しなければなりません。実際、似たような中線定理の逆は成り立ちませんし。
個人的には、自明な事の証明には背理法が役に立つ場合が多いと思っていますが。
当然、今回の場合やａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3となる自然数が存在しない場合には使えませんが。

「自明」とは「誰でも簡単に証明できる」という意味です。
自分すら証明できない事柄は、「自明」なのではなく、「自分が何を言っているか自分で理解していない」だけです。

皆さんこんにちは。

前提条件があって、成り立っているものは、前提条件が成り立たねば、成り立たないのは当たり前でしょう。

三平方の定理では、「直角三角形において」という前提条件があります。これを否定したら、成り立たないのではありませんか。

「自然数a,b,cにおいて、」という前提条件があって、フェルマーの最終定理があるのです。前提条件を否定したら、フェルマーの最終定理は、成り立たないことは明らかです。

そういうことから、自明と言ったのです。
まあ、納得してもらえないでしょうね・・・・・

nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。

別の方法でやってみました。

緑色のうんざりはちべえをクリックしてください。

7/12　8:51　編集済み

Dengan kesaktian Indukmu様、

＞Bing の生成AIに、

生成AIは、連立方程式も間違うので、「論理的に」というキーワードを挟むとうまく行く場合があるそうです。

しかし、生成AIの答えだったとは・・・・・残念

うんざりはちべえさん、こんにちは。

レポート読ませて頂きました。相変わらず見事な変形ですね。楽しませて頂きました。

＞・n=abが奇数の場合n=2αβ+1
N^(2αβ+1)-N=N{N^(2αβ)-1}=N(N^(αβ)-1}{N^(αβ)+1}={N^(αβ+1)-N}{N^(αβ)+1}
ここで、{N^(αβ+1)-N}は、例えばαβ=10なら、11の倍数になるが、n=2αβ+1=21とは一致しない。
{N^(αβ+1)-N}は、たとえαβ+1の倍数であっても、n=2αβ+1の倍数にはならない。
(ｎが素数の場合は、これにはあてはまらないことに注意）

左辺の２αβ＋１が素数とすると左辺は２αβ＋１の倍数で、右辺のαβ＋１が素数でも素数じゃなくても左辺の相方の約数になって問題ないと思います。（右辺のN^(αβ+1)-Nが、左辺＝(２αβ＋１)×ｘのｘの約数という事。）
当然、２αβ＋１が素数じゃない場合も同様です。
因みに、(ｎが素数の場合は、これにはあてはまらないことに注意）はどういう事でしょうか。結果ありきから考えているのでしょうか。

＞N^561-Nの場合
ｎ=561(3x11x17)ですから、奇数なので、{N^(αβ+1)-N}は、281の倍数となります。281は素数なので、
N^(2x280+1)-N={N^281-N}{N^280+1}
N^(2x280+1)-N=281A{N^280+1}
したがって、561の倍数にはなりません。

AまたはN^280+1が５６１の倍数かもしれませんよね。もっとも全てのNで成り立つとはとても思えませんが。

壊れた扉様、こんばんは。

相変わらず凄い理解力ですね。私は、人の書いたものを読むのに苦労します。
さて
そうですよね、N^(2αβ+1)-Nより、2αβ+1の倍数とすれば、それでおしまいですね。無駄な記述ですね。

ナンセンスでした。

N^561-N が 281 の倍数を示し、「281 と 561 は違う数だから N^561-N は 561 の倍数にならない」
という趣旨のことを述べていると認識しましたがあっていますか？

あっている場合、「　」内は何を根拠に言っているのですか？

壊れた扉さん

> もっとも全てのNで成り立つとはとても思えませんが。

私の名前のリンクから、wolfram 先生による計算結果をご覧ください。
2≦N≦30 の範囲では不足だとおっしゃるなら、範囲指定をご自身で変更して満足いくまでご確認ください。

さすが、DD++さん、脱帽です。

N＝ｐ・ｑの場合はダメなんですね。ｐ(ｑ－１)/(ｐ－１)が整数になる素数ｐ，ｑは存在しないんですね。（ｐ，ｑを入れ換えて両方とも整数になる。）
Ｎ＝ｐ・ｑ・ｒの場合は、ｐ(ｑｒ－１)/(ｐ－１)が整数になる素数は、DD++さんの例でｐ＝３，ｑ＝１１，ｒ＝１７の入れ換えとすると、
３(１１・１７－１)/(３－１)＝２７９
１１(３・１７－１)/(１１－１)＝５５
１７(３・１１－１)/(１７－１)＝３４
でＯＫなんですね。

一応、ｐ(ｑ－１)/(ｐ－１)が整数にならない証明は、ｐとｐ－１は連続する２整数なので互いに素。よって、整数になる場合は、ｐ－１がｑ－１の約数。∴ｐ－１≦ｑ－１　
ところが、この場合、ｐとｑを入れ換えた場合は分母の方が大きくなり整数にはならない。よって、２数の場合はダメである。

DD++様、こんにちは。

＞N^(2αβ+1)-N=N{N^(2αβ)-1}=N(N^(αβ)-1}{N^(αβ)+1}={N^(αβ+1)-N}{N^(αβ)+1}
より、2αβ+1=281のとき{N^(αβ+1)-N}より、141の倍数になるはずです。
しかし、wolframalphaに「Table[(N^141-N)mod141,{N,2,30}]」を入れると141の倍数にはなりません。また、wolframalphaに「Table[(N^281-N)mod141,{N,2,30}]」を入れると141の倍数にはなりません。

したがって、αβ+1=281は底なのです。281は素数でしたね。

では、2αβ+1=561ですが、wolframalphaに「Table[(N^561-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(2αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^561-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(2αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、3αβ+1=841ですが、wolframalphaに「Table[(N^841-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(3αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、4αβ+1=1121ですが、wolframalphaに「Table[(N^1121-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(4αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^1121-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(4αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、5αβ+1=1401ですが、wolframalphaに「Table[(N^1401-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(5αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、6αβ+1=1681ですが、wolframalphaに「Table[(N^1681-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(6αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^1681-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(6αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、7αβ+1=1961ですが、wolframalphaに「Table[(N^1961-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(7αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、8αβ+1=2241ですが、wolframalphaに「Table[(N^2241-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(8αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^2241-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(8αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、9αβ+1=2521ですが、wolframalphaに「Table[(N^2521-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(9αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、10αβ+1=2801ですが、wolframalphaに「Table[(N^2801-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(10αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^2801-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(10αβ+1)-Nは561の倍数になります。

以上から、推察されるに、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは281の倍数であるということです。
さらに、k=2jなら、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは561の倍数であるということです。

それだけの式を並べ立てて、結局何がいいたいのか意味不明です。
私が訊いているのは「281 の倍数であるから 561 の倍数にはならない」とした根拠です。
はちべえさんがそれに答える気がないなら、対話の意思なしとみなして返信を打ち切ります。

ついでに言うと、2≦N≦30 の範囲でだけの確認は、文字通り 2≦N≦30 の範囲での確認でしかなく、N≧31 でも成り立つ保証には一切なりません。
倍数になると断言するには、特定範囲内だけの確認ではなく、全範囲で適用できる証明が必要です。


（追記）
前回投稿で入れたリンクが入りっぱなしだったので削除しました。

DD++様、こんばんは。

リンクより、
＞・nがn=ka+1の場合
そこで、n=ka+1という合成数の場合、
N^n-N=N^(ka+1)-N=N{(N^a)^k-1}
等比級数の和の公式より{(N^a)^k-1}/{(n^a)-1}={1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
よって、{(N^a)^k-1}={(n^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
したがって、
=N{(N^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
={N^(a+1)-N}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
より、{N^(a+1)-N}であるからa+1の倍数。ところで、N^(ka+1)-Nより、ka+1の倍数。
したがって、a+1を底としたka+1の倍数である。

＞N^561-Nの場合
ｎ=561(3x11x17)ですから、奇数なので、{N^(αβ+1)-N}は、281の倍数となります。281は素数なので、
N^(2x280+1)-N={N^281-N}{N^280+1}
N^(2x280+1)-N=281A{N^280+1}
そこで、n=ka+1という合成数の場合、a+1を底としたka+1の倍数であるから、a=280より、281を底とした2a+1=561である。

Dengan kesaktian Indukmu様から、日を改めて見直せというアドバイスをもらいましたが、ちょっと・・・・

これで、納得していただけますか？

なおNの範囲についてのご指摘は、別途に譲らせていただきます。

> a+1を底としたka+1の倍数

倍数に「底」なんて概念はありません。
独自用語を使いたいなら、まずそれの定義をしてください。

うんざりはちべえさん、こんばんは。

＞以上から、推察されるに、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは281の倍数であるということです。
＞さらに、k=2jなら、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは561の倍数であるということです。

Ｎ^(kαβ+1)－Ｎ＝Ｎ{(Ｎ^αβ)^k－１}＝Ｎ(Ｎ^αβ－１){(Ｎ^αβ)^(k-1)＋・・・＋１}
＝(Ｎ^(αβ+1)－N)(Ｎ^αβ^(k-1)＋・・・＋１)
ここで、αβ＝２８０よりαβ+1＝２８１で素数。よって、Ｎ^(αβ+1)－Ｎは２８１の倍数。
よって、Ｎ^(kαβ+1)－Ｎも２８１の倍数。

Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎ＝Ｎ(Ｎ^2jαβ－１)＝Ｎ{(Ｎ^2αβ)^j－１}＝Ｎ(Ｎ^2αβ－１){(Ｎ^2αβ)^(j-1)＋・・・＋１}
＝(Ｎ^(2αβ+1)－Ｎ){(Ｎ^2αβ)^(j-1)＋・・・＋１}
ここで、αβ＝２８０より２αβ+1＝５６１は素数ではないが、DD++さんのNo.1267の投稿の「以上より、N^561 - N は 561 の倍数です」より、Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎは５６１の倍数。
よって、Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎも５６１の倍数。
念のため、２８１の倍数である事は上と同じ変形をすれば良い。

よって、示された。

DD++様、おはようございます。

＞倍数に「底」なんて概念はありません。
独自用語を使いたいなら、まずそれの定義をしてください。

もしかして、「底」を「てい」と読みました？私は、そこ、つまり、一番下、最小値というような意味合いです。倍数の初期値という意味合いです。

壊れた扉様、おはようございます。

まとめてくださったのですね。ありがとうございます。

倍数に「初期値」という概念もありません。

何にせよ、私の質問に答える気がないようですので、対話を試みるを諦めて、これで打ち切ります。
これ以上の私への返信も不要です。