格子点探し
a,bが正の整数であるとき
P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+8)
が正の整数となる(a,b)のすべての組合せを探すとき
コンピュータでの検索無しでどこまで迫れるものなのか挑戦願う。
P(7,1) = 14
P(21,1) = 63
P(42,1) = 144
P(91,1) = 338
P(189,1) = 729
P(n,2) = n
P(2n,2n) = 2n^2
a>b>2 のとき以外は上記で全部なことは確認しました。
a>b>2 の場合が難しい……。
b=1のとき
4a^2/(a+7)=4a-28+196/(a+7)
a+7は8以上の196の約数なので
a+7=14,28,49,98,196
∴a=7,21,42,91,189
（4a^2/(a+7)からaが正なら負になることはない）
→(a,b)=(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1)
b=2のとき
4a^2/4a=a
→(a,b)=(n,2)
b=3のとき
4a^2/(9a-19)={4(9a+19)+1444/(9a-19)}/81
9a-19は1444の約数なので
9a-19=1,2,4,19,38,76,361,722,1444
しかし9a-19は9で割って8余る数なので、すべて不適。
b=4のとき
4a^2/(16a-56)=a^2/(4a-14)={(2a+7)+49/(2a-7)}/8
2a-7は49の約数なので
2a-7=1,7,49
∴a=4,7,28
このうちa=7は与式が正整数にならず不適なので
a=4,28が適解。
→(a,b)=(4,4),(28,4)
b=5のとき
4a^2/(25a-117)={4(25a+117)+54756/(25a-117)}/625
25a-117は54756の約数であり、54756の約数のうち
117足して25の倍数になるものは25a-117=108のみ。
このときa=9で、a=9のとき与式は正整数になるのでa=9は適解。
→(a,b)=(9,5)
b=6のとき
4a^2/(36a-208)=a^2/(9a-52)={(9a+52)+2704/(9a-52)}/81
9a-52は2704の約数であり、2704の約数のうち
52足して9の倍数になるものは2と1352のみ。
このとき順にa=6,156でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(6,6),(156,6)
b=7のとき
4a^2/(49a-335)={4(49a+335)+448900/(49a-335)}/2401
49a-335は448900の約数だが、448900の約数のうち
335足して49の倍数になるものは存在しないので、解なし。
b=8のとき
4a^2/(64a-504)=a^2/(16a-126)={(8a+63)+3969/(8a-63)}/128
8a-63は3969の約数であり、3969の約数のうち
63足して8の倍数になるものは1,9,49,81,441,3969
このとき順にa=8,9,14,18,63,504だが、与式に代入して
正整数になるものはa=8,14,18,504の4個
→(a,b)=(8,8),(14,8),(18,8),(504,8)
b=9のとき
4a^2/(81a-721)={4(81a+721)+2079364/(81a-721)}/6561
81a-721は2079364の約数だが、2079364の約数うち
721足して81の倍数になるものは存在しないので、解なし。
b=10のとき
4a^2/(100a-992)=a^2/(25a-248)={(25a+248)+61504/(25a-248)}/625
25a-248は61504の約数であり、61504の約数のうち
248足して25の倍数になるものは2と30752のみ。
このとき順にa=10,1240でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(10,10),(1240,10)
b=11のとき
4a^2/(121a-1323)={4(121a+1323)+7001316/(121a-1323)}/14641
121a-1323は7001316の約数であり、7001316の約数のうち
1323足して121の倍数になるものは存在しないので、解なし。
b=12のとき
4a^2/(144a-1720)=a^2/(36a-430)={(18a+215)+46225/(18a-215)}/648
18a-215は46225の約数であり、46225の約数のうち
215足して18の倍数になるものは1と46225のみ。
このとき順にa=12,2580でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(12,12),(2580,12)
b=13のとき
4a^2/(169a-2189)={4(169a+2189)+19166884/(169a-2189)}/28561
169a-2189は19166884の約数であり、19166884の約数のうち
2189足して169の倍数になるものは存在しないので、解なし。
b=14のとき
4a^2/(196a-2736)=a^2/(49a-684)={4(49a+684)+1871424/(49a-684)}/9604
49a-684は1871424の約数であり、1871424の約数のうち
684足して49の倍数になるものは2,32832,233928
このとき順にa=14,684,4788だが、a=684は与式が正整数にならず不適なので
a=14,4788が適解。
→(a,b)=(14,14),(4788,14)
b=15のとき
4a^2/(225a-3367)={4(225a+3367)+45346756/(225a-3367)}/50625
225a-3367は45346756の約数であり、45346756の約数のうち
3367足して225の倍数になるものは存在しないので、解なし。
b=16のとき
4a^2/(256a-4088)=a^2/(64a-1022)={(32a+511)+261121/(32a-511)}/2048
32a-511は261121の約数であり、261121の約数のうち
511足して32の倍数になるものは1と261121のみ。
このとき順にa=16,8176でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(16,16),(8176,16)
b=17のとき
4a^2/(289a-4905)={4(289a+4905)+96236100/(289a-4905)}/83521
289a-4905は96236100の約数であり、96236100の約数のうち
4905足して289の倍数になるものは8100のみ。
このときa=45となり、与式は正整数になるので適解。
→(a,b)=(45,17)
ここまでをまとめると、b≦17のときの解は
(a,b)=
(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1),
(n,2),
(4,4),(28,4),
(9,5),
(6,6),(156,6),
(8,8),(14,8),(18,8),(504,8),
(10,10),(1240,10),
(12,12),(2580,12),
(14,14),(4788,14),
(16,16),(8176,16),
(45,17)
眺めてみて
(2n,2n)が解になりそうなのでa=b=2nとすると与式=2n^2となり成り立つ。
また
(4,4)と(28,4)、(6,6)と(156,6)、(8,8)と(504,8)、(10,10)と(1240,10)、
(12,12)と(2580,12)、(14,14)と(4788,14)、(16,16)と(8176,16)は
いずれも与式の値が同じなので、このことから後者の一般解を導出すると
(a,b)=(2n(n^3-1),2n)
まとめ
一般式で表される解で見つかっているものは
(a,b)=(n,2),(2n,2n),(2n(n^3-1),2n)
（ただし前二つはn≧1、最後の一つはn≧2）
それ以外でわかっている解はb≦17のとき
(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1),
(9,5),(14,8),(18,8),(45,17)
孤立解でb＞17であるものは未発見なので、存在するかどうかは不明。
(a,b)=(9,5)のときの与式の値が3、
(a,b)=(14,8),(18,8)のときの与式の値が2、
(a,b)=(45,17)のときの与式の値が1となるため、
ひょっとするとb＞17の孤立解は存在しないかも？
# 最初b=12までで投稿しましたが、その後プログラムで探索したところ
# (a,b)=(45,17)という解があることがわかりましたので、b=17までに
# 拡張しました。
元々P(a,b)=a^2/(2*a*b^2-b^3+1)
での格子点探しの問題に挑戦していて、分数型での形が面白かったので
もっと他の形で調べたらどうなるだろうかと
P(a,b)=3*a/(4*a^2*b^3-b^5+1)
P(a,b)=4*a/(a*b^2-b^3+8)
などと調査して
P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+8)
を調べていた時、結構色々なパターンが同時に含まれてきて、果てこれを手作業
だけで見つけ出すことは可能なのだろうかと疑問に持った。
b=1の場合の攻め方
b=2の場合の特別さ
及び
a=b=2*nでの思い掛けなさ
ところがコンピュータによる検索では
P(9,5)=3,P(45,17)=1
などの思いもよらぬものの出現
更に
a=b=2*nでP(2*n,2*n)=2*n^2 と整理されたであろう部分から
a=2*n*(n^3-1),b=2*nの組み合わせも顔をのぞかせる意外さ
(この式で表されることに気付けたときはビックリしました。）
実はらすかるさんの解答を拝見して
P(14,8)=P(18,8)=2
が存在できることをすっかり見落としておったことに気付かされました。
他に思い掛けなく存在できる格子点が存在しているのではないかという一抹の不安はあります。
なお
P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+7)
に対して調査していたら
P(2,1)=2
P(3,1)=4
P(6,1)=12
P(10,1)=25
P(12,1)=32
P(18,1)=54
P(30,1)=100
P(42,1)=147
P(66,1)=242
P(138,1)=529
とやたらと多くのパターンが発生可能
P(7*n,7*n)=P(7*n*(n*(7*n)^2-1),7*n)=28*n^2
とやはり2通りの形式で作れます。
他に
P(4,3)=P(5,3)=4
P(20,3)=10
P(180,3)=81
となるようです。
この P(a,b) ですが、実は
P((ab^3-8a)/(ab^2-b^3+8),b) = P(a,b)
という恒等式が成立します。
P(2n(n^3-1),2n) = P(2n,2n) も P(14,8) = P(18,8) も、この恒等式の一部ですね。
尤も、b が偶数または P が 4 の倍数のときでないと、左辺が整数解にはなりませんけども。
