😊出会いの泉😊

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞理屈では、Sが素数なら、左辺と右辺は計算と一致するが、合成数では左辺と右辺は一致しない。
しかし、計算上は左辺＝右辺は成立する。左辺を展開し計算すると右辺になる。

合成数の場合でも他の変形をすれば、一致しますよね。むしろ、素数の場合はこの変形で係数が全て素数倍になる事が見事ですね。
また、係数の符号が±で交替になっている事も面白いですね。数学的帰納法でちょっとやってみましたが、無理っぽいので止めました。
因みに、

N(N-1)=N^2-N（追加しました。）
N(N-1)(N-2)=(N^3-N)-3(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

これらの右辺の係数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になるのも面白いですね。（証明は全然考えていません。）

うっかりしました。証明は簡単ですね。左辺のNの項の係数はｋ段目は(-1)^k・ｋ!で、右辺のNの係数は括弧の係数の和×(-1)ですから、「左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でした。

壊れた扉様、こんばんは。

＞左辺のNの項の係数はｋ段目は(-1)^k・ｋ!で、右辺のNの係数は括弧の係数の和×(-1)ですから、「左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でした。

もう少しわかりやすく説明してもらえないでしょうか？

うんざりはちべえさん、こんばんは。

私も書いた後に中途半端で変だなと思っていました。

左辺のNの項の係数は、N(N-1)(N-2)だったらNを外した(N-1)(N-2)の定数項と等しいですよね。N(N-1)(N-2)(N-3)だったら(N-1)(N-2)(N-3)の定数項と等しいという事です。（ここで、ｋ段目は(-1)^k・ｋ!なんて必要ありませんでした。）

また、右辺のNの項の係数は、(N^3-N)-3(N^2-N)だったら（　）の係数１と－３を足して－Nをかけるので、{１＋(－３)}×(－１)で最後の×(－１)で符号が逆になるので、「右辺の係数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でしたという事です。（また、ちょっと分かり難いかもしれません。）

結局、うんざりはちべえさんが見い出した、N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)が成り立つ事がキーという事です。

N(N-a)=N^2-Na=(N^2-N)-Na+N=(N^2-N)+(1-a)N

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+Nab+N-(a+b)N
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+{ab+1-(a+b)}N
(%i3) factor(a*b+1-(a+b));因数分解せよ
(%o3) (a - 1) (b - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N+(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

ここで、a=1ですから0ですね。
この関係から
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)
になるのでしょうね。

壊れた扉様、こんにちは。

(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)とN(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、ほぼ同じだから、当たり前だというのがわかりました。

うんざりはちべえさん、こんにちは。

今朝は何故か投稿できませんでした。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

よって、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)+(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)
と変形出来て、ａ＝１から、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)と出来るのですね。

＞N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が上の結果から成り立つはずである。
うまい証明はないだろうか？

見事に自分で解決されましたね。
因みに、何次でも-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)Nの部分はNの項になり、解と係数の関係と同じで±が交互になり、必ず ±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)…と因数分解でき、ａ＝１より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)の形に出来るのですね。

等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。
ところが、合成数のとき、左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。
つまりN^s-Nでｓが合成数ならsの倍数にならないということです。
たとえば、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は左辺は4の倍数ですが、右辺の係数は6,11で共通の倍数を持ちません。N^4-Nが4の倍数とすると、ですから成り立ちません。
N^3-Nは３の倍数、N^2-Nは2の倍数ですから、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)=4a-6x3b+11x2c=4a-18b+22cで4の倍数にはなりません。
N^4-Nがいくつの倍数たとえば、ｘでも、xa-18b+22cはa,b,cに関わらず4の倍数にはなりません。
だから、合成数はなにか不思議な力が作用しているのです。

その理由がわかりません。

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。
ところが、合成数のとき、左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。

この右辺が×だけでつながった式ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)は和と差でつながっているのでおかしくありません。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単ですが足し算は難しいというような話をやっていましたよね。それと同じ事です。

・素数は、
２：N(N-1)=N^2-N
３：N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)
５：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
７：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6) =N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
注：175=5^2x7 735=3x5x7^2 1624=2^3x7x29 1764=2^2x3^2x7^2
すべて、係数が素数の倍数。
検算　右辺の因数分解の結果
(%i1) factor((N^3-N)-3*(N^2-N));
(%o1) (N - 2) (N - 1) N
(%i2) factor((N^5-N)-10*(N^4-N)+35*(N^3-N)-50*(N^2-N));
(%o2) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i3) factor(N^7-N-21*(N^6-N)+175*(N^5-N)-735*(N^4-N)+1624*(N^3-N)-1764*(N^2-N))
;
(%o3) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。


・合成数は、
４：N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
６：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
８：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

検算　右辺の因数分解の結果
(%i16) factor((N^4-N)-6*(N^3-N)+11*(N^2-N));
(%o16) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i17) factor((N^6-N)-15*(N^5-N)+85*(N^4-N)-225*(N^3-N)+274*(N^2-N));
(%o17) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i18) factor((N^8-N)-28*(N^7-N)+322*(N^6-N)-1960*(N^5-N)+6769*(N^4-N)-13132*(N^3-N)+13068*(N^2-N));
(%o18) (N - 7) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。

さて、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は、4の倍数であるが係数6=2x3,11は4の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
は、6の倍数であるが係数15=3x5,85=5x17,225=3^2x5^2,274=2x137は6の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
は、8の倍数であるが係数28=2^2x7,322=2x7x23,1960=2^3x5x7^2,6769=7x967,13132=2^2x7^2x67,13068=2^2x3^3x11^2は8の倍数でない。

なぜこのような違いが出るのだろう？不思議です。

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞なぜこのような違いが出るのだろう？不思議です。

例えば、

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

右辺の係数は(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)よりa+b+cとab+bc+acですが、これは前段階のN^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcNの係数と同じです。つまり、ａ＋ｂ＋ｃは１＋２＋３でこれは左辺の積が素数個の場合ではありませんが、
素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１)となり、＝ｐ(ｐ－１)/２でｐは素数よりｐの倍数になるという訳です。
ただし、(ab+bc+ac)以下の場合は証明出来ていません。（昨日やって諦めました。）

壊れた扉様、こんにちは。

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)
=N^6-(a+b+c+d+e)N^5+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)N^4-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)N^3+(abcd+abce+abde+acde+bcde)N^2-Nabcde
=(N^6-N)-(a+b+c+d+e)(N^5-N)+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(N^4-N)-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)(N^3-N)+(abcd+abce+abde+acde+bcde)(N^2-N)

Sのとき、
=N^S-N-(1+2+3+・・・+S-1){N^(s-1)-N}・・・・
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
ここで、Sが素数ならS-1は偶数。よって{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で偶数なら、(s-1)は奇数で、s/2は2で割れて、sの倍数にならない。
ｓが合成数で奇数なら、(s-1)は偶数で2で割れて、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で奇数なら、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}は、ｓの倍数になる。
すこし、進歩。

さて、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}+{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}{N^(s-2)-N}・・・
そこで、
{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}
より、
2x1+3x(1+2)+4x(1+2+3)+5x(1+2+3+4)・・・・+(s-1)(1+2+3+4+・・・・+(s-2))}
どうしたものか？

＞素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１)となり、＝ｐ(ｐ－１)/２でｐは素数よりｐの倍数になるという訳です。

同じ結論になりました。ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

＞ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

鋭い所に気付かれましたね。一応、奇数の合成数の場合も調べてみました。

N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*(N-4)*(N-5)*(N-6)*(N-7)*(N-8)*(N-9)*(N-10)*(N-11)*(N-12)*(N-13)*(N-14)を展開すると、

𝑁^15−105𝑁^14+5005𝑁^13−143325𝑁^12+2749747𝑁^11−37312275𝑁^10+368411615𝑁^9−2681453775𝑁^8+14409322928𝑁^7−56663366760𝑁^6+159721605680𝑁^5−310989260400𝑁^4+392156797824𝑁^3−283465647360𝑁^2+87178291200𝑁

やはり、素数じゃないと成り立たないみたいですね。

壊れた扉様、こんばんは。

105/15=7で15の倍数ですが、
5005=5x7x11x13は、15の倍数でないですね。
143325=3^2x5^2x7^2x13は、15の倍数ですね。
2749747=7x11x13x41x67は、15の倍数でないですね。
まあ、このへんでやめておきます。

15は係数がすべて15の倍数でないですね。つまり、15の倍数になれませんね。

もう少し式を整理させました。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

規則正しくなってますが、これから得るものは、・・・・・？

さすがうんざりはちべえさん、諦めませんね。

＞N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

N^5の係数は解決しました。(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+abは、a=1,b=2,…,f=p-1（ｐは素数）で、それぞれの括弧の右の数字は括弧の最後の数字の次の数字になっているので、ｆをｎ番目とすると、
Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}nで求められます。
∴Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}n=Σ(n=1~p-1){n^2(n-1)/2}=(1/2)Σ(n=1~p-1)(n^3-n^2)=(1/2)Σ(n=1~p-1)n^3－(1/2)Σ(n=1~p-1)n^2
=(1/2){p(p-1)/2}^2－(1/2){p(p-1)(2p-1)/6}=p^2(p-1)^2/8－p(p-1)(2p-1)/12=3p^2(p-1)^2/24－2p(p-1)(2p-1)/24
=p(p-1){3p(p-1)-2(2p-1)}/24=p(p-1)(3p^2-7p+2)/24=p(p-1)(p-2)(3p-1)/24
よって、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24でｐは素数よりｐの倍数になる。

因みに、N^4の一番左の{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}fを同じ方法でやると、
(p-1)Σ(n=1~p-1){(n-2)(n-1)/2}(n-1)でこれを計算すると、
={(p-1)/2}[{p(p-1)/2}^2－４{p(p-1)(2p-1)/6}＋5p(p-1)/2－2(p-1)}で初めの３項は問題ありませんが、最後の項は(p-1)^2で素数になりません。つまり、この分解方法ではダメみたいです。
念のため、この計算結果が正しい事はｐ＝７とすると５１０となり、また、{(4+3+2+1)5+(3+2+1)4+(2+1)3+1・2}6=510となる事から確認済みです。

壊れた扉様、おはようございます。

＞よって、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24でｐは素数よりｐの倍数になる。

pが合成数で24と素である場合、pの倍数になりませんかね？
ただし、(p-1)((3p-1)は24の倍数。

pが合成数で24と素である場合、pは２と３の倍数でないということで、たとえば、最小は25ですが、
(p-1)((3p-1)が(25-1)(75-1)で24の倍数ですよね。
すると、N^24とN^23を突破します。N^22は、どうでしょう？
順番に積み上げるしかありませんね。

でも、２４以下では、正しいことが証明されました。前進です。

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞pが合成数で24と素である場合、pの倍数になりませんかね？

以前の「ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。」の時も思ったのですが、この証明しようとしている法則は多分素数の場合しか成り立たないですよね。だから、素数以外の合成数の場合は全く考える必要がありません。（多分、うんざりはちべえさんとは見る角度が違っていて誤解されていると思います。）
念のため、左辺の積の数が素数個の場合のみを考えて（証明しようとして）いるという事です。
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)は７個の積。（元に戻すとN(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)）

壊れた扉様、こんにちは。

もうスレッドも終わりですから、
＞素数の場合しか成り立たない
として終わりにしますか？

うんざりはちべえさん、こんにちは。

ええ、そうしましょう。今回は色々と収穫がありましたね。

うんざりはちべえと壊れた扉の定理１
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}は必ず(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-3)(N^3-N)+a(s-2)(N^2-N)の形に変形出来、右辺の係数の符号は±交互になり、その総和は(-1)^S・(S-1)!になる。（修正しました。）

うんざりはちべえと壊れた扉の定理２
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２個の組み合わせの積の総和はｐの倍数になる。ただし、ｐ≧５
例えば、ｐ＝５の場合、1・2＋1・3＋1・4＋2・3＋2・4＋3・4＝３５で５の倍数。
ｐ＝７の場合、1・2＋1・3＋1・4＋1・5＋1・6＋2・3＋2・4＋2・5＋2・6＋3・4＋3・5＋3・6＋4・5＋4・6＋5・6＝１７５＝２５・７で７の倍数。

うんざりはちべえと壊れた扉の予想
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２～ｐ－２個の組み合わせの積の総和はｐの倍数になる。
例えば、ｐ＝７の場合のｐ－２個の場合、1・2・3・4・5＋1・2・3・4・6＋1・2・3・5・6＋1・2・4・5・6＋1・3・4・5・6＋2・3・4・5・6＝１２０＋１４４＋１８０＋２４０＋３６０＋７２０＝１７６４＝２５２・７で７の倍数。よって、ｐの倍数になる。