😊出会いの泉😊

(1)(2)
0<a<b<c<dのとき
(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)
=4+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(a/d+d/a)+(b/c+c/b)+(b/d+d/b)+(c/d+d/c)
＞4+2+2+2+2+2+2=16
なのでa4＞4,A4＞4
よって最小値はa4=A4=5であり
(x1,x2,x3,x4)=(6,15,28,35)のときa4=A4=5

2023年7月
千葉の幕張メッセで国際数学オリンピックが開催されたそうで
そこで出題された問題の中に（6問中の問題 4)

x1,x2,････,x2023を相異なる正の実数とする。任意のn=1,2,･･･,2023に対して

an=√(x1+x2+･･･+xn)(1/x1+1/x2+･･･+1/xn)

が整数であるとき,a2023≧3034 が成り立つことを示せ。

が問われたという。

らすかるさんが示されたように
a2023^2=(x1+x2+･･･+x2023)(1/x1+1/x2+･･･+1/x2023)
=1+1+･････+1+(x1/x2+x2/x1)+(x1/x3+x3/x1)+･････+(x2022/x2023+x2023/x2022)
>2023+2*2023C2=2023+2*2023*2022/2=2023^2
よって
a2023>2023
したがって
a2023≧2024
とならないんだろうかと疑問に思いました。

3034ってどこから現れるんだろうか？

その計算は
「a2023が整数であるとき、a2023≧2024」
を示していますね。これはこれで正しいのですが、元の問題は
「n=1～2023すべてに対してanが整数になる」
という条件が付いていますので、違いますね。
そして単に違うだけでなく、かなり難しいです。

こんな感じですかね？

見通しをよくするため、
a[n]=√(b[n]*c[n])
b[n] = x[1] + x[2] + …… + x[n]
c[n] = 1/x[1] + 1/x[2] + …… + 1/x[n]
と書くことにします。

1≦n≦2021 である任意の自然数 n について、
a[n+2]^2
= b[n+2]*c[n+2]
= (b[n]+x[n+1]+x[n+2]) * (c[n]+1/x[n+1]+1/x[n+2])
= b[n]*c[n] + b[n]/x[n+1] + c[n]*x[n+1] + b[n]/x[n+2] + c[n]*x[n+2] + x[n+1]/x[n+2] + x[n+2]/x[n+1] + 2
≧ b[n]*c[n] + 4√(b[n]*c[n]) + 4
　　（全ての項が正なので、第 2,3 項、第 4,5 項、第 6,7 項でそれぞれ相加相乗平均の関係を用いた）
= a[n]^2 + 4a[n] + 4
= (a[n]+2)^2
が成り立ちます。
a[n] および a[n+2] は明らかに正の数なので、これは a[n+2] ≧ a[n]+2 を意味します。

さて、ここで等号成立条件を考えます。
条件は b[n]/x[n+1] = c[n]*x[n+1] かつ b[n]/x[n+2] = c[n]*x[n+2] かつ x[n+1]/x[n+2] = x[n+2]/x[n+1] です。
しかし、x[n+1] と x[n+2] は異なる正の実数なので、3 つめの条件は絶対に成立しません。

ゆえに、a[n+2] ≧ a[n]+2 という不等式の等号が成立することは絶対になく、さらに a[n+2] も a[n] も整数であることから、
a[n+2] ≧ a[n]+3 が必ず成立すると言えます。

したがって、
a[2023] ≧ a[2021] + 3 ≧ a[2019] + 6 ≧ …… ≧ a[1] + 3033 = 3034
が成り立ちます。

よくこんな証明方法を思いつけますね。
a[n+2]≧a[n]+3
示すあたりの手際の良さに感動です。

ところでこの漸化式から
a[1]=1
a[2]=3
a[3]≧4
a[4]≧6
a[5]≧7
a[6]≧9
a[7]≧10
a[8]≧12
a[9]≧13
a[10]≧15
････････
a[2023]≧3034

と一般に全部等号にかえて数列を見るとk=1,2,3,･･･で
a[n]=3*k (n=2*kの時)
　　=3*k-2 (n=2*k-1の時)
これをOEISで検索するとA032766にヒットした。
そこでここでのリンクで
Erich Friedman, Problem of the month November 2009
を見てみると
n=2023と3034
を結ぶ組合わせの解釈として

超高層ビルに3台のエレベータが設置してあり、
各エレベータが全部の階ではなく、指定されたn回のフロアーしか
止まらないことになっており、その3台の止まる場所を上手く設計
しておけば、各どの階でも少なくとも2台のエレベータがやって来
ていて、どの階からでも好きな階にエレベータを乗り換えること
なく移動が出来る最高のビルの高さを与える。

という。
つまり3台のエレベータが各4回ずつどこかのフロアーに止まることに
して置おけば、そんな条件を満たすビルの高さは6階までは可能となる。
同じく
3台のエレベータが各７個のフロアーに止まるという条件で設計すれば
最高10階ビルまでは可能となる。

ということで
3台のエレベータが各2023回止まる階を決めて置き、上手く運行すれば
超高層ビルの3034階のどの階からでも効率よく他の階へのエレベータ移動
は運行可能と教えてくれる。